第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

考試要求1.理解平面向量數(shù)量積的含義.2.了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的

關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積

表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會(huì)用向量的方

法解決某些簡單的平面幾何問題.

■知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念

⑴向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a和。，。是平面上的任意一點(diǎn)，作為=a,OB

=b,則NAO3=e(0WeW7i)叫做向量a與8的夾角.

⑵數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a與從它們的夾角為0,我們把數(shù)量

laMIcos。叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a?瓦即a-/>=|a||例cos。.規(guī)定:

零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0以=0.

(3)投影向量

如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作m=a,ON=b,過點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂

足為Mi,則函就是向量a在向量上的投影向量.

設(shè)與8方向相同的單位向量為e,a與力的夾角為仇則而1與e,a,。之間的關(guān)

系為蘇Ti=|a|cosde.

2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示

設(shè)向量a=(xi,yi),b=(x2,yi),。為向量a,8的夾角.

(1)數(shù)量積:a-b=\a\\b\cos0=x\xi+y\y2.

⑵模：\a\=-\[cra=ylxl+yl.

,八abxiX2-\~yiy2

⑶夾角：cos0=-=-p^-pp=|.

(4)兩非零向量a_L/>的充要條件：rrZ>=0=xix2+yiy2=0.

(5)|a0|W|a||A|(當(dāng)且僅當(dāng)a//b時(shí)等號(hào)成立)Qlxa+wlW《%?+冗々必+式.

3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

(1)4歷(交換律).

(2)M=^ab)=0(勸)(結(jié)合律).

(3)(4+6)P=℃+》4(分配律).

4.平面幾何中的向量方法

三步曲：(1)用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；

(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；

(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

［常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒］

1.有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論

已知向量a,b

(1)若a與8的夾角為銳角，則a協(xié)>0；

若ab>0,則a與8的夾角為銳角或0.

(2)若a與8的夾角為鈍角，則a仍<0；

若a仍<0,則a與萬的夾角為鈍角或兀.

2.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式

(l)(a+Z>)(a-6)=a2—Z>2；

(2)(a+&)2=a2+2a-Z?+Z>2；

(3)(a—b)2=a2—2ab+b2.

【診斷自測】

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”)

71

⑴兩個(gè)向量的夾角的范圍是［o，］).()

(2)向量a與〃夾角為仇a在〃上的投影向量為(|a|cos喘()

⑶兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向

M.()

(4)若aZ=a-c(a#O),則8=c.()

答案(1)X(2)V(3)V(4)X

解析(1)兩個(gè)向量夾角的范圍是[0,71].

(4)由a0=a-c(aW0)得|a||四.cos{a,b)—|o||c|-cos{a,c〉，所以向量Z＞和c不一

定相等.

2.(必修二P34例11改編)設(shè)a=(5,-7),b=(~6,—4),設(shè)a,8的夾角為仇

則cos0=

宏安—恒

口木962

缶aa-b-30+28_由直

斛析3。_麗_加＞＜痘_-962-

3.(必修二P21例13改編)已知⑷=3,|〃|=4,且a與8不共線，若(a+劭)，(a—

kb),則實(shí)數(shù)左=.

3

答案士w

3

解析由題意知(a+助?(。一助=〃2—%2辦2=9-16左2=0,解得左=±不

4.在△ABC中，AB=3,AC=2,BC=y[lQ,則蔭?公的值為.

3

答案一]

解析在AABC中，由余弦定理得

1

AG+AB2—3c222+32一(①)2-

cosA=2ACAB=2X2X34

所以3AAe=|B4Mqcos5-A)

一一13

=-|5A||AC|-COSA=-3X2X-=-2.

■考點(diǎn)聚焦突破

考點(diǎn)一數(shù)量積的計(jì)算

例1(1)(2024.綿陽診斷)如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，點(diǎn)E為中線BD的三

等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)3),點(diǎn)R為3C的中點(diǎn)，則度.而=()

A

A-也1

a4D，2

答案B

解析法一由題意，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4,的方向分別x,y軸的正方向,

建立平面直角坐標(biāo)系,

則。(0,0),0-1,0),B(0,aE0,

法二VFC=|BC,

FE=BE-BF=-jBD~^BC

=^BA+BQ-^BC

：.FEFC=^BC-[^BA-g碼

=^BCBA-^BC2

=-T7X2X2-COS?—TX22=—

123b2

(2)(2023?全國乙卷)正方形ABC。的邊長是2,E是A3的中點(diǎn)，則比?應(yīng)＞=()

A.小B.3C.2小D.5

答案B

解析法一由題意知，反:=旗+病=短+屐),成)=應(yīng)+超=—/通+45,

所以比.應(yīng))=(/值+Ab).(—T蕊+與))=|量)|2一上通F,

由題意知I量)|=|成1=2,

所以比.應(yīng))=4—1=3.

法二以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,助的方向分別為x,y軸的正方向建立平面直角

坐標(biāo)系，

則E(l,0),C(2,2),￡)(0,2),則比=(1,2),

ED=(-1,2),ECED=-l+4=3.

感悟提升計(jì)算平面向量數(shù)量積的主要方法

(1)利用定義：a6=|a||A|cos〈a,b).

(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算,若。=(?,yi),b=(x2,聞，Pl!ja-b=xix2+yiy2.

⑶利用基底法求數(shù)量積.

(4)靈活運(yùn)用平面向量數(shù)量積的幾何意義.

2兀

訓(xùn)練1(1)(2024?南通調(diào)研)已知向量a,8滿足|a|=l,\b\~2,{a,b)=于則a?(a

+力=()

A.-2B.-lC.OD.2

答案C

角星析a(a+b)=(r+ab=1+1X2X

(2)(2024.泉州監(jiān)測)已知非零向量a,方滿足|a+6|=|a—回，則a+b在a方向上的

投影向量為()

A.aB.bC.2aD.2b

答案A

解析由已知條件得|a+肝=|a—肝，

即ab=0.

_,>、，>>>1Hen>iu、，a.,,.a(a-1-b),a

又a+b在a萬向上的投影向厘:為面?(|a+加-cos(a+b,a))=盲而j=

a|a|2+aZ>

l?rl?l—a

(3)(2024?合肥模擬)在等邊△ABC中，AB=6,BC=3BD,AM=2AD,則慶?施=

答案22

解析如圖，以3C所在直線為x軸，3C的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐

標(biāo)系，

'：AB=6,BC=3BD,

AM=2AD,

??.3（—3,0）,C（3,0）,M（-2,—3?

：.MB=（-1,373）,MC=（5,34），

.,.慶?施=—5+27=22.

考點(diǎn)二數(shù)量積的應(yīng)用

角度1夾角與垂直

例2（1）（2023?新高考I卷）已知向量。=（1,1）,b=（l,一1）.若（a+團(tuán)），（a+〃b）,

則（）

A.2+/z=1B.2+〃=—1

C.入林=\D.〃z=-1

答案D

解析因?yàn)椤?（1,1）,4=（1,-1）,

所以Q+勸=（1+九1一2），8=（1+〃，1—〃）.

因?yàn)椋╝+勸）_L（a+〃。），

所以（a+勸）?（a+〃辦）=0,

所以（1+丸）（1+〃）+（1—丸）（1—〃）=0,

整理得〃=—1.

（2）（2023?全國甲卷）已知向量a,b,c滿足⑷=|臼=1,\c\=y/2,且a+b+c=0,

則cos〈°—c,b-c)=()

A4「224

A—5B--5C-5D-5

答案D

解析因?yàn)橄蛄竣?回=1,匕|=6，

且。+8+c=0,

所以C=一Q—辦，等式兩邊同時(shí)平方得

c1=a1+b1+2ab,即2=1+1+2〃?方，

解得a仍=0.

法一a—c—a—(—a-b)=2a+b,b—c=b—(—a—b)=a+2b,

所以(a—c)?(5-c)

=(2。+力>(。+28)=2。2+5。力+2萬2=4,

且|a一c|=|2a+例=yj(2a+Z>)2=)4+l=小，

\b-c\=\a+2b\=7(a+2〃)1=y]l+4=y[5,

(a-c)?(b—c)4

所以cos〈a—c,b-c)

\a-c\'\b-c\5,

法二如圖，令向量a,b的起點(diǎn)均為O,終點(diǎn)分別為A,B,以。A,為分別為x,

y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系,

則。=(1,0),6=(0,1),

c=-a—b=(T,—1),

所以a—c=(2,1),b—c=(l,2),

ri/.(。一。)?(辦-c)2+24

則cos〈a—c,…=一|…他—cl—亍

角度2平面向量的模

例3（2023?新高考H卷）已知向量a,〃滿足|a—旬=小，\a+b\=\la~b\,則步尸

答案小

解析由|“一。|=小，得層一2°b+》2=3,

即2a0=/+"一3.①

由|a+〃=|2a一。|,

得（r+2ab+b2=4（r—4ab+b2,

整理得，3a2—6ab=Q,

結(jié)合①,得3/-3（/+廬—3）=0,

整理得，b2=3,所以步|=4.

感悟提升1.求平面向量的模的方法

（1）公式法：利用|a|=d荔及（4±方）2=|旬2±24乃+|肝；（2）幾何法：利用向量的幾何

意義.

2.求平面向量的夾角的方法

⑴定義法：cos(2)坐標(biāo)法.

3.兩個(gè)向量垂直的充要條件

a_LZ>Qa0=0=|4—。|=|。+。|(其中aWO,力W0).

訓(xùn)練2(1)(2022?全國乙卷)已知向量a=(2,1),b=(—2,4),則|a—"=()

A.2B.3C.4D.5

答案D

解析由題意知8=(2,1)—(—2,4)=(4,—3),所以|a—臼=固42+(-3)2

=5.

(2)(2023?全國甲卷)已知向量a=(3,1),b=(2,2),則cos(a+b,a-b)=()

±口近°亞D”

aA*o.*j5u.5

答案B

解析由題意知a+辦=(5,3),a—b=(l,-1),

(a+力)?(a—b)5X1+3X(一1)2

所以cos〈a+辦，a~b）

—\a+b\\a~b\~取義加~2yfl7~17,

(3)(多選)(2024?武漢調(diào)研)設(shè)a,b,c是三個(gè)非零向量，且相互不共線，則下列說

法正確的是()

A.若|a+以=|a一"，貝

B.若同=步|,則(a+b)_L(a—?

C.^ac=bc,則a—b不與c垂直

D.(bc)a—(ac)b不與c垂直

答案AB

解析a,6c是三個(gè)非零向量，

對于A,|a+臼=|a—"兩邊平方得(a+〃)2=(a—m2,

即a2-\-2ab+b2=(r-2ab+b2,

故a仍=0,則a_LZ>,故A正確；

對于B,(a+b)-(a-b)=a2-b2=\a^-\b^,

因?yàn)閨a|=|臼,

所以(a+8),(a—b)=0,

故(a+8)_L(a—V),故B正確；

對于C,ac=bc,

故ac—bc=(a—b)c=0,

則a—8與c垂直，故C錯(cuò)誤；

對于D,[(b-c)a—(ac)b]c—(bc)(ac)—(a-c)(b-c)=0,

故Oc)a—(a-c)8與c垂直，故D錯(cuò)誤.

考點(diǎn)三平面向量與平面幾何

例4如圖，在△ABC中，cosNB4C=J,點(diǎn)。在線段3C上，^.BD=3DC,AD

=乎，則△ABC的面積的最大值為.

答案V15

解析設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

1Q

因?yàn)?D=3DC,所以病=抻+箝,

又AD=^^,cosNB4c=',

則丁=記d+m。2+雙。=序）+?？?32bc2X4c-4b+32bc=32bc）

當(dāng)且僅當(dāng)c=3b時(shí)，等號(hào)成立.

所以。cW8,又sinNB4C=乎，

所以S^ABC—^bcsmZBAC

^|x8X^=V15.

感悟提升用向量方法解決平面幾何問題的步驟

平面幾何問題也回量向量問題士支解決向量問題還反解決幾何問題.

訓(xùn)練3在△ABC中，已知&+幺C?病=0,且網(wǎng)?支=/則△45。為（

l|A5|\AC\J\AB\\AC\2

A.等邊三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.三邊均不相等的三角形

答案A

XnATff

解析—,以分別表示A3,AC方向上的單位向量，

m\AQ

AT）AC

四+"在NA的角平分線上，

m\AC\

..厚+叫法=0,

Wl|AC|J

：.\AB\=\AC\,

ABAC1

又丁,丁=》

\AB\\AC\

,/T*6ABAC1

..cos{AB,AC〉=?'=],

mm

則油與友的夾角為60°,

即NR4c=60。，

可得△ABC是等邊三角形.

■課時(shí)

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】

1.(2024?遼寧名校模擬)已知向量m方夾角的余弦值為一/且⑷=4,\b\=l,則

(a一方>(方一2a)=()

A.-36B-12C.6D.36

答案A

解析(a—b)(b—2a)=ab—2a2—b2~\~2ab

=3ab-b2-2a2

=3X4XlX(-j-1-2X16=-36.

2.(2024.煙臺(tái)質(zhì)檢)若平面向量a與8的夾角為60。，a=(2,0),回=1,則|a+2"

=()

A幣B.2小C.4D.12

答案B

解析因?yàn)槠矫嫦蛄縜與方的夾角為60。，a=(2,0),|Z>|=1,

所以|a|=，22+()2=2,a-b=\a\-\b\cos60°=2X1Xcos60°=1,

所以M+2臼=2小.

3.(2024?茂名五校聯(lián)考)已知向量a=(cosa,sina),b=(l,\a-b\=y[5,

則tana=()

B羋

C.^2D.小

答案A

角星析a—6=(cos?—1,sina+、/5),

由|a一。|=小,

得(cosa—l)2+(sina+^/3)2=5,

則小sin。一cosa=0,tana=3.

4.(2024?深圳調(diào)研)已知a"為單位向量，且|3a—5例=7,則。與a—辦的夾角為()

▲兀c2兀兀5兀

A-3B-TC6D1

答案C

解析因?yàn)閍,8為單位向量，

|3a—5例=7,所以(3a—5加2=49,

即9a2—30。仍+25辦2=49,

即9一30。?8+25=49,解得ab=—^

設(shè)a與a-b的夾角為6,

〃?(。一辦)

則cos0=

\a\\a-b\\a\-\j(a—ft)2

7T

又問0,71],所以。=,

5.平面向量a與〃相互垂直，已知a=(6,—8),以=5,且〃與向量(1,0)的夾角

是鈍角，貝U方=()

A.(—3,-4)B.(4,3)

C.(-4,3)D.(—4,-3)

答案D

解析設(shè)i>=(x,y),

ab=O,6x—8y=0,

則由題意得即＜

卡十產(chǎn)5,y+/=25,

x=4,

解得＜

J=3

設(shè)c=(l,0),

b?c4

當(dāng)Z>=(4,3)時(shí)，cos{b,c)=7jT-;=7>0,

又因?yàn)橄蛄康膴A角范圍為[0,n],

故此時(shí)夾角為銳角，舍去;

h-c4

當(dāng)b=(—4,一3)時(shí)，cos{b,c)=j^i=一5<°，

故此時(shí)夾角為鈍角，符合題意.故選D.

6.（2024.太原質(zhì)檢）在矩形ABCD中，AB=2小,AD=2,點(diǎn)E滿足2勵(lì)=3病,

則定肪=（）

A.-14B.14C.-16D.-14V3

答案A

解析由題意，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,45的方向分別為x,y軸的正方向建立如

圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

D---------------->C

__________山，

Ax

則A(0,0),BQ4,0),C(202),D(0,2),

所以虎=(24，0),BD=(-2y[3,2),

因?yàn)?5*=3比，設(shè)E(x,y),

則2(x,y—2)=3(2S，0),

解得E（3小，2）,所以屢=（34，2）,

所以施.應(yīng)）=（3小，2》（—24，2）=-14.

7.(多選)下列關(guān)于向量a,b,c的運(yùn)算，一定成立的是()

A.(a+Z?)c=ac+Z>c

B.(ab)c—a(bc)

C.ab^\a\\b\

D.|a—b|W|a|+步|

答案ACD

解析根據(jù)數(shù)量積的分配律可知A正確；

B中，左邊為c的共線向量，右邊為a的共線向量，故B不一定成立；

根據(jù)數(shù)量積的定義可知a0=|a||b|cos〈a,b)W|0W|,故C正確;

|a一b|2—(⑷+步|)2=-2°仍一21aMiWO,

故|a一肝0|回十師2,

即|a—b|W|a|+|臼，故D正確.

8.已知向量a=(—2,1),b=(3,0),e是與8方向相同的單位向量，則a在力上

的投影向量為.

答案一2e

解析設(shè)a與8所成的角為仇

mi八a-b-62小

川cos。一⑷步「34—_5，

故a在b上的投影向量為(|a|cos0)e=-2e.

9.(2023?贛州摸底)已知向量?=(1,2),b=(4,k).^(2a~b)±(2a+b),則實(shí)數(shù)k

的值為.

答案±2

解析因?yàn)閍=(l,2),b=(4,k'),

所以2a—b=(-2,4—k),2a+1=(6,4+%).

又(2a—3，(2a+3，

所以(2a—b)-(2a-hb)=-2X6+(4—左)(4+左)=4—產(chǎn)=0,

所以k=±2.

10.(2024??？谫|(zhì)檢)已知在四邊形ABCD中，AB//CD,AB=3CD=3,AD=BC=

加，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，則■?防=.

答案一2

解析如圖，分別過點(diǎn)C,。作CGLA3,DFLAB,垂足分別為點(diǎn)G,F.

由題意得四邊形ABCD為等腰梯形，AF=BG=1,

：.DF=\I(72)2-1=1,ZDAF=45°,

AEBb=(Ab+DE)(AD-AB)

=(Ab+3病

=AD2—^AB2—|ABAD

=(V2)2-1X32-|X3X^2COS45°=-2.

IL已知向量a,〃滿足|旬=表，|*|=4,aQ—a)=2.

⑴求向量a與8的夾角；

(2)若依一回=26，求實(shí)數(shù)t的值.

解(1)設(shè)向量a與8的夾角為仇

V|a|=V2,|6|=4,

.\a(b—a)=ab—a2=\a\\b\cos0—a1

=4gcos0—2=2,

?.?cosuA—正2，

,.?owewm?,.e=T7T

(2)'：\ta-b\=2yl2,由(1)知a0=4,

?a2—2/a-Z>+Z>2=2?—8r+16=8,

即產(chǎn)一書+4=0,解得t=2.

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(—1,-2),B(2,3),C(~2,—1).

⑴求以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；

(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足港—/沆)?沆=0,求t的值.

解⑴由題設(shè)知蓊=(3,5),AC=(-1,1),

則屈+危=(2,6),AB-AC=(4,4).

所以|笳+南|=2①，|成一布|=4限.

故所求的兩條對角線的長分別為2/5,472.

(2)法一由題設(shè)知沆=(—2,-1),AB=(3,5),AB-tOC=(3+2t,5+r).

i(AB-/OC)OC=0,

得(3+2/,5+力(一2,-1)=0,

從而5/=-11,

所以/=—y.

法二由題意得屈?沆=/沅2,

OC=(-2,-1),AB=(3,5),

ABOC11

t-=一彳.

|OC|2

【B級(jí)能力提升】

13.在△ABC中，AC=9,ZA=60°,。點(diǎn)滿足詼=2反，AD=p,則3c的長

為()

A.3sB.3乖C.34D.6

答案A

解析因?yàn)樵?2用，

所以超=油+說)=贏+城

=AB+j(AC-AB)

設(shè)AB=x,則與)2=停通+38,

441

得37=§f+§?％?9cos60°+^X92,

即2f+9%—126=0,

因?yàn)閤>0,故解得x=6,即AB=6,

所以I比1=1前一屈I

=\J|A5|2+|AC|2-2|A5-|AC|COS60°

=^J62+92-2X6X9X1=3^7.

14.（多選）（2024?廣州模擬）已知點(diǎn)。在△ABC所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有

（）

A.若醇+/+沆=0,則點(diǎn)0為AABC的重心

B.若亍三一空］=猿:當(dāng)一絲［=0,則點(diǎn)O為AABC的垂心

l|AC|\AB\）113cl\BA\）

C.若（為+麗）?協(xié)=（訪+沆）?病=0,則點(diǎn)0為AABC的外心

D.若為冼=/抗=。乙為，則點(diǎn)。為△ABC的內(nèi)心

答案AC

解析A中，設(shè)。為BC的中點(diǎn)，

由于為=—（油+沆）=—2歷，

所以。為邊上中線的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)。），同理可證。為AB,AC邊上中線

的三等分點(diǎn)，

所以。為△ABC的重心，A正確；

B中，向量g，里分別表示在邊AC和A3上的單位向量，設(shè)為AC和AQ,則

|AC|W

它們的差是向量就'，

e“—ACAB

則當(dāng)0A——--=0,

W|\AB）

即白時(shí)，點(diǎn)。在NB4c的角平分線上,

同理由乃?匡一竺］=0,

UBCI\BA\J

知點(diǎn)。在NABC的角平分線上，

故。為△ABC的內(nèi)心，B錯(cuò)誤；

C中，i（OA+