課時規(guī)范練44空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

（單選題每小題5分,多選題每小題6分,填空題每小題5分）

0基礎(chǔ)鞏固練

1.下列條件一定能確定一個平面的是（）

A.空間三個點B.空間一條直線和一個點

C.兩條相互垂直的直線D.兩條相互平行的直線

2.下列推理錯誤的是（）

A.A￡l,A￡a,B￡l,B￡a=/u&B.A￡a,AE0,B￡a,B￡夕=AB

C./CQ,A￡l=>AiaD.A￡IJuanA￡a

3.如圖，平面油平面左/48￡%?！昶?。卸,直線A8n/=O（點。不同于Af,。,過人員。三點

確定的平面為人則平面7與平面夕的交線必過（）

A.點AB.點B

C.點。，但不過點OD.點。和點D

4.（2024.四川內(nèi)江三模）三個不互相重合的平面將空間分成〃個部分，則n的最小值與最大值

之和為（）

A.llB.12C.13D.14

5.（2024-河南安陽高三開學(xué)考試）一封閉的正方體容器ABCD-AiBiCiDi,P,Q,R分別是AB,BC

和GDi的中點，由于某種原因,P,0,R處各有一個小洞，當(dāng)此容器內(nèi)存水的表面恰好經(jīng)過這三

個小洞時，容器中水的上表面形狀是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

6.如圖，直三棱柱ABC-ALBC中,ACL8C,若A4i=AC=BC=l,則異面直線ACAB所成角的大

小是（）

A冗

A-6B-?

c-

3嗎

7.在棱長為1的正方體ABCD-ALBCLDI中,MN分別為44I,CIDI的中點，過D,MN三點的平

面與直線ALBI交于點P,則線段PBi的長為.

8.（13分）如圖，在正四棱臺ABCD-AiBiCiDi中,E,F,G,H分別為棱ALBI,SQ,A氏BC的中點.

證明：（1）E,F,G,H四點共面;

Q）GE,FH,BBi相交于一點.

臼綜合提升練

9.（2024?陜西西安模擬預(yù)測）在正四棱錐P-ABCD中,E為PC的中點，且BE,PC,則異面直線

BE與AC所成角的余弦值為（)

,V2B■手

AT

C-

10.將下面的平面圖形（每個點都是正三角形的頂點或邊的中點）沿虛線折成一個四面體后，直

線MN與尸。是異面直線的是（）

M/—XN

A.①④B.②③C.①②D.③④

U.如圖，在三棱柱ABCAiBCi中,AB=2,E是棱A3上一點，若平面ACiE把三棱柱ABC-

ALBCI分成體積比為3：1的兩部分，則BE=（）

A.lB.V7-1

C.V5-1D.V6-1

12.（多選題X2024?廣東茂名一模）在棱長為2的正方體ABCD-ALBIGDI中,分別為棱

的中點，則（）

A.直線EP與所成的角為60°

B.過空間中一點有且僅有兩條直線與48,AiDi所成的角都是60°

C.過4,瓦/三點的平面截該正方體，所得截面圖形的周長為3&+2遙

D.過直線EF的平面截正方體,所得截面圖形可以是五邊形

13.如圖，已知圓柱。。2的底面半徑和母線長均為1,瓦4分別為上、下底面圓周上的點，若異

面直線O1SOM所成的角為今則AB=.

14.（2024?山東濟(jì)南三模）在正四棱柱ABCD-AiBiCiDi中,AB=4,A4i=6,MN分別是的

中點,則平面MNG截該四棱柱所得截面的周長為.

15.已知正方體ABCD-AIBCLDI的棱長為1,E為線段上的點，過點E作垂直于BiD的平

面截正方體,其截面圖形為M,下列說法中正確的是.

①”在平面A8CD上投影的面積取值范圍是倬7-

②”的面積最大值為乎；

4

③”的周長為定值.

課時規(guī)范練44空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

1.D解析:空間中不共線的三點可以確定唯一一個平面，故A錯誤;空間中一條直線和直線外一點確

定唯一一個平面，故B錯誤;兩條相互垂直的直線，可能共面垂直，也可能異面垂直，故C錯誤;兩條相互

平行的直線能確定一個平面，故D正確.

2.C解析:因為根據(jù)基本事實2可得仁氏故A選項正確;因為46%46夕,36

a,36人根據(jù)基本事實3可得加6A氏故B選項正確;因為比a,A曰,可得Aga或AGa,故C選項錯

誤;因為AG/,/ua,可得AGa,故D選項正確.

3.D解析:假設(shè)因為AGa,則AG(anp).又anp=/,所以因為AGAB,所以46(435),與

48)=。矛盾，則46夕,即平面//的交線不過點A,故A錯誤;同理,B錯誤；

因為cGACG7,0G1^/3,DGABc.y,

所以即點c,o在平面夕與y的交線上，故c錯誤,D正確.

4.B解析:按照三個平面中平行的個數(shù)來分類：

(1)三個平面兩兩平行，如圖1,可將空間分成4個部分；

(2)兩個平面平行，第三個平面與這兩個平行平面相交，如圖2,可將空間分成6個部分；

圖1

圖2

(3)三個平面兩兩不平行：

①三個平面兩兩相交且交線互相平行，如圖3,可將空間分成7個部分；

②三個平面兩兩相交且三條交線交于一點，如圖4,可將空間分成8個部分;

③三個平面兩兩相交且交線重合，如圖5,可將空間分成6個部分.

圖3

綜上，三個不互相重合的平面可以將空間分成4個、6個、7個、8個部分，故”的最小值與最大值之

和為12.故選B.

5.D解析:如圖，設(shè)過尸,Q,R三點的平面為平面a.

分別取A。15AlA,CG的中點F,E,M,連接RF,FE,EP,PQ,QM,MR,EM,QF,RP.易知尺尸〃尸Q,所以EG平

面a.又RP〃M。,所以平面a.又EF〃RP,所以EG平面a.所以過P,Q,R三點的平面為六邊形

RFEPQW.故容器中水的上表面的形狀是六邊形.

6.C解析:如圖所示，連接BiC.

?.?4向〃4民；.2314。或其補(bǔ)角為異面直線4。,43所成角.

'：AAi=AC=BC=l,

.,.AiC=V2,BiC=V2.

XAC1BC,：.AB=A!BI=V2.

在ABIAIC中,,.?4181=4<=8<=魚,

...△S4C是正三角形，

.,./B14C苦.故選C.

7.^解析:延長。M交￡>i4的延長線于點G,連接GN交B/1于點尸，如圖所示.

4

在棱長為1的正方體ABCD-AiBiCQi中MN分別為4410的中點，

則Ai為GDi的中點，所以A.P為XGD[N的中位線，所以AiP=|DiA?=1?6。道)=*

1Q

所以PBi=4Bi-4尸=1-；=(

8.證明:⑴連接ACAG,如圖所示.

因為ABCP-AiBiCiDi為正四棱臺，所以4G〃AC又E,F,G,H分別為棱AiS,BiG,AB,8c的中點，所以

EF//AiCi,GH//AC,

則EF//GH,所以E,F,G,H四點共面.

⑵因為4C1/4C,所以EF力GH,所以四邊形EFHG為梯形，則直線EG與切必相交.設(shè)EGnPH=P，因

為EGu平面AAiBiB,所以PG平面AAiBiB.因為FHu平面BBCC,所以尸6平面BBCC又平面

AAiSBCl平面所以PGBBi,

則GE,FH,BBi交于一員

9.D解析:連接8。交AC于點。，取尸4的中點凡連接EF,BF,PO.

因為EF〃AC,所以/BEE或其補(bǔ)角為異面直線8E與AC所成角.

在APBC中,E為尸C的中點，且BELPC,所以尸B=8C,所以正四棱錐P-ABCD的所有棱長都相等.

設(shè)四棱錐P-ABCD的棱長均為2,在XBEF中,EF=a,BE=BF=W,

所以C°S/BEF=BE2端；/==當(dāng)故選d

2BE-EF2V3XV26

10.A解析:①對應(yīng)圖1,。是平面PMN外一點,M在平面尸腦V內(nèi)，且M不在直線PN上，因此QM與

PN是異面直線，①正確；

②對應(yīng)圖2Q,N重合,MN與尸0是相交直線，②錯誤；

③X寸應(yīng)圖3,由中位線定理得加〃4民尸?！?3,則MN〃PQ,跳誤;

④對應(yīng)圖4,由圖可得,MN與尸。是異面直線，④正確.故選A.

11.D解析:如圖,

延長4E與SB交于點P,連接CiP交BC于點尸，連接則平面4GE與三棱柱的截面是AiEFCi.

S2

將三棱柱分成兩部分，三棱臺BEFABiCi,多面體ACCFEA.設(shè)8E=x(0<x<2),整=三召絲=?.設(shè)三

ABLb^ABC4

棱柱的高為九則“臺BEF-ASiQ=]h(S△AIBIJ+SABEF+JS^A[B1clSABEF)，

%柱/80/遇1（:1—“SA4I/CI?

設(shè)S—遇?二S,

3

則“臺BEFHBiQ=彳％柱4804遇1。1'

即3（s+苧+:）=為則1+3+”*整理得爐+245=0,

解得x=-l±y/6.

由于元>0,所以x=-1+V^.故選D.

12.ACD解析:對于A,如圖所示，連接ACAGAA

因為E『分別為棱的中點，所以EF〃AC.由正方體性質(zhì)可知(AC〃AiG,所以E尸〃AiG,所以

EP與3cl所成的角即為4G與BQ所成的角，即/AC/或其補(bǔ)角.因為AABCI是等邊三角形，所以

/AiCbB=60°,所以EF與8G所成的角為60°,故A正確；

對于B,因為直線4B1AO1所成角是90°,且兩條直線相交于點Ai,

所以過點Ai與兩直線所成角為60°的直線有4條，故B錯誤；

對于C,易知平面4EPG為過4,&F三點的截面，該截面為梯形，

顯然4c1=2近,AIE=GF=A/12+22=花,所=或，所以截面圖形的周長為

A,Ci+AiE+￡F+CiF=2V2+V5+V2+逐=3魚+2代,故C正確；

對于D,如圖所示,分別取A4i,CG的靠近A,C的三等分點GH連接GDmGE,HDi,HF,易知GE//

HDi,HF〃GD[,

故點A,G,E,RH共面,該截面圖形為五邊形，故D正確.故選ACD.

13.2或/解析:如圖，過點A作AD垂直上底面于點。，則AD是圓柱的母線.

連接。8,：01。2垂直于底面，

：.AD//OIO2,AD=OIO2,

則四邊形4￡>0。2是平行四邊形，

OiD//O2A,：.02A與。出所成的角就是/。。加或其補(bǔ)角.

當(dāng)告時,△0018是等邊三角形，則BD=1.在RtAABD中,AB=jBD2+加=魚,當(dāng)/。。/號

時，在AOiDB中,BO=2Xy=V3.

在Rt/^ABD中48=如。2+402=2.

綜上,AB=2或VI

14.14V2解析:延長NAf,C8相交于點H,連接交8場于點G,連接MG.

因為正四棱柱ABCD-AiBiCiDi中A8=4,MN分別是AB^D的中點,

所以MN=>JAM2+AN2=2/,由題易知4HBM2^NAM,BH=AN=2.

因為XHBGsAHCCI,第=穿="

11cliLnD

故BG=2,GH=yJBG2+BH2=2V2.

-1

在DDi上取點Q,使得。0=?犯,連接NQ,CQ,

則NQ=,JDN2+DQ2=2^2=GH.

由題可知,GQ=A/42+42=4值NH,

所以四邊形GQNH為平行四邊形，

故G,H,N,Q四點共面,則平面MNG截該四棱柱所得的截面為五邊形

NMGCQMGZMB2+BG2=2正<