專題01相交線與平行線

（考題猜想，n種易錯重難點與解題模型73題專項訓練）

墨型人集合

根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系（易錯）

根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)（重點）

平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用（新趨勢）

根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度（難點）

根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明（?？迹?/p>

利用平移解決實際問題（常考）

驗理大通關(guān)

__________________

題型一：根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系

1.（23-24七年級下?北京?期中）如圖，由線段A5,AM,CM,8組成的圖形像3稱為"X形BAMCZT.

圖1圖2

（1）如圖1,X形朋MCD中，若AB〃CD,ZAMC=60°,則/A+NC=

（2）如圖2,連接￡形B4MCD中8,。兩點，若/ABD+/3DC=16O。，ZAMC=a,試猜想N54M與

NMCD的數(shù)量關(guān)系.

【答案】60ZBAM+ZMCD^20°+a

【分析】本題考查利用平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系：

（1）作則MT〃AB〃CD,根據(jù)兩直線平行、內(nèi)錯角相等，可得NA=NAMT,

NC=NCMT,由此可解;

（2）作AK〃CD交8。于點K,根據(jù)兩直線平行、同位角相等，可得ZBKA=NBDC,進而可得

ZBAK=20°,同（1）可證NK4M+NMCD=NAMC=6Z,再利用角的和差關(guān)系即可得出答案.

【詳解】解：（1）如圖，作〃4

MT//AB//CD,

ZA=ZAMT,NC=NCMT,

ZA+ZC=ZAMT+ZCMT=ZAMC=60°,

故答案為：60；

ZABD+ZBDC=160°,

ZBKA+ZBDC=160°,

ZBAK=180°-ZBKA-ZBDC=20°,

同（1）可得/KAM+NMCD=NAMC=6Z,

ZBAK+ZKAM+ZMCD=20°+?,

即ZBAM+ZMCD=20°+a,

故答案為：ZBAM+ZMCD^20°+a.

2.（23-24七年級下,甘肅蘭州,期中）探究題:

⑴如圖1,若AB〃CD,則4+ND=NE,你能說明理由嗎？

(2)若將點E移至圖2的位置，此時/3、ND、-E之間有什么關(guān)系？并證明

【答案】⑴理由見解析

(2)ZB+ZD+ZE=360°,證明見解析

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)過點E作由平行線的性質(zhì)可得NB=NBE尸和=再利用角的和差即可解答；

(2)過點E作印〃4?,由平行線的性質(zhì)可得N3+N3EF=180。和砂=180。，再利用角的和差即

可解答.

【詳解】(1)解：能，理由如下：

如圖，過點E作印〃AB,

:.ZB=ZBEF,

EF//AB,AB//CD,

.-.EF//CD,

:.ZD=ZDEF,

:.ZBED=ZBEF+ZDEF=ZB+ZD.

(2)解：ZB+ZD+ZE=360°,證明如下:

如圖，過點E作印〃

AB

CD

圖2

:.ZB+ZBEF=180°,

EF//AB,AB//CD,

.-.EF//CD,

:.ZD+ZDEF=180°,

:.ZB+ZBEF+ZD+ZDEF=180°+l80°=360°,

又*ZBEF+ZDEF=NBED,

.'.ZB+ZD+NBDE=360°.

3.(23-24七年級下?遼寧鐵嶺?期中)已知直線直線4與直線4、4分別相交于C、。兩點.

圖a圖6

(1)如圖。，有一動點尸在線段C。之間運動(不與C、D兩點重合)，問在點P的運動過程中，

/I、N2、/3又怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說明理由.

(2)如圖6,當動點尸線段之外運動(不與C、D兩點重合)，問上述結(jié)論是否成立？若不成立，試寫出

新的結(jié)論并說明理由.

【答案】⑴/2=N1+N3,理由見解析

(2)不成立，Z2=Z1-Z3,理由見解析

【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)過點P作尸E|人則4〃PE〃/2，則4=Z3=ZBPE,再根據(jù)角度和差計算求解即可；

(2)同(1)即可求解.

【詳解】(1)解：/2=/1+/3,理由如下，

:.Zl=ZAPE,N3=ZBPE,

ZAPB=ZAPE+ZBPE,

.-.Z2=Z1+Z3.

(2)解：上述結(jié)論不成立.新結(jié)論：Z2=Z1-Z3,理由如下:

過點尸作PE".

lt//l2,

0g/PE11Vl

:.ZAPE=Z1,Z3=ZBPE

ZAPE=Z2+ZBPE,

.-.Z1=Z2+Z3,即/2=N1—/3.

4.(23-24七年級下?云南曲靖,期中)如圖，已知射線4〃〃師，連接A8,點尸是射線AM上的一個動點

(與點A不重合)，2c平分NAB尸交A"于點C、BD平分NPBN交AM于點D.

⑴若NA=60。，求NCBD的度數(shù)；

(2)數(shù)學興趣小組探索后發(fā)現(xiàn)無論點P在射線40上的什么位置，—AP3與加汨之間的數(shù)量關(guān)系都保持

不變，請你寫出它們的關(guān)系，并說明理由.

【答案】⑴60。

(2)ZAPB=2ZADB,理由見解析

【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)，角平分線的定義；

(1)先證明NABN=120。，證明NPL啰=NCBP=g/ABP,再利用角的和差運算可得結(jié)論；

(2)先證明NAP3=NP3N,ZADB=ZNBD,NPBN=2ZNBD,再進一步可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：BAM//BN,ZA=60°,

SZABN=120°,

EIBC平分NTLBP交AM于點C、BD平濟/PBN交AM于點、D,

0NPDB=-PBN,NCBP=-ZABP,

22

0NCBD=NPBD+ZCBP=1(ZPBN+NABP)=|ZABN=60°；

(2)解：ZAPB=2ZADB,理由如下：

SAM//BN,

@ZAPB=NPBN,ZADB=ZNBD,

?BD平分NPBN,

0/PBN=2NNBD,

^ZAPB=2ZADB.

5.(23-24七年級下?遼寧?期中)已知，直線AB〃CD,點E為直線A8上一定點，直線EK交CD于點足

FG平分ZDFK,ZAEF=a

■gB

CD

⑴如圖1,當夕=70。時，/GFK=：

(2)點P為射線ER上一點，點M為直線AB上的一動點，連接PM,過點尸作PNJ_PM交直線CD于點

N.

①如圖2,點尸在線段斯上，若點M在點E左側(cè)，求N3MP與NPNC的數(shù)量關(guān)系；

②點尸在線段環(huán)的延長線上，當點M在直線A3上運動時，/MPN的一邊恰好與射線尸G平行，直接寫

出此時NPA/的度數(shù)(用含a的式子表示).

【答案］⑴55

(2)①NPNC-NBMP=90。,②(或言

【分析】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)、角平分線.熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)、角平分線，并分

類討論是解題的關(guān)鍵.

(1)結(jié)合題目條件，求出N￡>bK=110。，繼而得解；

(2)①過點P作AB〃PQ,則AB〃CO〃PQ,由平行線的性質(zhì)及角的關(guān)系得到/PNC-/3Mp=90。；

②分PN〃bG和尸河〃BG兩種情況，畫圖求解即可；

【詳解】(1)^AB//CD

SZKFC=ZFEA=a,

團a=70。，

^\ZKFC=70°,

團ZDFK=180°-70°=110°,

回FG平分/DFK,

^ZGFK=-ZDFK=55°,

2

故答案為：55；

(2)①過點尸作AB〃P。，如圖,

則AB〃CD〃P。

^ZAMP+ZMPQ=180°,ZQPM=ZBMP,

團ZW_LPM,

團NMPN=90。，

即NMPQ+NQPN=90。,

團ZQPN=90°-ZQPM=90°-/BMP,

團ZPNC+ZNPQ=180°,

團/PNC+(90°-/BMP)=180°,

國/PNC—/BMP=90。，

^\ZCFK=ZAEF=a,

國NDFK=180?！?。，

團尸G平分/。依

團ZDFG=-NDFK=90°--

22

祖PN〃FG,

團ZPNF=ZGFD=90°--,

2

ONCFK=ZAEF=a,

^ZNFP=ZDFK=1800-af

團尸G平分/。依

1cc

團ZKFG=-NDFK=90。——

22

^PM//FG

團ZKPM=ZKFG=90°--,

2

^\PN±PMf

團ZNPF=90°-ZKPM=-

2

ZPNF=1800-ZNPF-ZNFP

=180°-^-（180°-cr）

_a

-2,

故aPN尸的度數(shù)為90。-］或（

題型二：根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)

6.（22-23七年級下?甘肅白銀?期中）如圖1是一個由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動變速箱托架，其

主要作用是動力傳輸.如圖2是手動變速箱托架工作時某一時刻的示意圖，已知AB〃CD,CG//EF,

ZBAG=150°,ZAGC=80°,則NDEF的度數(shù)為（）

【答案】C

【分析】過點尸作引0〃cr>,則再根據(jù)平行線的性質(zhì)可以求出/ME4、DEFA,進而可

求出NEW,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得/DEF.

【詳解】解：如圖，過點P作RW〃CD,

ABCD,

AB

..AB//CD//FM,

/.ZD￡F+ZE?=180°,ZMFA+ABAG=180°,

...ZMFA=180°-ZBAG=180°-150°=30°.

CG//EF,

.\ZEFA=ZAGC=S0°.

/.ZEFM=ZEFA-ZMFA=80°-30°=50°.

/.ZDEF=180°-ZEFM=180°-50°=130°.

故選：C.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)進行角的轉(zhuǎn)化和計算是解題關(guān)鍵.

7.（23-24七年級下?江蘇宿遷?期中）在同一平面內(nèi)，ZA與25的兩邊一邊平行，另一邊垂直，且2A比

的3倍少10。，則23的度數(shù)為（）

A.25°B.50°C.25?；?0。D.不能確定

【答案】C

【分析】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)和垂直的定義是解決問題的

關(guān)鍵，分類討論是解決問題的難點，也是易錯點.依題意得NA=3NB-10。，再根據(jù)在同一平面內(nèi)，NA

與的兩邊一邊平行，另一邊垂直，因此有以下兩種情況：①當-A為銳角時，②當A為鈍角時，依

題意畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)及垂直的定義即可得出的度數(shù).

【詳解】解：NA比13的3倍少10。，

:.ZA=3ZB-W°,

在同一平面內(nèi)，/A與—3的兩邊一邊平行，另一邊垂直,

有以下兩種情況：

①當為銳角時，如圖1所示：AE〃BF,AC.LBD,

Zl+ZB=90°,

.-.3ZB-10°+ZB=90°,

解得：ZB=25°,

②當A為鈍角時，如圖2所示：AE//BF,AC.LBD,

.-.Zl+ZA=180o,

圖2

Zl=180°-ZA=180°-(3ZB-10°)=190°-3ZB,

Zl+ZB=90°,

.■.1900-3ZB+ZB=90°,

解得：ZB=50。.

綜上所述：N3的度數(shù)為25?；?0。.

故選：C

8.（23-24七年級下?廣東江門?期中）如圖，AB//CD,尸為AB上一點，F(xiàn)D//EH,過點尸作bG_LE"

于點G,且FE平分ZAFG,ZAFG=2ND.有下列結(jié)論：①NO=30。；②2"+/EHC=90。；③FD

平分/HFB；④FH平分/GFD.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識點是解題

的關(guān)鍵.根據(jù)平行線的性質(zhì)和垂直的定義得到ZBED=ND,ZEHC=ZD,ZGFD=ZFGE=90°,設(shè)

ZD=a,表示出NAfU和/BED,利用平角的定義列出方程解出a,可判斷①；由Z￡HC=N?？膳袛?/p>

②；根據(jù)角平分線的定義，結(jié)合題意可判斷③和④，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：AB//CD,

:.ZBFD=ZD,

FGLEH,

:.ZFGE=90°,

FD//EH,

:.ZEHC=ZD,ZGFD=ZFGE=90°,

設(shè)ND=a,則ZAFG=2NO=2a,NBFD=a,

ZAFG+ZGFD+ZBFD=180°,

.?.2?+90°+cz=180o,

解得：a=30°,即ND=30。，故①正確；

NEHC=ZD=30°,

.?.2/0+NE"C=2x30°+30o=90。，故②正確；

/BED=30。，

???若需證明ED平分NHFB,則需證NHFD=30。，而由題目條件無法證明4ffZ>=30。，故③不正確;

ZGFD=90°,

若需證明FH平分/GED,則需證NHFD=45。，而由題目條件無法證明N/7FD=45。，故④不正確;

綜上所述，正確結(jié)論有①②，正確結(jié)論的個數(shù)是2.

故選：B.

9.（24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?期中）某興趣小組利用幾何圖形畫出螳螂的簡筆畫，如圖，已知

ABAC=125°,AB//DE,ZD=85°,則ZACD=

【答案】30

【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；由平行線

的性質(zhì)可得/CED=/C4N,由外角的性質(zhì)可得/ACD=NCDE-NCED,即可求得答案.

【詳解】解：如圖所示，延長即交AC于點R取直線A8上一點M點N位于點A右側(cè)，

ZBAC+ZCAN=180°,

Z.CAN=180O-ZBAC=55°,

ABDE,

:.ZCFD=ZCAN=55°,

ZACD=ZCDE-ZCFD=85°-55°=30°,

故答案為：30.

10.（24-25七年級上?湖南衡陽?期中）如圖，一張長方形紙條ABCD沿EF折疊.已知：/AED'=63。24',

則.

【答案】58°18,

【分析】本題考查的知識點是折疊的性質(zhì)、角度的運算、平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性

質(zhì).

先根據(jù)折疊性質(zhì)得出=再計算出/。跖的角度，再由平行線的性質(zhì)即可得解.

【詳解】解：根據(jù)折疊性質(zhì)可得：ZDEF=NDEF,

ZAED'=63°24r,

ZDEF=ZD'EF=58°18,，

?長方形ABC。中，ADBC,

ZEFB=ZDEF=58°181.

故答案為：58°181.

11.（23-24七年級下?江蘇徐州,期中）如圖，點、B、C在直線AD上，ZABE=40°,BF平分NDBE,

CG//BF,求/OCG的度數(shù).

【分析】本題考查的是角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，先求解/。班=180。-40。=140。，

NDBF=|ZDBE=70°,再利用平行線的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：0ZABE=4O°,

0ZDBE=180。一40°=140°,

SBF^ZDBE,

團ZDBF=-ZDBE=70°,

2

^CG//BF,

0ZDCG=NDBF=70°.

12.（23-24七年級下?貴州遵義,期中）今年春節(jié)期間，為了營造節(jié)日氛圍，各地紛紛上演各種“燈光

秀"."燈光秀”為了強化燈光效果，某地在河的兩岸安置了可旋轉(zhuǎn)探照燈.如圖1,燈A射線AE自A"開

始順時針旋轉(zhuǎn)至4V便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線BF自3尸開始順時針旋轉(zhuǎn)至8。便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照

射.若燈A轉(zhuǎn)動的速度是3。/秒，燈8轉(zhuǎn)動的速度是1。/秒，兩燈同時轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動時間為/秒，假定這一帶

兩岸河堤是平行的，即PQ〃用N,且44N=45。.

圖I圖2

{1}ZEAN=。(用含方的式子表示)；

⑵當f=55時，求NBC4的度數(shù)；

(3)如圖2,在燈A射線已轉(zhuǎn)過AB但未到達AN時.若兩燈射出的光束交于點C,過C作CD_LAC交PQ于

點。，在轉(zhuǎn)動過程中，/BCA/BAC的比值是否為定值，若是，求出這個定值，若不是，請說明理由.

【答案】⑴180-3/

(2)70°

2

⑶是定值；—

【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)和余補角和，

(1)根據(jù)題意得=則NE4N=18()o—3。/,

(2)過點C作CG〃MV,則尸0〃CG〃肱V,當/=55時，NC42V=180—3/=15。，貝1|

Z.CAN=Z.GCA=15。，利用角度和差有ZBC4=Z.GCA+NBCG即可；

(3)設(shè)A燈轉(zhuǎn)動時間為/秒，則/。W=180-3r,ZBAC=ZBAN-ZCAN,根據(jù)平行線的性質(zhì)得

/BCA=NCBD+NCAN,結(jié)合垂直得/BCD=NACD-/fiC4,則有2NBAC=3NBCD即可.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意得=則/應(yīng)IN=180。一3%,

故答案為：180-3?；

(2)解：過點C作CG〃肱V,如圖，

則PQ//CG//MN,

當,=55時，NCW=180—3f=180°—3°x55=15°

SZCAN=ZGCA=15°,

EI/3CG=NCBP=55°,

aZBCA=ZGCA+/BCG=70°；

(3)解：設(shè)A燈轉(zhuǎn)動時間為f秒，則NC4N=180-3t,

SZBAN=45°,

0ABAC=/BAN-/CAN=45—(180—3。=3二一135,

團PQ〃MN,

^ZBCA=ZCBD+ZCAN=t+18Q-3t=180-2t,

團CD_LAC,

國NACD=90。

團/BCD=ZACD-ZBCA=90—(180—2。=2/—90,

⑦2ZBAC=3NBCD,

⑦NBCD：NBAC=4,

3

即/BCD:ABAC的比值是一個定值,這個定值為j2.

13.(24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?期中)【問題驅(qū)動】已知：AB//CD,直線分別交直線AB、CD于

E、F,EQYMN,垂足為E,EP平分ZMEB.

(1)如圖1,若NCWW=48。，求NPEQ的度數(shù)；

(2)如圖1,若NCFM=a,則NPEQ的度數(shù)為(用含有a的式子表示，不必說明理由)；

【拓廣探究】

(3)將圖1中的直線"N繞點r旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，其他條件不變，試探究/理。和度數(shù)之間的

關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由；

(4)將圖1中的直線禰V繞點R旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，其他條件不變，若NCW=a,則/理。的度數(shù)為

(用含有a的式子表示，不必說明理由)；

(5)在(4)間的條件下，過點尸作EK交射線EQ于點K,過K作儂〃CD交直線于H.請在

圖1圖2圖3

111

【答案】(1)24°；(2)-a；(3)ZPEQ=-ZCFM,理由見解析；(4)180°--a；(5)=

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)、垂直的定義，靈活運用有關(guān)性質(zhì)以及角的和差

關(guān)系求角成為解題的關(guān)鍵.

(1)由己知可求出4ffiB=180?！狽AE/0=18O。—48。=132。，再由NMEQ=90。、EP平分ZMEB,求出

NPEQ的度數(shù)即可；

(2)由(1)得/MEP=g/MEB,從而用含。的代數(shù)式表示出NPEQ的度數(shù)即可；

2

(3)由NAEM+NMEB=NAEB=180?？傻?〃仍=180。一//4￡似=180。一/6?,再根據(jù)角平分線的定

義以及角的和差關(guān)系解答即可；

(4)根據(jù)角的和差關(guān)系以及角平分線的定義解答即可.

(5)根據(jù)平行線的性質(zhì)以及(4)的結(jié)論得出NEKE=NHKE=30。，即可求解.

【詳解】⑴團AB〃CD,

^ZAEM=ZCFM=48°f

團ZMEB=180。一ZAEM=180。一48°=132。，

團EP平分

團ZMEP=-ZMEB=66°

2

又團EQ_LMV,即NMEQ=90。，

團ZPEQ=90°-ZMEP=90°-66°=24°；

(2)團AB〃CD,

^\ZAEM=ZCFM=a,

團NMEB=180。一NA￡M=180。一a,

團平分NMEB,

團ZMEP=-ZMEB=90°--a,

22

又團石。_LM7V,即NMEQ=90。，

團/PEQ=90°—NME尸=90。一(90。一：二)=：0；

(3)NPEQ=g/CFM,理由如下，

^AB//CD,

^ZAEM=ACFM

團+NMEB=NA￡B=180。，

團ZMEB=180。—ZAEM=180?！猌CFM,

團EP平分NMES

BZMEP=|ZMEB=1(1800-ZCFM)=90°-1ZCFM,

又團EQ_L肱V,即NMEQ=90。,

團ZPEQ=ZMEQ-ZMEP=90。一；(90。一NCFM)=|zCFM,

g/PEQ=；NCFM；

(4)^\AB//CD,

團NAEM=/CFM

回EP平分ZMEB

oo

^ZMEP=^ZMEB=^(180-ZAEM)=^(180°-ZCFM)=90-^ZCFM=90°-^af

又團fQ_LW,即NM￡Q=90。，

團/「石0=90。+/加砂=90。+190。一；。［=180。一；。；

M

圖3

^ZCFM=a=60°

^ZEFD=ZCFM=60°

回AB〃CD,

^ZAEM=ZCFM=60°

又回￡Q_LM?V,即NMEQ=90。，

ZAEK=90°-60°=30°f

⑦KH〃CD,AB//CD,

6NHKE=ZAEK=30。

由(4)可得NM石尸=90。一工1=90。一工x60o=60。，

22

QFK〃EP,

團/KFE=/MEP=60。

0Z.CFK=180°-ZKFE-/EFD=180°-60°-60°=60°,

^KH//CD,

田NHKF=NCFK=60。,

團NFKE=NHKF-NHKE=60。-30。=30。

?ZFKE=ZHKE,

故答案為：="

題型三：平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用

14.（23-24七年級下?廣東清遠?期中）如圖，為了加固房屋，要在屋架上加一根橫梁使

DE//BC.若ZABC=30。，則/'4汨應(yīng)為（）度.

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】A

【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)，直接根據(jù)平行線的性質(zhì)進行解答即可.

【詳解】解：0DE//BC,NABC=30。，

0ZAD￡=ZABC=30°；

故選A.

15.（23-24七年級下?河南鄭州?期中）一輛汽車在路上行駛，兩次轉(zhuǎn)彎后，行駛方向與原方向相同，那么

轉(zhuǎn)彎的角度有可能是（）

A.先向左轉(zhuǎn)70。，再向右轉(zhuǎn)70。B.先向左轉(zhuǎn)70。，再向左轉(zhuǎn)70。

C.先向左轉(zhuǎn)70。，再向右轉(zhuǎn)110。D.先向左轉(zhuǎn)70。，再向左轉(zhuǎn)110。

【答案】A

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì).根據(jù)題目的已知條件畫出圖形進行分析，逐一判斷即可解答

【詳解】解：如圖:

兩次轉(zhuǎn)彎后，行駛方向與原方向相同，故本選項符合題意;

行駛方向與原方向不相同,故本選項不符合題意;

行駛方向與原方向不相同,故本選項不符合題意;

行駛方向與原方向不相同,故本選項不符合題意;

16.（23-24七年級下?遼寧大連,期中）如圖，燒杯內(nèi)液體表面A8與燒杯下底部CD平行，光線跖從液體

中射向空氣時發(fā)生折射，光線變成FH,點G在射線EF上，已知/HFB=20。，ZFED=60°,ZGFH

的度數(shù)為（）

A.20°B.30°C.40°D.60°

【答案】C

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，先利用平行線的性質(zhì)可得/FED=NGFB=60。，然后利用角的和差關(guān)

系進行計算，即可解答.

【詳解】EIAB〃CD,ZFED=6O°,

a/FED=NGFB=60°,

0ZHFB=2O°,

ZGFH=ZGFB-ZHFB=40°,

故選：C.

17.（23-24七年級下?福建廈門?期中）在兩千多年前，我們的先祖就運用杠桿原理發(fā)明了木桿秤，學名叫

作載子.如圖，這是一桿古秤在稱物時的狀態(tài)，已知4=102。，則/2的度數(shù)為.

【答案】78。/78度

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，依題意，ABDC,

^\Z.2=ZBCD,

0ZBCD+Z1=18O°,/I=102°,

0Z.BCD=180°-Zl=78°

13/2=78°.

18.（23-24七年級下?山東濰坊?期中）某小區(qū)地下停車場的限高欄桿如圖所示，當欄桿抬起到最大高度時

ZABC=120°,若此時CD平行地面AE,則/3CD=_____度.

【答案】150

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練應(yīng)用平行線的性質(zhì)進行求解是解決本題的關(guān)鍵.過點8作

BF//CD,可得尸=90。，進而得至U/尸3。=120。-90。=30。，由/BCD+NFBC=180。即可得出答

案.

【詳解】解：過點B作5方〃CD,如圖,

CD

AE

國CO平行地面AE,

^BF//AE,

團AB_LAE,

國/ABF=90。

[SZABC=120o,

ZFBC=120°-90°=30°,

BF//CD,

團NBCD+NFBC=180。，

0ZBCD=18O°-3OO=15O°,

故答案為：150.

19.（23-24七年級下?山西晉中?期中）如圖1的晾衣架中存在多組平行關(guān)系，將晾衣架的側(cè)面抽象成如圖2

的數(shù)學平面圖形，已知A3〃腦V〃尸。，若N2=100。，ZDBE=130°,求N1的度數(shù).

【答案】4=50。

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，延長A5到點G根據(jù)求出NCB0=8O。，得到

NCBE=5。。,再根據(jù)A5〃PQ得到？1?CBE50?.

【詳解】解：如圖：延長A5到點C,

GHE

SAB//MN,

EIZ2+ZCBD=180o,

13/2=100。,

0Z.CBD=180。-100。=80°,

回NOBE=130°,

0ZCBE=130°-80°=50°,

^AB//PQ,

El?l?CBE50?.

20.（23-24七年級下?廣西南寧?期中）閱讀材料，解決問題：

【閱讀材料】如圖1,物理學光的反射現(xiàn)象中，把經(jīng)過入射點。并垂直于反射面的直線ON叫做法線，入射

光線與法線的夾角i叫做入射角，反射光線與法線的夾角叫做反射角，且，=廠，這就是光的反射定律.

圖1圖2

（1）在圖1中，證明N1=N2；

【解決問題】根據(jù)光的反射定律，人們制造了潛望鏡，如圖2是潛望鏡的工作原理示意圖，AB,8是平

行放置的兩面平面鏡，所是射入潛望鏡的光線，G"是經(jīng)平面鏡兩次反射后離開潛望鏡的光線，由（1）

可知，光線經(jīng)過平面鏡反射時，有N1=N2,Z4=Z5.

（2）請問N3和26有什么關(guān)系？并說明理由；

（3）小明嘗試制作一如示意圖的簡易潛望鏡，但發(fā)現(xiàn)光線無法順利通過，請思考應(yīng)如何調(diào)整平面鏡A3,

CD的位置，并給出建議（合理即可）.

【答案】（1）見解析；（2）Z3=Z6,理由見解析；（3）調(diào)整平面鏡AB,CD使得兩面鏡子達到平行（合

理即可）

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)等角的余角相等解答即可；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；

（3）根據(jù)潛望鏡的原理，平行線的性質(zhì)進行分析即可.

【詳解】（1）證明：&=Nr,

.-.Zl+Zz=90o,Zr+Z2=90°,

.-.Z1=Z2；

（2）Z3=Z6,理由如下：

Z1=Z2,Z4=Z5,AB//CD,

.-.Z1=Z2=Z4=Z5,

180°-（Zl+Z2）=180°-（Z4+Z5）,

Z3>=/6；

（3）因為潛望鏡它是根據(jù)光的折射，而潛望鏡是要改變光的傳播方向的，光線無法順利通過，說明用沒

有與光線斯平行，需要調(diào)整平面鏡48,C。的位置，使得兩面鏡子AB,CO達到平行（合理即可）.

21.（23-24七年級下?全國?期中）如圖①是一盞可以伸縮的臺燈，它的優(yōu)點是可以變化伸縮，找到合適的

照明角度.圖②是這盞臺燈的示意圖.已知臺燈水平放置，當燈頭與支架C。平行時可達到最佳照明

角度，此時支架與水平線BE的夾角/CBE=130。，兩支架和CD的夾角ZBCD=110。.

圖①圖②

⑴求此時支架C。與底座的夾角Z.CDM的度數(shù)；

（2）求此時燈頭AB與水平線BE的夾角/ABE的度數(shù).

【答案】⑴60。

（2）60°

【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

（1）過點。作CF/ABE,根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可;

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可.

【詳解】（1）解：如圖，過點。作C班，

/.ZBCF+ZCBE=180°,

ZCBE=130°,

:.ZBCF=50°f

N3c0=110。,

ZDCF=ZBCD-ZBCF=60°,

BE〃MN,

CFMN,

:.ZCDM=ZDCF=60°；

（2）ABCD,

.\ZABC+ZBCD=180°,

ZBCD=110°,

/.ZABC=70°,

ZCBE=130°,

/.ZABE=Z.CBE-ZABC=60°.

22.（23-24七年級下?山西晉城?期中）汛期即將來臨，防汛指揮部在某水域一危險地帶的兩岸各安置了一

探照燈，便于夜間察看河水及兩岸河堤的情況，如圖1,探照燈A射出的光束自AM順時針旋轉(zhuǎn)至4V便立

即回轉(zhuǎn)，探照燈5射出的光束自5尸順時針旋轉(zhuǎn)至3。便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若探照燈A射

出的光束的轉(zhuǎn)動速度是Q。/秒，探照燈5射出的光束的轉(zhuǎn)動速度是〃/秒，且。，人滿足

b-34+（〃+。-4）2=0,假定這一帶水域兩岸河堤是平行的，即尸?！∕V,且NB4N=45。.

圖1圖2

⑴求a,6的值.

⑵如圖2,兩探照燈同時轉(zhuǎn)動，在探照燈A射出的光束到達AN之前，兩探照燈射出的光束交于點C,若

ZBCA=10°,求NA4c的度數(shù).

⑶若探照燈8射出的光束先轉(zhuǎn)動40秒，探照燈A射出的光束才開始轉(zhuǎn)動，在探照燈8射出的光束第一次

到達8。之前，當兩探照燈的光束互相平行時，請直接寫出探照燈A轉(zhuǎn)動的時間.

【答案】⑴。=3,6=1；

⑵N54C=30。；

⑶當f=20(s)或f=80(s)兩探照燈的光束互相平行.

【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，分類思想，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)非負性，得到。-3b=0,a+b-4=0,解方程組即可；

(2)設(shè)A燈轉(zhuǎn)動時間為/秒，則NH4c=3尸，ZPBC=t°,分別表示出VABC的三個內(nèi)角，利用平行線

的判定和性質(zhì)，計算即可.

(3)設(shè)燈A轉(zhuǎn)動了f秒時，兩束光線平行，分類計算即可.

【詳解】(1)解：叫a-36|+(a+6-4)2=0.

^a-3b=0,a+Z?—4=0.

團a=3,b=l；

(2)解:作CG〃尸

^PQ//CG//MN,

設(shè)A燈轉(zhuǎn)動時間為/秒,

則NM4c=3/。，ZPBC=t°,

S\PQ//CG//MN,

團ZGCA=180°-ZMAC=180°-3產(chǎn)，Z.GCB=NPBC=t°,

EIZBC4=70o,

Hil800-3r+r=700,

解得f=55,

0ZSAC=ZM4C-ZM4B=3r°-（18Oo-45o）=3O°；

（3）解:設(shè)A燈轉(zhuǎn)動r秒，兩燈的光束互相平行.

①當0<f<60時，

由題意得40+f=3t,

解得r=20；

②當60</<120時，

3r-180+（40+r）xl=180

解得/=80；

③當120</<140時，

3t—360=才+40,

解得r=200>140（不合題意）

綜上所述，當t=20（s）或t=80（s）兩探照燈的光束互相平行.

題型四：根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度

23.（23-24七年級下?甘肅蘭州,期中）如圖，直線砂分別與直線AB,CD相交于G、H,己知

Zl=Z2=50°,GM平分N"G3交直線C￡）于點Af.則N3等于（）

A.65°B.70°C.75°D.130°

【答案】A

【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.先求出/BGH=130。，再根據(jù)角平分線的定義求出=65。，然后根據(jù)平行線的判定得出

AB//CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：回4=50。，

0ZBGH=180°-50°=130°,

EIGM平分4G3,

0NBGM=-ZHGB=65°,

2

0Z1=Z2=5O°,

^AB//CD,

0N3=/3GM=65。.

故選：A.

24.(23-24七年級下?貴州遵義?期中)如圖，CDLAB,垂足為。，F(xiàn)EYAB,垂足為E,

ZACD+ZF=180°.

⑴求證：AC//FG；

⑵若NF=3NG,ZBCD:ZACD=2:3,求/BCD的度數(shù).

【答案】⑴見解析

(2)20°

【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是區(qū)分平行線的判定與性質(zhì)，平行線的判定是

由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系.平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系.

(1)根據(jù)CDLAB,FE±AB,可得EF〃DC,得ZAHE=ZACD,進而得ZEHC=NF,可得結(jié)論；

(2)根據(jù)NBCD:NACD=2:3,可以設(shè)288=2%〃。。=3萬，根據(jù)AC〃/G,可得

NG=ZACB=/BCD+ZACD=5x,由/F=3NG得到Nb=15尤，根據(jù)NACD+N產(chǎn)=180。，求出x的值，

進而可得/BCD的度數(shù).

【詳解】(1)證明：ECD1AB,FE±AB,

^ZAEH=ZADC=90°,

^\EF//DC,

?ZAHE=ZACD,

團NACD+NF=180°.

團ZAHE+N尸=180。，

0ZAHE+ZE//C=18O°,

⑦/EHC=/F,

團AC〃/G；

(2)解：ZBCD:ZACD=2:3f

設(shè)/BCD=2%,ZACD=3x,

AC//FG,

/G=ZACB=ZBCD+ZACD=5x,

/F=3/G,

ZF=15xf

ZACD+ZF=180°,

.-.3x+15x=180°,即x=10。

??.ZBCD=2x=20°.

25.（23-24七年級下?甘肅蘭州?期中）如圖，已知點E、b在直線A5上，點G在線段CD上，與FG相

交于點H,ZC=ZEFG,ZBFG=ZAEM,NO=30。，求：—4￡9的度數(shù).（完成下列填空）

證明：BZBFG=ZAEM（已知）

且ZAEM=NBEC（）

⑦ZBEC=NBFG（等量代換）

團MC〃（同位角相等，兩直線平行）

團NC=ZFGD（兩直線平行，同位角相等）

團NC=NEFG（已知）

0Z=?EFG,（等量代換）

SAB//CD（）

國+/D=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）

EIZD=30o（已知）

EIZAED=___________

【答案】見解析

【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是注意平行線的性質(zhì)和判定定理的綜合運

用.根據(jù)同位角相等兩直線平行，可證進而利用平行線的性質(zhì)和判定證明.

【詳解】證明：SZBFG=ZAEM（已知），

且ZAEM=/BEC（對頂角相等）,

國ZBEC=NBFG（等量代換），

^MC//GF（同位角相等，兩直線平行），

SZC^ZFGD（兩直線平行，同位角相等），

0NC=NEFG（已知），

SZFGD=ZEFG,（等量代換），

^AB//CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）,

0ZAEr＞+ZD=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），

0ZD=3O°（已知），

0ZA￡D=15O!.

26.（23-24七年級下?貴州黔東南?期中）【問題情境】將一副三角板按如圖所示的方式疊放在一起，當

0。＜/4（芯＜90。且點E在直線AC的上方時，解決下列問題（提示：ZA=60°,ZD=30°,

NB=NE=45°）：

(1)①若/OCE=/D,則/ACS的度數(shù)為度;

②若ZACB=130。，則/DCE的度數(shù)為度；

(2)請猜想NACB與"CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑶隨著/ACE的度數(shù)的變化，三角板3CE的一邊是否能與三角板A8的一邊平行？若存在，請直接寫出

NACE的度數(shù)的所有值；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴150,50

⑵NAC8+/OCE=180。，理由見詳解

⑶存在，NACE的度數(shù)為：45?；?0。，理由見詳解

【分析】本題主要考查三角板中角度的計算，平行線的判定和性質(zhì)，掌握角度的計算，分類討論，圖形結(jié)

合分析是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)三角板的性質(zhì)，①先計算出/BCD的度數(shù)，再根據(jù)/AC3=NACD+/BCD即可求解；②先計

算出/BCD的度數(shù)，由此即可求解；

(2)根據(jù)三角板各角的數(shù)量關(guān)系，同角的余角相等即可求解；

(3)根據(jù)平行線的性質(zhì)，分類討論，圖形結(jié)合分析即可求解.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意，ACD中，ZA=60°,ZD=30°,ZACD=9Q°,BCE中，/B=/E=45。,

/BCE=90°,

①若ZDCE=ND=30°時，/BCD=ZBCE-ZDCE=90°-30°=60°,

ElZACB=ZACD+ZBCD=900+60°=150°,

故答案為：150；

②若ZACB=130°時，即ZACB=ZACD+ZBCD=90°+ZBCD=130°,

0ZBCD=130°-90°=40,

0NBCE=ZDCE+ZBCD=90°,

團ZDCE=90-ZBCD=90°-40°=50°,

故答案為：50；

(2)解:ZACB+ZDCE=180°,理由如下，

團NACB=ZACD+Z.BCD=90°+Z.BCD,/BCD=ZBCE-ZDCE=90°-ZDCE,

0ZACB=90°+(90°-ZDCE)=180°-ZDCE,

0ZACB+ZDCE=180°；

(3)解：存在，/ACE的度數(shù)為：45?；?0。，理由如下，

如圖所示，當時,

D

回NACE=NE=45。；

如圖所示，當3C〃AD時,

0ZBCD=ZD=3O°,

團NBCD+NDCE=90°,ZDCE+ZACE=90°,

團ZACE=NBCD=30。；

如圖所示，當CE〃AO時，

D

團/OCE=/D=30。，

團ZACE=ZACD+ZDCE=90°+30°=120°>90°,

0O°<ZACE<9O°,

團不符合題意；

如圖所示，點E在直線AC的下方，均不符合題意;

綜上所述，/ACE的度數(shù)的變化，存在三角板3CE的一邊是否能與三角板ACD的一邊平行，/ACE的

度數(shù)為：45?；?0。；

27.（23-24七年級下,江蘇泰州,期中）如圖1,ZACB=90°,MA//BN.

（1）①如果4c=30。，求NCBN的度數(shù)；

②設(shè)NM4C=c,NCBN=,直接寫出a、夕之間的數(shù)量關(guān)系：—；

⑵如圖2,ZMAC,NCBN的角平分線交于點P,當/他4c的度數(shù)發(fā)生變化時，/AP3的度數(shù)是否發(fā)生

變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出-4PB的度數(shù)；

⑶在（2）的條件下，若/MAC=40°,點E為射線3N上的一個動點，過點￡作?！?。交直線AP于點

F,連接EP.已知NFEP=10。，求/5PE的度數(shù).

【答案】⑴①NCBN=120。。；@>0=a+9Oo

⑵不發(fā)生變化；ZAPB=135°,理由見詳解

⑶當點/在點P的左側(cè)時，ZBPE=55°；當點尸在點尸的右側(cè)時，NBPE=75。

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義：

（1）①過點C作CD〃AM,則有朋A〃C?〃氏V,然后得到NACD=/A=30。，

ZDCB+ZCBN=180°,然后計算解題；

②過點C作8〃A〃，則有NACD=NA=c,ZDCB=1800-ZB=180°-J3,再根據(jù)直角得到結(jié)論；

（2）由（1）②可得NMAC=a,?CBN6=90?a,然后根據(jù)角平分線的定義得到

ZMAP=-ZMAC=-a,ZNBP=-ZNBC=-（90°+a）=45°+-a,然后利用（1）②的推導過程得到結(jié)

222

論；

（3）由（2）P]"ZMAP=|ZMAC=20°,ZCBN=90°+40°=130°,ZAPB=

i°,然后分點尸在點尸

的左側(cè)和點F在點P的右側(cè)兩種情況進行解題.

【詳解】（1）解：過點C作CD〃4〃，

MA

MA//BN,

:.MA//CD//BN,

.,.NACD=NA=30°,NDCB+NCBN=180°,

又，ZACB=90。，

NDCB