第3節(jié)不等式及其性質(zhì)

考試要求1.理解用作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的理論依據(jù).2.理解不等式的性質(zhì),

掌握不等式性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

■知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

a—b>6=a*,

。一)=0=。三6，

{a—b<Q^a<b.

ua

Tb>1(〃￡R,Z?>0)oa>—b(〃￡R,

b>0),

(2)作商法<宗=1=。三b(0bWO),

7b<1(〃￡R,b>0)Qa<—b(〃￡R,

<Z?>0).

2.不等式的性質(zhì)

(1)對(duì)稱性：a>b^b<a；

(2)傳遞性：a>b,b>c=>a>c；

(3)同向可加性：a>b^a~\-c>b-\-c；a>b,c>c>b~\-d；

(4)可乘性：a>b,c>O=>ac>bc；a>b,c<O=>ac<bc；a>b>0,c>d>Q=>ac

>bd；

(5)可乘方性：a>b>0^>an>bn(nN,〃21)；

(6)可開方性：〃22).

［常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒］

L證明不等式的常用方法有：作差法、作商法、綜合法、分析法、反證法、放縮

法.

2.有關(guān)分式的性質(zhì)

,,b-\~mbb—m

⑴右a>b>0,m>0,則/了方^^b-m>0).

(2)若ab>0,則

【診斷自測(cè)】

L思考辨析（在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”）

(y)a>b<^aci>bci)

(2)tz—:b^^cic=bc.(^)

(3)若京>1,則a>0.()

(4)tz<x<Z?<0^T<^<-.()

。xa

答案(1)X(2)X(3)x(4)V

解析（1）由不等式的性質(zhì)，aci>bci^a>b；

反之，cWO時(shí)，a>b由ac'>bci.

（2）由等式的性質(zhì)，a=bnac=bc；

反c=0時(shí)，ac=6c勢(shì)a=。.

(3)a=—3,b=-l,則稱>1,但a<5.

2.(多選)(必修一P43習(xí)題2.1T8改編)下列命題為真命題的是()

A.若ac1>bc1,則a>bB.若a>b>0,則a2>b2

C.若。<6<0,則a2<ab<b2D.若。<6<0,貝(>/

答案ABD

解析C中，若。=-2,b=—l,

則a2>ab>b2,故C錯(cuò)誤.

3.(必修一P42習(xí)題2.1T3(4)改編)設(shè)〃=/+>2+1,N=2(x+y-l),則M與N的

大小關(guān)系為.

答案M>N

解析M~N=x1+y1+1-2x~2y+2=(x-l)2+(y-1)2+1>0.故M>N.

4.已知一l<a<2,~3<b<5,則。+2。的取值范圍是.

答案(一7,12)

解析?.?-3<b<5,：.~6<2b<10,

又一1V〃V2,—7V〃+2b<12.

■考點(diǎn)聚焦突破

考點(diǎn)一比較數(shù)（式）的大小

例1（1）（2024.石家莊調(diào)研）已知b=&，c=V，

則（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<b<a

答案A

解析因?yàn)?°—2。=6—2始+1=(逐一1)2>0,

所以2c>2。，即c>6；

又因?yàn)?26)4-(204=16e2-e3=e2(16-e)>0,

所以(26)4>(2a)4,

又a,。均為正數(shù)，

所以2b>2a,

即?！礱,所以

⑵e71?武與6K兀的大小關(guān)系為.

答案eK-7te<ee-7in

解析肅=M=l3，

又0<—VI,0<7i—e<1,

兀

所以《<1，即舒<1，

即e"?ne<ee-?i,r.

感悟提升比較大小的常用方法

⑴作差法：①作差；②變形；③定號(hào)；④得出結(jié)論.

（2）作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系;④得出結(jié)論.

（3）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

訓(xùn)練1（1）（2023?湖南師大附中月考）已知尸=/+廬+4+,

Q=2a+2b,則（）

A.PWQB.P=Q

C.PNQD.P,。的大小無法確定

答案C

2

解析P—Q=（〃+廿+±+c2）一（2a+20）=（a—1）2+（。-1）2+1—0三0,

所以P—QNO,即尸三。.

若。=竽。=與

(2)b=~,則(

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.b<a<c

答案B

解析法一易知a,0,c都是正數(shù),

b31n4,,一,

，=41n3=log8i64<l,所以。>b；

bSin4

[=^^=10g6251024>l,所以Z?>c

即c<b<a.

法二構(gòu)造函數(shù)八%)=半

i,1—Inx

貝U/(x)=——>

由/(x)>0,得0<x<e；由/(x)<0,得x>e.

.,.於)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減.

?VA3)次4)次5),即a>6>a

考點(diǎn)二不等式的基本性質(zhì)

例2(1)(2024?北京朝陽區(qū)模擬)若a>0>。，則()

A.a3>b3B.|r/|>|&|

C.：<gD.ln(a—b)>0

答案A

解析,?*a>0>b,a3>0,b3<0,

即/>廬,故A正確;

取a=l,b=-2,則間〉|例不成立，

5毛不成立，故B,C錯(cuò)誤;

取a=T，b=一；,則ln（a—O）=ln1=0,

故D錯(cuò)誤.

（2）（多選）（2024?濟(jì)南調(diào)研）已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a>b>c,且a+0+c=0,則下列

說法正確的是（）

A.~-->7^B.a-c>2b

a-cb-c

C.a2>Z?2D.ab-\~bc>0

答案BC

解析對(duì)于A,Va>b>c,.\a-c>b—c>Q,

=

對(duì)于B,Va>b>c9a~\~b~\~c0,

a>0,c<0,a—Z?>0,/.Z?+c=—a<0,

.\a-b>b-\-c,即a~c>2b9B正確；

對(duì)于C,*.*a—b>09a~\~b——c>0,

2

.**a—尻=(Q+b)(a—b)>09

即於>/,C正確；

對(duì)于D,ab+bc=b(a+c)=—Z?2^0,D錯(cuò)誤.

感悟提升解決此類題目常用的三種方法：

⑴直接利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證，要特別注意前提條件；

⑵利用特殊值排除法；

⑶利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時(shí)，可以利用指數(shù)、

對(duì)數(shù)、塞函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.

訓(xùn)練2⑴若mb,c為實(shí)數(shù),且〃<4c>0,則下列不等關(guān)系一定成立的是()

A.a~\~c<b+cBA<T

ab

C.ac>bcD.b-a>c

答案A

解析對(duì)于A,由不等式的性質(zhì)知，a<b^a+c<b+c,正確；

對(duì)于B,若a=—2,b=~l,則/蒼，錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由不等式的性質(zhì)知，c>0,a<b^ac<bc,錯(cuò)誤;

對(duì)于D,a<b^b—a>0,又c>0,

所以無法判斷人一。與。的大小，錯(cuò)誤.

⑵（多選）若另<0,則下列不等式正確的是（）

A.力隗B.\a\+b>0

11

c--

aa6D.lncr>lnb2

答案Ac

解析由￡工<0，可知b<a<0.

A中，因?yàn)閍-\-b<09ab>0,

所以T7；<。，4>。，則故A正確；

a+baba+bab

B中，因?yàn)閎<a<Q,所以一b>—a>Q,

故一方即同+b<0,故B錯(cuò)誤;

C中，因?yàn)閎<a<0,又:<（<0,

則—^>—7>0,所以a—^>b--7,故C正確；

Ct-UL4-U

D中，因?yàn)樵芶<0,根據(jù)在（一8,0）上單調(diào)遞減，可得/>/>o,

而y=ln為在定義域（0,+8）上單調(diào)遞增，

所以In/Aina?,故D錯(cuò)誤.

考點(diǎn)三不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例3（1）已知一2勺<3,則x—y的取值范圍是,3x+2y的取值范

圍是.

答案（一4,2）（1,18）

解析因?yàn)橐籰<x<4,2<y<3,

所以一3<—y<—2,

所以一4<x—y<2.

由一3<3x<12,4<2y<6,

得l<3%+2y<18.

b

(2)已知一3<a<—2,2Vb<4,則/的取值范圍是.

答案12,一D

角星析:3<a<—2,

?一聶故卜TV

2b

又<2<Z?<4,—~<2,

遷移在本例⑴中，把條件改為a-l<x-y<4,2<x+y<3,求3%+2y的取值

范圍.

解設(shè)3%+2yy)+〃(x+y),

即3x+2y=(7+〃)%+(//—A)y,

2=；,

2+〃=3,

于是:—C解得《

、〃一2一2,_5

尸一亍

/?3%+2y=](%—y)+]a+y).

*.*—l<x__y<4,2<x~\~y<3,

/.一；<：(%—y)<2,5<,(%+歹)<券,

故3x+2y的取值范圍是（l，項(xiàng).

感悟提升利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是必

須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)；二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的

取值范圍，解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，

最后通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍.

jr

訓(xùn)練3（1）已知0<夕<a<1,則o-B的取值范圍是.

答案（0,,

7171

解析?”<fB<O,

7T7T7C

又0<?<2，-,?一5<。一4V],

又夕Va,^>0,

即0<a-^<!

（2）已知實(shí)數(shù)a,b,c,滿足a>6>c,且a+Z?+c=0,那么5的取值范圍是.

答案（-2，《）

解析由于a>b>c,且a+b+c=0,

c

所以〃>0,c<0,b=—a—c,—a—c<a,2a>—c,—>—2,—a—c>c,

,cX

—a>2c,~<—29

c1

所以一2。<苫

■課時(shí)

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】

1.（2023?長春模擬）已知a>0,b>Q,M=y[^+b,N=y[^i+\[b,則M與N的大小關(guān)

系為（）

A.M>NB.M<N

C.MWND.M,N大小關(guān)系不確定

答案B

解析M2—A^=（G+ZJ）~（a+Z?+2A/a^）=-2\[ab<Q,

：.M<N.

2.（2024?北京昌平區(qū)質(zhì)檢）若a<6<0,c>d>0,則一定有（）

abcab

4.->^B.-<5

Acaca

答案D

解析由題知〃<6<0,c>d>0,

則可取〃=一2,Z?=—1,c=2,d=l,

則t=￡=—1,t=.=—1，故A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤;

由于a<b<0,c>d>0,^—a>~b>0,c>d>0,

則兩式相乘得一bd.

—a—b

則不等式左右兩邊同時(shí)除以cd得下~>~不,

再同時(shí)除以一1得，（，故C錯(cuò)誤，D正確.

3.已知一3V〃V—2,3<Z?<4,則萬的取值范圍為（

A.(b3)B停J

c1|,JD.g1)

答案A

解析因?yàn)橐?<。<—2,所以4</<9,

而3<b<4,即

次

故會(huì)的取值范圍為（1,3）.

4.（2024?安陽調(diào)考）若a>人>0>c,則（)

ccc

A.(a~b)c>0B-a>7b

1____1_

C.a-b>a—c

'a+c"b~\-c

答案B

解析對(duì)于A,不妨取a=2,b=\,c=~l,

則(a—0)c=—1<0,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,由a>b>0得3點(diǎn),

又c<0,所以丁后故B正確;

對(duì)于C,當(dāng)a=2,b=l,c=—l時(shí)，

a—b=1,a—c=3,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)6+c=0時(shí)，土沒有意義，故D錯(cuò)誤.

b+c

5.若〃>1,m=loga（^2+l）,n=loga（a+l）,p=log〃（2〃）,則zn,n,p的大小關(guān)系

是（）

A.n>m>pB.m>p>n

C.m>n>pD,p>m>n

答案B

解析由〃>1知，〃+1—2a—{a—1）2>0,

2a—（a+l）=a—1>0,.??/+1>2〃>〃+1,

而y=logaX在定義域上單調(diào)遞增，

:?m>p>n.

6.（2024?自貢診斷）已知p：q：m>n>0,貝!Jp是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析若m=-1,n=l,

則滿足p：但不滿足q：m>n>09

故p無法推出q；

-

若m>n>09則」>0,對(duì)m>n兩邊同乘」

mnmn

得「E故q可以推出，

故0是q的必要不充分條件，故選B.

7.（2024?惠州調(diào)研）已知實(shí)數(shù)a>0>0>c,則下列結(jié)論一定正確的是（）

11

一＜一D.a^c2

ac

答案A

解析對(duì)于A,因?yàn)閍>b〉O〉c,

所以齊0%故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)楹瘮?shù)y=g)在R上單調(diào)遞減且a>c,所以故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)閍>0>c,所以《〉?！凳?，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若a=l,c=—2,滿足a>0>c,但。2<°2,故D錯(cuò)誤.

8.已知M=x2-\-y2-\-z2,N=2x+2y+2z—兀，則MM填">""<"或

“二”).

答案>

解析Af—?/=%2+y2+z2-2x—2y—2z+jr=(x—l)2+(y—l)2+(z-+兀-32兀

-3>0,

故M>N.

9.若l<a<3,—4<夕<2,則2a+|.|的取值范圍是.

答案(2,10)

解析?；一4<￡<2,

.?.0W|W<4,

又l<a<3,

2<2a<6,

.\2<2a+網(wǎng)<10.

10.實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足下列三個(gè)條件：

①d>c；②a+6=c+d；③a+d<b+c.

那么a,b,c,d的大小關(guān)系是.

答案b>d>c>a

解析由題意知d>c；

②+③得2a+b+d<2c+b+d,

化簡(jiǎn)得a<c-,

由②式a-\~b=c~\~d及a〈c可得到b>d,

故b>d>c>a.

11.已知。+6>0,試比較表+與與3+：的大小.

C4-Cl-U

斛&刀窗a+.”b—《「1+?/1、=a▼—b+丁b—a=(。―砒(1廠1刃A=-(-a-+--6-)前C

?.?〃+b>0,(a—b)2^0,

(〃+6)(〃-6)2

???—汴—2

?AIA>1I1

??廿十次Yq十萬

一人―a+b^,c-\-d

12.(1)右be—adNO,bd>0,求證：-W4-；

nn

已知求證：--->

(2)c>a>b>0,c-ac-br.

證明(iy：bc》ad,看>0,

:'d+i^b+i,

(2)Vc>6Z>Z?>0,

c—a>0,c—b〉0.

V<7>/?>0,

ab'

又??7>(),

又c~a>0,c—b>0,

a)b

c~ac-b"

【B級(jí)能力提升】

13.（多選X2024?寧波質(zhì)檢）已知mb,ceR,下列命題為真命題的是（）

A.若b<a<0,貝！Jbc2<ac2B.若b>a>O>c,則為京

aba~\~c

C.若c>b>a>Q,則D.若a>b>c>Q,則齊，

b~\~c

答案BD

解析對(duì)于A,ac2—be2=c2(a—b),

因?yàn)閎<a<0,所以a-b>Q9

又所以c2(a~b)^0,

則bc2^ac2,故A錯(cuò)誤;

」ccc(b-a)

對(duì)于brr-

因?yàn)閎>a>Q>c,所以c(b—a)<0,ab>09

心、）ccc（b—a）

所以廠廠ab<°，