第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運算

考試要求1.了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.通過函數(shù)圖象，理解

導(dǎo)數(shù)的幾何意義3能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡

單的復(fù)合函數(shù)(形如人奴十份)的導(dǎo)數(shù).

■知識診斷自測

【知識梳理】

1.導(dǎo)數(shù)的概念

(1)函數(shù)y=/(x)在x=雙處的導(dǎo)數(shù)記作尸(xo)或y'k=AO.

lim△yHm,f(xo+Ax)—f(xo)

/(xo)=、L0A%

(2)函數(shù)y=*x)的導(dǎo)函數(shù)

limf(%+Ax)一于(%)

/(%)=Ar-0

Ax

2,導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)產(chǎn)於)在％=xo處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線尸於)在點P(xo,火電))處的切

線的斜率,相應(yīng)的切線方程為y—/Uo)=1(/0)(%/0)?

3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

?=c(c為常數(shù))rw=o

y(x)=y(a?Q,且aWO)/(x)=axSl

fix)—sinx/(x)=COS_X

fix)=cosXf(x)=—sin_x

fix)=ax(a>0,且aWl)f(x)=axlna

於尸f(.x)=e

y(X)=logaX(<2>0,且OW1)/(“)-xlna

汽x)=lnxrw=7

4.導(dǎo)數(shù)的運算法則

若/(x),g，(x)存在，則有：

(l)[/(x)±g(x)Y=檢這3；

(2)[/(x)g(x)]'=片x)g(x)±/U)g'(x)；

f(X)片(x)—f(x)m'(x)

■(x)F(g(x)WO)；

(4)［求創(chuàng)』也立

5.復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=/(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)M=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx'=yu'-ux,

即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對M的導(dǎo)數(shù)與M對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

［常用結(jié)論與微點提醒］

1.可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，可導(dǎo)周期函數(shù)的導(dǎo)

數(shù)還是周期函數(shù).

2.曲線的切線與曲線的公共點的個數(shù)不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只

有一個公共點.并注意“在點P處的切線”，說明點尸為切點，點尸既在曲線上，

又在切線上；“過點P處的切線”，說明點P不一定是切點，點P一定在切線上，

但不一定在曲線上.

3.函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)/(x)反映了函數(shù)次x)的瞬時變化趨勢，其正負(fù)號反映了變化的

方向，/(九)|的大小反映了兀0圖象變化的快慢,夕(初越大,曲線在這點處的切線

越“陡”.

【診斷自測】

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“?”或“X”)

(l)/(xo)是函數(shù)丁=兀0在x=xo附近的瞬時變化率.()

⑵函數(shù)?￥)=sin(一力的導(dǎo)數(shù)/(x)=cosx.()

(3)求/(xo)時，可先求兀⑹，再求了(xo).()

(4)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線.()

答案(1)V(2)X(3)X(4)X

解析(2)/x)=sin(—x)=—sinx,則/(x)=—cosx,錯誤.

(3)求/(xo)時，應(yīng)先求了(x),再代入求值，錯誤.

(4)函數(shù)y=%2與》=0這條直線只有一個公共點，但它們相交，錯誤.

2.(多選)下列導(dǎo)數(shù)的運算中正確的是()

人.(3*)'=3町113B.^lnx)'=2xlnx+x

(cosx\%sincosx

C.(x\=---------------D.(sinxcosx)'=cos2x

答案ABD

i、，/cosG—xsinx—cosx

解析因為y—『=—p—,

所以c項錯誤，其余都正確.

3.(選修二P81T6改編)已知函數(shù)段)滿足於)=/，)cosx—sinx,則/e=.

答案1-72

解析/(%)=一/仔)sin尤一cosx,

令V，得砥一專出一零

解得/住)=1一也.

4.(選修二P82Tli改編)已知曲線丁=疣^在點(1,e)處的切線與曲線丁=911%+2在

點(1,2)處的切線平行，貝Ua=.

答案2e

解析由y=xe*,得:/=6%》+1),

所以該曲線在點(1,e)處的切線斜率為2e,

由丁=4111%+2,得

所以該曲線在點(1,2)處切線斜率為a

因為兩切線平行，所以a=2e.

■考點聚焦突破

考點一導(dǎo)數(shù)的概念

例1已知人X)在X0處的導(dǎo)數(shù)/(xo)=左，求下列各式的值:

hill/(xo)~f(xo-Ax)

(1)A/-0Z----------1-----------------

2Ax

(xo+Ax)一于(10—A%)

(2)ALO2-------------

Ax

lim^()—f(xo—Ax)

即Ar-OZ---x-o---%----------=f(xg=k,

1A%

-

11111^,(xo)—f(xoAx)k

:"L°W=2-

limf(%o+Ax)一于(xo—Ax)

(2)V=k,

2Ax

llTllf(xo+Ax)—f(xo—Ax)

Ar->0-----------7-----------=2k.

lim

感悟提升由導(dǎo)數(shù)的定義可知，若函數(shù)尸治)在x=xo處可導(dǎo)，則/(xo)=AL。

J:丫J，它僅與X。有關(guān)，與Ac無關(guān)，因此使用導(dǎo)數(shù)的定義時要明

確公式的形式，當(dāng)分子為八1一Ax)—/(I)時，分母也應(yīng)該是(1—Ax)—1,要注意公

式的變形.

”/limsin(x+2/z)—sinx

訓(xùn)練1(1)/L0--------%--------=()

A.OB.2cosx

C.cos2xD.2cos2x

答案B

_lirni(x+2/z)—sinxlimsin(x+2/z)—sinx

解析h->■()sn~7——2hf^or\i■-2(sinx)r~~2cosx.

(3x-2。)―于(3a—2x)

(2)若了(x)是函數(shù)段)的導(dǎo)數(shù),且了(a)=—1,則，

x-a

()

A.15B.-4

c.-iD.O

答案A

..lim,(3x—2。)-f(3a—2%)llHlf(3%一2G—于(3〃一2%)

解析…--------------W--------------=5-(3"—(3i)=5f(a)

=—5.

考點二導(dǎo)數(shù)的運算

例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

⑴尸fsinx；(2)y=lnyjl+x2；(3)y=^T；(4))/=xsin(2x+^jcosl2X+2)

解(1)y=(dysinx+^Csinx)r=

2xsinx+fcosx.

(cos(cosx)cosx(e%)'sinx+cosx

⑶尸[ex)=(7)2=一?'

(4)y=xsin[2x+]Jcos[2x+g=]xsin(4尤+兀)=一,xsin4x,

.，.y=—^sin4x—5.4cos4x=—^sin4x—2xcos4x.

感悟提升1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、

商，再利用運算法則求導(dǎo).

2.抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.

3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進(jìn)行換元.

訓(xùn)練2(1)(多選)(2024.浙江名校聯(lián)考)下列求導(dǎo)正確的是()

A?og23)'=肅B.[ln(2x)]^=1

。(cosx]cos%+sinx

C/sin2%)^sin2xD.[—=---------------

答案BC

,

解析對于A,(log23)=0,故A錯誤；

對于B,[In(2x)y=(ln2+lnxy=(ln2y+(lnxy=1故B正確；

對于C,(sin2x)r=2sinxcosx=sin2x,故C正確；

一(cosx\(cosx)rx—xrcosx—sinx-x—cosx山、

對于D，\^T)---------1--------=------丁-----，故D錯誤.

(2)(2024?江西名校聯(lián)考)已知?=e^-/(0)x,則/2)=()

A.e2-4B.e2-2

C.e2-1D.e2-e

答案C

解析由Hx)=e'—/(0)x得/(x)=e'—/(0),則/(0)=e°—/(0),得了(0)=；,

故兀0=F一5，因此/(2)=e2—l.

考點三導(dǎo)數(shù)的幾何意義

角度1求切線方程

例3(1)(2023?全國甲卷)曲線尸壬在點［1,舒處的切線方程為()

,「(x+1)一葉1龍］

斛析,―G+1)2—G+1)2，

則曲線尸■在點［1，§處的切線斜率k=y'\x=i=^,

所以曲線尸M在點°，§處的切線方程為廠尹孤一D，

即y=|x+^,故選C.

(2)(2024.莆田質(zhì)檢)若直線/經(jīng)過點與0),且與曲線yWQ+l)相切，寫出/的一

個方程.

答案丁=0(答案不唯一)

解析由y=%2(%+1)=元3+%2,得yuSV+Zx,

設(shè)切點坐標(biāo)為及0+1)),

則過切點的切線方程為y—e0+1)=(3戶+2。(工一力，

把點(I，0)代入,可得一:4+1)=(3萬+2磺一，,

整理得左—1)(5/+3)=0,

3

即t=0或t=一5或t=1.

當(dāng)f=0時，切線方程為y=0,

當(dāng)f=1時，切線方程為y=5x—3,

339

當(dāng)/=一5時，切線方程為y=—石工+市，

綜上，直線/的方程為y=Q或5x—y—3=0或15x+125y—9=0.

角度2求切點坐標(biāo)或參數(shù)

例4(1)(2024?榆林模擬)已知函數(shù)火x)=alnx+f的圖象在無=1處的切線方程為3x

—y+6=0,則。+6=()

A.-2B.-1

C.OD.1

答案B

解析因為兀0=alnx+x1,

所以/(x)=，+2x.

又7U)的圖象在x=l處的切線方程為3x-y+b=o,

所以/(1)=〃+2=3,解得

則/U)=lnx+f，所以八1)=1，

將點(1,1)代入切線方程得3—1+6=0,

解得6=—2,故〃+/?=-1.故選B.

(2)(2024?濟(jì)南質(zhì)檢)設(shè)期＞1,曲線火光)=Hn%—3%+2Q(〃W0)在點尸(期，0)處的切線

經(jīng)過點(0,2e),則alnxo=()

A.OB.1

C.eD.2e

答案C

解析由題意得/(冗0)=0,

即alnxo—3xo~\~2a=O,①

又/(x)=f—3,所以切線斜率％=專一3,

Ji

故在點P(xo,0)處的切線方程為丁=居一3)(X—X0),

將(0,2e)代入得2e=-a+3/o,②

聯(lián)立①②解得a=xo=e,

故tzlnxo=e.故選C.

(3)(2022.新高考I卷)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范

圍是.

答案(一8,—4)U(0,+°°)

解析因為y=(x+a)e\

所以y=(x+a+l)e±

設(shè)切點為A(xo,(xo+^e^0),。為坐標(biāo)原點，

x0

依題意得，切線斜率koA=y'\x=xQ=(xo+a+\')e,

所以切線的方程為j—(xo+tz)e-￥°=[e-10+(xo+a)e-x0](x—xo),

又切線過原點，

所以一(xo+=[e^+(xo+。)6啊(-xo),

整理得"+axo—a=0.

因為曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點的切線，

所以關(guān)于xo的方程"+axo—。=0有兩個不同的根，

所以J=a2+4a>0,解得?<—4或a>Q.

感悟提升求曲線的切線方程要分清“在點處”與“過點處”的切線方程的不同.

過點處的切點坐標(biāo)不知道，要設(shè)出切點坐標(biāo)，根據(jù)：①斜率相等，②切點在切線

上，③切點在曲線上建立方程(組)求解，求出切點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

訓(xùn)練3(1)函數(shù)五x)=lnx+ax的圖象存在與直線2x-y=Q平行的切線，則實數(shù)a

的取值范圍是()

A.(—8,2]B.(—8,2)

C.(2,+8)D.(0,+8)

答案B

解析函數(shù)兀v)=lnx+ax的圖象存在與直線2x-y=0平行的切線，

即八>)=1+。=2在(0,+8)上有解，

即a=2~~x.

因為%>0,所以2—：<2,

Ji

所以。的取值范圍是(一8,2).

(2)(2024.南通質(zhì)檢)已知函數(shù)火X)=X3—2X2+2X,則曲線y=/(x)經(jīng)過點A(l,1)的切

線方程是.

答案3x—4y+l=0或％—y=0

解析設(shè)切點為(/,戶一2P+2/),

由題意知f(x)=3x2—4x+2,

所以切線的斜率k=3f-4t+2,

所以切線方程為y一(戶一2修+2/)=(3--47+2)(x—/).

因為切線過點A(l,1),

所以1—(戶一2-+2。=(3戶―4/+2)(1—t),

即(7—1)2(27—1)=0,

解得/=：或t=l,

3

所以斜率左=4或k=l,

又切線過點A(l,1),

得切線方程為3x—4y+1=0或x~y=0.

~公切線問題微點突破

1.求兩條曲線的公切線，如果同時考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會比較亂，為

了使思路更清晰，一般是把兩條曲線分開考慮,先分析其中一條曲線與直線相切，

再分析另一條曲線與直線相切，直線與拋物線相切可用判別式法.

2.公切線條數(shù)的判斷問題可轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)求解問題.

一'共切點的公切線問題

例1已知定義在(0,+8)上的函數(shù)八%)=/—機(jī)，g(x)=61nx—4x,設(shè)兩曲線丁=

五%)與y=g(x)在公共點處的切線相同，則機(jī)等于()

A.13B.1

C.3D.5

答案D

解析依題意，設(shè)曲線y=/(x)與y=g(x)在公共點(xo,yo)處的切線相同.

*.*y(x)=%2—m,g(x)=61nx—4x,

???/(x)=2x,g'(x)=$一4,

m=61nxo—4xo,

f(xo)=g(xo),

即12%。=M4,

f(xo)=gf(xo),

?％o>O,??xo=1?加=5.

二'不共切點的公切線問題

例2(2024?湖北名校聯(lián)考)若直線x+y+m=0是曲線火為=爐+收一52與曲線g(x)

=x2—31nx的公切線，則機(jī)一〃=()

A.-30B.125

C.26D.28

答案C

解析設(shè)直線x+y+m=0與曲線八B二%3+〃%—52相切于點(Q,—a—m),與曲

線g(%)=，-31n%相切于點(b,—Z?—m),b>0.

3

由雙的二/一31nx知gr(x)=2x—~,

又兩曲線的公切線斜率為一1,

33

則2b一1=-1,解得6=1或6=-](舍去).

所以l—31nl=ll—機(jī)，解得加=一2.

由火x)=r+兀r—52知了(%)=3X2+〃，

又兩曲線的公切線斜率為一1,

則34+〃=—1,即n——3a2—1,

故爐一(36Z2+V)a—52=-〃+2,

整理得〃3=—27,故〃=—3,

所以〃=—3層一1=—28,故加一〃=26.故選C.

訓(xùn)練(1)(2024.杭州模擬)已知函數(shù)加)=加與g(x)=lnx的圖象在公共點處有共同

的切線，則實數(shù)。的值為.

答案i

解析設(shè)公共點為尸(%0,^o)(xo>O),

則血=ln%o.

由J(x)=ax1,得f(x)=2ax,

由g(x)=lnx,得，(%)=：.

因為函數(shù)40與g(x)的圖象在公共點P(xo,泗)處有共同的切線,

所以/(xo)=g，(xo),即2。%0=三，得〃=2$

1

11/_

所以尤?而=lnxo,即lnxo=],得xo=e2，

j____11

所以。=1=

2xog2^-

2-

(2)若曲線Ci：y=af(a>0)與曲線Q：丁=^存在公共切線，則a的取值范圍為

答案女，+8)

解析由丁=奴2(。>0)得y=2ax,

由丁=3得y=e\

設(shè)公切線與曲線Ci切于點(xi,ax?),與曲線C2切于點(%2,一),

則有y—ax?=2axi(x一陽),

x2x2

即y=2axix-axl9y-e=e(x-X2),

即=ex2x—(%2—1)ex2,

2〃xi=e%2,

所以可得%2=y+l,

axi=(X2—1)e2

xl

e一2+1

所以Cl———zxi.

因為。>0,所以xi>0,

XX

e2+1e2+1(x-2)

記五x)=UT-a〉o),則/(%)=—記

當(dāng)x￡(0,2)時,f(x)<0,於)單調(diào)遞減；

當(dāng)工￡(2,+8)時，/(x)>0,於)單調(diào)遞增.

,e2

所以當(dāng)X=2時，火%)min=W>。，

-2、

所以。的取值范圍是+-J.

■課時分層精練

【A級基礎(chǔ)鞏固】

1.(多選)下列求導(dǎo)運算正確的是()

B.(log河=磊

C.(5，)'=5xiog5XD.(fcosx)'=2xcosx—fsin%

答案BD

解析A中，(x+：)=l—p,

C中，(5*5%15,其余正確.

什"的田口limf(2+Ax)—f(2)limf(2—Ax)—f(2)

2.右函數(shù)兩足?。=2,貝!)A；*oL=()

A.2B.1

C.0D.-1

答案D

,r吊、/limf(2+Ax)—f(2)

角牛析因為Ar->0-=2,

limf(2—Ax)—f(2)llim/(2-Ax)~f(2)1^X2=—1.

所以Ar->0-77Ar-*OT

2—Ax

3.設(shè)函數(shù)?x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)/(%),於)的圖象在點Ml，八1))處的切線方程為y

=5+2,那么次1)+/(1)等于()

A.lB.2

C.3D.4

答案C

解析由題意得X1)=3*1+2=),了(1)=]

所以汽D+/(D=|+g=3.

4.吹氣球時，氣球的體積Vr(單位：L)與半徑/(單位：dm)之間的關(guān)系是V=1jir3.

47r

當(dāng)V=WL時，氣球的瞬時膨脹率為()

A.薪dm/LB.§dm/L

C.3dm/LD.4兀dm/L

答案A

解析因為丫=$2，所以廠=、

]_

'3吊12

所以r'=而JX/,

2_22

13131

XX’3丫X-X

當(dāng)丫=與時，/=￡)34M3--3一-

471471

5.(多選)已知函數(shù)段)的圖象如圖,/(%)是小)的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A/⑶>片2)B/⑶<八2)

C.7(3)-/2)>/(3)D<3)一五2)</(2)

答案BCD

解析由圖知/(2)>/(3)>0,故A錯誤，B正確.

設(shè)A(2,汽2)),5(3,火3)),

f(3)-f(2)

則心)一附』----二----=kAB,

由圖知/(3)<MB</(2),

即了(3)93)-/(2)VJ(2),故C,D正確.

6.(2024?湖南三湘名校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)Hx)=2sina-lf+(2-Sina—3)x的圖象在點(161))

處的切線為/,則/的傾斜角。的最小值是()

.兀e兀

A-4B?

r571_3兀

。6D彳

答案D

解析V/(x)=2sin?x+2-sin?-3

.,./(l)=2sina+2-sina-3.

：一iWsinaWl,.?.2-1<2sin?^2,

則2.。+2一抽。三2卷正運5=2,當(dāng)且僅當(dāng)sina=O時等號成立，

了(1)的最小值為一1,

易得了(1)的最大值為2+2一1—3<0,

3兀)

??.66[彳，兀)故選D.

7.(2024?大連模擬)若直線y=2x是曲線y=x(e、一a)的切線，則a=()

A.—eB.-1

C.lD.e

答案B

解析設(shè)切點坐標(biāo)為(xo,xole^—a)),

因為y=x(ex—a),

所以y=(e*—a)+xex=(l+x)e*-a,

所以在切點處的切線的斜率為(l+xo)?的—a,

切線方程為y—次化加一a)=[(1+Me*。一a](x—xo),

即y=[(1+^o)e'°—a]x—xoe^0,

(l+%o)exo—a=2,xo-0

由題意知<解得<9

xoexo=O,a——1.

8.(2024.麗水質(zhì)檢)設(shè)加c)=e%則/(x)=,其在點(0,1)處的切線方程為

答案2xex2y=1

解析因為/(x)=ex2,

所以/(x)=(x2)^1'2=2泥以，則/(0)=0.

故曲線y=/(x)在點(0,1)處的切線方程為y=l.

9.若函數(shù)的圖象在點P(l,五1))處的切線方程為y=mx+m,則實數(shù)a

答案1

解析由函數(shù)1%)=好+￡求導(dǎo)得〃x)=2x一

依題意，m=/(l)=2—?.

又點P(l,汽1))在直線y=/nx+加上，

所以汽1)=1+。=2機(jī)，

因此l+a=2(2—a),解得a=l.

10.已知y=/(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線y=kr+2是曲線y=/(x)在x=3處的切線,

令g(x)=x或x),gr(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則9(3)=.

答案0

解析由題圖可知曲線y=/(x)在x=3處切線的斜率等于一點

?寸⑶一/

,**g(x)=碇X)>g'(x)=Ax)+xf(x),

.??g，(3)=/(3)+3/(3),

又由題意可知人3)=1,

.-.gX3)=l+3x[-1)=0.

11.已知函數(shù)八》)=■?—4f+5x—4.

⑴求曲線人x)在點(2,汽2))處的切線方程；

(2)求經(jīng)過點A(2,—2)的曲線八x)的切線方程.

解(1)因為了(%)=3必一8x+5,

所以了(2)=1,

又汽2)=—2,所以曲線次x)在點(2,八2))處的切線方程為y—(―2)=x—2,

即%—y—4=0.

(2)設(shè)切點坐標(biāo)為(xo,向-4"+5次—4),

因為/(xo)=3"一8xo+5,

所以切線方程為y—(―2)=(3"-8xo+5)(x—2),

又切線過點(xo,君一4看+5xo—4),

所以xB—4^+5xo—2=(3x3—8xo+5)-(xo—2),

整理得(xo—2)2(x()—1)=0,

解得xo=2或xo=l,

所以經(jīng)過點A(2,—2)的曲線1%)的切線方程為%—y—4=0或y+2=0.

12.已知函數(shù)+a)x2—a(a+2)x+0(a,Z?￡R).

(1)若函數(shù)五x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率為一3,求a,人的值；

⑵若曲線y=/(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍.

解/(%)=3/+2(1—d)x—a(a+2).

f(0)=b=