第06講空間向量及其線(xiàn)性運(yùn)算4種常見(jiàn)考法歸類(lèi)

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學(xué)習(xí)目標(biāo)

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1.理解空間向量的相關(guān)概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行與向量的加、減運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算、夾角的

相關(guān)運(yùn)算及空間距離的求解.

2.利用空間向量的相關(guān)定理及推論進(jìn)行空間向量共線(xiàn)、共面的判斷.

||磨基礎(chǔ)知識(shí)1

------------------IIIIIIIIIIIIIIIIII1IIII1IIIIIIIIIII1IIIII-----------------------

知識(shí)點(diǎn)1空間向量的有關(guān)概念

1.在空間，把具有方向和大小的量叫做空間向量,空間向量的大小叫做空間向量的長(zhǎng)度

或模.

注:數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，

空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱(chēng)之為自由向量。

2.表不法：

(D幾何表示法：空間向量用有向線(xiàn)段表示，有向線(xiàn)段的氏度表示空間向量的模

(2)字母表示法：用字母表示，若向量a的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B,則a也可記作其

模記為⑷或|曲

3.幾類(lèi)特殊的空間向量

名稱(chēng)定義表示法

零向

規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量記為0

量

單位|a|=l或

模為J_的向量叫做單位向量

向量|A5'|=1

相反

與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量記為一〃

向量

共線(xiàn)如果表示若干空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相平行或重合，那么這些a//b或

向量向量叫做共線(xiàn)向量或平行向量.規(guī)定：零向量與任意向量壬后，即對(duì)于任

AB'

意向量a,都有02a

//CD

a=b或

相等方向相同且模相等的向量稱(chēng)為相等向量.在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段

ABy=

向量表示同一向量或相等向量

CI)

注意點(diǎn):

(1)平面向量是一種特殊的空間向量.

⑵兩個(gè)向量相等的充要條件為長(zhǎng)度相等，方向相同.

⑶向量不能比較大小.

(4)共線(xiàn)向量不一定具備傳遞性，比如0.

易錯(cuò)辨析：

(1)空間向量就是空間中的一條有向線(xiàn)段？答：有向線(xiàn)段是空間向量的一種表示形式，

但不能把二者完全等同起來(lái).

(2)單位向量都相等？答：?jiǎn)挝幌蛄块L(zhǎng)度相等，方向不確定

(3)共線(xiàn)的單位向量都相等？答：共線(xiàn)的單位向量是相等向量或相反向量

(4)若將所有空間單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則終點(diǎn)圍成一個(gè)圓？答：將所有空間單

位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則終點(diǎn)圍成一個(gè)球

(5)任一向量與它的相反向量不相等？答：零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與

零向量是相等的.

(6)若⑷=|回，則m方的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反?答：|a|=|回只能說(shuō)明a,b的長(zhǎng)度

相等而方向不確定

(7)若向量防，6滿(mǎn)足|曲則曲＞6?答：向量不能比較大小

(8)空間中，a//b,b//c,則?！╟?答：平行向量不一定具有傳遞性，當(dāng)8=0時(shí)，a與

c不一定平行

(9)若空間向量加，n,p滿(mǎn)足用=〃，n=p,則m=p?答：向量的相等滿(mǎn)足傳遞性

(10)若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同？答：當(dāng)兩個(gè)空間向量的起

點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)，這兩個(gè)向量必相等；但當(dāng)兩個(gè)向量相等時(shí)，不一定起點(diǎn)相同，終點(diǎn)

也相同

知識(shí)點(diǎn)2空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算

(-)空間向量的加減運(yùn)算

語(yǔ)言敘

首尾順次相接，首指向尾為和

述

三角形

法則圖形敘/\

加法運(yùn)

算語(yǔ)言敘共起點(diǎn)的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點(diǎn)對(duì)角線(xiàn)為

平行四邊形法述和

則圖形敘

U0a，

語(yǔ)二敘

口口”共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量

減法運(yùn)三角形述

算法則圖形敘b人

述a玉

加法運(yùn)交換律a~\~b=b~\~a

算結(jié)合律（a+辦）+c=a+S+c）

(1)空間向量的運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的延展，空間向量的加法運(yùn)算仍然滿(mǎn)足平行四邊形

法則和三角形法則.而且滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運(yùn)算，可以將向量合并;

(2)求向量和時(shí)，可以首尾相接，也可共起點(diǎn)；求向量差時(shí)，可以共起點(diǎn).

(3)空間向量加法的運(yùn)算的小技巧：

①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，

即：4A+4A+4A+...+4Z4=AA

因此，求空間若干向量之和時(shí)，可通過(guò)平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；

②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量，

即：高+HX+AX+…+北4+胸="；

A

A

4n4

(二)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

與平面向量一樣，實(shí)數(shù)2與空間向量a的乘積瓶仍然是一個(gè)向量，稱(chēng)為空間向量

定義

的數(shù)乘

A>02a號(hào)向量a的方向相同

幾何意A<0―與向量a的方向相反

義

A=0%=0,其方向是任意的

Aa的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的血倍

結(jié)合律=

運(yùn)算律

分配律(4+〃)a=/la+〃a,A(a+Z>)=Aa+AZ>

(1)當(dāng)4=0或a=0時(shí)，觴=0.

(2況的正負(fù)影響著向量癡的方向，A的絕對(duì)值的大小影響著癡的長(zhǎng)度.

(3)向量癡與向量。一定是共線(xiàn)向量.非零向量a與初(羽0)的方向要么相同，要么相反.

(4)由于向量a,6可平移到同一個(gè)平面內(nèi)，而平面向量滿(mǎn)足數(shù)乘運(yùn)算的分配律，所以空間

向量也滿(mǎn)足數(shù)乘運(yùn)算的分配律.

(5)根據(jù)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算的定義，結(jié)合律顯然也成立.

(6)實(shí)數(shù)與空間向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如壯。無(wú)法運(yùn)算.

知識(shí)點(diǎn)3共線(xiàn)向量與共面向量

1.共線(xiàn)向量與共面向量的區(qū)別

共線(xiàn)(平行向量共面向量

表示若干空間向量的有向線(xiàn)段所在的

定

直線(xiàn)互相平行或重合,這些向量叫做平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量

義

共線(xiàn)向量或平行向量

注：規(guī)定：零向量與任意向量平行,

即對(duì)任意向量a,都有0〃a.

共線(xiàn)向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向

量a,bSRO),a//b的充要條件是存

共面向量定理：若兩個(gè)向量a,8不共線(xiàn)，則向量

在實(shí)數(shù)入使a=昉.

p與向量a,方共面的充要條件是存在唯一的有序

注：(1)益//執(zhí)5*0)二＞存在唯一實(shí)數(shù)

實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),使。=取+1瓦

X,使得(2)存在唯一實(shí)數(shù)X,

充使得@=4(3*0),則。/區(qū).注意：

要5/0不可丟掉，否則實(shí)數(shù)4就不唯一.

條1、空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在

件

有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使翁=x顯+照或?qū)臻g任意

對(duì)空間任一點(diǎn)。，~O^=x~dX+一點(diǎn)。，有舁=51+1+康.

yOB(x+j=l).2、空間中P,A5c四點(diǎn)共面的充要條件是存在有

序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y,z),使得對(duì)空間中任意一點(diǎn)。，都

有OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=1）

共線(xiàn)向量定理的用途：

①判定兩條直線(xiàn)平行；(進(jìn)而證線(xiàn)面

平行)

②證明三點(diǎn)共線(xiàn)。

注意：證明平行時(shí)，先從兩直線(xiàn)上取

共面向量定理的用途：

用有向線(xiàn)段表示兩個(gè)向量，然后利用向

①證明四點(diǎn)共面

途量的線(xiàn)性運(yùn)算證明向量共線(xiàn)，進(jìn)而可

②線(xiàn)面平行(進(jìn)而證面面平行)。

以得到線(xiàn)線(xiàn)平行，這是證明平行問(wèn)題

的一種重要方法。證明三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題,

通常不用圖形，直接利用向量的線(xiàn)性

運(yùn)算即可，但一定要注意所表示的向

量必須有一個(gè)公共點(diǎn)。

2.直線(xiàn)/的方向向量

如圖。在直線(xiàn)/上取非零向量a,設(shè)尸為/上的任意一點(diǎn)，貝歸2SR使得

of=2a./a

定義：把與a平行的非零向量稱(chēng)為直線(xiàn)/的方向向量./"

3.與空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算相關(guān)的結(jié)論

(1)~AB=~OB~~O^.

(2)在平行六面體A5CD-A151GD1中，有而=瓦?+工方+無(wú)仃.

(3)若。為空間中任意一點(diǎn)，則

①點(diǎn)尸是線(xiàn)段A5中點(diǎn)的充要條件是而=；(市+市)；

②若G為AASC的重心，則皆4=上市+市+/).

易錯(cuò)辨析：

(1)若兩個(gè)空間向量所在的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)，則這兩個(gè)向量不是共面向量？

答：空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量.所以,

任意兩個(gè)空間向量總是共面，而三個(gè)向量可能共面也可能不共面

(2)在平面內(nèi)共線(xiàn)的向量在空間不一定共線(xiàn)？

答：在平面內(nèi)共線(xiàn)的向量在空間一定共線(xiàn)

(3)在空間共線(xiàn)的向量在平面內(nèi)不一定共線(xiàn)？

答：在空間共線(xiàn)的向量，平移到同一平面內(nèi)一定共線(xiàn)

，豳解題策略

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1、空間向量有關(guān)概念問(wèn)題的解題策略

(1)兩個(gè)向量的模相等，則它們的長(zhǎng)度相等，但方向不確定，即兩個(gè)向量(非零向量)的模

相等是兩個(gè)向量相等的必要不充分條件.

(2)空間向量的概念與平面向量的概念相類(lèi)似，平面向量的其他相關(guān)概念，如向量的模、

相等向量、平行向量、相反向量、單位向量等都可以拓展為空間向量的相關(guān)概念.熟練掌握

空間向量的有關(guān)概念、向量的加減法的運(yùn)算法則及向量加法的運(yùn)算律是解決好這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)

鍵.

2、解決空間向量線(xiàn)性運(yùn)算問(wèn)題的方法

進(jìn)行向量的線(xiàn)性運(yùn)算，實(shí)質(zhì)上是在正確運(yùn)用向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律的基礎(chǔ)上進(jìn)行向量

求和，即通過(guò)作出向量，運(yùn)用平行四邊形法則或三角形法則求和.運(yùn)算的關(guān)鍵是將相應(yīng)的向

量放到同一個(gè)三角形或平行四邊形中.

注：(1)向量減法是加法的逆運(yùn)算，減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量.

(2)首尾相連的若干向量構(gòu)成封閉圖形時(shí)，它們的和向量為零向量.

3、空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧

(1)巧用相反向量：向量的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用相反

向量可使向量首尾相接.

(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必注意和

向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果.

4、利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧

(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法

則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量.

(2)明確目標(biāo)：在化簡(jiǎn)過(guò)程中要有目標(biāo)意識(shí)，巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì).

5、空間向量線(xiàn)性運(yùn)算中的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

結(jié)合圖形，明確圖形中各線(xiàn)段的幾

何關(guān)系

正確運(yùn)用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的

幾何意義

平面向量的三角形法則、平行四邊

形法則在空間向量中仍然成立

6、判定空間圖形中的兩向量共線(xiàn)技巧

要判定空間圖形中的兩向量共線(xiàn)，往往尋找圖形中的三角形或平行四邊形，并利用向量

運(yùn)算法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而使其中一個(gè)向量表示為另一個(gè)向量的倍數(shù)關(guān)系，即可證得這兩向量

共線(xiàn).

7、證明空間三點(diǎn)P,A,6共線(xiàn)的方法

(1)-RT=XPB(AGR).

⑵對(duì)空間任一點(diǎn)。，~OP=~OA+fABQCR).

(3)對(duì)空間任一點(diǎn)。，~0P=xOA+yOB(x+y=l).

8、解決向量共面的策略

⑴若已知點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，則有工產(chǎn)=xAB+y京或而=xOA+yOB+zOC(x+y

+z=l),然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù).

(2)證明三個(gè)向量共面(或四點(diǎn)共面)，需利用共面向量定理，證明過(guò)程中要靈活進(jìn)行向量

的分解與合成，將其中一個(gè)向量用另外兩個(gè)向量來(lái)表示.

9、證明空間四點(diǎn)P,M,A,5共面的等價(jià)結(jié)論

(1)~MP=xMA+yMB；

(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O,~0P=~OM+xMA+yMB；

(3)對(duì)空間任一點(diǎn)。，~0P=xOA+yOB+zOM(x+y+z=l)；

(4)PM/7AB(或次〃癡或子不〃為I).

10、證明三點(diǎn)共線(xiàn)和空間四點(diǎn)共面的方法比較

l|Q考點(diǎn)剖析

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考點(diǎn)一：空間向量的概念辨析

例L(2023春?高二課時(shí)練習(xí))下列命題中，正確的是().

A.若則口TB.若問(wèn)>欠，則￡>]

C.若Z=則口=忖D.若口=『則2=石

【答案】C

【分析】根據(jù)向量模長(zhǎng)的定義以及向量的定義即可逐一判斷.

【詳解】對(duì)于A;比如％=(0,0,1)&=(1,0,0),￡石不相等，但同第=1,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B;向量的模長(zhǎng)可以有大小之分，但是向量不可以比較大小，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C;向量相等，則其模長(zhǎng)相等，方向相同，故C正確；

對(duì)于D；若￡=（0,0,1）石=（1,0,0）,卜|=|4=1,但2,B不相等，故D錯(cuò)誤；

故選：C

變式1.【多選】（2023春?福建寧德?高二校聯(lián)考期中）下列說(shuō)法正確的是（）

A.空間向量加與麗的長(zhǎng)度相等

B.平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量

C.若將所有空間單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則終點(diǎn)圍成一個(gè)圓

D.空間任意三個(gè)向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底

【答案】AB

【分析】利用空間向量的有關(guān)概念逐項(xiàng)判斷.

【詳解】對(duì)于A,向量福與麗是相反向量由相反向量的定義知，向量通與麗的長(zhǎng)度相等，

故A正確；

對(duì)于B,平行于平面機(jī)的向量，均可平移至一個(gè)平行于根的平面，故它們?yōu)楣裁嫦蛄?，故B

正確；

對(duì)于C,若將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,空間任意三個(gè)不共面的非零向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

變式2.（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）下列命題中是假命題的是（）

A.任意向量與它的相反向量不相等

B.和平面向量類(lèi)似，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小

C.如果同=。，貝!=6

D.兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同

【答案】A

【分析】由零向量的定義可判斷AC,由向量的性質(zhì)可判斷BD.

【詳解】對(duì)于A,零向量。的相反向量是它本身，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,空間向量是有向線(xiàn)段，不能比較大小，B正確；

對(duì)于C,如果同=0,則a=C正確；

對(duì)于D,兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同，D正確.

故選：A.

變式3.（2023?全國(guó)?高二專(zhuān)題練習(xí)）下列命題為真命題的是（）

A.若兩個(gè)空間向量所在的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)，則這兩個(gè)向量不是共面向量

B.若口=|力|,則入坂的長(zhǎng)度相等且方向相同

C.若向量荏、前滿(mǎn)足網(wǎng)＞|西，且而與前同向，則通〉前

D.若兩個(gè)非零向量而與加滿(mǎn)足荏+而=6,則通〃也.

【答案】D

【分析】由空間向量的模長(zhǎng)、共線(xiàn)、共面等相關(guān)概念依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】空間中任意兩個(gè)向量必然共面，A錯(cuò)誤；

若H=M，貝的長(zhǎng)度相等但方向不確定，B錯(cuò)誤；

向量不能比較大小，C錯(cuò)誤；

由通+麗=6可得向量而與而長(zhǎng)度相等，方向相反，故荏〃①，D正確.

故選：D.

變式4.（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）給出下列命題：①兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，

終點(diǎn)也相同;②若空間向量斕滿(mǎn)足口=忖，則人石；③在正方體ABCD-AgGR中，必有數(shù)=宿;

④若空間向量前幾萬(wàn)滿(mǎn)足正=5,n=p,則而=萬(wàn).其中正確的個(gè)數(shù)為（）.

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】由相等向量的定義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.

【詳解】對(duì)于①，當(dāng)兩個(gè)空間向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)，這兩個(gè)向量必相等；但兩個(gè)向量

相等，它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)都不一定相同，①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，根據(jù)向量相等的定義，要保證兩個(gè)向量相等，不僅模要相等，而且方向還要相同，但

②中向量。與B的方向不一定相同，②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，根據(jù)正方體的性質(zhì)，在正方體ABCD-ABGR中，向量衣與向量相的方向相同，模

也相等，則前=相，③正確；

對(duì)于④，由向量相等關(guān)系可知通=行=萬(wàn)，④正確.

故選：C.

例2.（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，以長(zhǎng)方體ABC。-44cd的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)

為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中,

⑴試寫(xiě)出與羽相等的所有向量;

⑵試寫(xiě)出稿的相反向量;

UUUL

(3)若4B=AD=2,你=1,求向量AG的模.

【答案】⑴葩，友，配;

⑵中耶，※叫

(3)3.

【分析】（1）（2）利用長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合相等向量、相反向量的意義求解作答.

（3）由長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)求法，結(jié)合向量模的意義求解作答.

【詳解】⑴在長(zhǎng)方體ABCD-AgG"中，與通相等的所有向量（除本身外）有4瓦，比，而,

共3個(gè).

（2）9的相反向量是派耶,qr,取.

（3）在長(zhǎng)方體A8CD-44Gp中，連接AC,AG,如圖,

AC2=AB2+BC2,AC；=AC2+CC；,

uuuuuir.----------------------------------------------

所以向量AG的模IAC]1=Je+BC'+CC；=A/22+22+12=3.

變式1.（2023?江蘇?高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，已知ABC。-44cA為平行六面體，若以此平

行六面體的頂點(diǎn)為向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)，求:

(1)與甌相等的向量；

(2)與甌■相反的向量；

(3)與甌平行的向量.

［答案］(D招,M，西；(2)空，取；(3)硒兩席.

【分析】根據(jù)相等向量、相反向量和平行向量的概念求解，

(1)根據(jù)平行六面體的側(cè)棱都平行且相等和向量相等的定義寫(xiě)出；

(2)連接A，，因?yàn)椤?必然，所以ABC.是平行四邊形，所以明必必這樣就可以寫(xiě)出與定

相反的向量；

(3)連接C2,用類(lèi)似(2)的方法可寫(xiě)出與平行的向量.

【詳解】(1)???平行六面體是棱柱，???側(cè)棱都平行且相等，

，與函相等的向量為環(huán)濟(jì)西；

(2)連接A2,由平行六面體的性質(zhì)可得，G&M,

ABG2是平行四邊形，

BQ//AD,,與畫(huà)■相反的向量為印，印.

（3）連接C2,由平行六面體的性質(zhì)可得AQ&BC,

BCDM是平行四邊形，

/.BA.HCD,,與麗平行的向量為平，國(guó)，斥.

變式2.（2023?江蘇?高二專(zhuān)題練習(xí)）在平行六面體鉆皿-A瓦G2中，下列四對(duì)向量：①通與

電；②患與西；③而與??；④A萬(wàn)與麻.其中互為相反向量的有〃對(duì)，則〃等于（）

【答案】B

【分析】根據(jù)平行六面體的幾何特征和相反向量的定義即可判斷.

【詳解】對(duì)于①通與S，長(zhǎng)度相等，方向相反，互為相反向量；

…UUUL

對(duì)于②AG與西長(zhǎng)度相等，但兩向量不共線(xiàn)，.?.兩向量不是相反向量；

對(duì)于③畫(huà)與乖，易知ABG2是平行四邊形，則兩向量方向相反，大小相等，互為相反向量；

對(duì)于④M與麻，易知ADC4是平行四邊形，，這兩向量長(zhǎng)度相等，方向相同.

故互為相反向量的是①③，共有2對(duì)，n=2.

故選：B.

變式3.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知正方體ABCD-A/B/。。/的中心為。，則下列

結(jié)論中

A\

DLC

AB

①方+歷與次1+打i是一對(duì)相反向量；

②而-玩1與歷-麗1是一對(duì)相反向量；

③礪1+礪1+元1+加1與麗+反+而+礪是一對(duì)相反向量；

④覺(jué)-厲與灰是一對(duì)相反向量.

正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】由向量的加減運(yùn)算對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

【詳解】設(shè)分別為和4。的中點(diǎn)，

①次+歷=2配與西+西=2兩不是一對(duì)相反向量，錯(cuò)誤；

②瓦-/=m與反-西=而不是一對(duì)相反向量，錯(cuò)誤；

③麗1+加1+近1+西=一反一而一兩一礪=一（武+而+西+礪）是一對(duì)相反向量,正確;

④反-麗=正與詼1-兩=房'不是一對(duì)相反向量，是相等向量，錯(cuò)誤.

即正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為1個(gè)

故選：A

?D\___________Ci

Ai

A

考點(diǎn)二：空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算

注1例3.(2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考);卜+2石-3耳-3(萬(wàn)-25同=()

555-35-9

A.——a-4cB.——a+4b-2cC.——a+7b+—cD.——a-5b——c

222222

【答案】c

【分析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算求解即可.

【詳解】I+2b—3c)一3(a—2b—=——^z+7Z?+—c'.

故選：C

變式1.(2023秋?高二課時(shí)練習(xí))已知；是三個(gè)不共面向量，已知向量

a=^T-j+k,b=5r-2j-k則4商-3方=.

【答案】-13i+2j+lk

【分析】根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算求解.

【詳解】■：a=^T-j+k,b=5r-2j-k,

4Zz—3b=(4x——3x5)z+(—4+6)j+(4+3)左=-13/+2/+7左,

故答案為：-13：+2了+7萬(wàn)

例4.(2023春?江蘇淮安?高二?？茧A段練習(xí))在長(zhǎng)方體”。-4型淪中，AB+AD+BB；

等于()

A.ACB.~ACXC.BC[D.甌

【答案】B

【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體ABCD-A4ca,得到相等的向量，再利用空間向量的加法法則進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】如圖，可得蒞=刷BBl=CC[,^\^AB+AD+BBX=AB+BC+CCX=AQ.

故選：B

變式1.（2023春?江蘇常州?高二華羅庚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在正方體ABCD-ABCQ中，下列

各式中運(yùn)算的結(jié)果為向量西的是（）.

①（礪-附-麗②網(wǎng)+甌卜和；③聞一碉-2西；④（函+羸）+函.

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】A

【分析】根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算結(jié)合空間向量基本定理逐項(xiàng)分析運(yùn)算.

zuuumuuuuunuuiruunuuir

【詳解】對(duì)①：（AR-AAx）-==①正確；

/Uimuuifuuuuruuu'uuuuruuu'

對(duì)②：x②正確；

對(duì)③：以｛須，而，麗｝為基底向量，

,/UumUUH\UUUTUimUUBUUUUUUULWUUUUULIUUUUUUIUUUU

貝"￡>-4用-2即=-48+4￡>-2441,BD,=BC+CD+DD,=-AB+AD+AA,,

uumuiExuuuruuir

根據(jù)空間向量基本定理可知：（zAD-A可-2叫*4。，③錯(cuò)誤;

/uuumuuiixuuurzuuumuuurxuuuruuumzuuuruuurxuuum

對(duì)④：（4R+AA）+DDX=（42+0,0）+DDX=BR+（D,D+DR）=BR,④錯(cuò)誤.

故選：A.

變式2.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)如圖的平行六面體ABCD-A宣CD,化簡(jiǎn)下列各式:

⑴荏+麗-9+西-前；

（2）AC-AC+AD-AA.

【答案】⑴荏;

（2）15.

【分析】（1）由麗=9，WD'=BC,及相反向量的定義即可求解;

（2）由向量減法法則及m=打即可求解.

【詳解】（1）在平行六面體ABCD-A宣CD中，

因?yàn)辂?麗，WD'=BC,

^^AB+BB>-DrA!+WD-BC=AB+CBBr+DrD^-(BC+DrA>^=AB+6-0=AB.

(2)在平行六面體中，

因?yàn)?=而，

^]^~AC'-AC+AD-AA!=^CC-AA^+AD=^D.

變式3.(2023秋?高二課時(shí)練習(xí))已知平行六面體ASCD-A宣CD,則下列四式中:

?AB-CB=AC；

?AC^AB+WC+CC;

③而:五；

@AB+BB'+BC+CC=AC;.

正確的是?

【答案】①②③

【分析】由平行六面體的性質(zhì)，結(jié)合空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算可得.

【詳解】AB~CB=AB+BC=AC,①正確；

AB+BrC,+CC=AB+BC+CC=AC,②正確；

由平行六面體ABC。-A宣CD性質(zhì)可知，③正確；

記的中點(diǎn)為E,

貝I]荏+兩+5?+質(zhì)=而+對(duì)=而+彷=2近大/，④錯(cuò)誤.

故答案為：①②③

A

例5.（2023春?河南信陽(yáng)?高二統(tǒng)考期中）在斜三棱柱為BC-ABC中，BC的中點(diǎn)為

44=5，4A=c,則4M可用Z,瓦"表示為

.,、1-1--

【答案】~2a+2b+C

【分析】利用空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算可求麗.

【詳解】

病=碗+3前=還+：痛=*+：(*-宿)

=一c+—]/\胃b—a一\、=——1a-+—Ifb+c->.

2、,22

故答案為：

變式1.（2023秋?山東濱州?高二統(tǒng)考期末）如圖，在四面體。43c中，涼=＞，OB=b,加＜?點(diǎn)

航在。4上，且滿(mǎn)足的'=3通5,N為3c的中點(diǎn)，則礪=()

1-3r1-n2f171—一1一2T1-3-1_1_

A.—a——b+—cB.——a+—b+—cC?—a——b+—cD.——a+—b+—c

242322232422

【答案】D

【分析】根據(jù)空間向量的加法和減法的三角形法則得到.

【詳解】如圖，連接ON,

o

____,___.3—.

?/OM=3MA,OM=-OA,

4

——?—―.1—.1—?3—.31-1

MN=ON—OM=一。5+—OC—二。4=一二商+±〃+"

224422

故選：D.

變式2.(2023春?江蘇淮安.高二淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))四面體O-ABC中，OP=3PA,Q

是BC的中點(diǎn)，M是尸。的中點(diǎn)，設(shè)次=小OB=bOC=c,則兩=()

A1-1r1一3-1r1-

A.—a+—b+—cB.-ClH—bH—C

466444

31一1111

C.-a+-b+-cD.—a+—br+—c

844344

【答案】c

【分析】利用空間向量的基底表示由，西,再利用向量線(xiàn)性運(yùn)算求解即可.

__,q___

【詳解】因?yàn)橹?3氏m=-OA,

因?yàn)?。?C的中點(diǎn)，所以詼=；(赤+玄)，

因?yàn)椤盀镻Q的中點(diǎn)，=-(OP+OQ)=-OP+-OQ=-OA+-(OB+OC)=^a+^-b+^-c,

22284844

故選：c.

變式3.（2023春?江蘇徐州?高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體ABC。-A4GA中，P是CA的

中點(diǎn)，點(diǎn)。在CA上，且CQ:O4=4:1,設(shè)衣=￡,AD=b,則（）

3-33-7-77-

A.QP=——a-\----b7-\-----cB.QP=——aH-----br------c

101010101010

3-33-1一11一

C.QP=——a-\----br------cD.QP=——a-\----brH------c

101010101010

【答案】C

【分析】利用空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)镻是的中點(diǎn)，

所以Q=J可+宿=g（麗+而+砌=；（￡+5+合,

又因?yàn)辄c(diǎn)。在*上，且CQ：OA=4：I,

所以而=可+碩=麗+?而=麗+2（而-可）=|■記麻

T荏+礪）+）=/+/+?,

_____,__.1一一一1一1一4f3-3一3一

^^QP=AP-AQ=-{a+b+c）--a--b--c=—a+—b-—c,

故選：C.

例6.（2023秋?遼寧鞍山?高二鞍山一中校聯(lián)考期末）在四面體ABCD中，E是棱8的

中點(diǎn)，且屜=*而+＞衣+2而，則x+y+z的值為.

【答案】0

【分析】利用空間向量加減法法則，把屁用荏而表示出來(lái)，即可求出結(jié)果.

D

E

c

［詳解］jZ----------\-r~/

XTB

如圖所示，因?yàn)镋是棱8的中點(diǎn)，

所以麗=［而+：就=；（而一通）+；（玄一麗）=_麗+；蔗+；亞，

貝ljx=_l,y=g,z=g,

所以x+y+z=O,

故答案為：0.

變式1.（2023秋?安徽宣城?高三統(tǒng)考期末）四棱錐P-ABCD中，底面A3CD是平行四邊形,

點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，若醺=x15+y而+z正，則x+y+z等于（）

A

35

A.-B.1C.-D.2

22

【答案】A

【分析】運(yùn)用向量的線(xiàn)性運(yùn)用表示向量霹=g通+g而+；Q,對(duì)照系數(shù)，求得％y，z,代入可

得選項(xiàng).

【詳解】\i\^jAE=AB+BC+CE=AB+Ab+EP=AB+Ai5+（JP-AEy

所以2衣=通+；W+Q,所以M荏+：和+：修，所以x=J,y=；,z=：,

乙乙乙乙乙乙

匚匚91113

^fil^x+y+z=-+-+-=-,

故選：A.

變式2.（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體ABB-ABCQ中，點(diǎn)E是上底面A4GA的

中心，若AE=mAB+nAD+AAi)求"4"的值.

【分析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)￡是上底面4gGA的中心，

所以率=gpx+m）=；（荏+而）=：通+。赤,

又因?yàn)辂?/=荏，

所以荏=3存+g而+麗,

所以根=77=J,

考點(diǎn)三：空間向量共線(xiàn)問(wèn)題

（-）空間向量共線(xiàn)的判斷

例7.（2023?江蘇?高二專(zhuān)題練習(xí)）下列向量中，真命題是.（填序號(hào)）

①若A、B、C、。在一條直線(xiàn)上，則血與而是共線(xiàn)向量；

②若A、B、C,。不在一條直線(xiàn)上，則而與而不是共線(xiàn)向量；

③向量羽與詼?zhǔn)枪簿€(xiàn)向量，則A、B、C、。四點(diǎn)必在一條直線(xiàn)上；

④向量演與前是共線(xiàn)向量，則A、B、C三點(diǎn)必在一條直線(xiàn)上.

【答案】①

【分析】由向量平行共線(xiàn)的定義，依次對(duì)四個(gè)命題判斷即可.

【詳解】對(duì)于①，若A、B、a。在一條直線(xiàn)上，則加與國(guó)是共線(xiàn)向量，故①正確；

對(duì)于②，若a、B、C、。構(gòu)成平行四邊形時(shí)，A、B、C、。不在一條直線(xiàn)上，但是福與麗是

共線(xiàn)向量，故②不正確；

對(duì)于③，若A、B、C、。構(gòu)成平行四邊形時(shí)，A、B、C、。不在一條直線(xiàn)上，但是禰與詼?zhǔn)?/p>

共線(xiàn)向量，故③不正確；

對(duì)于④，若4B、C、。構(gòu)成平行四邊形時(shí)，A、B、C不在一條直線(xiàn)上，但是羽與而是共線(xiàn)

向量，故④不正確；

故答案為：①

變式1.（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體ABCD-ABGR中，。為4c上一點(diǎn)，且郎=（荏，

3。與AC交于點(diǎn)求證：三點(diǎn)共線(xiàn).

【答案】證明見(jiàn)解析.

【分析】取空間的基底，利用空間向量基本定理探求國(guó)，痂的關(guān)系，即可推理作答.

【詳解】在正方體中，令羽=￡,而=反常=,

___2__.

AO=-^C,3。與AC交于點(diǎn)“，即點(diǎn)”是AC的中點(diǎn)，

^■^MO=MC+W=-AC+-CA=-AC+-(AA^-AC)=-AC+-AA

23l2363l

1—?—?1——?1-1一1一

=-(AB+AD)+-AA=-a+-b+-c,

63,663

MCi=MC+CCi=^AC+A^=^(AB+AD)+A^=^a+^b+c,

因此西=3礪，即函7/詬，而直線(xiàn)"G與直線(xiàn)MO有公共點(diǎn)M,

所以G，QM三點(diǎn)共線(xiàn).

變式2.(2023?江蘇?高二專(zhuān)題練習(xí))已知0、A、B、C、。、E、F、G、H為空間的9個(gè)點(diǎn)

(如圖所示)，并且礪=左次，OF=kOB,OH=kOD,AC=A5+mAB,EG=EH+mEF.求證：

AC//EG.

o

【答案】證明見(jiàn)解析.

【分析】根據(jù)題意，由向量的線(xiàn)性運(yùn)算可得麗=即可得到證明.

【詳解】-：OE=kOA,OF=kOB,OH=kOD,

EG=EH+inEF=OH-OE+m[bF-OE^

=k（0D-OA^+hn（0B-OAj=kAD+kmAB=k^AD+mAB^=kAC,

AC//EG,

因?yàn)锳C、EG無(wú)公共點(diǎn),故AC//EG.

例8.（2023春?福建莆田?高二?？茧A段練習(xí)）已知不共線(xiàn)向量，，W9=1-2晟+小

司=-5：6最+4。礪=71+25_2。則一定共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)是（）

A.O,P,QB.P,Q,R

C.O,Q,RD.O,P,R

【答案】D

【分析】根據(jù)平面向量共線(xiàn)定理分別判斷配①，QR,PQ,OQ,QR,麗苑四組向量是否共線(xiàn),

即可得解.

【詳解】若成〃而，則存在唯一實(shí)數(shù)九使得加=幾用,

即G—26+6=2(-5,-6^+41)9

1=-52

所以卜2=-6"無(wú)解，

1=42

所以麗，地不共線(xiàn)，則。尸，。三點(diǎn)不共線(xiàn),

若麗〃而，則存在唯一實(shí)數(shù)X使得宓=幾用,

即7G+2e?—2e：=A(-5q-6e?+4q),

7=-5A

所以＜2=-6"無(wú)解,

-2=42

所以灰，而不共線(xiàn)，則P,Q,R三點(diǎn)不共線(xiàn)，

OQ=OP+PQ=-4q—8e2+5e3,

若而〃詼，則存在唯一實(shí)數(shù)九使得麗=4弧，

即-^4^|-8e,+=4(7q+2e,-2q),

-4=72

所以-8=2"無(wú)解，

5=-22

所以麗，加不共線(xiàn)，則。，。，尺三點(diǎn)不共線(xiàn)，

PR=PQ+QR=2gj—4e2+2e3=20P,

所以中〃而，

又點(diǎn)尸為兩向量的公共端點(diǎn)，所以。，尸，尺三點(diǎn)共線(xiàn).

故選：D.

變式1.(2023春?高二課時(shí)練習(xí))如圖，已知M,N分別為四面體A-3CD的面BCD與面ACD

的重心，G為AM上一點(diǎn)，且GN：G4=1：3.求證：B,G,N三點(diǎn)共線(xiàn).

【答案】證明見(jiàn)解析.

【分析】由空間向量的共線(xiàn)定理證明，

【詳解】證明：取CD的中點(diǎn)E,連接AE,BE,

A

因?yàn)镸,N分別為四面體A-BCD的面DCD與面ACD的重心,

所以般在BE上，N在AE上，

設(shè)AB=a,AC=b,AD=c,

因?yàn)镸為△BCD的重心，

所以加=方+加=而++:^町

=AB+|(BC+BD)

=AB+^(AC-AB+AD-AB)

=^AB+AC+AD]=^a+b+^

因?yàn)镚A/=G4=1:3,所以而=—Z而，

4

^\)XBG=BA+AG=BA+^AM=~a+^a+b+c)=-^a+^b+^c,

\s]^^BN=BA+AN=BA+^(AC+AD)=-a+^b+^c=^BG,

'.BN//BG.

又BNcBG=B,

???B,G,N三點(diǎn)共線(xiàn)

（-）由空間向量共線(xiàn)求參數(shù)值

在1例9.（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)于空間任意兩個(gè)非零向量￡,b,

“Z〃廠(chǎng)是“夕@=0”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)充分和必要條件的定義法，再結(jié)合共線(xiàn)向量的定義即可求解.

【詳解】顯然他犯=0能推出￡〃鞏但包括向量Z,B同向共線(xiàn)和反向共線(xiàn)兩種情況，

即當(dāng)時(shí)，得（癡）=?；蜇?

因此推不出（癡）=。,

故“3〃是“口@=0”的必要不充分條件.

故選：B.

變式1.（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）若空間非零向量錄高不共線(xiàn)，則使2癡-1與[+2,+1用

共線(xiàn)的左的值為.

【答案】-；/-0-5

【分析】由題存在實(shí)數(shù)丸使得2叱+2（左+1）可，解相應(yīng)方程可得答案.

【詳解】由題意知，存在實(shí)數(shù)2使得2苗-貳=%5+2（左+1）臼，

即3[2k（=2A）=一產(chǎn)叱,+妹+1=0,解得一1,

故答案為：

變式2.（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)?是空間兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量，已知血=2冢+砥'，

配=1+3政，成=24-耳，且A,B,。三點(diǎn)共線(xiàn)，求實(shí)數(shù)上的值.

【答案】-8.

【分析】利用空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算，結(jié)合共線(xiàn)向量定理，列式計(jì)算作答.

【詳解】因?yàn)槠?冢+3z，DC=2ex-e\,則有而=配+赤=0+31）一（21）=-冢+4最，

又A,B,。二點(diǎn)共線(xiàn)，于是A5=45。，即2q+左4=4（-G+44）,而弓,與不共線(xiàn)，

f2=-2

因此（7/1，解得左=-8,

K=4/

所以實(shí)數(shù)上的值是-8.

變式3.（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)耳，或是兩個(gè)不共線(xiàn)的空間向量，若麗=21旦，前=31+34,

陰=之+點(diǎn)，且A,C,。三點(diǎn)共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)左的值為.

【答案】j/0.4

【分析】由向量加法得庶=5冢+2區(qū)，由A,C,。三點(diǎn)共線(xiàn)得2-5%=0,即可求

【詳斛】?AB=2q-弓，BC=3e1+3e2,CD=ex+ke2,

：.AC=AB+BC=5^+2^,又TA,C,。三點(diǎn)共線(xiàn)，AAC//CD,

2

.,?2—5左=0,?,?左二1.

7

故答案為：j.

（三）空間共線(xiàn)向量定理的推論及其應(yīng)用

△1例10.（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）已知A、B、P共線(xiàn)，。為空間任意一點(diǎn)（。、A、8不

共線(xiàn)），且存在實(shí)數(shù)a、p,使中=&為+夕詼，求&+￡的直

【答案】"=1

【分析】分析可知存在meR使得西=山前，利用空間向量共線(xiàn)的基本定理可求得a+￡的值.

【詳解】因?yàn)锳、B、P共線(xiàn)，則存在〃zeR使得西=加衣，即西-無(wú)=加（礪-訊），

所以，OP=（l+m）OA-mOB,

又因?yàn)辂?a函+月礪，貝［］（z+￡=（l+m）_機(jī)=1.

變式1.（2023?江蘇?高二專(zhuān)題練習(xí)）在正方體ABCD-ABC■中，點(diǎn)E在對(duì)角線(xiàn)。8上，且

四同=；忸同，點(diǎn)R在棱RG上，若A、E、R三點(diǎn)共線(xiàn)，則|。同=\FQ\.

【答案】1/0.5

【分析】設(shè)陽(yáng)=4怛G|,可得屏=!取+??爐，根據(jù)A、E、R三點(diǎn)共線(xiàn)即可求得.

44A

【詳解】因?yàn)檎襟w中，取=取+屈=取+而,

設(shè)|。閨="端，又|2目=；阿I，

___?___?2+1?___?1__?2+1?

所以4RE=DXA+D1F,BPD1E=-D1A+RF,

因?yàn)?、E、/三點(diǎn)共線(xiàn)，所以1+竺1=1,解得即|。閔=（恒（4

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