空間向量和立體幾何高考復(fù)習(xí)專題十五

知識(shí)點(diǎn)一證明線面垂直，線面垂直證明線線垂直，線面角的向量求法

典例1、如圖，在三棱柱/BC-48C中，/4,平面A5C,AB1BC,A4=4B=BC=2.

(1)求證：平面44J

(2)記4c和8G的交點(diǎn)為必，點(diǎn)N在線段43上，滿足MV〃平面4』CC1,求直線NG與

平面48c所成角的正弦值.

隨堂練習(xí)：如圖，在三棱柱NBC-48G中,

AC1BC,BXC1AB,AAX=AB^^2,AC=1,ABXAC=45°,F是4c

的中點(diǎn).

(1)證明：ACLBBX.(2)求4尸與平面/CG4所成角的正弦值.

B

典例2、在直角梯形/BCD中，ZABC=90°,BC//AD,AD=4,AB=BC=2,〃為線段

中點(diǎn)，將“3c沿/C折起，使平面4BC/平面/CD,得到幾何體3-ZCD.

(1)求證：48/平面3cD；(2)求直線與平面8GW所成角的正弦值.

DA

隨堂練習(xí)：如圖，在四邊形四切中，BC=CD,BCLCD,ADLBD,以劭為折痕把劭

折起，使點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)夕的位置，且PCLBC.

(1)證明：陽(yáng)，平面86?；

(2)若〃為陽(yáng)的中點(diǎn)，二面角P-%-〃等于60°,求直線夕。與平面加9所成角的

正弦值.

C

知識(shí)點(diǎn)二證明線面平行，求組合體的體積

典例3、如圖所示，在直三棱柱NBC-48G中，〃是4的中點(diǎn).

(1)證明：8C"/平面4。。；

(2)設(shè)A4=AC=CB=2,4B=2e,求三棱錐4-4DC的體積.

隨堂練習(xí)：已知四棱錐Z-5CE尸中，BFUCE,CEL平面/3C,點(diǎn)M為/E三等分點(diǎn)(靠

近A點(diǎn))，AB=BC=CE=3,BF=1,AC=343.

(1)求證：9//平面N3C；(2)求三棱錐W-N5尸的體積.

E

M

C

B

典例4、如圖，已知在長(zhǎng)方體/3CO-44G2中，DA=DC=2,Z肛=3,點(diǎn)￡是2c的中

點(diǎn).

(1)求證：平面颯2；(2)求三棱錐。-引”的體積.

隨堂練習(xí)：如圖，在四棱錐尸-/3CO中，△尸是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，梯形/BCD滿

足BC=CD=1,AB//CD,AB1BC,M為/尸的中點(diǎn).

(1)求證：DM〃平面P3C；(2)若PD=2,求三棱錐C-P4。的體積.

P

典例5、如圖所示，在直三棱柱/3C-44c中，AC1BC,eq=3A/3,BC=3,ZC=2若

(1)當(dāng)月為4c的中點(diǎn)時(shí)，求證：43/平面/P￡；

(2)當(dāng)/尸，尸q時(shí)，求三棱錐尸—CG的體積.

隨堂練習(xí)：如圖，在三棱柱NBC-48c中，側(cè)棱平面/3C,AC=3,AB=5,BC=4,

“4=4,點(diǎn)。是的中點(diǎn).

(1)求證：/G〃平面。片；(2)求三棱錐。-44G的體積.

典例6、如圖，在四棱柱居CD-44CQ中，點(diǎn)〃是線段8山上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E,6分別是

3C,CM的中點(diǎn).

(1)設(shè)G為棱C。上的一點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)G在什么位置時(shí)，平面GE尸〃平面

(2)設(shè)三棱錐C-BZ2的體積為匕，四棱柱/BCD-44G2的體積為匕，求%

隨堂練習(xí)：已知正三棱柱N8C-&SC中，AB=2,M是4G的中點(diǎn).

(1)求證：/￡〃平面49；

(2)點(diǎn)P是直線/￡上的一點(diǎn)，當(dāng)與平面43C所成的角的正切值為2時(shí)，求三棱錐

P—S的體積.

空間向量和立體幾何高考復(fù)習(xí)專題十五答案

典例1、答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）B

3

解：（1）證明：：在三棱柱ABC-44G中，融J平面ABC，因?yàn)閆Bu平面ABC,^BBtlAB,

因?yàn)?B13C,BBQBC=B,所以431平面BCC4,

,/8。u平面BCJBi,/.AB1BCX,因?yàn)椤ˋXBX,所以4囪1BCX,

因?yàn)?4=43=8。=2,故四邊形為8CG為菱形，故

4gAB\C=,：.BQ1平面4及C

（2）由MV//平面4/CG，MVu平面3/￡,平面2/?c平面Z/CG=&G,

故MN//AC，又〃為垢中點(diǎn)，故N為網(wǎng)中點(diǎn).

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以前，瓦I畫(huà)為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則N(0,1,1),G(2,0,2),5(0,0,0),4(0,2,2),C(2,0,0)

數(shù)=(2,0,0),34=(0,2,2),設(shè)平面43c的法向量而=(》//),

x=0

BC->n=0

?、?7,

BA-m=0

Xz=1

又函=(2,-i,i),設(shè)直線NG與平面4BC所成的角大小為e,

I鶯同2一百

則sin^=cos(7VC19m

|而,麗|V6-V23

即直線Nq與平面43c所成角的正弦值為

3

隨堂練習(xí)：答案：(1)證明見(jiàn)解析(2)4

5

解：(1)取中點(diǎn)為C,連接用G,CG,在中，根據(jù)勾股定理可得8c=1=/C,因

止匕CGLZ3,

而已知4。，N8,CG口4C=C,，平面4CG,

/.AB1Bfi,/.AB[=BB[=44]=6；；ABXAC=45°,AC=1,

由余弦定理可得耳c=JAB：+-2AB『CC?cos45。=1,AB^=AC1+B.C1,

因此AC1B1C,-：AC1BC,BCcB?=C,:.AC1平面BBgC,

而B(niǎo)qu平面:.ACLBB-

(2)由(1)得，AC1B.C,又耳。_1_/8,/。口/3=4，4。，平面43。，

故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，C4CB,C4分別為x,、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

則：41,0,0),5(0,1,0),C(0,0,0),片(0,0,1),尸,0,。］,

AC=(-1,0,0),西=BBt=(0,-1,1),

r,1衣.萬(wàn)=_尤=0

設(shè)平面/CC/1的法向量為五=（x,%z）,人［西方=_y+z=0

令z=l,可取力=(0,1,1),又病=1；,0,1

所以B}F與平面ACC/所成角6的正弦值

sin0=cos〈_PS],n）\=~r——廣-------

11期何亞行5

2

典例2、答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）e

3

解：（1）證明：在直角梯形/BCD中，ZABC=90°,AD=4,AB=BC=2,

AC=CD=2y/2,：.AD2^CD2+AC2,從而CD_L/C

又平面平面/CD,且平面/BCc平面/CD=/C

CD,平面Z5C,ABu平面/5C,CDLAB.

又AB，BC,且8CcCD=C,/.ABBCD

（2）取NC的中點(diǎn)0,連接。8,

由題設(shè)知A/IBC為等腰直角三角形，

又平面/3C1平面/CD,且平面平面ZCD=/C,OB1ACM

連接OM,因?yàn)椤?，。分別為/。和/C的中點(diǎn)，.?.（WaCD

由（1）可知。以0Moe,08分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐

標(biāo)系，

則力僅立亞,0）,3（0,0,⑹，C（0,V2,0）,M（V2,0,0）,

:.CB=(O,-近，吟,CM=(V2,-V2,0),而=僅①衣-匈

ri'CB=-41y+V2z=0A…

設(shè)平面BCM的法向量為n=(x/,z),貝小心碗=瓜_6=0'々x=l'川

〃=(1,1,1)

IUULU'I'

/uurr-\BD-n2V2V2

設(shè)直線與平面3cM所成角為3,sinO=cos(BD,n|UUT|iri=—j=---7==--

網(wǎng)A2G3

故直線皿與平面曲所成角的正弦值為爭(zhēng)

隨堂練習(xí)：答案：⑴證明見(jiàn)解析⑵T

解：(1)*:BCLCD,BCLPC,且wna?=c,.?.比二平面夕功,

又PDU平面PCD,...BCVPD.

■:PDLBD,BD^BC=B,，774平面9；

(2)'：PCVBC,CDLBC,.?.N9是二面角0-80-〃的平面角，則NP<2?=60°,

因此PD=C?tan60o=VJc。，取劭的中點(diǎn)。，連接M0C,

由已知可得(M0C,①兩兩互相垂直，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C,0D,加所在直線為X,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，

設(shè)如=1,則夕(0,1,V6),。(1,0,0),D(0,1,0),〃(0,0,如)，

2

__([7\

C?=(-1,1,V6),麗=(-1/,0),CM=.

設(shè)平面JO的一個(gè)法向量為力=(x,了，2),

nCD=-x+y=0

由，_—.屈,取Z=0,得"=(百，百，行).

n-CM=-x-\--z=0

2

CPnV3

cos<兀CP>=

PH4-

故直線PC與平面就刀所成角的正弦值為3.

4

典例3、答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）f.

解：（1）連交4c于O,則。為ZG的中點(diǎn)，連。。，

因?yàn)?。為的中點(diǎn)，所以8//8G，因?yàn)?G<Z平面4C。，OOu平面4CD,

所以BC"/平面4cA.

(2)因?yàn)镹C=8C=2,AB=26,所以/爐=ZC2+5C。，所以“C」8C,

所以〃TeoS〃8C=；X2X；X；X2X2=：.

隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）立

4

解：（1）取力。三等分點(diǎn)N,

所以“N=；ZC=g,AM=^AE,MNHEC又因?yàn)镸V=；CE=1,BF/ICE,

BF=19

所以MN//BF&MN=BF,所以四邊形MV既為平行四邊形,

所:以FM"BN,又好/0平面ABC,瓦Vu平面48C,即W〃平面48c.

⑵因?yàn)?為/E三等分點(diǎn)，tUVM-ABF=|VE-ABF=|VA-BEF）

BF//CE,CE_L平面/3C,平面班F_L平面Z5C,

且平面8跖I平面/3C=BC,過(guò)點(diǎn)A作3C的垂線交BC延長(zhǎng)線于“，如下圖所

示：

由線面垂直的性質(zhì)有AHL平面BE尸,

所以點(diǎn)A到平面8跖的距離為記N〃=/z,

9+9-271

因?yàn)閆5=BC=CE=3,BF=1,AC=343,cosZABC=-----------

2

所以加C4,h=AB%=當(dāng),S"U，

VJr/_1T/_1?,13373_V3

VM-ABF=~^E-ABF=~^A-BEF='°/=§X5X——二彳

即三棱錐M-ABF的體積為1.

4

典例4、答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）1

解：（1）因?yàn)樗倪呅嗡目跒榫匦?，?"助=。，則。為M的中點(diǎn),

又因?yàn)椤隇?1的中點(diǎn)，則OE//4D],平面砌2,?！?lt;=平面龐ft

因此，“2〃平面圾7；

(2)在長(zhǎng)方體/BCD-44GA中，8C」平面CDAG,

xx

因it匕，VD「BDE=—B-DD聲=1SaD\DE,BC=Jf—xl3Jx2=l.

隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）3

解：（1）取8尸中點(diǎn)N,連接MN,CN,易得跖V〃/3且跖V=；/B=l,又AB//CD,CO=1,

靴MN"CD,MN=CD,則四邊形C/MW為平行四邊形，則DW〃QV,

又。平面尸3C,CNu平面尸5C,則DW〃平面P5C；

（2）取N8中點(diǎn)。，連接。O，P0,則又DCHBQ,DC=BQ,

則四邊形DQ3C為平行四邊形，則OQ=BC=1,

PQ72T=也，又9。=2,DQ2+PQ2^PD2,則

又ZB,。。＜z平面48cD,ABcDQ=Q,

則尸01平面”8,又CDLBC,S^ACD=\-CD-BC=~,

則%,3=1尸。4"°=；x百x；=f.

3326

77

典例5、答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）T

解：（1）連接4c交NG于。點(diǎn)，連接。尸，因?yàn)镹BC-43c為棱柱，

所以四邊形/CQ4為平行四邊形,

所以。為4c的中點(diǎn)，又尸為耳C的中點(diǎn)，所以。尸〃4片,

因?yàn)镺Pu平面/尸G,4耳a平面/尸。所以4片〃平面/尸。..

(2)因?yàn)?BCF4G為直棱柱，所以CCJ平面”C,/Cu平面/8C,所以

CCXLAC,

XACIBC,8c交CG于。點(diǎn)，8C,cqu平面6CCS,

所以NC,平面8CG4，同理BC」平面/CCd，

又G尸u平面BCCR,所以/C，Cf,

因?yàn)镹PJ_C]尸，ACHAP^A,AC,/Pu平面/C4,

所以G尸，平面/sc,4。<=平面/8（,所以G尸，4c

在直棱柱/BC-44G中.3。=3,CG=36，則4c=6,

jr933

所以/CCA=：,CP=CC]COSNCICBT=F貝!=K所以C尸二：CA，

o224

33127

/所/1以/、/右一dACdC[=4~VZB>]-AylCC]=4i_3SZ“xdcCCcj.BC=——4.

又S“CG=；x2Vjx30=9,3C=平面NCG4，BC=3

33127

%-4cc\=4七-/eq=HSMCC'BC=—.

隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）4.

解：（1）證明：設(shè)M與C/的交點(diǎn)為￡,連接。E,

,.,D是的中點(diǎn)，￡是3G的中點(diǎn)，.'.DE〃月G，

,.?DEu平面C。片，NGO平面CD用，.?./5〃平面CD4.

（2）取ZC的中點(diǎn)可，連接DM,C、D,

直三棱柱4BC-4BG中，441，平面48C,而B(niǎo)Cu平面MC,^BCLAAX,

為的中點(diǎn)，：.DM//BC^,DM=^BC=2.

又?.,BCL/C,BC±AA1,AC^AAX=A,，8C1平面4CC/j,.?.￡）河工平面

ACCXAX.

1111

=-AAAC=-x4x3=6V_=-DM-S^=；x2x6=4.

Azl/iiV-1cr1111lcfUD171A/1]A5CC△ziziicIc

典例6、答案：（1）。為CO中點(diǎn)時(shí)，平面G跖〃平面（2）；

解：（1）G為C。中點(diǎn)時(shí)，平面GEF〃平面

理由如下：連接8W,取CD