高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊第一章綜合檢測卷(拔尖C卷)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分.

1.在平行六面體A5CD-A耳G，中，點M滿足2AA/=AC.若A4=。,AD，則下列向

量中與4"相等的是()

A.一。——b+cB.—aT—b+c

2222

117

D.——CL——b+c

22

【答案】C

【分析】結(jié)合圖形，由空間向量的線性運算可得.

由點/滿足2AM=AC,所以/為AC中點,

因為四邊形幺5co為平行四邊形，所以河為3。中點,

所以BM=g2￡)=g(BA+BC)=g(一a+6),

以=B[B+BM=c+](-a+6)=——(2+—Z?+c.

故選：C

2.在平行六面體ABC。-A,gC.中，AA,=1,AB=AD=y/2,且AD=A8=45,ADAB=60,

則幽卜()

A.1B.V2C.73D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)圖形，利用向量的加法法則得到3。=-鉆+9+明，再利用空間向量的數(shù)量積

及運算律求模長.

【詳解】以｛AB,AD,"｝為基底向量，可得*=3A+AD+皿=-AB+AD+M,

UULT2uunUUBIuunuun2皿皿2uun2uunuumuunuuuuumuuu

則町=(-AB+AD+AAiy=AB+AD+A4,-2AB-AD-2AB-AA.+2AD-

=1+2+2—2X>/2XV2XCOS60-2X^2xlxcos45+2X^/2xlxcos45

=5-4X1-272X^+272X^=3,

222

回,叫=石.

故選：C.

3.已知。、夕是空間中兩個不同的平面，加、”是空間中兩條不同的直線，則下列命題中正確

的是（）

A.若mlln,”ua,則在/&B.若mJla,mJ//3,則a//6

C.若aJ■尸，mua,則相_L"D.若m_La,n±/3,m^n,則&

【答案】D

【分析】利用空間中線面、面面的位置關(guān)系可判斷ABC選項；利用空間向量法可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，若〃〃"，"ua’則能〃c或mua,A錯；

對于B選項，若加〃ar,mlIP,則a//月或a、夕相交，B錯；

對于C選項，若。，力，mua,則他//尸或加u力或機、夕相交（不一定垂直），C錯;

對于D選項，設(shè)直線機、〃的方向向量分別為a、b,

若“J-，，m±n,則平面a、夕的一個法向量分別為a、b,且a_L。，故。，，，D對.

故選：D.

4.已知正四面體4SCD的棱長為a,點E,尸分別是8C,幺。的中點，則AE.AF的值為（）

A.a2B.-a2C.-a2D.2a1

242

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的線性運算得出AE=；（A8+AC）,AF=^AD,根據(jù)正四面體的性質(zhì)得出

\AB\=\AC\=\AD\=a,且鉆、AC、AD三向量兩兩夾角為即可通過向量數(shù)量積的運算率得

出答案.

四面體45co是正四面體，

.?.|AB|=|AC|=|AD|=<2,且A6、AC>AD三向量兩兩夾角為l

.點E,尸分別是8C,4D的中點，

11

/.AE=-(AB+AC],AF=-AD,

2、>2

則4曰4尸=；(43+402￡>=；(42-4￡>+4%￡>)=；]。285(+/855]=；/,

故選：C.

5.在正方體ABCD-AB?。中，尸為線段AB上的動點（不包含端點），若正方體棱長為1,則

下列結(jié)論正確的有（）

①直線2尸與NC所成角的取值范圍是［弓］

②存在P點，使得平面APR〃平面CXBD

③三棱錐A-CDP的體積為1

④平面APR截正方體所得的截面可能是直角三角形

A.①③B.②④C.③④D.②③

【答案】D

【分析】①建立平面直角坐標(biāo)系，利用異面直線所稱角的向量坐標(biāo)法，即可求解；②當(dāng)點尸為

中點時，即可判斷面面平行；③結(jié)合等體積轉(zhuǎn)化?一皿＞=%一皿”即可求解；④討論點尸的位

置，作出截面，即可判斷.

【詳解】①如圖，連結(jié)AC。/,以點。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則

A(1,O,O),3(1,1,0),A(1,0,1),D(o,o,o),2(0,。。),c(o,i,o),

則有AC=(-1,1,0),設(shè)=

。尸=oA+243=(1,0,0)+A(0,1,-1)=(1,2,-2),2e(0,1),

所以卜os(AC,")卜-1+A

02萬+1

(l-<，“八8A--4/1—44(2A+1)(A-1)

加(。,1),則/(刈=加曠<0

令〃勿(422+2)2

4A2+2

所以〃幻=。4在(0,1)上單調(diào)遞減，因為"0)=4，/(1)=0,

v7422+22

設(shè)直線2尸與ZC所成角為口，所以O(shè)vcostz=kos(AC，2P，＜￥,又ae0,^

故直線2尸與NC所成角的取值范圍是故①錯誤；

②當(dāng)點P為48的中點時，有AP//CQ,APa平面GB。，CQu平面GB。,

所以"http://平面GBD,同理，A。"/平面CW且ARAP=A,4〃,4/^平面”2,

所以平面”2〃G3,故②正確；

③三棱錐2-COP的體積/匹加=%一°皿=；乂5＜皿xAD=gx；xlxlxl=g,故③正確；

④設(shè)48的中點為。，連結(jié)ARAR,口尸，當(dāng)點尸在線段。8(不包括端點)上時，止匕時平面AP。

截正方體所得的截面為梯形AEFR,如圖,

當(dāng)點P在。點時，此時平面APQ截正方體所得的截面為正三角形A8Q,如圖,

當(dāng)點P在線段。4（不包括端點）時，此時平面APQ截正方體所得的截面為等腰三角形ARG,

如圖，AD、=丘,D1G=AG>1,所以nGe+AGfAZY，NAG，為銳角，該等腰三角形不可能為

綜上，可得④錯誤.

故選：D

6.如圖，在正方體4BCD-ABGA中，￡為棱CG上一點且CE=；CG，則直線在田與平面3DE所

成角的正弦值為（）

A3而DV22r733n2V22

11111111

【答案】D

【分析】以點。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

【詳解】以點。為原點，分別為x軸、了軸、2軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)鉆=3,則D(0,0,0),B(3,3,0),E(0,3,1),A(3,0,3),

所以DB=(3,3,0),DE=(0,3,1),^5=(0,3,-3),

設(shè)平面BDE的法向量為機=(x,y,z),

則2rri'EDB=0,,*[33xy++3zy==00,,令.x"則_,—3,所以,…T),

設(shè)直線與平面BDE所成角為巴

2722

11

故選：D.

7.如圖，在正方體ABC。-中，尸為線段5G的中點，E為線段AG上的動點，下列四

個結(jié)論中，正確的是()

Di

A.EF平面ABCR

B.存在點E,使EFI平面8月GC

C.存在點E,使跖〃A。

D.DBt1EF

【答案】D

【分析】當(dāng)E與A重合時，EF平面ABCR=4,即可判斷A；設(shè)正方體的棱長為1,以點。為

坐標(biāo)原點，以ZM,DC,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)GE=/1￡A（O<X<1），

可得EP坐標(biāo)，由防?明=-；20可知所與B片不垂直，即可判斷B；若E尸〃A。，則竹=儲。，

列方程組求解可判斷C；由。旦?EF=0可判斷D.

【詳解】當(dāng)E與A重合時，又Pe平面43磔，則E尸平面”卬=4,故A錯誤；

設(shè)正方體的棱長為1,以點。為坐標(biāo)原點，以加，DC,所在直線分別為x，Xz軸建立空間

直角坐標(biāo)系，

則￡>(O,O,O),B(1,1,O),C(O,1,O),4(1,0,1),男(1,1,1),G(0,1,1),

設(shè)GE=2GA(°VXV1)，又GA=(L—1,0)，0^￡=(2,-2,0),

DC,=(0,1,1),貝|JDE=OG+GE=(41_41),回=

0BB,=(0,0,1),EF■?網(wǎng)=-gwO,回EF與陰不垂直，而BBjU平面BBCC,則所與平面叫C〔C不

垂直，故B錯誤;

——A=-k

2

AC=（T1,-1）,若匹〃4C,則￡F=左AC，則幾=左，此方程無解，故不存在點E,使匹〃AC,

故C錯誤;

「故正確.

HDBj=（1,1,1）,=DBEF=g-2+T=Q,^DB^EF,D

故選：D.

8.在正四棱錐P-ABCD中，PA=AB=2,E在棱上，下在直線CE上，則"的最小值是（）

A4/R4A/6「2石n276

3333

【答案】D

【分析】以。為原點，分別以O(shè)C,OD,0P的方向為X軸、V軸和Z軸軸的正方向建立的空間

直角坐標(biāo)系，設(shè)PE=4PL>=（0,&,-"I）和CE^-女,&,血-&）,求得點Z到直線CE的距

離d的表達式，進而求得最小值.

【詳解】如圖所以，連接NC,BD,記ACBD=O,連接。尸，

由正四棱錐的性質(zhì)可知。C,0D,。尸兩兩垂直，則以。為原點，分別以O(shè)C,OD,0P的方

向為x軸、y軸和z軸軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因為B4=AB=2,所以川-夜,0,0）,C（>/2,0,0）,D（0,V2,0）,尸（0,0,0），

則C4=（-2夜,0,0）,PD=（0,72,-72）,

設(shè)尸E=APD=（0,&,一&）,則￡（0,722,忘一屆），

從而庭=卜血,&,

Jr工+4考

故點/到直線CE的距離04?-斗耳

1U詞

即ZE的最小值是半.

故選：D.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，

有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.

9.已知點P是平行四邊形45co所在平面外一點，AB=（-1,2,2）,A￡>=（0』,3）,AP=（2,l,0）下列

結(jié)論中正確的是（）

A.AP.LABB.存在實數(shù)2,使"=九如

C.AP不是平面A3CD的法向量D.四邊形ABCD的面積為底

【答案】ACD

【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式、空間向量共線向量的性質(zhì)，結(jié)合法向量的性

質(zhì)、空間向量模的公式、空間向量夾角公式逐一判斷即可.

【詳解】A：AP-AB=-lx2+2xl+2x0=0=>AP1AB=>AP±AB,所以本選項結(jié)論正確；

B：BD=AD-AB^（1,-1,1）,假設(shè)存在存在實數(shù)X,使AP=AB。，

AP=ABD^（2,l,0）=2（l,-l,l）^1=-2,顯然方程組無實數(shù)解，因此假設(shè)不成立，所以不存在實

數(shù)％,使=因此本選項說法不正確；

C：AP.AO=Ox2+lxl+3xO=lnAP,AB不互相垂直，所以AP不是平面ABCD的法向量，因此本

選項說法正確；

ABAD\|2+6]4A/10

D：|COS<AB,A￡))|=

AB\-\AD\~"15

所以sin<AB,AD)=Jl-cos2(AB,AD)=

四邊形ABCD的面積為：2*g?|?A。?sin〈AB,AD)=,J(-1)2+22+22xVl2+32x等=726,

因此本選項說法正確，

故選：ACD

【點睛】關(guān)鍵點睛：利用空間向量夾角公式，結(jié)合三角形面積公式是解題的關(guān)鍵

10.已知四面體ABCD中，AB,AC,AD兩兩垂直，則以下結(jié)論中一定成立的是()

A.\AB+AC+AD^^AB+AC-AD^；B.(AB+AC+AD)-BC=0

c.|AB+AC+AZ>|'=|AB|'+|AC|-+|AZ)|2；D.ABCD=ACBD=ADBC

【答案】ACD

【分析】利用AB,AC,AD兩兩垂直,可得(AB+AC).AD=0,對于A選項，兩邊平方化簡后

相等可判斷A選項；對于B選項，將2C=AC-A3,代入化簡得到一A/不一定為0,可判

斷B選項；對于C選項，左邊直接平方利用向量垂直數(shù)量積為0化簡，可判斷C選項；對于D

選項，^AB-CD=AB(AD-AC)=Q,同理AT>.8C=0,可判斷D選項.

【詳解】由題意可知，AB,AC,AD兩兩垂直，所以(AB+AC>AD=0,

對于A選項，(AB+AC+ADy=(AB+AQ2+AD2+2(AB+ACyAD=

22

(AB+AC)2+AD~,(AB+AC-AD)2=(AB+AC)2+AD-2(AB+AC)AD^

(AB+ACy+AD,^\AB+AC+AD\=\AB+AC-AD\,所以A選項正確;

2

對于B選項，(AB+AC+AD^-BC=(AB+AC+AD)■(AC-AB)=AC_,

當(dāng)ACJAB?時，AC-AB=0^否則不成立，所以選項B不正確；

對于C選項，(AB+AC+AD)2=|AB|2+|AC|2+1+2AB-AC+2AB-AD+

2AC-AD=|AB|2+|AC|2+|AZ)|2,所以選項c正確；

對于D選項，AB-CD=AB(AD-AC)=0,同理可得=0,ADBC=0,

所以AB-C￡>=AC-8O=選項D正確,

故選：ACD

11.在棱長為2的正方體ABCD-ABCQ中，點E/分別是棱BC,CG的中點，點尸是側(cè)面BCG瓦

內(nèi)一點(包含邊界)，若4尸//平面AEF,則下面哪些值可能是線段4P的長度()

___G

二71

------

A.$B.fC.D.亭

【答案】CD

【分析】以。為原點，D4為X軸，0c為y軸，。2為Z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法

能求出線段AT長度取最小值、最大值即可得解.

【詳解】以。為原點，QA為X軸，OC為y軸，?！閦軸,建立空間直角坐標(biāo)系，

八Z

4____________C1

--------Bx/p

A(2,0,o),E(l,2,0),F(0,2,1),4(2,0,2),

AE=(-1,2,o),AF=(-2,2,1),

設(shè)平面AEF的法向量”=(x,y,z),

叱[?n-A女E=—-x+2y=0，取i得…‘匕幻，

設(shè)P(。，2,c),0<a<2,0<c<2,則AP=(a-2,2,c-2)

AP平行于平面A肝，

4P?力=2(〃—2)+2+2(c—2)=0,整理得〃+C=3,

線段AP長度I4尸1=-2『+2?+(c—2尸=yl(a—2)2+4+(1-a)2=^(a——)2+—,

當(dāng)且僅當(dāng)a=c=：時，線段AP長度取最小值孚，當(dāng)。=0,c=3時，線段弓尸長度取最大值3.

故選：CD.

12.如圖，平面ABCD人平面4BER四邊形45CQ是正方形，四邊形4BE尸是矩形，若G是

EF的中點，AF=1,AB=2,則()

A.ACBG=-1B.所〃平面48C。

C.AGLBCD.三棱錐C-ABG外接球的表面積是阮

【答案】BCD

【分析】利用已知結(jié)合數(shù)量積的運算求解可判斷選項A,由線面平行的判定定理可判斷選項B,

由面面垂直的性質(zhì)定理可判斷選項C,計算可得AGC為直角三角形，再由MC為直角三角形，

可知AC為三棱錐C-ASG的外接球的直徑，再由球的表面積公式可判斷選項D.

【詳解】解：AC=AB+AD,BG=BE+^BA=AF-AB,

：.AC-BG=(AB+AD)-^AF-^AB^,

又AB,AF,AD兩兩相互垂直，

12

...ACBG=--AB-=-2,A錯誤，

四邊形48所是矩形，

EF//AB,E產(chǎn)u平面ABCD,ABu平面ABCD,

EF//^ABCD,B正確，

平面ABC。人平面4BEF,四邊形48C。是正方形，3CLAB,平面ABCDc平面48￡尸=鉆,

面48防AGu平面AG，3C,C正確，

AG2=AF2+FG2=2,GC2=BC2+BE2+EG2=6,

AC2=AB2+BC2=8,AGC為直角三角形，

又.ABC為直角三角形，.'AC為三棱錐C-ABG的外接球的直徑,

則三棱錐C-ABG的外接球的表面積S=4乃=8萬.

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.空間四邊形48CQ中，ZC與8。是四邊形的兩條對角線，M,N分別為線段4B,CD上的

兩點，且滿足DN=-DC,若點G在線段"N上，且滿足M&=3GN,若向量AG滿

^AG=xAB+yAC+zAD,則x+y+z=.

【答案】

1o3

【分析】利用空間向量的運算法則，直接求出AG=!A3+5AC+2A。，再利用空間向量基本

olo1O

定理，即可求出結(jié)果.

【詳解】^\^JAG=AM+MG=^AB+^MN=^AB+^MB+BN^=^AB+^[^AB+BN\

=-AB+-AB+-BN=—AB+-BN=—AB+-(BC+CN]=—AB+-\AC-AB+-CD\

344124124^^12414)

=-AB+-AC+—CD=-AB+-AC+—(AD-AC}=-AB+—AC+—AD,

64166416、>61616

匚匚?19311

所以％+y+z=—+——+——=——.

6161612

故答案：g

14.如圖所示，在棱長均為2的平行六面體ABCD-A?C77中，Z/TAB=ZAao=Na4D=60,點

M為3C與？C的交點，則AM的長為.

【答案】vn

【分析】設(shè)AB,AD,封為基底，ABAD=ABAA'=AA,AD=-2,AM=AB+^AD+AA'^,平方

計算得到答案.

【詳解】設(shè)AB,AD,AA，為基底，ABAD=ABAA'=AA'AD=2x2xcos600=2,

貝ljAM=AB+=AB+；(AD+,

所以IAM|2=(AB+；(AO+A4)j=AB2+AB-AD+AB-AA'++^AA'^

+1AD-A4'=4+2+2+1+1+1=11,故AM=Vn.

故答案為：而

15.三棱柱OA5-中，平面。85]0]J_平面Q4S,且NQ]O5=60。，ZAOB=90°,

OB=OQ=2,。4=6，則異面直線與。質(zhì)所成角的正弦值為.

【答案】半

【分析】以。為坐標(biāo)原點，3,。8所在直線分別為x軸、y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用

空間向量求解即可.

【詳解】解：以。為坐標(biāo)原點，OA,OB所在直線分別為X軸、y軸，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，

則A(石,0,0),8(020),4(后1，0)，Q(O,1,V3),

UULA.—.—UULU.—,—

所以48=(-6,1,-豆)，O,A=(73,-1,-73),

設(shè)所求的角為a,

UULLUUUU

|—3—l+3|￡

則cosa=MM二

\AXBV\OXA\幣?幣7

則sina-V1-cos2a-勺2

7

即異面直線AB與。①所成角的正弦值為竽.

故答案為：孚

16.如圖，棱長為1的正方體上有兩個動點分別從頂點Z、C同時出發(fā)并做勻速直線運動，最

后同時到達頂點8、D,則在運動的過程中，兩個動點間的最小距離為

O-------：

【答案】手

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)兩動點間距離最小時點對應(yīng)的坐標(biāo)分別為玖1/。)，2(0,M)

結(jié)合題意和空間兩點間距離公式得到|尸。|=/2產(chǎn)-〃+1,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,

根據(jù)題意可得：兩動點間距離最小值坐標(biāo)分別為小1/0),2(0,1,0,04*1,

由空間兩點間距離公式可得

|PQ\=J00)2+(1)2+(0-)2=42產(chǎn)-2/+2=)2+1，

因為04芯1,所以當(dāng)r時，戶。|取最小值半，

故答案為：限.

2

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.如圖，已知。，A,B,C,D,E,F,G,H為空間的9個點，且OE=AOA,OF=kOB,

OH=kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+mEF,k^O,m^O.

⑴求證：A,B,C,。四點共面，E,F,G,H四點共面；

⑵求證：平面ABC。//平面EFCW；

⑶求證：OG=kOC.

【分析】(1)利用空間向量共面定理即可求證；

(2)由空間向量線性運算可得EG=E4C,由空間向量共線定理可證明AC//EG,再由線面平行

的判定定理可得EG//平面ABCD,同理可證明可〃平面ABCD,由面面平行的判定定理即可求

證；

(3)由(2)知EG=hLC,再利用空間向量的線性運算即可求證.

【詳解】(1)因為AC=AD+wA8,m^Q,

所以AC,AD,A3共面，即A,B,C,。四點共面.

因為EG=E"+〃zEF,m^O,

所以能，EH>所共面，即E,F,G,H四點共面.

(2)連接HF,BD,EG=EH+mEF=OH-OE+m(OF-OE)=k(OD-OA)+km(OB-OA)

=kAD+kmAB=k^AD+mAB^=kAC,所以AC//EG,

又因為EG<z平面ABC。，ACu平面ABC。，所以EG〃平面ABCD.

因為切=OH-OF=k{OD-OB)=kBD,所以FH//BD,

又平面ABCD,應(yīng))u平面ABC。，所以F"〃平面ABC。，

因為EG與我相交，所以平面ABC。//平面EFGH.

(3)由(2)知EG=^AC,^OG=OE+EG=kOA+kAC=k(OA+AC')=kOC.

18.如圖，正方體ABC。-ABW的棱長為a.

⑴求A2和的夾角；

(2)求證：A'BA.AC.

【分析】(1)選好基底后，根據(jù)空間向量數(shù)量積即可求解;

(2)利用向量垂直，數(shù)量積為0即可得解.

、乂,uuiu「

【詳解】(1)AB-a9AD=b,AAr=c?

由于正方體ABC。-APCD的棱長為a,

|《=W=同=a,且(Q,/?)=90。，(〃,C)=90。,(A,c)=90。.

A,B=AB-AA,=a-c,BrC=AfD=AD-AA=b-c,

二.AfB-BrC=(a-c)\b-c)=a-b-d-c-b-c+c2=0-0-0+a2=a2-

又|AB卜B'C卜

ABB'CJ」

cos(A'B,B'c\

^A'B\B'C\~42a-y[2a~2*

又(AB,gC)e[0o,180。],

:.^A'B,B'C)=60°,

.?.AB與？C的夾角為60。.

(2)證明：由(1)知AZ=a—c，AC^AB+BC+CC=AB+AD+AA=a+b+c,

/.ArB-ACr=(a-c)'(a+b-\-c)=a2+a-b+a-c-c-a-c-b-c2=a2+0+0-0-0-O1=0?

ABLAC,

.\AB±AC.

19.設(shè)全體空間向量組成的集合為V,〃=(%,%,%)為/中的一個單位向量，建立一個‘'自變量〃

為向量，“因變量”也是向量的“向量函數(shù)”了⑺；f(x)=x+2.(-x-a)a(x^V).

⑴設(shè)〃=(T,0,0),v=(O,O,-l),若/(")=/,求向量“；

⑵對于修中的任意單位向量x,求，(到+2尤］的最大值.

【答案】⑴］孝，。，-孝］或卜?，。，?］;(2)3

【分析】(1)設(shè)。=(%,%,%),根據(jù)題意列方程，解方程即可得到a;

(2)設(shè)x與a的夾角為。，根據(jù)數(shù)量積的運算律得到］(x)+2#49-8cos?a,即可得到最大值.

【詳解】(1)依題意得：f［u^=u+2(-u-a)a=v,設(shè)訝=(%%的),

-1+2〃；=0

…小。，由或-

則一=4<2〃I〃2=0

2〃]〃3=-1

(2)設(shè)元與〃的夾角為則元?〃=閏?同cosa=cosa,

則|/(x)+2x|=|3x-2(x?=J(3]-2cosaa)2=^9-8cos2a<3,

故最大值為3.

20.如圖，在三棱錐尸一48。中，AB=AC,。為BC的中點，尸。團平面45C,垂足。落在線

段40上.已知8。=8,尸0=4,AO=3,OD=2.

R

（1）證明：AP^BC；

（2）若點/是線段4P上一點，且4W=3,試證明4WH平面BMC

【分析】（1）建系，利用空間向量證明線性垂直；

（2）利用空間向量證明線面垂直.

【詳解】（1）由題意知2。魴C,如圖，以。為坐標(biāo)原點，

以過。點且平行于3c的直線為x軸，0D,。尸所在直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)

系。一町2.

則A(0-3,0),B(4,2,0),C(^,2,0),P(0,0,4),

UL1UUUUUUU

可得AB=(4,5,0),AP=(0,3,4),BC=(—8,0,0),

LUUULUL

0AP-BC=Ox(-8)+3xO+4xO=O

0AP1BC,BPAP3\BC.

IUIUII-------------

(2)由(1)可得叫=府+32+42=5,

圓位是幺尸上一點，且ZM=3,

uuur3101(9

0AM=-AP=0,-,y,

uuiruuuruim(uuiruun(

.1612八

n-BM=-4a----bz-\-----c=0

設(shè)平面BMC的法向量為〃=(a/,c),貝IJ55

ri'CM=4〃-----b-\----c=0

[55

令b=l,貝lJa=0,c=：,即九=1o,l,g

uuur9r

顯然AM=不九，故AM團〃，

平面BMC.

21.如圖，在三棱柱ABC-A4G中，AB=AC=BC=AAX,ZBCQ=60,平面ABC_L平面BCC；旦，。

（1）若E是棱4瓦的中點，證明：DE〃平面ACC0；

（2）求二面角G-CA一8的余弦值；

（3）是否存在點E,使得皿BC「若存在，求出E的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

【答案】（1）詳見解析；（2）（；（3）不存在，理由詳見解析.

【分析】（1）取AC中點為尸，連結(jié)砂，證明C尸〃DE,再利用線面平行判定定理，即可證

得結(jié)論；

（2）先證明DG，DA，兩兩垂直，再建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫Z,求出平面ACG的

法向量〃=（『百,1）,平面ABC的法向量為。G=00,我，再利用向量的夾角公式，即可得答案；

（3）設(shè)港=2您（0W"l）,由OE.3G=0,解得2=2與假設(shè)矛盾，從而得到結(jié)論.

【詳解】（1）證明：取AG中點為P,連結(jié)CP,EP,

在04G中，因為反尸為4環(huán)AG的中點,

所以EP//BC且改=g4G.

又因為。是8C的中點，CD=^BC,

所以EP//BC且EP=CD,

所以CDEP為平行四邊形

所以CP//DE.

又因為OEU平面ACCH,.

CPu平面ACGA,

所以DE〃平面

(2)連結(jié)CQ、AD,

因為AABC是等邊三角形，。是8c的中點,

所以AZJ13C,

因為BC=A4,=CG,N2CG=60,

所以CQLBC.

因為平面ABC/平面BCQB],

平面ABCc平面BCC}Bt=BC