初中教學(xué)

不等式與不等式組（壓軸題專練）

目錄

【題型一根據(jù)一元一次不等式的定義求參數(shù)的值】...............................................1

【題型二根據(jù)一元一次不等式的解集求參數(shù)】....................................................3

【題型三利用一元一次不等式組的整數(shù)解求參數(shù)的取值范圍】.....................................5

【題型四根據(jù)一元一次不等式組的解集的情況求參數(shù)的取值范圍】.................................7

【題型五整式方程（組）與一元一次不等式結(jié)合求參數(shù)的問題】......................................9

【題型六整式方程（組）與一元一次不等式組結(jié)合求參數(shù)的問題】..................................11

【題型七二元一次方程組與一元一次不等式組綜合解決實際問題】................................15

【題型八一元一次不等式組與平面直角坐標(biāo)系的綜合問題】......................................20

【題型一根據(jù)一元一次不等式的定義求參數(shù)的值】

例題：（22-23八年級下?河南關(guān)B州?期中）已知32/+為＞1是關(guān)于x的一元一次不等式，那么機(jī)=

【答案】-1

【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義，未知數(shù)的次數(shù)是1,所以2+以=1,求解即可；

【詳解】解：根據(jù)題意得：2+〃7=1,

解得：m=-l,

故答案是：?1.

【點睛】本題主要是對一元一次不等式定義的“未知數(shù)的最高次數(shù)為1次”這一條件的考查

【變式訓(xùn)練】

1.（2023七年級下?全國?專題練習(xí)）若關(guān)于》的一元一次不等式2。-/+34〉2,則。的值（）

一1一11

A.-1B.1或——C.-1或——D.——

333

【答案】C

【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義解答即可.

【詳解】解：二」。-/+刈〉2是關(guān)于》的一元一次不等式，

|2+=1,

1-

:.a=——或-1.

3

故選：C.

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【點睛】本題考查了一元一次不等式的定義，類似于一元一次方程，含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1,

未知數(shù)的系數(shù)不為0,左右兩邊為整式的不等式，叫做一元一次不等式.

2.（2223七年級下?湖北武漢?階段練習(xí)）已知;（加+3）xMH+6>0是關(guān)于x的一元一次不等式，則加的值

為.

【答案】3

【分析】利用一元一次不等式的定義判斷即可.

【詳解】；；（加+3）x吁2+6>0是關(guān)于x的一元一次不等式，

/.|m|-2=1,m+3^0,

解得：m=3,

故答案為：3.

【點睛】此題考查了一元一次不等式的定義，熟練掌握一元一次不等式的定義是解本題的關(guān)鍵.

3.（2223八年級下?重慶南岸?階段練習(xí)）關(guān)于x的不等式（a-4）J"T+i>o是一元一次不等式，則不等式的

解集為?

【答案】

【分析】先根據(jù)一元一次不等式的概念得出。的值，代入不等式，解之可得.

【詳解】解：???不等式（a-4）J"T+i>o是一元一次不等式，

解得：a=2,

則不等式為：-2x+l>0,

解得：

故答案為：x<彳.

【點睛】本題主要考查解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次不等式的定義和解一元一次不等式

的步驟.

4.（2023下?黑龍江齊齊哈爾?七年級統(tǒng)考期末）若（"-2）/=+29>0是關(guān)于V的一元一次不等式，貝！|”的

值為.

【答案】-2

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【分析】根據(jù)一元一次不等式定義，抓住一元一次不等式只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)最高次數(shù)為1次

列式求解即可得到答案.

【詳解】解：???（”-2）yf+29>0是關(guān)于V的一元一次不等式，

故答案為：-2.

【點睛】本題考查一元一次不等式的定義，根據(jù)一元一次不等式的定義列出方程與不等式求解是解決問題

的關(guān)鍵.

【題型二根據(jù)一元一次不等式的解集求參數(shù)】

例題：（2324八年級上?浙江溫州?期中）如果關(guān)于x的不等式2x+l〈。的正整數(shù)解僅為1,2,3,那么整數(shù)。的

所有取值之和是.

【答案】17

【分析】本題考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整數(shù)解等知識點的理解和掌握，求出不等式的

解集，根據(jù)題意得出3<彳（4,即7<。49,求出。為8,9,即可求得整數(shù)。的所有取值之和為17.

2

【詳解】解：2x+l<a,

2x<a-l,

a-

x<---1?

2

v關(guān)于％的不等式2x+l<a的正整數(shù)解僅為1,2,3,

/.3<^<4,

2

/.7<?<9,

，整數(shù)。為8,9,其和為8+9=17,

故答案為17.

【變式訓(xùn)練】

1.（2324七年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）不等式，x-%）>3-加的解集為x>3,則加的值為.

【答案】3

【分析】考查了解一元一次不等式，和解一元一次方程組，根據(jù)不等式的解集為x>3列出關(guān)于加的方程是

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解題的關(guān)鍵.先根據(jù)不等式的基本性質(zhì)把不等式去分母、去括號、再移項、合并同類項求出X的取值范圍，

再與己知解集相比較即可求出加的取值范圍.

【詳解】解：去括號得：

移項得：^x>3-m+^m

合并同類項得；

系數(shù)化為1得；x>9-2m,

不等式的解集為x>3.

/.9—2m=3.

解得：加=3

故答案為：3.

2.（2024下?全國?七年級假期作業(yè)）已知關(guān)于x的不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示，則a

2

的值為.

—>——L1:——?~?

-2-1012

【答案】1

【解析】略

3.（2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考三模）若關(guān)于x的一元一次不等式x-2<〃+3有且只有5個正整數(shù)解，則〃的取

值范圍是.

【答案】0<?<1

【分析】先解不等式》-2<〃+3,從而可得x<5+〃，然后根據(jù)題意可得5<〃+5W6,從而進(jìn)行計算即可解

答.

【詳解】解：：x-2<〃+3,

x<2+n+3,

x<5+n,

???關(guān)于x的一元一次不等式x-2<〃+3有且只有5個正整數(shù)解，

5<?+5<6,

0<n<1,

故答案為：0<〃Vl.

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【點睛】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵.

【題型三利用一元一次不等式組的整數(shù)解求參數(shù)的取值范圍】

[x—a>0

例題：（2023下?四川巴中?七年級統(tǒng)考期末）關(guān)于x的不等式組，僅有4個整數(shù)解，則。的取值范

[3-2x2-1

圍為?

【答案】-2<a<-l

【分析】本題考查了不等式組的整數(shù)解，求不等式組的解集，應(yīng)遵循以下原則：同大取大，同小取小，小

大大小中間找，大大小小解不了.首先解不等式組，即可確定不等式組的整數(shù)解，即可確定。的范圍.

【詳解】解一3-②,

由①得：x>a,

由②得：x<2.

???不等式組有四個整數(shù)解，

...不等式組的整數(shù)解是：-1,0,1,2.

則實數(shù)。的取值范圍是：-2Wa<T.

故答案為：-24a<-l.

【變式訓(xùn)練】

\X—3

1.（2024上?山東濱州?七年級統(tǒng)考期末）關(guān)于％的不等式組乙Vc的整數(shù)解僅有4個，則冽的取值

[6x-l1<5x+2

范圍是.

【答案】l<m<2/2>m>l

【分析】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解問題，熟練掌握解不等式組的方法是解題的關(guān)鍵.先解不

等式組，再根據(jù)僅有4個整數(shù)解，得出關(guān)于加的不等式，求解即可.

【詳解】解：6x-1<5x+2

解得：x<3,

x>jn—3

???關(guān)于x的不等式組乙,二c的整數(shù)解僅有4個,

ox—1<5x+2

/.-2<m-3<-1,

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解得：1W加<2,

故答案為：14加<2.

{x—a>0

2.（2024上?浙江紹興?八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于的不等式組,。、八只有一個整數(shù)解，則實數(shù)。的取值范

[3-2x20

圍是.

【答案】0<a<l

【分析】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式的方法.先解出

（x-a>0

不等式組中每個不等式的解集，再根據(jù)關(guān)于X的不等式組，）、八只有一個整數(shù)解，即可得到。的取值范

[3-2x20

圍.

…[x-a>0①

【詳解】解：（3-2^0②，

解不等式①，得：x2a,

3

解不等式②，得：

2

[x—a>0

???關(guān)于X的不等式組cc、八只有一個整數(shù)解，

/.0<（2<1,

故答案為：0<。41.

x—3（%—2）W2

3.（2023上?四川成都?八年級?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式組a+2x恰有三個整數(shù)解，則實數(shù)

-------->x

I4

a的取值范圍是.

【答案】8<a<10/10>a>8

【分析】此題考查了不等式組的解法，同時能夠根據(jù)它的整數(shù)解正確分析其字母的取值范圍.首先熟練解

得每個不等式，再根據(jù)它恰有三個整數(shù)解，分析出它的整數(shù)解，進(jìn)而求得數(shù)。的取值范圍是.

x-3（x-2）<2?

【詳解】解：1a+2x6

---------"②

I4

由①，得X";

由②，得x<^|.

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根據(jù)題意，得它的三個整數(shù)解只能是2,3,4,所以4<微45,

解得：8<a<10.

故答案為：8<a<10.

2x+5_

-------->x-3

4.（2024下?全國?八年級專題練習(xí)）關(guān)于x的不等式組，3無整數(shù)解，則實數(shù)。的取值范圍

3x+2

--------<x+a

I4

是.

【答案】。"-二

【分析】本題主要考查了不等式組的解集問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解不等式組的一般方法.先分別求

出兩個不等式的解集為，然后分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)不等式有解時，當(dāng)不等式無解時，分別求出結(jié)果即

可.

2%+5

>%-3①

3

【詳解】解:

3%+2

<x+a@

4

由不等式①，得：x<14,

由不等式②，得：x>2-4a,

當(dāng)不等式有解時，13W2-4〃<14,

解得：-3<a<；

4

當(dāng)不等式無解時，2-4^>14,

解得：a<-3?

綜合可得，實數(shù)。的取值范圍是?！抖?/p>

【題型四根據(jù)一元一次不等式組的解集的情況求參數(shù)的取值范圍】

\x>a

例題：（2024上?陜西西安?八年級陜西師大附中?？计谀┤舨坏仁浇M、的解集為x>a,則。的取值

x>-3

范圍是.

【答案】a>-3

【分析】本題主要考查了一元一次不等式組的解集，熟練掌握同大取大，同小取小，大小小大中間找，大

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大小小解不了（無解）是解題的關(guān)鍵.根據(jù)確定解集的方法即可得到答案.

[x>a

【詳解】解：???不等式組、的解集是

[x>-3

???a2—3.

故答案為：a>-3.

【變式訓(xùn)練】

一（2x-4>0一

1.（2024上?湖南常德?八年級校聯(lián)考期末）若不等式組有解，則〃7的取值范圍是.

x<m

【答案】m>2

【分析】本題考查了根據(jù)不等式組解的情況確定參數(shù)的取值范圍，借助數(shù)軸數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵.求得第一個

不等式的解集，借助數(shù)軸即可求得加的取值范圍.

【詳解】解：解不等式2x-4。。，得尤22

因不等式組有解，

.?.當(dāng)m>2時，滿足不等式組有解

故答案為：m>2

（x—a<1

2.（2023下?山東淄博?七年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的不等式組,。的解集為-l<x42,貝匹的值

[x+3〉2

為.

【答案】1

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：大小小大中間找確定不等式組的解集，再結(jié)合已知不

等式組的解集得出關(guān)于。的值.

【詳解】解：解不等式x-aVl,得：x<l+a,

解不等式x+3>2,得：x>-l,

不等式組的解集為-\<x<\+a,

?.?不等式組的解集為-I<x42,

tz+1=2,

解得4=1,

故答案為：1.

【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取

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??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

2x+3>x+m

3.（2。23下?山東荷澤?九年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的不等式組二一3交一x無解,則加的取值范圍

3

是

【答案】m>5/5<m

【分析】先分別求出每一個不等式的解集，再根據(jù)不等式組無解，得出關(guān)于〃7的不等式，進(jìn)行計算即可得

到答案.

2x+3>x+m@

【詳解】解：②,

3

解不等式①得，x>m-3,

解不等式②得，2x+5-9<6-3x,

2x+3x<6+9—5，

5x<10,

x<2,

2x+3>x+m

???關(guān)于X的不等式組2x+5。c無解，

----------3<2-x

[3

/.m-3>2,

m>5,

故答案為：m>5.

【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取

??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

【題型五整式方程（組）與一元一次不等式結(jié)合求參數(shù)的問題】

J2x+3y=3后

的解滿足貝!]上的

例題：（23-24七年級上?重慶北倍?期末）已知關(guān)于x，夕的方程組\x+2y=2—2kx+y>7,

取值范圍是

【答案】k"9

【分析】本題考查了解一元一次不等式，二元一次方程的解.先解方程組得到x=-6+12My=4-7k,相

力口可得至IJx+V=-2+5斤，所以-2+5左>7,然后解不等式得到人的取值范圍.

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2x+3y=3左①

【詳解】解:

x+2)=2-2k@'

②x2-①得y=4-7左，

將歹=4-7左代入②，得％+2（4—7左）=2—2左，

尚畢得%=—6+12k,

...xy=—2+5k

'：x+y>l,

??—2+5左>7,

9

解得左>丁

9

即發(fā)的取值范圍為左>1.

9

故答案為：.

【變式訓(xùn)練】

\5x+y=\.+5m

1.（2324八年級上?黑龍江佳木斯?開學(xué)考試）已知方程組；,的解滿足x+〉<0,則加取值范圍

是.

【答案】m<-\

【分析】兩方程相加，得x+y=g（"?+l）<0,求解即可.

3x+y=1+3加①

【詳解】解:

x+3y=1-m@

①+②得，4（x+j）=2+2m,

?，?x+y=；（加+1）<0

解得m<—\.

故答案為：m<-\.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的特殊解法，不等式的求解；熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

2.（2023上?江蘇淮安?八年級淮安市浦東實驗中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若關(guān)于x,V的二元一次方程'

的解滿足x+y>4,求上的取值范圍.

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【答案】k>2

【分析】①+②得，3x+3y=6k,進(jìn)而可得、+歹=2左，根據(jù)已知條件，列出不等式，解不等式，即可求解.

x+2y=2k@

【詳解】解:

2x+y=4左②

①+②得，3x+3y=6k,

x+y=2k,

,/x+.y>4,

???2k>4,

解得：k>2.

【點睛】本題考查了加減消元法解二元一次方程組，求一次不等式的解集，得出x+V=2左是解題的關(guān)鍵.

x-2y=a+1

3.（2023下?四川達(dá)州?八年級?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于工、》的方程組X+H的解適合不等式2-

求。的取值范圍.

【答案】a>—

【分析】由已知方程組可得2x-y=3a,再代入不等式2x-y>1中即可求出。的取值范圍.

x-2y=a+l(T)

【詳解】解:

%+夕=2。一1②

由①+②得：2x-y=3a,

?.?2x-y>\,

??3a>1,

所以

【點睛】本題考查的是二元一次方程組及一元一次不等式的解法，根據(jù)題意求出2x-y=3a是解答此題的關(guān)

鍵.

【題型六整式方程（組）與一元一次不等式組結(jié)合求參數(shù)的問題】

例題：（2024上?浙江寧波?八年級寧波市第七中學(xué)校聯(lián)考期末）若數(shù)a既使得關(guān)于X、V的二元一次方程組

初中教學(xué)

3x-5

------->x+a

Ix+y=6的解集為那么所有滿足條件的

,；.有正整數(shù)解，又使得關(guān)于X的不等式組<,2xZ15,

\3x-2y=。+33—2%-

-------<-3

a的值之和為.

【答案】-15

【分析】本題考查了解一元一次不等式組，二元一次方程組的解，解一元一次不等式，先解二元一次方程

ca

x=3+—

組可得：5,再解一元一次不等式組，從而可得2a+5<15,進(jìn)而可得：a<5,然后根據(jù)已知二元

_a

y=3----

I5

一次方程組有正整數(shù)解，從而可得X=3+會是正整數(shù)且y=3-1也是正整數(shù)，進(jìn)而可得。=0,-5或-10,

最后進(jìn)行計算即可解答.

x+y=6

【詳解】解:

3x—2y=a+3

x=3c+一a

5

解得：

。a

y=J—

5

3x-5小

------->x+q①

2

三工-3②

9

解不等式①得：x>2a+5,

解不等式②得：%>15,

???不等式組的解集為1215,

2d+5<15,

解得：a<5,

??,二元一次方程組有正整數(shù)解，

.?.戶3+三是正整數(shù)且>=3-1也是正整數(shù),

.*.<2=0,-5或一10,

所有滿足條件的a的值之和=0+(-5)+(-10)--15,

故答案為：-15.

【變式訓(xùn)練】

初中教學(xué)

\x-y=a+3

1.（2223七年級下?河南周口?期末）已知關(guān)于X、y的二元一次方程組c）<的解滿足且關(guān)于X

[2x+y=ja

2x+l<2a

的不等式組2x-l3無解，則。的取值范圍是.

,14-7

【答案】-3<a<4

【分析】先分別求出方程組的解和不等式組的解集，再結(jié)合已知條件求出。的范圍，即可求解.

\x-y=a+3x=2a+\

【詳解】解方程組c<得:

[2x+y=jay=a-2

??,方程組的解滿足

2a+l>a-2,解得a>-3

f1

r2x+\<2ax<a---

解不等式組2x-l3得：_

114-----—-7-------匹-、/

2x+l<2a

?：關(guān)于X的不等式組2X-13無解

.14-7

17..

角犁得

22

-3<aV4

故答案為：-3<Q?4.

【點睛】本題考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式組，解一元一次不等式等知識點，能求出。的取

值范圍是解此題的關(guān)鍵.

x+1<2x4-5

2.（2223七年級下?河南周口?階段練習(xí)）若整數(shù)。使關(guān)于x的不等式組工―一^至少有4個整數(shù)解,

x-2>a

且使關(guān)于x、y的方程組（\ax-，2y4=0的解為整數(shù)，那么滿足條件的,整數(shù)。的值為一

【答案】-答或-6或-4

(ax-2y=0

【分析】根據(jù)不等式組求出。的范圍，然后根據(jù)關(guān)于工，歹的方程組的解為整數(shù)得到。+2=-8或

[x+y=4

〃+2=—4或〃+2=—2,據(jù)止匕求解即可.

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%+1<2%+5①

【詳解】解：丁-6°,

x-2>a?

解不等式①得，x<2

解不等式②得，x>a+2,

x+12x+5

-----<--------

???不等式組2~6至少有4個整數(shù)解,

x-2>a

??。+2<—1,

??。<—3,

ax-2y=0③

解方程組

x+y=4④

③+④x2得：（a+2）x=8,解得x=

4+2

OQ

將》=噢代入②得：—+了=4,解得了=

a+2Q+2

8

x=------

。+2

???方程組的解為:

4。

y=------

。+2

:?！?,

??a+2<—1j

2y：O的解為整數(shù),

,??關(guān)于方>的方程組

x+y=4

a+2=—8。+2=-4。+2=-2,

\a=TO或。=-6或。=一4,

4/7

當(dāng)。=-10時，4a=-40,。+2=-8,此時歹=^=5是整數(shù)，符合題意;

a+2

4/7

當(dāng)。=一6時，4a=-24,。+2=—4,此時歹=---^=6是整數(shù)，符合題意；

a+2

4(7

當(dāng)a=-4時，4a=-16,a+2=-2,止匕時y=------=8是整數(shù)，符合題意；

a+2

所有滿足條件的整數(shù)。的值為-10或-6或-4,

故答案為：-10或-6或-4.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是根據(jù)不等式組以及二元一次

方程組求出a的取值范圍，熟練掌握一元一次不等式組以及二元一次方程組的解法.

初中教學(xué)

3.（2023下?湖南長沙?七年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x、y的方程組

{lx-y=\+2a

[x+4y=2+a'

⑴若此方程組的解滿足-1＜X+J；＜3,求q的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，若關(guān)于加的不等式2。加-加〉2o-1的解集為加＜1,求滿足條件的Q的整數(shù)值.

【答案】⑴-2＜?！?

（2）-1、0

【分析】本題考查解二元一次方程組和一元一次不等式；

（1）根據(jù)T＜x+V（3列出關(guān)于。的不等式，可解得。的范圍;

（2）結(jié)合（1）,由。為整數(shù)，可得。的值.

2x-y=1+2a?

【詳解】（1）

x+4y=2+a?

①+②得：3x+3y=3+3〃，

x+y=1+a,

-l<x+y<3,

—1<1+〃K3,

解得-2<a<2；

(2)關(guān)于加的不等式2〃加-加〉2。-1的解集為加<1,

2〃—1<0,

1

u<一,

2

'：-2<a<2,

c1

二.一2<。<一,

2

.??滿足條件的。的整數(shù)值是-1、0.

【題型七二元一次方程組與一元一次不等式組綜合解決實際問題】

例題：（2324八年級下?湖南株洲?期末）為了響應(yīng)“足球進(jìn)校園”的目標(biāo)，某校計劃為學(xué)校足球隊購買一批足

球，已知購買2個/品牌的足球和3個2品牌的足球共需380元；購買4個/品牌的足球和2個3品牌的

初中教學(xué)

足球共需360元.

（1）求/,2兩種品牌的足球的單價.

（2）2023年學(xué)校購買足球的預(yù)算為6400元，總共購買100個球且購買A品牌足球的數(shù)量不多于B品牌足球

數(shù)量的2倍，有幾種購買方案.

【答案】（1）A品牌的足球的單價為40元/個，B品牌的足球的單價為100元/個.

（2）有7種購買方案.

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出關(guān)于X、了的二元一

次方程組；（2）根據(jù)總價=單價x數(shù)量，列式計算.

（1）設(shè)A品牌的足球的單價為x元/個，3品牌的足球的單價為了元/個，根據(jù)“購買2個A品牌的足球和3

個3品牌的足球共需380元；購買4個A品牌的足球和2個B品牌的足球共需360元”，即可得出關(guān)于X、y

的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)總價=單價x數(shù)量，列式計算，即可求出結(jié)論.

【詳解】（1）設(shè)A品牌的足球的單價為x元/個，3品牌的足球的單價為了元/個，

根據(jù)題意得：%[2x+3y=380

+27=360

x=40

解得:

7=100

答：A品牌的足球的單價為40元/個，B品牌的足球的單價為100元/個.

a<2(100-67)

（2）設(shè)購買A品牌足球。個，則購買5品牌足球（100-。）個.則

40?+100(100-tz)<6400

可取60,61,62,63,64,65,66共7種購買方案.

答：有7種購買方案.

【變式訓(xùn)練】

1.（2324八年級上?浙江溫州?階段練習(xí)）某中學(xué)計劃購買/型和8型課桌凳共200套，經(jīng)招標(biāo)，購買一套

A型課桌凳比購買一套B型課桌凳少用40元，且購買3套/型和5套3型課桌凳共需1640元.

（1）求購買一套A型課桌凳和一套B型課桌凳各需多少元？

（2）學(xué)校根據(jù)實際情況，要求購買這兩種課桌凳的總費用不能超過40880元，并且購買/型課桌凳的數(shù)量不

初中教學(xué)

能超過8型課桌凳數(shù)量的;，求該校本次購買N型和8型課桌凳共有幾種購買方案？怎樣的方案使總費用

最低？并求出最低消費.

【答案】（1）購買/型需180元/套，2型需220元/套

⑵共有3套購買方案；當(dāng)購買/型80套，8型120套時，費用最低，為40800元.

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能找準(zhǔn)等量關(guān)系,

（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組求解即可；

（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組并求解即可.

【詳解】（1）設(shè)/型課桌凳。元/套，3型課桌凳6元/套

a=b-40

3a+5b=1640

。二180

解得

6=220

答：購買4型需180元/套，8型需220元/套.

（2）設(shè)購買/型x套，3型（200-x）套.

180x+220（200-x）<40880

則x<1-（200-x）

x>78

解得

JC<80

Z.78VxV80

又是整數(shù)，

...尤=78,79,80.

當(dāng)尤=78時，費用為40880元；

當(dāng)x=79時，費用為40840元;

當(dāng)尤=80時，費用為40800元;

答：共有3套購買方案；當(dāng)購買/型80套，2型120套時，費用最低，為40800元.

2.（2324八年級上?浙江金華?期中）某旅游景點的一個商場為了抓住旅游旺季的商機(jī)，決定購進(jìn)甲，乙兩

種紀(jì)念品，若購進(jìn)甲種紀(jì)念品1件、乙種紀(jì)念品2件，需要160元：購進(jìn)甲種紀(jì)念品2件，乙種紀(jì)念品3

初中教學(xué)

件，需要280元.

(1)購進(jìn)甲乙兩種紀(jì)念品每件各需要多少元？

(2)該商場決定購進(jìn)甲乙兩種紀(jì)念品共100件，并且考慮市場需求和資金周轉(zhuǎn)，用于購買這些紀(jì)念品的資金

不少于6000元，同時甲種紀(jì)念品又不能超過55件，則該商場共有幾種進(jìn)貨方案？

(3)若銷售每件甲種紀(jì)念品可獲利30元，每件乙種紀(jì)念品可獲利12元，在第(2)問中的各種進(jìn)貨方案中，

哪種方案獲利最大？最大利潤是多少元？

【答案】(1)購進(jìn)甲乙兩種紀(jì)念品每件各需80元和40元

(2)共有6種進(jìn)貨方案

(3)購進(jìn)甲種紀(jì)念品55件，購進(jìn)乙種紀(jì)念品45件利潤最大，最大利潤為2190元

【分析】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式組的實際應(yīng)用.

(1)設(shè)購進(jìn)甲乙兩種紀(jì)念品每件各需要x元和y元，根據(jù)購進(jìn)甲種紀(jì)念品1件、乙種紀(jì)念品2件，需要160

元：購進(jìn)甲種紀(jì)念品2件，乙種紀(jì)念品3件，需要280元，列出二元一次方程組進(jìn)行求解即可；

(2)設(shè)購進(jìn)甲種紀(jì)念品/件，則乙種紀(jì)念品(10。-加)件，根據(jù)題意，列出不等式組進(jìn)行求解即可；

(3)根據(jù)甲的利潤高于乙的利潤，得到甲的數(shù)量越多，利潤越大，列式計算即可.

讀懂題意，正確的列出方程組和不等式組，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：設(shè)購進(jìn)甲乙兩種紀(jì)念品每件各需要x元和〉元，

x+2y=160

依題意得:

2x+3y=280

答：購進(jìn)甲乙兩種紀(jì)念品每件各需80元和40元.

(2)設(shè)購進(jìn)甲種紀(jì)念品m件，則乙種紀(jì)念品(100-加)件,

80m+40(100-m)>6000

依題意得:

m<55

解得504冽＜55,

???加只能取正整數(shù),

???加=50,51,52,53,54,55,

初中教學(xué)

所以共有6種進(jìn)貨方案；

(3)因為甲種紀(jì)念品獲利最高，

所以甲種紀(jì)念品的數(shù)量越多總利潤越高，

因此選擇購進(jìn)甲種紀(jì)念品55件，乙種紀(jì)念品45件利潤最高，

總禾！J潤=55x30+45x12=2190(元).

答：購進(jìn)甲種紀(jì)念品55件，購進(jìn)乙種紀(jì)念品45件利潤最大，最大利潤為2190元.

3.(2223七年級下?云南曲靖?期末)閱讀下列信息：

信息一3為了喜迎黨的二十大召開，某校在今年5月舉行了黨的知識競賽，競賽試卷共25道題目，每道題

都給出四個答案，其中只有一個答案正確，參賽者選對得4分，不選或者選錯扣2分，得分不低于80分者

獲獎.

信息二：為獎勵獲獎同學(xué)，學(xué)校準(zhǔn)備購買/、5兩種型號的書包作為獎品，已知購買3個/型書包和2個3

型書包需520元，購買4個/型書包和買6個B型書包所花的錢一樣多.

信息三：學(xué)校準(zhǔn)備用不超過10000元的錢來完成這次活動(用于活動材料費及購買獎品)，其中活動材料費

剛好用了1800元，剩余的錢用于購買兩種型號的書包共90個作為獎品，其中/型書包的數(shù)量不低于3型

書包數(shù)量的;.

解答下列問題：

(1)李楠同學(xué)是獲獎?wù)?，他至少?yīng)選對幾道題？

(2)求/型書包和B型書包的單價；

(3)請設(shè)計出最省錢的購買方案，并求出最少費用.

【答案】(1)至少應(yīng)選對22道題

(2)1個/型書包的價格為120元，1個8型書包的價格為80元

(3)購買N型書包23個，B型書包67個費用最少，最少費用為8120元

【分析】(1)設(shè)應(yīng)選對x道題，然后根據(jù)“得分不低于80分者獲獎”列不等式求得x的取值范圍，然后再根

據(jù)x為整數(shù)即可解答；

(2)設(shè)1個/型書包的價格為。元，1個8型書包的價格為6元，然后根據(jù)“已知購買3個N型書包和2

個B型書包需520元，購買4個/型書包和買6個B型書包所花的錢一樣多”列二元一次方程組解答即可；

(3)設(shè)購買/型書包%個，則購買3型書包(90-加)個.然后根據(jù)題意列不等式組求得加的取值范圍，進(jìn)

初中教學(xué)

而確定用的值，然后根據(jù)他的取值確定方案并求得花費，最后比較即可解答.

【詳解】（1）解：設(shè)應(yīng)選對X道題，

根據(jù)題意可得：4x-2x（25-x）>80.解得：x>21-.

為正整數(shù)，

.'.X最小為22.

答：至少應(yīng)選對22道題.

（2）解：設(shè)1個/型書包的價格為。元，1個3型書包的價格為b元，

13。+26=520。=120

依題意得：4-66,解得:

6二80

答：1個4型書包的價格為120元，1個5型書包的價格為80元.

（3）解：設(shè)購買4型書包冽個，則購買5型書包（90-加）個.

120m+80（90-m）<l0000-1800

依題意得：｛I,“、，解得：22.5<m<25.

m>—（90-m）

又；，”為整數(shù),

；.加可以為23,24,25.

；?共有3種購買方案.

方案1：購買/型書包23個，8型書包67個，所需費用為120x23+80x67=8120（元）；

方案2：購買/型書包24個，B型書包66個，所需費用為120x24+80x66=8160（元）；

方案3：購買N型書包55個，8型書包65個，所需費用為120x25+80x65=8220（元）.

,/8220>8160>8120,

二方案1購買N型書包23個，3型書包67個費用最少，最少費用為8120元.

【點睛】本題主要考查一元一次不等式的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用等知識

點，根據(jù)題意列出不等式組和二元一次方程組是解答本題的關(guān)鍵.

【題型八一元一次不等式組與平面直角坐標(biāo)系的綜合問題】

例題：（2223七年級下?江蘇南通?階段練習(xí)）對于平面直角坐標(biāo)系xQy中兩個不重合的點N,給出如下

定義：若點M到兩坐標(biāo)軸的距離中的最大值與點N到兩坐標(biāo)軸的距離中的最大值相等，則稱M,N兩點為

“遠(yuǎn)等點例如：點加（1,3）與點N（-3,-2）即為“遠(yuǎn)等點”.

初中教學(xué)

⑴已知點N坐標(biāo)為(-4,3).

①在點尸(0,4),2(4,-4),尺(-2,-3)中，為點/的“遠(yuǎn)等點”的是；

②若點8坐標(biāo)為(x,x+6),A,3兩點為“遠(yuǎn)等點”，則點8的坐標(biāo)為；

(2)已知點C坐標(biāo)為(-1,-機(jī)-3),點。坐標(biāo)為(4,4皿-3),其中加>0,若C,。兩點為“遠(yuǎn)等點”，求他的值.

【答案】(1)①4的“遠(yuǎn)等點”的是尸,Q-,②8的坐標(biāo)為：(-2,4)或(-4,2)；

(2)〃？的值為1或2.

【分析】(1)①分別求解A,P,Q,R到坐標(biāo)軸的最大距離,再根據(jù)新定義可得答案；②當(dāng)-3Wx時，則|x+6上忖,

3(尤,x+6)到坐標(biāo)軸的最大距離為尤+6,當(dāng)x<-3時，則國>,+6],8(x,x+6)到坐標(biāo)軸的最大距離為

H=-x,再建立方程求解即可；

(2)由切>0,可得4m-3>-3,-3)到坐標(biāo)軸的最大距離為卜機(jī)-3|=〃?+3,當(dāng)

77

-3<4機(jī)-344時，即0<根《1時，。(4,4%-3)到坐標(biāo)軸的最大距離是4,再建立方程求解即可；當(dāng)機(jī)〉“

貝U4,〃-3>4,。(4,4%-3)到坐標(biāo)軸的最大距離是|45-3|=4機(jī)-3,再建立方程求解即可.

【詳解】(1)解：①???點N坐標(biāo)為(T,3),

???N到坐標(biāo)軸的最大距離為4,

?.?尸(0,4),0(4,-4)到坐標(biāo)軸的距離最大值為4,尺(-2,-3)到坐標(biāo)軸的距離最大值為3,

根據(jù)新定義可得：/的“遠(yuǎn)等點”的是尸，。；

②當(dāng)-3Wx時，則卜+6怛忖，3(無,x+6)到坐標(biāo)軸的最大距離為x+6,

?；4,8兩點為“遠(yuǎn)等點”，

?，?％+6=4,解得x=-2,

???川—2,4),

當(dāng)。<-3時,則國><+6],

：.B(x,x+6)到坐標(biāo)軸的最大距離為忖=f,

初中教學(xué)

?.1,8兩點為“遠(yuǎn)等點”，

**?—X=4,角軍得x——4,

??.5（—4,2）,

綜上:8的坐標(biāo)為：（-2,4）或（-4,2）；

（2）m>0,

??—TYI—3V—3,4加—3〉—3,

Z.C（-l,-w-3）到坐標(biāo)軸的最大距離為卜a-3|=m+3,

7

當(dāng)一3<4冽一3W4時，即0〈機(jī)《一時，

4

???。（4,4冽-3）到坐標(biāo)軸的最大距離是4,

m+3=4,解得：m=1,

7

當(dāng)m>—,貝!J4m-3>4,

4

：.D（4,4m-3）到坐標(biāo)軸的最大距離是|4〃L3|=4m-3,

4m-3=m+3,

解得