專題01集合的概念

1、通過具體的實(shí)例，能根據(jù)集合中元素的確定性、互異性和無序性判斷某些元素的全體是否能組成集合,

發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2、知道元素與集合之間的關(guān)系，會(huì)用符號(hào)“e”“e”表示元素與集合的關(guān)系，能用常用數(shù)集的符號(hào)表

示有關(guān)集合.

3、會(huì)根據(jù)具體問題的條件，用列舉法表示給定的集合；能概括給定數(shù)學(xué)對(duì)象的一般特征，并用描述法表示

集合，提高語言轉(zhuǎn)換和抽象概括能力，增強(qiáng)用集合表示數(shù)學(xué)對(duì)象的意識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

1.元素與集合的概念及表示

(1)元素：一般地，把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母"c…表示.

(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡(jiǎn)稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母A,8,C…表示.

(3)集合相等：只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，就稱這兩個(gè)集合是相等的.

2.元素的特性

(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的.也就是說，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這

個(gè)集合中就確定了.簡(jiǎn)記為“確定性”.

(2)互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的.也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.簡(jiǎn)記為''互

異性”.

(3)無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的.簡(jiǎn)記為“無序性”.

3.元素與集合的關(guān)系

(1)屬于：如果。是集合A的元素，就說。屬于集合A,記作aeA.

(2)不屬于：如果“不是集合A的元素，就說〃不屬于集合A,記作。任4.

4.常用的數(shù)集及其記法

常用數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

數(shù)學(xué)符合NN*或N.ZQR

5.列舉法

把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號(hào)“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.

注意：(1)元素與元素之間必須用“，”隔開.

（2）集合中的元素必須是明確的.

（3）集合中的元素不能重復(fù).

（4）集合中的元素可以是任何事物.

6.描述法

（1）定義：一般地，設(shè)A表示一個(gè)集合，把集合A中所有具有共同特征P。）的元素X所組成的集合表示為

{XGA|P（X）},這種表示集合的方法稱為描述法.有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線.

（2）具體方法：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎

線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)一：集合的基本概念

典型例題

例題1.（24-25高一上,廣東清遠(yuǎn)?階段練習(xí)）給出下列說法：

①所有接近于0的數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合；

②2019年高考數(shù)學(xué)全國卷I中的選擇題構(gòu)成一個(gè)集合；

③高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個(gè)集合；

④所有不大于3的自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合；

⑤1,0.5,1,3組成的集合含有4個(gè)元素.

其中正確的是（）

A.B.②③⑤C.③④⑤D.②④

例題2.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）下列各組對(duì)象可以構(gòu)成集合的是（）

A.數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)課本中所有的難題B.小于8的所有素?cái)?shù)

C.直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點(diǎn)D.所有小的正數(shù)

精練

1.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）下列給出的對(duì)象中能構(gòu)成集合的是（）

A.著名物理家B.很大的數(shù)C.聰明的人D.小于3的實(shí)數(shù)

2.（24-25高一上?重慶渝北?期中）下列選項(xiàng)中元素的全體可以組成集合的是（）

A.學(xué)?；@球水平較高的學(xué)生B.校園中長的高大的樹木

C.2007年所有的歐盟國家D.中國經(jīng)濟(jì)較發(fā)達(dá)的地區(qū)

3.（24-25高一上?河南洛陽?階段練習(xí)）以下四組對(duì)象，能構(gòu)成集合的是（）.

A.最大的正實(shí)數(shù)B.最小的整數(shù)

C.平方等于1的實(shí)數(shù)D.最接近1的實(shí)數(shù)

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)二：判斷元素與集合的關(guān)系

典型例題

例題1.（24-25高一上?安徽銅陵?期末）下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)是（）

①OeN;②叢生Z:③5R;④兀eQ

A.1B.2C.3D.4

例題2.（24-25高一上?湖南邵陽?期中）下列關(guān)系中正確的是（）

A.|eQB.V2IRC.OeN+D.neZ

精練

1.（24-25高一上?甘肅?階段練習(xí)）下列關(guān)系正確的是（）

A.0eN*B.|eZC.-72eQD.-7.8GR

2.（24-25高一上■廣東清遠(yuǎn)■階段練習(xí)）已知集合4={0,-1},則-1與集合A的關(guān)系為（）

A.-L=AB.-12AC.-leAD.-l^A

3.（24-25高一上?天津南開?期中）給出下列關(guān)系：①卜2|eN*;②OgZ;③0eQ;@--eR亳l.OieQ.

其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)三：利用集合中元素的互異性求參數(shù)

典型例題

例題1.（24-25高一上?吉林長春?階段練習(xí)）已知3e{l,a,a+2},則實(shí)數(shù)a的值是（）

A.3B.1（：.3或1D.0

例題2.（24-25高一上?陜西渭南?階段練習(xí)）若〃+2e{l,3,/},。的值為.

精練

1.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知集合4={m+2,2信+機(jī)}，若3eA,則用的值為（）

333

A.1B.――C.1或D.-1或一

222

2.（多選）（24-25高三上,江西新余?階段練習(xí)）若集合A={/+2a,3a+2,8},則實(shí)數(shù)。的取值可以是（）

A.2B.3C.-4D.5

3.（24-25高一上?內(nèi)蒙古興安盟?階段練習(xí)）設(shè)集合4={1,“,/一2},若2eA,則實(shí)數(shù)〃=

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)四：用列舉法表示集合

典型例題

例題1.（24-25高一上,江蘇鹽城?期末）已知集合4=，尤則用列舉法表示A=（）

A.{-2,0,1,2,4}B.{-2,0,2,4}C.{0,2,4}D.{2,4}

例題2.（24-25高一下?上海?開學(xué)考試）用列舉法表示集合{x|-24x<2,xeN}=.

精練

1.（24-25高一上?云南玉溪?期末）已知集合4={引5*2+4元=0},則集合A=（）

A.{0}B.C.“,-曰D.|o,||

2.（24-25高一上?陜西西安?期末）已知集合4={-3,-2,0,1,2,3,4},B={x\x^A,-xiA\,貝IJB=（）

A.{0,1,4}B.{1,4}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3,4）

3.（24-25高一上?江西宜春?階段練習(xí)）集合{尤eN*|尤-3<2}的另一種表示法是（）

A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}

C.{0,123,4,5}D.{1,2,3,4,5}

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)五：用描述法表示集合

典型例題

例題1.（24-25高一上?全國?隨堂練習(xí)）對(duì)集合用描述法來表示，其中正確的是（）

A.<x|x=—,HGZ,<5>B.]x=—￡Z,且〃W51

InJInJ

C.|x|x=—,neN+,Hn<sjD.|x|x二』,〃￡N+,且〃（5：

例題2.（24?25高一上?全國?課后作業(yè)）用描述法表示下到集合：

（1）平面直角坐標(biāo)系中的工軸上的點(diǎn)組成的集合；

（2）拋物線y=f—4上的點(diǎn)組成的集合；

（3）使函數(shù)y=52有意義的實(shí)數(shù)*組成的集合.

x-1

精練

1.（24-25高一上?青海西寧?階段練習(xí)）不等式尤2-9>0的解集是（）

A.{x|-3<x<3}B.{x\x<-3]

C.{x|x>3jD.{犬|%<—3或兄>3}

2.(24-25高一上?福建泉州?期中)已知集合”={1,5,9,13,17},則()

A.1x|x=2n+1,nGN,n<81B.{A-|X=2?-1,776N,n<9}

C.|x|x=4n+l,neN,n<4^D.{乂x=4〃-3,〃eN,〃<5}

3.（多選）（24-25高一下,河北保定?階段練習(xí)）下列用描述法表示的集合，正確的是（）

A.奇數(shù)集可以表示為{xeZ|x=2A:+l?eZ}

B.“小于10的整數(shù)”構(gòu)成的集合可以表示為卜|尤<10}

C.{小>2}表示大于2的全體實(shí)數(shù)

D.不等式d_i>o的解集表示為

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)六：集合中的含參問題

角度1：已知集合相等求參數(shù)

典型例題

例題1.（24-25高一上?江蘇南通?期末）已知集合又={1,2祖+1}4={-1,療},且知=",則根=（）

A.-1B.1C.±1D.0

例題2.（24-25高一上■北京房山■期中）已知集合A={1,〃7+”,叫,8=<0,2,"，且A=B,則

mn=

精練

1.（多選）（23-24高一?全國?課后作業(yè)）已知集合{x|mx2-2x+1=o1={〃},則〃?+〃的值可能為（）

A.0B.1

C.1D.2

2.（23-24高二下?天津河西?期中）含有3個(gè)實(shí)數(shù)的集合可表示為又可表示為忖,。+如},則

3（23-24高一下?北京?期末）已知集合A={尤W}、B={4.r+21,4y+21}.若A=B,貝”+，=.

角度2：已知集合元素個(gè)數(shù)求參數(shù)

典型例題

例題1.（24-25高一上?陜西西安?階段練習(xí)）已知集合4=卜|ax2+以+2=0}，若集合A為空集，則實(shí)數(shù)4

的取值范圍是（）

A.{〃|0<Q<8}B.{a\0<a<8}

C,{。1Q<0或〃〉8}D.aW0或〃〉8}

例題2.（24-25高一上?上海?期中）若集合{尤忸f+4x+i=o}只含有一個(gè)元素,則實(shí)數(shù)萬的取值范圍為.

例題3.（24-25高一上?北京?階段練習(xí)）若集合A={x儂2+4x+4=0}中有2個(gè)元素，則％的取值范圍

是■

精練

1.（24-25高一下?云南紅河?開學(xué)考試）若集合A={x|o?_2x+2=0}中只有一個(gè)元素，貝心=（）

A.0B.1C.0或gD.0或1

2.（多選）（24-25高一上?江西贛州?階段練習(xí)）若集合A={x|（"l）尤2+（左+2）尤+3=0}有且只有一個(gè)元

素，則實(shí)數(shù)后的值可以為（）

A.4B.3C.2D.1

3.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）已知集合4=卜產(chǎn)+工-。=0},其中。為實(shí)數(shù)，若集合A中僅含有一個(gè)

元素，求”的值.

一、單選題

1.（24-25高一上?安徽銅陵?階段練習(xí)）設(shè)集合A={1,2,4},B={x\x=a+b,a^A,b^A},則集合B中

有（）個(gè)元素

A.4B.5C.6D.7

2.（2025?寧夏銀川?一模）已知集合4={0,1,2},則集合3={（羽y）lx<y,xeA}中元素的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.3C.6D.9

3.（24-25高三上?貴州貴陽?期末）以下選項(xiàng)中，是集合A={（x,y）l2x+y-l=0}的元素的是（）

A.{（-2,2）}B.（-2,2）C.{（1,-1）}D.（1,-1）

4.（24-25高三上?陜西西安,期末）已知集合A={-3,l,2},B={l,2,3},C={HxwA,且r￡JB},則C=（）

A.{-3}B.{3}C.{1,2}D.{-3,1,2}

5.（24-25高一上?湖南長沙?階段練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.我校很喜歡足球的同學(xué)能組成一個(gè)集合

B.聯(lián)合國安理會(huì)常任理事國能組成一個(gè)集合

C.數(shù)1,0,5,齊，黑組成的集合中有1個(gè)元素

D.由不大于4的自然數(shù)組成的集合的所有元素為1,2,3,4

6.（24-25高一下?湖南婁底?階段練習(xí)）集合A={尤eZ|-6<4x-2<6},貝!!下列表示正確的是（）

A.luAB.0GA

C.l^AD.-leA

7.（2025,河南?一模）已知集合4=卜|3冰—240},若IEA且2仁4,貝!I（）

12

A.—<4Z<—B.ci<0

33

122

C.—<〃4—D?〃〉—

333

8.（24-25高一上?陜西?階段練習(xí)）若一3.。一3,2。-1,/_1},貝IJ”的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

二、多選題

9.（24-25高一上?福建泉州?階段練習(xí)）下面四個(gè)說法中正確的是（）

A.10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合是{2,3,5,7}

B.由2,3組成的集合可表示為{2,3}或{3,2}

C.方程/一人+4=0的所有解組成的集合是{2,2}

D.。與{0}表示同一個(gè)集合

10.（24-25高一上?云南臨滄?階段練習(xí)）一次函數(shù)［，=2*-3與>=尤-2的圖象的交點(diǎn)組成的集合是（）

A.{1,-1}B.{（1,-1））

三、填空題

11,（24-25高三下?遼寧?階段練習(xí)）已知集合。={尤|—==與￡}恰有一個(gè)元素，則4的取值集合為—

x-2x-2x—

12.（24-25高一上?山東荷澤?期中）已知集合A={x|x（x—D（x+l）=O},則4=

四、解答題

13.(24-25高一上?全國?課后作業(yè))選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?，并指出哪些是有限集，哪些是無限集.

(1)大于1且小于70的正整數(shù)構(gòu)成的集合A;

(2)小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合C;

⑶方程2/_》_3=0的實(shí)數(shù)根組成的集合。；

(4)函數(shù)>=-2/+.丫圖象上的所有點(diǎn)組成的集合E;

(5)不等式2彳-3<5的解組成的集合戶.

14.(24-25高一上?河北石家莊?階段練習(xí))已知集合A={a-2,2/+50,12},且-3eA,求。的值.

/--------------[HHHK.

（拓展提優(yōu)J

1.(24-25高一下,河北保定?階段練習(xí))已知集合4=卜,2+2024%+2025=0},

5=卜卜2+〃祖爐+4以+4)=()},記非空集合S中元素的個(gè)數(shù)為|S|,已知||A|-1為1=1,記實(shí)數(shù)a的所有

可能取值構(gòu)成集合是T,則171=()

A.5B.3