初中照學

概率初步（壓軸題專練）

一、填空題

1.（2023春?全國?七年級專題練習）同一元素中質子數相同，中子數不同的各種原子互為同位素，如;2c與

與;7。.在一次制取CO的實驗中，7c與賢C的原子個數比為2：1,與;7。的原子個數比為1：

1,若實驗恰好完全反應生成CO,則反應生成;;C『o的概率（）

11-21

A.-B.—C.-D.—

6332

【答案】B

【分析】根據反應的化學方程式，畫樹狀圖展示所有6種等可能的結果數，找出反應生成:;C$O的結果數,

然后根據概率公式求解..

【詳解】解：反應的化學方程式為2c+O2誓2CO，

；；C與:3c的原子個數比為2：1,I。與x=：的原子個數比為i：i,

反應后生成的；；c*6o中1c來自于反應物c,而;來自于反應物。，

共有6種等可能的結果數，其中反應生成:;C$O的結果數為2,

71

???反應生成^cl6o的概率為-=

63

故選：B.

【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果“，再從中選出符合

事件/或3的結果數目m,然后利用概率公式計算事件/或事件2的概率.

2.（2023春?全國?七年級期末）按小王、小李、小馬三位同學的順序從一個不透明的盒子中隨機抽取一張標

注“主持人”和兩張空白的紙條，確定一位同學主持班級“交通安全教育”主題班會.下列說法中正確的是（）

初中照學

A.小王的可能性最大B.小李的可能性最大C.小馬的可能性最大D.三人的可能性一樣大

【答案】D

【分析】先分析小王抽到空白紙條和“主持人”紙條的可能性，再在小王抽到空白紙條的基礎上分析小李抽到

“主持人”紙條的可能性，注意小李如果沒有抽到主持人，則小馬必然抽到“主持人”，由此可以求出三人抽到

“主持人”的可能性.

【詳解】解：小王先抽，小王可能抽到“主持人”，也可能抽到空白紙條，則分為兩種情況：

小王抽到“主持人”可能性為g,

2

小王抽到空白紙條的可能性為：在此基礎上，小李抽取情況分為抽到“主持人”或抽到空白紙條，

抽取“主持人”可能性為：

抽取空白紙條可能性為：I（當此種情況出現時，則小李必抽到“主持人”），

2

211

故小李抽到“主持人，，的可能性為：=i

323

211

小馬抽至『‘主持人”的可能性為：=

323

故選：D.

【點睛】本題考查概率計算，能夠根據事件分析出某個事件發(fā)生的概率是解決本題的關鍵.

3.（2023?全國?九年級專題練習）數學社團的同學做了估算兀的實驗.方法如下：

第一步：請全校同學隨意寫出兩個實數x、y（x、y可以相等），且它們滿足：0<y<l；

第二步：統(tǒng)計收集上來的有效數據，設“以x,y,1為三條邊長能構成銳角三角形”為事件4

第三步：計算事件N發(fā)生的概率，及收集的本校有效數據中事件N出現的頻率；

第四步：估算出兀的值.

為了計算事件/的概率，同學們通過查閱資料得到以下兩條信息：

①如果一次試驗中，結果落在區(qū)域。中每一個點都是等可能的，用A表示“試驗結果落在區(qū)域。中一個小

區(qū)域M中”這個事件，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=果；

②若x,“1三個數據能構成銳角三角形，則需滿足/+/>].

根據上述材料，社團的同學們畫出圖，若共搜集上來的加份數據中能和“1”成銳角三角形的數據有"份，則

可以估計兀的值為（）

初中照學

A.B.—

mm

4〃4加一4及

C.—D.----------

mm

【答案】D

【分析】根據X,y,1三個數據能構成銳角三角形，則需滿足/+/>1的條件，可以判斷符合條件的區(qū)域

為圖中(3)的區(qū)域，再根據①幾何概率的計算方法即可得到滿足題意的概率，最后通過搜集上來的“份數

據中能和“1”成銳角三角形的數據有"份的條件，得到用機，〃表示上述方法計算的概率，從而解出兀的值，

得出答案.

【詳解】解：根據第一步，0<x<l,0<y<l,

可以用圖中正方形區(qū)域表示，

.?.S正=1x1=1,

再根據若x,?1三個數據能構成銳角三角形,

則需滿足爐+產>1,

可以用圖中(3)區(qū)域表示，

.?.面積為正方形面積減去四分之一圓的面積，

.0乃J2_4—萬

??兒〉―1---

設“以x,夕，1為三條邊長能構成銳角三角形”為事件出

???根據①概率計算方法可以得到:

4一%,

「(/)=

S正14

又：共搜集上來的m份數據中能和“1”成銳角三角形的數據有n份,

々尸(/)〃二—4=一--萬-----

'」m4

4加一4〃

解得萬=

m

初中照學

故選：D.

【點睛】本題主要考查利用頻率估計概率，幾何概率的計算方法以及圓的面積公式，解題的關鍵是利用圖

中所給條件找出符合條件的圖形的面積，從而求出概率.

4.（2023?遼寧沈陽?模擬預測）如圖所示，陰影是兩個相同菱形的重合部分，一個小球隨機的在圖案上滾動,

【答案】B

［分析］根據菱形和等腰三角形性質，得DC=DB；根據菱形和余角性質，得DB=DA,從而得DB=DA=DC-,

結合三角形面積計算公式分析，分別得陰影部分面積和部分重疊的兩個菱形面積，結合概率的性質計算，

即可得到答案.

【詳解】如圖，

???兩個菱形相同

ZDCB=ZDBC

：.DC=DB

又：兩個菱形

NDCB+ZDAB=90°,ZDBC+NDBA=90°

/DAB=/DBA

：.DB=DA

：.DB=DA=DC

???陰影部分面積=2x1sA,flC=SBC，

A部分重疊的兩個菱形面積=8s陰影部分面積=7s“Be

初中照學

S]

.??最后停留在陰影部分的概率

故選：B.

【點睛】本題考查了菱形、余角、等腰三角形、概率的知識；解題的關鍵是熟練掌握菱形、等腰三角形、

概率的性質，從而完成求解.

5.（2023春?山東淄博?九年級?？计谥校┤鐖D1所示，平整的地面上有一個不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），

小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法:用一個長為8m,寬為5m的長方形，將不規(guī)則圖案圍

起來，然后在適當位置隨機朝長方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數（小球扔在界線上

或長方形區(qū)域外不計入試驗結果），他將若干次有效試驗的結果繪制成了圖2所不的折線統(tǒng)計圖，由此可估

計不規(guī)則圖案的面積大約是（）

A.12m2B.14m2C.16m2D.18m2

【答案】B

【分析】根據折線統(tǒng)計圖知，當實驗的次數逐漸增加時，樣本的頻率穩(wěn)定在0.35,因此用頻率估計概率，

再根據幾何概率知，不規(guī)則圖案的面積與矩形面積的比為0.35,即可求得不規(guī)則圖案的面積.

【詳解】p由折線統(tǒng)計圖知，隨著實驗次數的增加，小球落在不規(guī)則圖案上的頻率穩(wěn)定在0.35,于是把0.35

作為概率.

設不規(guī)則圖案的面積為xcitf,則有六=0.35

解得：x=14

即不規(guī)則圖案的面積為14cm2.

故選：B.

【點睛】本題考查了幾何概率以及用頻率估計概率，并在此基礎上進行了題目創(chuàng)新，關鍵在于讀懂折線統(tǒng)

計圖的含義，隨著實驗次數的增加，頻率穩(wěn)定于0.35附近，由此得實驗的頻率，并把它作為概率.這對學

初中照學

生知識的靈活應用提出了更高的要求.

6.（2023?全國?九年級假期作業(yè)）如圖，正方形是一塊綠化帶，其中陰影部分EOE8,都是正

方形的花圃.已知自由飛翔的小鳥，將隨機落在這塊綠化帶上，則小鳥不落在花圃上的概率為（）

【答案】A

【分析】設正方形/BCD的邊長為a,根據正方形的性質N/C2=//CD=45。，AC=42a,再利用四邊形

BEOF為正方形易得CF=OF=BF=ga,則S曲/AE1。/=J/,設正方形腦VGH的邊長為x,易得CM=

AN=MN=x,BP3x=y/2a,解得x=@x,則S正林及WG〃=|/,然后根據幾何概率的意義，用兩個小正

39

方形的面積和除以正方形的面積即可得到小鳥落在花圃上的概率，從而得到小鳥不落在花圃上的概

率.

【詳解】解：設正方形N5CD的邊長為a,

:四邊形/BCD為正方形，

/.ZACB=ZACD=45°,AC=^_a,

:四邊形3E0尸為正方形，

:.CF=OF=BF,

：.S正方/BEOF=(ya)2=,,

設正方形MNGH的邊長為x,

■:5NG和△CAM■都是等腰直角三角形,

CM=AN=MN=x,

：.3x=4^a，解得x=——a,

3

<I-\2

**?S正方形MNGH=a=§屋,

初中照學

12N21Q

小鳥不落在花圃上的概率=1-4a+9a

236

a

故選：A.

【點睛】本題考查了正方形的性質與概率的計算，求出正方形MNGH的面積是解題的關鍵.

二、填空題

7.（2023?全國?九年級專題練習）如圖，點A在。。上，ABAC=60°,以A為圓心，48為半徑的扇形Z8c

內接于。O.某人向。。區(qū)域內任意投擲一枚飛鏢，則飛鏢恰好落在扇形/3C內的概率為.

【分析】分別求得。。的面積和扇形的面積即可求解.

【詳解】解：連接BC,

VZBAC=60°,AB=AC,

AABC是等邊三角形，

設。。的半徑為r,如圖，

連接OA,過點。作則OA=r,AB=2AD,

ZOAD=-ZBAC=30°,

2

ACOS30°=—,解得40=1/，

OAr2

/.AB=2AD=6,

圓的面積為71rl,扇形的面積為_1

-JLr

3602

[2

飛鏢恰好落在扇形ABC內的概率為丁」，

7ir2一20

故答案為：y

初中照學

【點睛】本題考查了幾何概率，扇形的面積的計算，等邊三角形的性質，正確的識別圖形是解題的關鍵.

8.（2023?全國?九年級專題練習）如圖，四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形/BCD與正方

形EFGH.連結BZ）交4八S于點V、N.若DE平分/ADB,現隨機向該圖形內擲一枚小針，則針尖

落在陰影區(qū)域的概率為.

【答案】—/|V2/0.25V2

44

【分析】求出陰影部分的面積與正方形面積的比值，即可得到針尖落在陰影區(qū)域的概率.

【詳解】解：如圖，連接EG交8。于點尸，

:DE平分NADB,

/ADE=NMDE

:四邊形所G//是正方形

ZMED=90°,

：.ZAED=180°-ZMED=90°

二/MED=NAED

,:DE=DE

初中照學

A/\ADE^/\MDE(ASA)

:.AE=ME

同理可證△3GCgZXBGN(ASA),

,/四邊形ABCD是正方形

ZADM=45°

：./ADE=ZMDE=22.5°

：.ZEMD=90°一ZADE=67.5°

,?/MEG=45。

：.ZMPE=18Q°-ZEMD-ZMEG=61.5°

：.ZEMD=/MPE

：.EM=EP

設EM=EP=x,則EG=2￡P=2x

在RtAAFG中,ZEFG=45°,

.,.7?G=EGxsin45°=亞x

"：ABFA注AAED安△CGB

：.BF=AE=CG=x,BG=BF+FG=(V2+l)x,ABFA咨AAED沿LCGB沿4NBG沿4MED,

在RtA8CG中，

222

BC=CG+BG=(4+2拒卜2

,?S陰影=S?DEM+=2S—GN=2x—xx(V2+l)x—(V2+l)x2

S正方形s=BC2=(4+2⑹Y

.$陰影=(也+1)/=6

S正方形ABC?(4+2-\/2)x4

針尖落在陰影區(qū)域的概率為也.

4

故答案為：叵.

4

【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、正方形的面積、直角三角形的

面積等知識點，求出陰影面積與正方形的面積的比是解答此題的關鍵.

9.(2023春?安徽蚌埠?九年級專題練習)有三張正面分別標有數字-1,1,2的不透明卡片，它們除數字不

初中照學

同外其余全部相同.現將它們背面朝上，洗勻后從中任意抽取一張，將該卡片正面上的數字記為a；不放回,

‘3'-23

_________<XH-----

再從中任意抽取一張，將該卡片正面朝上的數字記為b,則使關于X的不等式組22的解集中有

ax>b

且只有2個非負整數的概率為.

【答案】|

【分析】首先根據題意可求得，所有可能結果，然后解不等式組求得不等式組的解集得出符合要求的點的

坐標，再利用概率公式即可求得答案.

3x-2Y①

【詳解】

ax>b②

解不等式①得x<5.

a、b取值:

ba-112

-1(IT)(2，T

1（山）（2」）

2卜I?（1，2）

共6種情況：

?=-1,6=1時，解不等式②得x<-l,非負整數解只有0個.

a=-l,6=2時，解不等式②得x<-2,非負整數解只有0個.

。=1,6=-1時，解不等式②得T<x<5非負整數解只有5個.

a=l,6=2時，解不等式②得x>2,2Vx<5非負整數解只有2個.

a=2,6=-1時，解不等式②得尤>-[,-1<x<5非負整數解只有5個.

a=2,6=1時，解不等式②得x>[,[<x<5負整數解只有4個.

22

[3x-23

綜上所述，關于X的不等式組22的解集中有且只2個非負整數的概率為j

ax>、b八6

故答案為：~~

6

初中照學

【點睛】此題考查了概率公式的應用與不等式組的解法，注意概率=所求情況數與總情況數之比，求出符合

要求的點是解題關鍵.

10.（2023春?四川成都?九年級專題練習）己知。尸0（，=1,2，…,2012）滿足

H+N+H+...+M+W=2000,則使一次函數y=a,x+i(i=l,2,…,2012)的圖象經過一、二、四象

%a2%^2011^2012

限的4的概率是.

3

【答案】黨

【分析】根據回的值不是就是一，得出外有個是負數，個是正數,

1162006再根據一次函數經過一、二

a

四象限得出一次項系數小于0,即可求出概率.

【詳解】解：???回的值不是1就是一1,

a

且a尸0。=1,2…,2012）滿足應+圓+同+…+對+也

=2000,

^2011〃2012

/.2012-2000=12,12+2=6,6+2000=2006,

二生有6個是負數，2006個是正數,

?.?生＜0時直線y=a,x+i（i=l,2,…,2012）的圖象經過一、二、四象限,

63

：?使直線了="盧+邁=1,2,…,2012）的圖象經過一、二、四象限的概率是

20121006

3

故答案為：麗

【點睛】本題考查概率的求解，解題的關鍵是掌握絕對值的性質，一次函數的圖象和性質，以及概率的求

解方法.

11.（2023春?天津和平?九年級專題練習）經過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉或向右轉.如

果這三種可能性大小相同，則三輛汽車經過這個十字路口時，至少有兩輛車向左轉的概率為

7

【答案】藥

【分析】運用樹狀圖法確定所有情況數和符合題意情況數，然后用概率公式解答即可..

【詳解】解：如圖：三輛車經過十字路口的情況有27種，至少有兩輛車向左轉的情況數為7種,

初中照學

左直右左右左直

,7

所以概率為：~■

27

7

故答案為——■

27

【點睛】本題考查的是運用樹狀圖求概率的公式，運用樹狀圖法確定所有情況數和符合題意情況數是解答

本題的關鍵.

三、解答題

12.(2023?江蘇泰州?統(tǒng)考二模)某村深入貫徹落實習近平新時代中國特色社會主義思想，認真踐行“綠水青

山就是金山銀山”理念.在外打工的王大叔返回江南創(chuàng)業(yè)，承包了四座荒山，各栽100棵小棗樹，發(fā)現成活

率均為97%,現已掛果，經濟效益初步顯現，為了分析收成情況，他任意選了兩座山(記作甲山、乙山)，

從兩山上隨意各采摘了4棵樹上的小棗，每棵的產量如折線統(tǒng)計圖所示.

,產量(千克)

甲山：

5048乙山：

X

X

\10/‘40X

36\\36

3634

-------

(1)直接寫出甲山4棵小棗樹產量的中位數；

(2)分別計算甲、乙兩座山小棗樣本的平均數，并判斷哪座山的樣本的產量高；

(3)用樣本平均數估計四座荒山小棗的產量總和；

(4)用樹狀圖或表格分析王大叔選中甲、乙兩座山的概率.

【答案】(1)38千克

(2)甲座山小棗樣本的平均數為40千克，乙座山小棗樣本的平均數為40千克，甲、乙兩座山的樣本的產量

一樣高

初中照學

(3)15520千克

1

(4)T

O

【分析】（1）根據中位數的定義求解可得.

（2）根據平均數的定義分別計算出甲、乙兩座山樣本的產量，據此可得.

（3）用平均數乘棗樹的棵樹，求得四座山的產量和，再乘成活率即可.

（4）用表格或樹狀圖列出所有可能的結果，然后用概率公式即可求得.

【詳解】（1）解：因為甲山4棵小棗樹產量分別為34千克、36千克、40千克、50千克,

所以甲山4棵小棗樹產量的中位數為世絲=38（千克）.

故答案為：38千克.

50+36+40+34

(2)解:因為茶=二40（千克）,

4

36+40+48+36

%乙二40（千克）,

4

所以漏=X乙，

所以甲、乙兩座山的樣本的產量一樣高.

答：甲座山小棗樣本的平均數為40千克，乙座山小棗樣本的平均數為40千克，甲、乙兩座山的樣本的產

量一樣高.

40+40

（3）四座山的小棗樹的總產量為：-----x4xl00x97%=15520（千克）.

2

答：用樣本平均數估計四座荒山小棗的產量總和為15520千克.

（4）將這四座山分別記作甲山、乙山、丙山、丁山，列表如下:

甲乙內丁

甲甲乙甲丙甲丁

乙乙甲乙丙乙丁

丙丙甲丙乙丙丁

T丁甲丁乙丁丙

由上表可知，共有12種等可能的結果，其中選中甲、乙兩座山的結果數為2種,

初中照學

21

所以王大叔選中甲、乙兩座山的概率為==

【點睛】本題考查了統(tǒng)計與概率，涉及折線統(tǒng)計圖、平均數、中位數、用樣本平均數估計總體、畫樹狀圖

或列表求簡單事件的概率等，解題的關鍵是根據折線統(tǒng)計圖得出正確的信息.

13.(2023春?江西南昌?九年級南昌市外國語學校?？奸_學考試)為了倡導保護資源節(jié)約用水，從某小區(qū)隨

機抽取了50戶家庭，調查了他們5月的用水量情況，結果如圖所示.

⑴這50戶家庭中5月用水量在20?30t的有多少戶？

(2)把圖中每組用水量的值用該組的中間值(如0?10的中間值為5)來代替，估計該小區(qū)平均每戶用水量;

(3)從該50戶用水量在20?40t的家庭中，任抽取2戶，用樹狀圖或表格法求至少有1戶用水量在30?40t

的概率.

【答案］⑴3

(2)12.4

【分析】(1)由統(tǒng)計圖可知，用50減去其他各組用水量的戶數即可；

(2)根據題意找出各組的中間值，再用各組的中間值乘以各組的戶數然后把它們的總和除以總戶數即可.

(3)先列表展示所有20種等可能的結果數，再找出至少有1戶用水量在30?40t的結果數，然后根據概率

公式計算.

【詳解】⑴解:50-20-25-2=3(戶)

答：這50戶家庭中5月用水量在20?30t的有3戶.

(2)解：?10的中間值為5；10?20的中間值為15；20?30的中間值為25；30?40的中間值為35；

二(5x20+15x25+25x3+35x2)-50=12.4(t).

答：估計該小區(qū)平均每戶用水量為12.4t.

初中照學

（3）解：用水量在20?30t的家庭用/表示，有3戶，用水量在30?40,的家庭用2表示，有2戶，任意

抽取2戶列表如下：

AJBi

A2A3B2

AiA1A2A1A3AjBiA1B2

A2A1A2A3A2B1A2B2

A3A3A1A3A2A3B1A3B2

BiB1A1B1A2B1A3B1B2

B2A]B2B1

B2B2A2B2A3

?.?共有20種等可能結果，其中至少有1戶用水量在30?40t的結果有14種，

147

???尸（至少有1戶用水量在30-40t）=—=—.

7

答：從該50戶用水量在20?40t的家庭中，任抽取2戶，至少有1戶用水量在30?40t的概率是否.

【點睛】此題考查了數據分析和畫樹狀圖（或列表）求概率，解題的關鍵是分析統(tǒng)計圖，根據題意畫出表

格，注意列舉出所有的等可能結果.

14.（2023春?云南?九年級專題練習）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎.抽

獎規(guī)則如下：

1.抽獎方案有以下兩種：

方案從裝有1個紅球、2個白球（僅顏色不同）的甲袋中隨機摸出1個球，若是紅球，則獲得獎金15

元，否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回甲袋中；

方案8,從裝有2個紅、1個白球（僅顏色不同）的乙袋中隨機摸出1個球，若是紅球則獲得獎金10元，

否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回乙袋中.

2.抽獎條件是：

顧客購買商品的金額每滿100元，可根據方案/抽獎一次：每滿足150元，可根據方案8抽獎一次（例如

某顧客購買商品的金額為310元，則該顧客采用的抽獎方式可以有以下三種，根據方案/抽獎三次或方案3

抽獎兩次或方案3各抽獎一次）.

已知某顧客在該商場購買商品的金額為250元.

（1）若該顧客只選擇根據方案/進行抽獎，求其所獲獎金為15元的概率；

初中照學

（2）以顧客所獲得的獎金的平均值為依據，應采用哪種方式抽獎更合算？并說明理由.

4

【答案】（1）§;

（2）選擇方案/、方案5各抽1次的方案，更為合算.理由見解析

【分析】（1）利用列表法表示獲得獎金15元所有可能出現結果情況，進而求出相應的概率即可；

（2）由種抽獎方案，即：2次都選擇方案/,1次方案/I次方案2,1次方案3,分別求出各種情況下獲

得獎金的平均值即可.

【詳解】（1）解：由于某顧客在該商場購買商品的金額為250兀，只選擇方案進行抽獎，因此可以抽2次,

由抽獎規(guī)則可知，兩次抽出的結果為一紅一白的可獲得獎金15元，

從1個紅球，2個白球中有放回抽2次，所有可能出現的結果情況如下：

次

紅白1白2

紅紅紅白1紅白2紅

白1紅白1白1白1白2白1

白2紅白2白1白2白2白2

共有9種等可能出現的結果，其中一紅一白，即可獲獎金15元的有4種，

4

所以該顧客只選擇根據方案/進行抽獎，獲獎金為15元的概率為

4

（2）解：①由（1）可得，只選擇方案抽獎2次，獲得15元的概率為獲得30元（2次都是紅球）

14

的概率為兩次都不獲獎的概率為

41

所以只選擇方案/獲得獎金的平均值為：15x§+3Oxg=io（元），

②只選擇方案8,則只能摸獎1次，摸到紅球的概率為:，因此獲得獎金的平均值為：10X；=6.7（元），

12

③選擇方案/I次，方案81次，所獲獎金的平均值為：15x^+10x3x11.7（元），

因此選擇方案/、方案8各抽1次的方案，更為合算.

【點睛】本題考查列表法或樹狀圖法求隨機事件發(fā)生的概率，列舉出所有可能出現的結果情況是正確解答

的前提.

15.（2023?廣東廣州?校考二模）為打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)，配餐公司為某校提供/,B,。三種午餐供師生

選擇，單價分別是10元，12元，15元，為了做好下階段的經營與銷售，配餐公司根據該校上周4,B,C

初中照學

三種午餐購買情況的數據制成統(tǒng)計表，又根據過去平均每份午餐的利潤與周銷售量之間的關系繪制成條形

統(tǒng)計圖:

種類數量(份)

H1800

□2300

EJ900

請你根據以上信息，解答下列問題:

周銷售量份

(1)該校師生上周購買午餐費用的中位數是.

(2)為了提倡均衡飲食，假如學校要求師生每人只能選擇兩種不同的午餐交替食用，試通過列表或畫樹狀圖

的方法求該校學生小芳選擇“8C”組合的概率；

(3)經分析與預測，該校師生購買午餐的種類與數量相對穩(wěn)定.根據規(guī)定，配餐公司平均每份午餐的利潤不

得超過3元，否則應調低午餐的單價.

①請通過計算分析，試判斷配餐公司在下周的銷售中是否需要調低午餐的單價；

②為了便于操作，配餐公司決定只調低一種午餐的單價，且調低幅度至少1元(只能整數元)，為了使得下

周平均每份午餐的利潤不超過但更接近3元，請問應把哪一種午餐的單價調整為多少元？

【答案】(1)12

(2)1

(3)①需要；②應該調低C午餐1元，即C的午餐單價應該調整為14元時，才能使下周平均每份午餐的利

潤不超過且更接近3元

【分析】(1)中位數要求將三種午餐價格從小到大排列，找到最中間的一個數字；

(2)根據題意畫樹狀圖，即可解答；

(3)①根據條形統(tǒng)計圖找到/、8、。的利潤，算出總利潤并除以總人數，計算平均利潤，與3元對比即可;

初中照學

②對于調低單價，對/、2、C三種午餐分別計算每個降價1元之后的利潤，要明白降的越多，距離3元的

利潤越遠的道理，因此在4B,C三種午餐分別降價1元時比較哪種情況更符合要求即可作答.

【詳解】（1）解：全校師生上周購買午餐的份數為1800+2300+900=5000（份），

對于5000份數據，按照從小到大排列后，中位數為第2500和2501個數的平均數，通過統(tǒng)計表知，（N+B）

一共為1800+2300=4100（份），因此中位數為2午餐的費用，即為12.

故答案為：12；

（2）樹狀圖如下：

開始

ABC

AAA

BCACAB

根據樹狀圖能夠得到共有6種情況，其中“3C”組合共有2種情況,

21

.??小芳選擇“8C”組合的概率為P=~=~

（3）①根據條形統(tǒng)計圖得知，A的利潤為2元，8的利潤為4元，C的利潤為3元,

V3.1>3,因此應調低午餐單價；

M，"-f,j一“號—“、r、,1x1800+4X2300+3X900，一、

②假設調低/單價一兀，平均每份午餐的利潤為：---------而而---------=2.74（兀）,

人—2x1800+3x2300+3x900,,./一、

倜低8單價一兀，平均每份午餐的利潤為：--------——----------=2.64（兀），

、卬-V./人一十以一,八“破文弘±i、、r且2x1800+4x2300+1x900___/一、

倜低。單1價一兀，平均每份午餐的利潤為：---------——----------=2.92（兀）,

當/、2、。調的越低，利潤就越低，因此距離3元的利潤就會越遠，故最低即為降低1元；為了使得下周

平均每份午餐的利潤不超過但更接近3元，綜上所述，應該調低C午餐1元，即。的午餐單價應該調整為

14元時，才能使下周平均每份午餐的利潤不超過但更接近3元.

【點睛】本題主要考查了中位數的概念及求法、統(tǒng)計表和條形統(tǒng)計圖的綜合運用、用列表法或樹狀圖法求

概率等知識，學會綜合運用條形統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表，得到要分析的數據是解題的關鍵.

16.（2023春?全國?八年級專題練習）我們國家青少年平均運動時間、身體素質水平都處于嚴重落后狀態(tài)，

而且還在持續(xù)下降.為了引起社會、學校和家庭對青少年的重視，某地區(qū)抽查了部分九年級學生，進行了

一次身體素質測試，將成績分成5組并繪制成如圖兩幅統(tǒng)計圖，成績高于90分的評為優(yōu)秀.

初中照學

根據上述所給的統(tǒng)計表中的信息，解決下列問題：

（1）本次抽測了一名九年級學生，a=_,本次成績的中位數位于一組；

（2）若該地區(qū)有2.4萬名九年級學生，則體育成績優(yōu)秀學生的約有多少人？

（3）在本次抽測的優(yōu)秀學生中按1：9的比例抽取部分學生，其中恰好有2名女生.若從中隨機選取2名學生

參加市級運動會，求恰好抽取一男一女的概率.

【答案】（1）300；108；C；

（2）3600人

【分析】（1）利用/組頻數和圓心角求得總人數，根據圓心角=（各組人數+總人數）><360。求出各組人數即

可解答；

（2）根據E組人數所占的圓心角估計總體即可；

（3）根據優(yōu)秀的人數計算出抽取的人數，再利用列表法求概率即可；

【詳解】（1）解：由4組的頻數和扇形圓心角可得：總人數=30+春=300（人）；

90

a=—x360°=108°；

300

72°90°

5組人數=而、300=60（人），C組人數=而、300=75（人），

一共300名學生，中位數是第150名、151名學生的平均成績,

初中照學

V30+60=90,30+60+75=165,.?.第150名、151名學生在C組，即中位數位于C組;

（2）解：E組的圓心角=360°-36°-72°-90°-108。=54°,

54°

優(yōu)秀學生的約有薪x24000=3600（人）；

54°

（3）解：優(yōu)秀學生人數=薪'300=45（人）；

按1：9的比例抽取部分學生，則抽取了5名學生，有2名女生則有3名男生,

根據題意列表如下:

男1男2男3女1女2

男1男2,男1男3,男1女1,男1女2,男1

男2男1，男2男3,男2女1，男2女2,男2

男3男1,男3男2,男3女1，男3女2,男3

女1男1，女1男2,女1男3,女1女2,女1

女2男1,女2男2,女2男3,女2女1,女2

由表可知一共有20種可能結果，一男一女的結果有12種，

3

二抽取一男一女的概率=12+20=w；

【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的關聯計算；列表法求概率；掌握相關的定義的計算方法是

解題關鍵.

17.（2023?廣東梅州??？家荒＃┪逡黄陂g在銀川會展中心進行車展，某汽車經銷商推出/、B、C、。四種

型號的小轎車共1000輛進行展銷.C型號轎車銷售的成交率為50%,其它型號轎車的銷售情況繪制在圖1

和圖2兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖中.

2

⑴請你將圖2的統(tǒng)計圖補充完整.

初中照學

(2)通過計算說明，哪一種型號的轎車銷售情況最好？

(3)若對已售出轎車進行抽獎，現將已售出/、B、C、。四種型號轎車的發(fā)票(一車一票)放到一起，從中

隨機抽取一張，求抽到/型號轎車發(fā)票的概率.

【答案】(1)見解析

(2)。

【分析】(1)先利用扇形統(tǒng)計圖計算出C型號轎車的展銷量，然后用它的展銷量乘以50%得到。型轎車的銷

售量，再補全條形圖；

(2)分別計算出四種型號轎車銷售的成交率，然后進行比較判斷即可；

(3)利用概率公式計算即可.

【詳解】(1)C型號轎車的銷售量為1000x20%x50%=100(輛)，補全統(tǒng)計圖如圖所示，

(2)解：/型號的轎車銷售成交率為168+(1000x35%)=48%；

B型號的轎車銷售成交率為98+(1000x20%)=49%；

D型號的轎車銷售成交率為130+(1000x25%)=60%；

C型號的轎車銷售成交率為50%；

???D型號的轎車銷售情況最好;

16821

(3)抽到N型號的轎車發(fā)票的概率=

168+98+100+13062

【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的應用及概率的計算，正確地從統(tǒng)計圖中獲得有用的信息是

解題的關鍵.

18.(2023春?全國?七年級專題練習)如圖，程序員在數軸上設計了8兩個質點，它們分別位于一6和9

的位置，現兩點按照下述規(guī)則進行移動：每次移動的規(guī)則x分別擲兩次正方體骰子，觀察向上面的點數：

初中照學

AB

----?-------?------------?------?

左-6°9右

①若兩次向上面的點數均為偶數，則A點向右移動1個單位，B點向左移2個單位；

②若兩次向上面的點數均為奇數，則/點向左移動2個單位，8點向左移動5個單位；

③若兩次向上面的點數為一奇一偶，則A點向右移動5個單位，B點向右移2個單位.

(1)經過第一次移動，求B點移動到4的概率；

(2)從如圖所示的位置開始，在完成的12次移動中，發(fā)現正方體骰子向上面的點數均為偶數或奇數，設正方

體骰子向上面的點數均為偶數的次數為a,若N點最終的位置對應的數為"請用含a的代數式表示6,并

求當/點落在原點時，求此時2點表示的數；

(3)從如圖所示的位置開始，經過x次移動后，若43=3,求x的值.

【答案】(1)J;

4

(2*點表示的數為-21；

(3"的值為4或6.

【分析】(1)利用概率公式計算即可；

(2)根據題意可知當向上的點數均為偶數時，4點向右移動。個單位，當向上的點數均為奇數時，/點向

左移動2(12”)個單位，再根據平移的規(guī)則推算出結果即可；

(3)剛開始的距離是15,根據三種情況算出縮小的距離，即可算出縮小的總距離，分別除以3即可得到結

果.

【詳解】(1)解：根據題意，8點移動到4,則向左移5個單位，且第一次就移動到4,

故兩次向上的點數均為奇數(正方體骰子奇數為1,3,5,),

則尸(奇數)===彳，

62

P(B點移動到4)=—X—=—；

(2)解：當向上的點數均為偶數時，Z點向右移動a個單位，

當向上的點數均為奇數時，4點向左移動2(12-〃)個單位，

b=-6+a-2(12-a)=3a-30,

當b=0時，367-30=0,

初中照學

：.a=10,即均為偶數有10次，均為奇數有2次，

:.B點表示的數為9-10x2-2x5=21；

(3)解：剛開始A3的距離等于15,

均為偶數時，距離縮短3,

均為奇數時，距離縮短3,

均為一奇一偶時，N8距離也縮短3,

當縮短至3時，(15-3)+3=4,；.產4；

當縮短至0再增長3時，(15+3)+3=6,，x=6；

的值為4或6.

【點睛】本題考查概率公式，數軸，代數式等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

19.(2023?北京海淀?九年級期末)為了增加學生的閱讀量，達到讓學生“在閱讀中成長，在成長中閱讀”的

效果，某中學計劃在各班設立圖書角.為合理搭配各類書籍，學校團委以“我最喜愛的書籍”為主題，對全校

學生進行抽樣調查.學校團委在收集整理了學生喜愛的書籍類型(4科普、B.文學、C.體育、D.其他)

數據后，繪制出兩幅不完整的統(tǒng)計圖，如圖所示.

請你根據以上信息，解答下列問題.

(1)隨機抽樣調查的樣本容量是,扇形統(tǒng)計圖中“8”所對應的圓心角的度數為度;

(2)補全條形統(tǒng)計圖;

(3)抽樣中選擇文學類書籍的學生有2名男生和2名女生，校團委計劃從中隨機抽取2名學生參加團委組織

的征文大賽，求恰好抽出一男一女的概率.

【答案】(1)400；108°

(2)見解析

初中照學

【分析】(1)由/組的數量除以百分比，即可得到樣本容量；由5的百分比乘以360。即可得到圓心角度數;

(2)先求出3、。的數量，然后補全條形統(tǒng)計圖即可；

(3)由題意，畫出樹狀圖，然后利用概率公式，即可求出概率.

【詳解】(1)解：樣本容量是：100+25%=400；

140

。所占的百分比為：—x100%=35%；

400

，扇形統(tǒng)計圖中“3”所對應的圓心角的度數為：G-25%-10%-35%)X360°=108°.

故答案為：400,108

(2)解：。的數量為:400x10%=40,

8的數量為：400-100-140-40-120；

補全條形圖如下：

男1男2女I女2

二共有等可能事件12種可能，其中一男一女的有8種可能.

所以

【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合，列表法和樹狀圖法求概率，解題的關鍵是熟練掌握

題意，正確的理解統(tǒng)計圖的信息，從而進行解題.

20.(2023春?江蘇南京?九年級專題練習)在兩只不透明的袋中各裝有3個除顏色外其他都相同的小球.甲

袋中有1個紅球和2個白球，乙袋中有紅、白、黑色小球各1個.

(1)若分別從兩個布袋中各摸出1個小球，求摸出的都是白色小球的概率(請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法

寫出分析過程).

初中照學

（2）若分別從兩個布袋中各摸出2個小球，則摸出的4個球中恰好有紅、白、黑3種顏色的小球的概率是一

25

【答案】（1）3；（2）-

【分析】（1）根據題意畫出樹狀圖，得出等可能的情況總數和兩次都是白球的次數，即可求出概率；

（2）先找出從每個布袋中各摸出2個小球的可能情況數，然后畫出樹狀圖，得出等可能的情況總數和符合

題意的情況數，即可求出概率.

【詳解】（1）根據題意畫出樹狀圖，如圖所示:

開始

第一個布袋

第二個布袋

共有9鐘等可能的情況，其中兩次都是白色小球的有2次，因此摸出的都是白色小球的概率為j；

（2）從第一個布袋中摸出兩個小球，可能會摸到紅白|、白?白2、紅白？，從第二個布袋中摸出兩個小球，

可能會摸到紅白、紅黑、黑白，根據題意列出樹狀圖，如圖所示：

開始

IU

第一個布袋紅白1白1白2紅白2

/l\/IX

第二個布袋紅白黑白紅黑紅白黑白紅黑紅白黑白黑

共有9種等可能情況，其中摸出的4個球中恰好有紅、白、黑3種顏色的小球的情況數有5種，因此摸出

的4個球中恰好有紅、