初中教學

相交線與平行線（壓軸題專練）

【題型一平行線中含一個拐點問題】

【題型二平行線中含兩個拐點問題】

【題型三平行線中含多個拐點問題】

【題型四平行線中與平移的綜合問題】

【題型一平行線中含一個拐點問題】

例題：如圖，AB//CD,若NN=40。，ZC=26°,則NE=

【答案】66。##66度

【詳解】解：如圖所示，過點￡作E尸〃48,

VEF//AB,AB//CD,

：.AB//CD//EF,

：.ZAEF=ZA=40°,ZCEF=ZC=26°,

/AEC=ZAEF+ZCEF=66°,

故答案為：66°.

AB

【變式訓練】

1.如圖，AB//EF,則ZC,NE滿足的數(shù)量關(guān)系是

4------------------B

【答案】N/+NC+NE=36QP

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【詳解】如下圖所示，過點C作CD//N3,

,/CDHAB,

：.ZA+ZACD=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）,

ABHEF,CDHAB,

CD//EF,

NE+NOC￡=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）,

N4+ZACD+ZE+ZDCE=360°,

ZA+ZACE+ZE=360°,

.?.在原圖中NN+NC+NE=360。，

故答案為：ZA+ZC+ZE=360°.

2.已知：AB//EF,在平面內(nèi)任意選取一點C.利用平行線的性質(zhì)，探究乙8、ZKNC滿足的數(shù)量關(guān)系.

圖形/B、/F、NC滿足的數(shù)量關(guān)系

圖⑴

圖⑵

圖⑶

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圖（4）

圖（5）

圖（6）

（1）將探究"/尸之間的數(shù)量關(guān)系填寫下表:

（2）請選擇其中一個圖形進行說明理由.

【詳解】⑴

解：Z.B、NC、/斤之間的數(shù)量關(guān)系如下表：

圖形NB、NF、/C滿足的數(shù)量關(guān)系

圖⑴/B+/F=/C

圖(2)/F-/B=/C

圖(3)ZB-ZF=ZC

—

圖(4)Z5+ZF+ZC=360°

—

圖(5)ZB-ZF=ZC

圖（6）ZF-ZB=ZC

（2）

解：圖（1）NC與/B、/尸之間的數(shù)量關(guān)系是：ZB+ZF=ZC.

理由：過點C作CG〃/瓦

ZBCG=ZB,

'：AB//EF,

：.CG//EF,

：.ZGCF=ZF,

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ZBCG+ZGCF=ZB+ZF,

???ZB+ZF=ZBCF；

圖(2)/C與/B、/b之間的數(shù)量關(guān)系是：/F-/B=/C.

理由：過點。作CG〃45,

/BCG=/B,

■:AB〃EF,

：.CG//EF,

：.NGCF=NF,

：.ZGCF-ZBCG=ZF-ZB,

???ZF-ZB=ZBCF；

圖(3)/C與NB、N/之間的數(shù)量關(guān)系是：/B-NF=/C.

理由：過點。作CG〃4B,

/BCG=/B,

?:AB〃EF,

：.CG//EF,

：./GCF=NF,

：.ZBCG-ZGCF=ZB-ZF,

???ZB-ZF=ZBCF；

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圖(4)/C與48、/尸之間的數(shù)量關(guān)系是:Z5+ZF+ZC=360°.

AB

\

G....................—>C

E------------------------?

圖(4)

理由：過點。作CG〃4B,

NBCG+N5=180。，

?:AB〃EF,

：.CG//EF,

.\ZGCF+ZF=180°,

ZBCG+ZB+ZGCF+AF=180°+180°,

???ZB+ZF+ZBCF=360°；

圖(5)/C與/B、/b之間的數(shù)量關(guān)系是:ZB-ZF=ZC,

理由：過點C作CG〃45,

/BCG=/B,

■:AB〃EF,

：.CG//EF,

：./GCF=NF,

：.ZBCG-ZGCF=ZB-ZF,

：.ZB-ZF=ZBCF；

圖（6）/C與NB、N/之間的數(shù)量關(guān)系是：ZF-ZB=ZC.

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理由：過點。作CG〃45,

???/BCG=/B,

■:AB〃EF,

：.CG//EF,

；./GCF=/F,

：.ZGCF-ZBCG=ZF-ZB,

：./F?/B=/BCF；

【題型二平行線中含兩個拐點問題】

例題：如圖所示，AB〃CD、BEFD是AB、CD之間的一條折線，則Nl+N2+N3+N4=

【答案】540°

【詳解】解：連接5。，如圖,

???ZABD+ZCDB=l^°f

:N2+N3+NE3Q+NFBQ=360。,

???Z2+Z3+ZEBD+ZFDB+AABD+ZCDB=540°,

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BPZ1+Z2+Z3+Z4=54O°.

故答案為：540。.

【變式訓練】

1.如圖，直線h//12,若/1=40。，Z2比N3大10°,則N4=

;

【答案】30。##30度

【詳解】解：過/點作48〃直線/I,過C點作CD〃直線/2,

.*.Z5=Z1=4O°,Z4=Z8,

?.?直線11//12,

：.AB//CD,

.\Z6=Z7,

.c

VZ2比/3大10°,

.\Z2-Z3=10°,

VZ5+Z6=Z2,Z7+Z8=Z3,

.*.Z5+Z6-Z7-Z8=10°,

.,.40°-Z4=10°,

解得N4=30。.

故答案為：30°.

2.(1)如圖①，如果4B〃CD,求證：NAPC=/A+NC.

(2)如圖②，AB//CD,根據(jù)上面的推理方法，直接寫出NN+N尸+NQ+NC=.

(3)如圖③，AB//CD,若乙4BP=x,NBPQ=y,NPQC=z,ZQCD=m,貝1]m=(用x、y、

z表不).

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???N4=ZAPM,

,?PM//AB,AB//CD（已知）,

???PM//CD,

：.4C=/CPM,

?.?AAPC=ZAPM+ZCPM,

???ZAPC=ZA+NC；

（2）如圖，過點P作PE〃AB,過點。作

VAB//DC,PE//AB,QF〃AB,

：.AB//PE//QF//CD,

???4+N4尸￡=180。，/EPQ+NPQF=180。,ZFQC+ZQCD18（F,

：.ZA+ZAPQ+APQC+ZC=540°,

故答案為：540°；

（3）過點尸作夕￡〃/B,過點0作。尸〃45,

VAB//DC,PE//AB,QF//AB,

：.AB//PE//QF//CD,

:?/B=/BPE,^QPE=ZPQF,ZFQC=ZC,

.?.AB+APQC=NC+/BPQ,

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即x+z=m+y,

m=x+z-y,

故答案為：x+z-y.

【題型三平行線中含多個拐點問題】

例題：如圖，直線48〃CD,則Z2+/3+/4-N1-25的度數(shù)為'

【答案】360

【詳解】過E作即〃CD,過G作G8〃CD,過〃作跖V〃CD,如圖所示:

,JCD//AB,

：.EF//GH//MN//AB//CD,

：.NT=/BEF,ZGEF+ZEGH=180°,NHGM+/GMN=180。,ZNMC=Z5,

"：Z2=ZBEF+ZGEF,Z3=ZEGH+ZHGM,Z4=ZGMN+ZNMC,

：.Z2+Z3+Z4-Z1-Z5=ZBEF+ZGEF+ZEGH+ZHGM+ZGMN+ZNMC-NBEF-ZNMC

=ZGEF+ZEGH+ZHGM+ZGMN=360°.

故答案為：360.

【變式訓練】

1.如圖：

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⑴如圖1,4〃4，若/尸=65°,計算并直接寫出44+的大小.

⑵如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上，將直線尸3變成折線尸"，證明：/4+/8+/。=/尸+180°

（3）如圖3,在圖2的基礎(chǔ)上，繼續(xù)將且線8。變成折現(xiàn)人即.請你寫出一條關(guān)于Z1、/2,N3,/4,N5

的數(shù)量關(guān)系（無需證明直接寫出）

【詳解】（1）

：.PE//n//l\

：.Z^=Z1,Z5=Z2

NAPB=N1+Z2=ZA+ZB=65°

即ZA+ZB=65°；

（2）

證明：過點P、Q分別作/I和/2的平行線分別記為Z3和/4

V/1/7/2

■：11//13（已知）

.?./4=/1（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

?J13//14（已知）

/.Z2=Z3（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

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,J12//14（已知）

.,.Z4+ZJB=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）

Z^+Z3+Z4+ZJ?=Z1+Z2+180°

又：/1+/2=/尸，Z3+Z4=Z0

（3）

解：如圖，分別過P,Q,河作PC〃/1,QD//11,ME//U,

圖3

,/lx//l2,

：.PCIIQDIIMEIIIJI12

：.Z1=ZAPC,ZQPC=ZPQD,ZDQM=ZEMQ,ZEMB=Z5,

：.Z2=Zl+ZPQD,Z4=Z5+ZDQM,

：.Z2+Z4=ZI+ZPQD+Z5+ZDQM=Z1+Z3+Z5,

.*.Z1+Z3+Z5=Z2+Z4.

2.猜想說理：

（1）如圖，AB//CD//EF,分別就圖1、圖2、圖3寫出ZC,N/尸。的關(guān)系，并任選其中一個圖

形說明理由：

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拓展應用：

(2)如圖4,若ABHCD,貝!|NZ+NC+NNFC=g；

(3)在圖5中，若4B〃4D,請你用含"的代數(shù)式表示4+/2+/3+/4+.-+4的度數(shù).

【詳解】解：(1)如圖1：ZA+ZC=ZAFC,

如圖2：ZA-ZC=ZAFC,

如圖3：ZC-ZA=ZAFC,

如圖1說明理由如下：

AB//CD//EF,

：.ZA=ZAFE,ZC=ZEFC,

：.ZA+NC=/4FE+NEFC,

即a1+/C=/AFC；

過F作尸H〃48,

：.ZA+ZAFH^180°,

又?:AB//CD,

：.CD//FH,

：.4+257=180。,

：.ZA+ZAFH+ZC+ZCFH^360°,

即ZA+ZC+ZAFC=360°；

故答案為：360；

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(3)如下圖：AB//CD,

-B

G

過￡作EG〃/B,過F作FH〃/B,

-：AB//CD,

：.AB//EG//FH//CD,

：.ZA+ZAEG=180°,NGEF+NEFH=180。,ZHFC+ZC=180°,

：.ZL4+ZAEG+ZGEF+ZEFH+ZHFC+ZC^l80°x3,

即AA-VZAEF+ZEFC+ZC=540°；

綜上所述：

由當平行線AB與CD間沒有點的時候，ZA+ZC=180°,

當/、C之間加一個折點廠時，ZA+ZAFC+ZC=2x180°；

當/、C之間加二個折點￡、/時，則//+NAEF+/EFC+/C=3xl80。；

以此類推，如圖5,AxB//AnD,

當4、4之間加三個折點4、4、4時，

則Z4+幺+幺=4X180C；

當4、4之間加〃個折點4、4、…4T時，

即/1+/2+/3+N4+L+Zn的度數(shù)是（“-l）xl80。.

【題型四平行線中與平移的綜合問題】

例題：(2023下?全國?八年級假期作業(yè))如圖，線段N3,2C被直線/C所截，。是線段NC上的點，過點。

^DE//AB,連接4E,NB=NE.將線段NE沿著直線/C平移得到線段PQ,連接。。.

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(1)求證：AE//BC；

(2)若/E=75。，DEVDQ,求/。的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)4=15°

【詳解】解：(1)證明：，4/￡+4=180。.

:NB=NE,:./BAE+NB=180°,AE//BC.

(2)如圖，過點。作。下〃4E1交48于點R則DE+BED尸=180。.

：/￡=75°,:.ZEDF=1800-ZE=105°.

由平移的性質(zhì)，得PQ〃4E,

DF//PQ,ZFDP=ZDPQ.

DEYDQ,:.NEDQ=90°,

ZFDQ=360°-105°-90°=165°.

ZFDQ=ZFDP+ZQDP,

ZDPQ+ZQDP=ZFDQ=165°,

.?.Ze=180°-165o=15°.

【變式訓練】

1.（2023下?陜西咸陽?八年級統(tǒng)考期中）如圖，將“3C沿3C的方向平移得到S斯.

AD

BF

EC

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(1)若N8=74。，求/DE尸的度數(shù)；

(2)若8c=3cm,EC=2cm,求AABC平移的距離.

【答案】(1)74。

(2)1cm

【分析】(1)根據(jù)平移的性質(zhì)，得到對應角相等，即可得解；

(2)根據(jù),求出5E的長，即為。8C平移的距離

【詳解】(1)解：將“BC沿BC的方向平移得到SE尸，

ZDEF=4B=74°；

(2)解：VBC=3cm,EC=2cm,

:.BE=BC-EC=lcm,即：O8C平移的距離為Ie%

【點睛】本題考查平移的性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

2.(2023下?江蘇淮安?七年級校聯(lián)考期中)如圖，將“3c沿射線43的方向平移2個單位到SE尸的位置,

點4B、C的對應點分別點。、E、F.

(2)若ZABC=75。，求/CEE的度數(shù).

【答案】⑴5

(2)105°

【分析】(1)根據(jù)平移的定義可知3E=2,進而可知北=5；

(2)根據(jù)平移的性質(zhì)可知3C〃EF,AE//CF,再利用平行線的性質(zhì)解答即可.

【詳解】(1)解：???將”3C沿射線43的方向平移2個單位到ADEF的位置，

:.BE=2,

AB=3,

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，AE=BE+AB=2+3=5,

故答案為5；

(2)解：由平移的性質(zhì)可知：BC//EF,AE//CF,

：.AE=ZABC,ZE+ZCFE=180°,

'：ZABC=75°,

ZE=15°,

：.ZCFE=180°-/￡=180°-75°=105°.

【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，平移的定義，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.(2023下?江西南昌?七年級統(tǒng)考期末)將三角形/3C沿射線方向平移到三角形DE廠的位置.

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,當點。與點2重合時.

判斷：ZBFENC8尸；(用“>"、"="、“<”填空)

(2)如圖2,當點。與點3不重合時，連接AF,CF.試探究//C3,ZCBF,NATO三個角之間的數(shù)量關(guān)

系，并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)=

(2)ZACB=ZCBF+ZBFD或ZACB=ZCBF-NBFD,見解析

【分析】(1)根據(jù)平移的性質(zhì)得出結(jié)論；

(2)根據(jù)點。的位置可分為點。在點8左邊和點。在點8右邊兩種情形，利用平行線的性質(zhì)得出結(jié)果.

【詳解】(1)解：=,理由如下：

V三角形DEF是由三角形平移得到，

:.BC//EF,

：.ZBFE=ZCBF；

(2)解：根據(jù)點。的位置可分為兩種情形,

①若點。在點3左邊，如圖.

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BC//EF,

：.ZBFE=ZCBF,

???ZACB=ZCBF+ZBFD.

BC//EFf

：.ZBFE=ZCBF,

???ZACB=ZCBF-ZBFD.

【點睛】本題主要考查圖形的平移和平行線的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)和特點是解題的關(guān)鍵.

4.(2023下?河北邢臺?七年級?？计谀?如圖1,AB,被直線ZC所截，4=72。，過點4作4E〃5C,

。是線段ZC上的點，過點D作DE〃4B交4E于點E.

JZ7JZ7AZT

圖1圖2圖3

⑴求/E的度數(shù)；

(2)將線段AE沿線段AC方向平移得到線段PQ,連接.

①如圖2,當/后。。=45。時，求N。的度數(shù)；

②如圖3,當/即。=90。時，求N0的度數(shù)；

③在整個平移過程中，是否存在/即。=3/。？若存在，直掾?qū)懗龃藭rZEE0的度數(shù)，若不存在，請說明

理由.

初中教學

【答案】(1)NE=72°

(2)①/。=27。；②/。=18。；③存在，/即。=54。或/￡。。=108。

【分析】⑴利用平行線的性質(zhì)得/8/￡+/B=180。，4+/A4E=180。，根據(jù)同角的補角相等可得答案;

(2)①如圖1中，過點。作。F〃NE,則/￡。尸=/石=72。，再證明。尸〃P。，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

答案；

②如圖3中，過點、D作DF//4E,則/￡。尸=/￡=72。，再證明。尸〃P0,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得答案即

可求解；

③分兩種情形：圖2,圖3分別求解即可.

【詳解】(1)?/AE//BC,

：.ZBAE+ZB=180°.

'：DE//AB,

NE+NB4E=18。。,

：.NE=NB=72°；

(2)①如圖2,過點、D作DF〃AE,

：.ZEDF=ZE=72°,

ZFDQ=ZEDF-ZEDQ=72°-45°=27°.

?/PQ//AE,DF//AE,

DF//PQ,

：.ZQ=ZFDQ=27°；

②如圖3,過點。作。尸〃NE,

ZEDF=ZE=72°,

ZFDQ=ZEDQ-ZEDF=90°-72°=18°.

?/PQ//AE,

：.DF//PQ,

：.ZQ=ZFDQ=1S°；

③存在，/瓦?。=54。或/￡。0=108。.

如圖2,當/切Q=3/Q時，

由①知，3/。+/。=72。，N0=18。，

初中教學

ZEDQ=54°；

如圖3,當/切。=3/。時，

由②知，3/。=/。+72。，/。=36。，

ZEDQ=10S°

圖2圖3

【點睛】本題考查了平移性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，角的和差等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)

造平行線解決問題，并學會用分類討論的思想思考問題.

5.（2023下?福建泉州?七年級統(tǒng)考期末）如圖，將線段N5平移得到CD,使A與。對應，8與C對應，連

接BC.

(1)求證：ZB=ZADC；

（2）點G在3c的延長線上,點、C與C'關(guān)于直線DG對稱，直線DC'交BC的延長線于點E.點、F在線段CE上,

且/DFE=/EDF.

①設=求NFDG的度數(shù)（用含。的代數(shù)式表示）;

、〒口CGCD

②證明：一=—

GEDE

【答案】（1）證明見解析

（2）①NEDG=；a；②證明見解析

【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)可知AB//CD,再利用平行線的性質(zhì)可知=

（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)及對稱的性質(zhì)可知//OC=2/EDG,進而可知NEDG='a；②根據(jù)對稱的性質(zhì)

2

可知ACDG的面積與△OGC'的面積相等，再利用等面積法可知笑=用.

初中教學

【詳解】（1）證明：將線段48平移得到CO,使A與。對應，5與C對應,

???由平移性質(zhì)知40〃8C,ABHCD,

：./ADC=/DCF,/B=/DCF,

???ZADC=ZB；

（2）①解：???由（1）知

???ZADF=ZDFE,

ZDFE=ZEDF,

???ZADF=ZEDF,

VZEDF=ZFDG+ZEDG,ZADF=ZADC+ZCDF,

???ZADC+ZCDF=ZFDG+ZEDG,

由對稱性質(zhì)知，NCDG=NEDG,

：.ZEDG=ZCDF+ZFDG,

???ZADC+ZCDF=ZFDG+ZCDF+ZFDG,

???ZADC=2ZFDG,

?：4B=a,ZADC=/B=a,

：.ZFDG=-a；

2

AD

②證明：過G作GMLOC于M,GNIDE于N,并連接GC',

.??由對稱性質(zhì)知，ACAG的面積與△DGC'的面積相等，CD=C1b,

=—C

SZA=—2CD-GM,SZAGDC2'D-GN,

/.GM=GN,

?：S.GDE=-DE-GN,

S^EDGLDE?GNDE

2

初中教學

過。點作于點”,

&-CGDH

貝!|也嶼=2-------CG

,△EDG^GEDHGE

2

.CGCD

【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

6.(2023下?北京海淀?七年級期末)如圖，已知線段點C是線段外一點，連接/C,

ZG4S=a(90o<?<180°).將線段NC沿N8平移得到線段BD.點尸是線段上一動點，連接尸C,PD.

圖1備用圖

(1)依題意在圖1中補全圖形，并證明：ZCPD=ZPCA+ZPDB；

(2)過點。作直線/〃尸0.在直線/上取點^ZMDC=^ZCDP.

①當a=120。時，畫出圖形，并