等式與不等式

?HI

2025高考真題

一、單選題

X一<4

1.（2025?全國二卷?高考真題）不等式土二22的解集是（）

x-1

A.{x|-2<x<l}B.{x\x<-2}

C.{x|-2<x<l}D.{x\x>1}

【答案】C

【分析】移項后轉(zhuǎn)化為求一元二次不等式的解即可.

【詳解】=22即為注40即卜-1）40,故一2￡X〈1,

x-1x-1[x—lwO

故解集為-2,1）,

故選：C.

2.（2025?北京?高考真題）已知。>0,6>0,貝!]（）

.,,11、1

A.a~+b2>labB.—+—^―

abab

「112

C.a+b>4abD.—+-<—/==

abyjab

【答案】C

【分析】由基本不等式結(jié)合特例即可判斷.

22

【詳解】對于A,當(dāng)。=6時，a+b=2ab9故A錯誤；

1?IIIoI

_t1j1u—I—=2+4=6<————8=—

對于BD,=—,b=—,此時Qb11ab9

24-x-

24

1/12

—+-=2+4=6>r—4——/

abI14ab>故BD錯誤;

對于C,由基本不等式可得a+622疝>疝，故C正確.

故選：C.

二、填空題

3.(2025?上海?高考真題)不等式一^<0的解集為

【答案】(1,3)

【分析】轉(zhuǎn)化為一元二次不等式(x-l)(x-3)<0,解出即可.

【詳解】原不等式轉(zhuǎn)化為(x-l)(x-3)<0,解得l<x<3,

則其解集為(1,3).

故答案為：(1,3).

4.(2025?上海?高考真題)設(shè)。,6>0,。+：=1,則b+工的最小值為_________.

ba

【答案】4

【分析】靈活利用“1”將6+：=[+111+小展開利用基本不等式計算即可.

【詳解】易知"=[+」[+口="+?注2.Lb-g2=4,

a\a)\b)ab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)仍=1,即。=；,6=2時取得最小值.

故答案為：4

5.(2025?天津?高考真題)若a,6eR,對Vxe[-2,2],均有(2a+b)f+瓜-。-140恒成立，則2a+6的最

小值為_______

【答案】-4

2/12

【分析】先設(shè)y24+6,根據(jù)不等式的形式，為了消。可以取》=-；,得到此-4,驗證/=T時，“/是

否可以取到，進(jìn)而判斷該最小值是否可取即可得到答案.

【詳解】設(shè)"2a+b,原題轉(zhuǎn)化為求f的最小值，

原不等式可化為對任意的-2<x?2,tx?+(e-2(?)x-a-1(0,

不妨代入工=-5，——得,2-4,

當(dāng)方=-4時，原不等式可化為-4爐+(―4-2〃)x-a-1?0,

即—2x+]；a+lJ+^-a2<0,

,1

觀察可知，當(dāng)°=0時，-(2x+l)40對-2WxW2一定成立，當(dāng)且僅當(dāng)了=-,取等號，

此時，a=0,b=-4,說明l=T時，6均可取到，滿足題意，

故f=2a+b的最小值為-4.

故答案為：-4

?m

2025高考模擬題

一、單選題

集合=卜卜則=

1.(2025?四川德陽?二模)己知集合/=x—<082+X-2V0},)

X+1

A.[-2,3]B.[-1』C.(—1,2]D.(—1,1]

【答案】D

【分析】先分別解分式不等式和一元二次不等式求出集合48,再求兩集合的交集即可.

【詳解】由二|?0,得卜+解得_i<xw3,

x+1[x+1/0

所以4={止1<%<3},

3/12

由％2+X-2(0,得(X-1)(X+2)<0,解得—2<x<1,

所以2={司-2X1},

所以/口2=(-1』.

故選：D

2.(2025?北京海淀?二模)設(shè)〃、b、ceR,abc^O,S.a>b>c,貝lj()

ab>be.

A.—+->2B.-+-<2

bcab

C.2a>b+cD.a+b>c

【答案】c

【分析】利用特殊值法可判斷ABD選項，利用不等式的性質(zhì)可判斷C選項.

【詳解】對于A選項，不妨取。=2,b=l,c=-；,則￡+9=2-4=-2<2,A錯;

4bc

bc

對于B選項，不妨設(shè)〃=T,b=-2c=-6,則一+丁=2+3=5>2,B錯；

fab

對于C選項，因為〃〉6>c,由不等式的基本性質(zhì)可得2〃>b+c,C對；

對于D選項,不妨設(shè)。=一1,b=-2fc=-2.5,貝?。?。+6=—3<—2.5=。,D錯.

故選：C.

3.（2025?山東荷澤?二模）已知?！?,b>\,且曲=4,則logzHogz^的最大值為（）

A.7B.1C.4D.16

4

【答案】B

【分析】由基本不等式結(jié)合對數(shù)運算性質(zhì)即可求解.

【詳解】1。&叫其產(chǎn)2"；2[=[警[=],

當(dāng)且僅當(dāng)log2tz=log2b=1,即。=6=2時取等號，

故選：B

則1+6的最小值是（）

4.(2025?廣東汕頭?三模)己知a>0,b>0,a+-=l,

ba

4/12

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【分析】利用乘“1”法及基本不等式計算可得.

【詳解】因為。>0,b>0,。+?=1,

b

所以工+b=|—+/7||?+—|=2+--\-ab>2+2./—ab-4,

ag八bJab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)二=仍，即。=[,6=2時取等號.

ab2

故選：C

5.（2025?黑龍江佳木斯?三模）已知正數(shù)x,V滿足年.4>=4*，則2x+y的最小值是（）

9

A.2亞B.9C.-D.13

2

【答案】C

【分析】由2<4，=4V可得;+上=1，再根據(jù)基本不等式“1”的妙用求解即可.

2yx

【詳解】由2*4=4*,則2-22>=22W，即x+2y=2刈，則J+1=l,

2yx

所以2f=（2x+y）[；+J-+l+白2□+：=

xJyx2\yx22

當(dāng)且僅當(dāng)工=上，即x=y=：時等號成立，

yx2

9

所以2x+y的最小值是

故選：C.

6.（2025?湖南?三模）已知點（加,〃）是函數(shù)了=/在第一象限內(nèi)的圖象上的一點，則工+3的最小值為（）

mn

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

114

【分析】由題意得出冽〉0,〃〉0且〃=▲,利用基本不等式可求得上+上的最小值.

mmn

5/12

【詳解】由題意可知，m>0,〃>0且有"="尸='，所以，+3=J_+4z"22、也=4,

mmnm\m

\1

4m=——114

當(dāng)且僅當(dāng)"7時，即當(dāng)加=：時，等號成立，故工+3的最小值為4.

八2mn

m>0

故選：A.

7.（2025?四川攀枝花?三模）已知a,6eR,下列命題中正確的是（）

A.若a6=l,貝!]a+bZ2B.若a>b,則tana-tan6>0

C.若“>&,貝!|ln（a-6）>0D.若a>6>0,則+工

ba

【答案】D

【分析】利用特殊值判斷A、B、C,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷D.

【詳解】對于A：當(dāng)。=-2,b=_\滿足。6=1,但是。+6=-1*<2,故A錯誤；

22

對于B：當(dāng)。=兀，b=3,滿足a>b,但是tana—tanb=tan兀一tan“=—VJ<0,故B錯誤；

33

對于C：若。=1,b=0,滿足。-6〉0,但是ln（a-6）=0,故c錯誤；

對于D：因為了=》與〉=-,在（0,+e）上單調(diào)遞增，

X

所以y=x-1在（0,+司上單調(diào)遞增，

X

若。>6>0,貝>b—,所以aH—>b-\—,故D正確.

abba

故選：D

8.（2025?重慶?三模）已知=2//（個40）,則2-/-9/的最大值為（）

A.6B.-6C.8D.-8

【答案】B

【分析】本題主要考查代數(shù)最值的求解方法，涉及代數(shù)式的變形、均值不等式應(yīng)用.

【詳解】由/+/=2工2/（中/0）,兩邊除以/必，得：:+]=2,目標(biāo)為求29V的最大值,

6/12

2-x2-9y2=2-（x2+9y2）的最大值，即求犬+9產(chǎn)的最小值，

11—+—

將V+9「結(jié)合了+y=2變形為：（/19/）尤2產(chǎn)展開計算:

1+1

~~211x2

0+9/

2xy2X1

由均值不等式a+b22\labQ.b〉0），令a=-了,b=4’,

則：因此」+T小。+6）=8（當(dāng)且僅當(dāng)/程即時取等號）.

目標(biāo)式最大值：2-x2-9y2=2-(x2+9y2)<2-8=-6.

故選：B.

二、多選題

9.（2025?山東臨沂?二模）已知。>b>c,則下列不等式正確的是（）

A.---<—，-B.ab2>cb2C.a+b>cD.a2+c2>b2

a—ca-b

【答案】AD

【分析】對于A,可以用作差法判斷，對于BC,舉反例判斷即可，對于D,分6〉0,b=0,6<0三種情況討

論即可判斷.

11（a-b\-ia-c\c-b

【詳解】對于A,---------—";=7—w―云，因為〃〉6〉。，

a-ca-bya-c）ya-b）ya-c）ya-b）

所以c-b<0,a-c>0,a-b>0,即7~工:八<0,所以一1-<」，故A正確；

[a-c）[a-b）a-ca-b

對于B,取a>A=0>c,此時必2=廿2=0,故B錯誤；

對于C,取。=-1>6=-2〉。=-3,貝!）。+6=。=-3,故C錯誤，

對于D,若a>b=0>c,貝（）/+02〉從=0顯然成立，

若?！?〉0>。，貝!+H〉Q2〉〃成立,

7/12

若。>0>6>C,貝！IQ2+C2〉02〉/成立，

綜上所述，只要Q>b>C,就一定有/+/>〃，故D正確.

故選：AD.

10.（2025?河南?三模）已知Iog2〃〉log2b，。為實數(shù)，則下列不等式正確的是（）

A.I.riB.ac2>be2C.—+—>2D.a-sina<b-sinb

a>°ba

【答案】AC

【分析】由題意可得。>6>0,利用不等式的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性對選項逐一判斷即可.

【詳解】由題意可得。>6>0,

A項:由了=彳!單調(diào)遞增，知1>［，故選項A正確；

B項:c=0時選項B不正確；

C項:由。>6>0,則”久2曰=2,當(dāng)且僅當(dāng)°=6時等號成立，.?.等號不成立，故選項C

ba\ba

正確；

D項:構(gòu)造函數(shù)歹=x-sinx,/=］-cosx>0，；.y=x-sinx單調(diào)遞增，又a>b〉0,得a-sina>b-sinb,

故選項D不正確.

故選:AC.

11.（2025?浙江?三模）已知。>0,b>0,則下列說法正確的是（）

A.若ab=a+b+3,貝?。荨?29

B.二的最小值為1

a+3

C.若a+b=9,則生+:的最小值為8

ab

D.若6+亞WlJa+6恒成立,則上的最小值為后

【答案】AC

【分析】利用基本不等式求解A,利用基本不等式的取等條件判斷B,利用基本不等式結(jié)合“1”的代換判斷

8/12

C,先分離參數(shù),再對洋二平方后利用換元法和判別式法求解最值，得到左的最小值判斷D即可.

yja+b

【詳解】對于A,ab=a+b+3>2V^6+3,當(dāng)且僅當(dāng)。=b=3時取等號,

即(V^-3)(A/^F+1)20,得至!)-3>0,解得仍29.故A正確;

4舄

對于B,a2H—-----+小品2*3—3=4—3=1,

a+3

4

當(dāng)且僅當(dāng)/+3=二三，即〃+3=2時取等號，顯然。的值不存在，故B錯誤;

a+3

7丁-E、r,八LLAI4(Q+6)a4ba

對于C,因為〃+b=9,所以------+-=4A+一+-,

abab

由基本不等式得4+竺+q24+2,因1=8,

abNab

當(dāng)且僅當(dāng)竺=/時取等，此時解得。=6,6=3,

ab

.36a..^也上4一十環(huán)

則n---H7的最小x值為8,故C正確，

ab

對于D,因為6+回《左而？恒成立，且?！?,6>0,

br、(，?+4^「4qH/G+V^、2a+5b+2\15ab

所以左2—I---------怛成工，而(一/----)=------------

y/a+by/a+ba+b

_a+b+46+2J5ab_4a+?小~~1

--------------------------1+-------------------，

a+b]+。

a

令f=*>0,則1+二'+!X.可化為]+41+2.,

2

Nal+b\+t

a

令加=4/+2盧，貝！]加(1+/)=4r+2百，

\+t

化簡得(m-4)t2-2y[5t+m=09

而該一元二次方程一定有實數(shù)根，得到(-2右y-4加(加-4)20,

解得加當(dāng)加=5時，t=E>0,

9/12

4x—+2A/5x—1~后

故加+1V6,故1+^_即^^4而，

1+￡Ta+b

a

得到左之后，則左的最小值為灰，故D錯誤.

故選：AC

三、填空題

Y—2

12.（2025?上海浦東新?三模）設(shè)尤為實數(shù)，則不等式—20的解集是

5-x

【答案】［2,5）

【分析】根據(jù)分式不等式解法求解即可.

【詳解】因為三220口(x-2)(5-x)>0

5-x5-xw0

解得2WxV5且XH5,BP2<x<5,

x—2

所以不等式￥>0的解集是［2,5）.

5-x

故答案為：［2,5）

2%+1

B（2。25?北京三模）不等式的解集為.

【答案】（-叫1）。［4,+8）

【分析】先化不等式為=根據(jù)分式的符號得到不等式等價于(x-4)(3x-3)>0

解不等式組即可

3、一33x—3w0

求解.

由^^得追一皿即歿言金。，

【詳解】

A，即日，

整理得:

,一：）（730,解得皿或…,

即

3x—3。0

10/12

故不等式”<1的解集為（-*1）。[4,+8）.