2024-2025學(xué)年重慶一中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.復(fù)數(shù)Z滿足§=?2,則Z=（）

A.-1+2iB.-l-2tC.2-tD.-2+i

2.已知向量21滿足I初=1,|3|=2,＜優(yōu)后＞=（五1位+高），則實(shí)數(shù)4=（）

11

A.-1B.1C.—D.——

3.已知直線"：(a-l)x+y-1=0,Z2：(3a-5)x+(a-l)y-2=0,則人〃%的充要條件的是()

A.a=2B.a=3C.a—2或3D.a=4

4.若方程C：/+y2—2ax+2y+2a2-1=0表示圓，且圓心位于第四象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.[-A<2,72]B.(72,+00)C.(0,網(wǎng)D.(0,

5.印章乃中華文明獨(dú)特信物，多以銅玉為材，形制方圓各異啟秦漢璽印至明清篆

刻，方寸之間承載三千年文脈，既是實(shí)用之器，更成藝術(shù)瑰寶.如圖是一個(gè)金屬印

章，除去頂部的環(huán)以后可以看作是一個(gè)正四棱柱和一個(gè)正四棱錐組成的幾何體.己知

正四棱柱和正四棱錐的高相等，均為4,正四棱錐的側(cè)棱與底面夾角的正弦值為

等，則該幾何體的體積是（）

A.32B.yC.64D.竽

6.若圓C：-1）2+（y-3）2=13上有兩點(diǎn)關(guān)于直線八？n%+7iy=l對(duì)稱，則血？+2九的最小值為（）

255

A.3B.§c.lD.-

-1

7.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,滿足a(cosB-cosC)=(力+c)cos4若sinB=目，則

8.已知橢圓C；今+%=1缶〉人＞。）的左右焦點(diǎn)分別為6，尸2，右頂點(diǎn)為P.過(guò)點(diǎn)6的直線/與橢圓C的交點(diǎn)

為4,與y軸的交點(diǎn)為艮若廢=：（員瓦+甲），且|40|—MF2I=\0P\-\F±F2\,則橢圓C的離心率為（）

1

A.2-

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知直線Ay=kx+2k-3,則下列說(shuō)法正確的是()

A.直線/恒過(guò)定點(diǎn)(-2,-3)

B.若直線/在%軸上的截距為1,貝也=1

C.若直線/與直線2久+y-l=O垂直，則k=

D.若k>G則直線1的傾斜角a的取值范圍為g,兀)

10.如圖，在正方體4BCD-4/1GD1中，點(diǎn)E,F,G,H分別為棱4當(dāng)，D,

BC,CD,BiG的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.異面直線EF與&G所成角的正弦值為苧

B.EF〃平面a&QC

C.直線力E與C”是異面直線■/%

I/:：：“"」/『

D.過(guò)力，E,G三點(diǎn)的平面截正方體4BCD所得的截面形狀為菱AB

形

11.已知直線I：(%+l)cos0+(y-2')sin9=2,其中8€[0,捫，點(diǎn)P(a,b)是直線/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).圓C：%2+

y2+22x-4Ay+A2=0,其中；leR,點(diǎn)Q(zn,n)是圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).則下列說(shuō)法中正確的是()

A.當(dāng)cos。=|"=T時(shí)，圓心C到直線I的距離為4

B.當(dāng)cosJ=|,4=—1時(shí)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，則|0P|+|QP|的最小值為2門—2

c.當(dāng)a=2時(shí)，不存在。e[O,TT],使圓c與直線/相離

D.存在2GR,使對(duì)任意的8G[0,71],圓C與直線1均相切

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在△ABC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=1,b=c=則NC=.

13.已知橢圓捻+昌=1的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為4上頂點(diǎn)為B,經(jīng)過(guò)點(diǎn)4尸的圓C與y軸相切于點(diǎn)

P(0,O，貝U|BF|=

14.如圖，半徑為2的四分之一球形狀的玩具儲(chǔ)物盒，放入一個(gè)玩具/rf\\

小球，合上盒蓋，當(dāng)小球的半徑最大時(shí)，小球的表面積為.小…匕

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

如圖，S4B為圓錐S。的軸截面，4B為底面圓。的直徑，SA=AB=2,C為底面圓周上一點(diǎn)，且力C=BC,

。為S2的中點(diǎn).

(1)求證：BS〃平面OCD；

(2)求直線BC與平面sac所成角的正弦值.

16.(本小題15分)

已知橢圓C：捻+，=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fl、F2,離心率e=g,過(guò)a的直線2與橢圓C交于

A,B兩點(diǎn)，且AF2aB的周長(zhǎng)為8.

(1)求橢圓C的方程；

(2)在中，求COSN&4F2的最小值.

17.(本小題15分)

已知梯形2BCD中，AB//DC,ABYAD,AB=AD=^DC=2,如圖1.將△4BD沿折起至!UPBD,得至I]

三棱錐P—BCD,如圖2,E、F分別為棱B。、CD的中點(diǎn).

(1)若BC1PD,求證：平面PBC1平面PBD；

(2)若NPEF=90。，求二面角?！狿F—E的正弦值；

(3)是否存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)8到平面PC。的距離為諜？若存在，確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.(本小題17分)

在平面直角坐標(biāo)系中，定義d(P,Q)=-久2卜-％1｝為兩點(diǎn)「(刀1，乃)，。(如力)的“棋盤距

離”(源自國(guó)際象棋中王的走法規(guī)則，又名“切比雪夫距離”).直線Z：y^kx+1.

(1)已知圓C：x2+(y—a)2=4(a<1),圓C1：/+p-2久一4y+4=0的圓心分別為C,Q,且

d(C,C])=2,判斷圓C與圓G的位置關(guān)系；

(2)若直線，與(1)問(wèn)結(jié)論中的圓C自上而下交于4B兩點(diǎn)，直線2與y軸、x軸分別交于P、Q兩點(diǎn)：若(1)問(wèn)結(jié)

論中的圓C與y軸自上而下交于G,H兩點(diǎn).

①設(shè)Q4=mPA,QB=九方，求m+n的值；

②求證：直線2"、BG交點(diǎn)R在定直線上.

19.(本小題17分)

在△ABC中，內(nèi)角力，B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.

(1)若AABC的面積為1,

①瓦？?刀=1,求tcm力的值；

21

②求$的最小值?

JsinA1-cosA

(2)若△ABC為銳角三角形，其外接圓半徑R=6,是否存在實(shí)數(shù)九使得abc工4.2+。2+3?2)恒成立，

若存在，求出4的最小值；若不存在，說(shuō)明理由.

答案解析

1.【答案】D

2

【解析】解：—Z=i=-1，

故2-i=-z,

故z=-2+i.

故選：D.

結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解:由d1伍+焉),可得片+434=0,

^\a\=l,\b\=2,<a,b>=l，

則有1+1x2義2%=0,解得2=—1.

故選：A.

由向量垂直，得數(shù)量積為0,列方程即可求解.

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：直線4：(a—l)x+y—1=0,(2：(3a—5)x+(a—l)y—2=0,

貝”(a-l)2=1.(3a-5),解得a=2或3,

當(dāng)a=3時(shí)，兩直線重合，不符合題意，舍去，

當(dāng)a=2時(shí)，兩直線不重合，符合題意，

故a=2,

的充要條件的是a=2.

故選：A.

結(jié)合直線平行的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：方程C：x2+y2-2ax+2y+2a2—1=0,即(％—a)2+(y+l)2=2—a2,

故圓心為(a,—1),半徑7=V2—a2,

所以解得0<a<，2

故選：C.

根據(jù)圓的一般式求出圓心和半徑，且半徑大于0,圓心位于第四象限，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

本題考查了圓的一般式的性質(zhì)的運(yùn)用和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解:設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a,則底面的對(duì)角線長(zhǎng)為Jia,

由題意正四棱柱和正四棱錐的高為4,

所以正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為=J16+押,

因?yàn)檎睦忮F的側(cè)棱與底面夾角的正弦值為等，

匚匚［、142y/~5

解得a=2/2,

故該幾何體的體積為x2/1x4+|x272x2/2x4=竽.

故選：D.

設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a,根據(jù)正四棱錐的高求出側(cè)棱長(zhǎng)，然后利用正四棱錐的側(cè)棱與底面夾角的正弦

值建立方程，求得a=2/1,結(jié)合柱體和錐體體積公式求解即可.

本題考查幾何體體積的計(jì)算，屬于中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：由題意可得圓C的圓心坐標(biāo)(1,3),

由題意可得圓心C在直線/上，即TH+3n=1,所以zn=1—3n,

所以病+2n=(1—3n)2+2n=9n2-4n=1=9(n—1)2+1-|=9(n—1)2+|,開口向上，對(duì)稱軸

2

九二§，

所以當(dāng)n彗時(shí)，源+2九取到最小值，且最小值為

故選：B.

由題意可得圓心C在直線/上，可得小，九的關(guān)系，可得+2〃的表達(dá)式，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得它的最小

值.

本題考查直線與圓的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的最值的求法，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：a(cosB—cosC)=(b+c)cosA,由正弦定理得si幾4(cosB—cosC)=(sinB+sinC)cosA,

???sinAcosB—sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC,

???sinAcosB—cosAsinB=sinAcosC+cosAsinC,BPsin(^4—8)=sin(Z+C),

sin(^-5)=sinB,故A—B=B及4=2B,A+B=3B<n,B6(0,1),

.n1cfZ2V_2bsinBsinB13V-2

???smB=_osB=」l-02=k=_

故選：A.

由正弦定理邊角互化及兩角和差公式可得sin(4一B)=sinB,從而4=2B,再由B€(05)得至UcosB的值,

最后由正弦定理及二倍角公式可求得結(jié)果.

本題考查了解三角形，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：已知橢圓：馬+盤=1，焦點(diǎn)&(―c,0)，F(xiàn)2(C,0),右頂點(diǎn)P(a,0),

ab

設(shè)B(0,y°)，4(刈,當(dāng))，由而=3(竊+罰)，

(_c=巧-3c2

得Iv2=>=C，將A(c,yi)代入橢圓方程，得yi=±—,

卜。J°

|OP|=a,I&&I=2c,故—MF2I=a—2c,

計(jì)算距離：M6I=J4c2+y/,MF2I=|為|,代入比=，，

化簡(jiǎn)得J4c2+,-.=a-2c,利用爐-a2—c?進(jìn)一步化簡(jiǎn)得2c2=a2—2ac,

令e=(,方程化為2e?+2e—1=0,解得e=g'(舍負(fù)).

故選：B.

根據(jù)橢圓的性質(zhì)即可求解.

本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題.

9.【答案】AB

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于力，直線八y=kx+2k—3,變形可得y+3=k(久+2),恒過(guò)定點(diǎn)(-2,—3),A正確；

對(duì)于B,若直線I在無(wú)軸上的截距為1,即k+2k-3=0,解可得k=l,2正確;

對(duì)于C,若直線1與直線2x+y-1=0垂直，則有k=g,C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,若k即tcmaN展，必有亨Wa<1,。錯(cuò)誤.

故選:AB.

根據(jù)題意，由直線的斜截式方程依次分析選項(xiàng)，綜合可得答案.

本題考查直線的一般式方程，涉及直線的斜率，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于4如圖所示，

取的中點(diǎn)0,連接。E,OC,

因?yàn)椤〃BiG〃BC.OE=CF=|sc,

所以四邊形。EFC為平行四邊形，

所以EF〃OC,

故/COG或其補(bǔ)角即為異面直線EF與4G所成角,

設(shè)正方體4BCD的棱長(zhǎng)為a,

在RtAOCiC中，0cl=苧a，CCt=a,OC=?a，

所以sin/COG=弟=g

即異面直線EF與4G所成角的正弦值為苧，故A正確；

對(duì)于8,由選項(xiàng)A可知，EF//OC,OCu平面441GC,EFC平面a&GC,

所以EF〃平面A41GC,故8正確；

對(duì)于C,如圖所示，

連接EH,因?yàn)?1c"EH,A^CJ/AC,所以力C〃E”，

所以a,C,E,H四點(diǎn)共面,

所以直線ZE與直線CH共面，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,如圖所示,

取48的中點(diǎn)K,連接KE,KC,連接GE,CrG,

因?yàn)镵E“B\B”C\C.KE=C1C,

所以四邊形為平行四邊形，

所以GE〃CK,JE=CK,同理4G〃CK,AG=CK,

所以Ci￡7/G4C±E=GA,

所以四邊形GE4G為平行四邊形，

則過(guò)力，E,G三點(diǎn)的平面截正方體力BCD-4所得的截面為四邊形GE4G,

又N2E=AG=Ja?+（合2=多，

所以四邊形GE4G為菱形，故。正確，

故選：ABD.

利用定義法作出異面直線所成的角，然后求解即可判斷4利用線面平行的判定定理即可判斷B,利用平面

的性質(zhì)判斷C,作出截面利用菱形的定義判斷以

本題考查立體幾何綜合問(wèn)題，屬于難題.

11.【答案】ACD

【解析】解：當(dāng)cos8=|,4=—1時(shí)，直線2：3x+4y-15=0,圓C：

。一+(y+2)2=4,此時(shí)圓心c坐標(biāo)為(1,一2),半徑r=2,

13-8-151?

圓心C到直線/的距離為：，選項(xiàng)A正確.

J3Z+4Z

作點(diǎn)。關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)。噂，爭(zhēng)，

\0P\+\QP\=\0'P\+|QP|>\0'Q\>\0'C\-r=^53-2,

??.|0P|+|QP|的最小值為，打—2,選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

當(dāng)；I=2時(shí)，圓C：(%+2產(chǎn)+(y-4/=16,二C(—2,4),r=4,

點(diǎn)C到直線2的距離d==?.‘os。+2sme-2|,

Jcos20+sinz0

—cosd+2sin9—5A5sin(0—cp),其中sin?=答.cos(p=

96[0,7r],9—<pS.[~<p,TT—9],sin(0—cp)e[——,1],-cosd+2sin0—2G[—3,5—2],

d=\—cosd+2sin9-2|G[0,3]>V0G[0,TT],d<r,.,.當(dāng)4=2時(shí)，任意的。6[0,TT],圓C與直線，相

交，選項(xiàng)C正確.

當(dāng)4=1時(shí)，圓C：(x+l)2+(y—2)2=4,圓心C的坐標(biāo)為(一1,2),半徑r=2,

圓心C到直線/的距離。=7丁丁=2=r,

Jcos20+sinz0

二當(dāng)；1=1時(shí)，對(duì)任意的8€[0,兀],圓C與直線Z均相切，選項(xiàng)。正確.

故選：ACD.

求解直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解判斷4的正誤；求解|OP|+|QP|的最小值判斷B的正誤；判

斷直線與圓的位置關(guān)系判斷C的正誤；判斷直線與圓的位置關(guān)系判斷。的正誤.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，是中檔題.

12.【答案】]

4

【解析】解：因?yàn)椤?l,b=2y[2,c=V-13?

1+8-13

則cos"=二J

2X1X2AA2

故。=手

故答案為：空.

由已知結(jié)合余弦定理即可求解.

本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】3

【解析】解：由%+/^=1，可知才=7a2-1,c=1,

則F(1,O),A(a,0),B(0,Va2-l),

由題意可設(shè)圓。的方程為(％-r)2+(y—n)2=r2,

f(l—r)2+(0—n)2—r2

貝I,(a—r)2+(0—n)2=r2,

((0—r)2+(V-3—n)2=r2

a=3

解得n=V3,

r=2

所以B(0,2/1),

所以|BF|=JI?+(2/1)2=3.

故答案為：3.

設(shè)出圓C的方程，將點(diǎn)4,P,尸的坐標(biāo)代入圓的方程求出a,求出點(diǎn)B的坐標(biāo)后利用兩點(diǎn)距離公式求解即

可.

本題考查橢圓方程的應(yīng)用，屬于中檔題.

14.【答案】(48-32/2)71

【解析】解：如圖所示，

小球最大半徑r滿足：+l)r=2,

解得：r=2(72-1),

???小球的表面積S=471T2=(48-3272)71.

故答案為：(48-3272)77-.

作出截面圖形，可知小球最大半徑r滿足（，I+l）r=2,由此可求得r,由球的表面積公式可求得結(jié)果.

本題考查了幾何體的內(nèi)切球問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】證明見解析；

/42

【解析】（1）證明：因?yàn)?。為力B的中點(diǎn)，D為SA的中點(diǎn)，所以。D〃BS,

因?yàn)?。Du平面。CD,BSC平面。CD,

所以8S//平面。CD；

（2）401平面ABC,因?yàn)镾4=SB=AB=2,

所以S0=O，又AC=BC,AB=2,貝！J0C14B,

故S-BC=x0C—If

所以％TBC=拉ABCX50=jxlx/3=^,

又S4=SC=2,AC=42,

則在△SAC中，AC邊上的高為J2?-（苧）2=,SLSAC=gxy/~2x1=今，

設(shè)點(diǎn)B與平面S4C的距離為/i,

因?yàn)槠?ABC=%-S4C，所以等=,火昌X/l,所以h=主皆，

設(shè)直線BC與平面S4C所成角為仇貝卜譏。=白=方=與，

DCVZ/

即直線BC與平面S4C所成角的正弦值為殍.

（1）由中位線性質(zhì)得0D〃BS,利用線面平行判定定理證明BS〃平面0CD；

⑵先求出三棱錐S-48C的體積，然后求出AS"的面積，設(shè)點(diǎn)B與平面S2C的距離為九，利用等體積法求

得拉=宇，設(shè)直線BC與平面SAC所成角為8,利用sine=與求解即可.

本題考查了立體幾何中位置關(guān)系的證明及空間角的求解，屬于中檔題.

16.【答案】9+9=1；

1

2,

【解析】（1）因?yàn)椤鱂zZB的周長(zhǎng)為8,

所以4a=8,

解得Q=2,

因?yàn)闄E圓C的離心率e=：,

所以但1

a2f

解得力=V-3,

則橢圓c的方程為￥+4=1；

4j

(2)由(1)知,橢圓C的半焦距c=l,MFX|+MF2|=4,|F/2|=2,

IAFT+L一任何產(chǎn)(|”1|+|”21)2一四打產(chǎn)一2|/%||AF2l

所以C0S4F1ZF2=

21A尸1114尸2121,"I

_________1>____________1=!

~(M%l2.22

\AFr\\AF2\產(chǎn)

當(dāng)且僅當(dāng)=\AF2\=2時(shí)，等號(hào)成立.

則C0SNF14/2的最小值為今

(1)由題意，根據(jù)題目所給信息以及a,b,c之間的關(guān)系，列出等式求解即可；

(2)利用橢圓的定義及余弦定理，借助基本不等式求出最小值.

本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

17.【答案】證明見解析；

~3~；

存在點(diǎn)P(0,-號(hào),令，使得點(diǎn)B到平面PCD的距離為

-1

【解析】(1)證明：梯形力BCD中，AB//DC,ABVAD,AB=AD=^DC=2,

所以BD=2/2，BC=V22+(4-2)2=2/1,

所以B￡>2+BC2=所以BC1BD,

又BCLPD,BD,PDu平面PBD,SLBD^PD=D,所以BC1平面PBD,

又BCu平面PBC,所以平面PBC_L平面PBD.

(2)解：因?yàn)椤?、尸分別為棱8。、CD的中點(diǎn)，所以EF〃BC,

所以EF1BD,又PE工BD,所以NPEF為二面角P-BD—C的平面角，

因?yàn)镹PEF=90。，所以平面PBD1平面BDC,

所以PE1平面BDC,DE,EFu平面BDC,

所以PE1ED,PE1EF,又EFLBD,

建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,如圖所示：

貝|E(0,0,0),￡)(<2,0,0),B(一0,0),C(-72,2<2,0),F(0,72,0),E(0,0,7I)，

易知平面PEF的一個(gè)法向量為訪=(1,0,0),

設(shè)平面PDF的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),DF=(一形,，^,0),DP=(-<2,0,72),

則"?三=0,即「乃尤+於=0,?。?1,則元=(1,1,1),

(DP-n=01-5/^2%+AA2Z=0

所以cos<萬(wàn)，元〉=瑞=表，

所以二面角D-PF-E的正弦值為J1一(COS<話，元>)2=苧.

(3)由(2)可知DE1平面PEF,故分別以ED,EF為x,y軸的正方向，z軸在平面PEF內(nèi)且以向上的方向?yàn)檎?/p>

方向，

建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,如圖所示:

貝|E(0,0,0),0(72,0,0),B(-AA2,0,0),C(-72,272,0),F(0,72,0),

設(shè)P(O,yo，z()),因?yàn)镻E=JI，所以瞪+羽=1，又麗=(—2，！,0,0)，DC=(-272,2<2,0),

q-DC

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為口=(a,6,c),則=o

r而=o'

—2\Tia+2yJ_2b=0

即取c=，！一%),則口=(z(),z(),四一y。),

—\Z-2a+yob+zoc=0

必函I-2彳)|

則點(diǎn)8到平面PCD的距離為4=2所以2z1=(，^-y())2.

PIJZo+z^+(72-yo)

因?yàn)閥點(diǎn)+z]=2,所以4—2J/Q=—yO)2,即3y衣—2—2=0,

所以Vo=-,或Vo=，，，因?yàn)樵t+z5=2,所以Zo=或z()=0,

因?yàn)閦0>0,所以z。/y0=—年，所以p(0,—年俗，

所以存在點(diǎn)P(0,—苧使得點(diǎn)B到平面PCD的距離為Y2

(1)先利用勾股定理得BC1BD,再利用線面垂直的判定推理得BC1平面PBD,進(jìn)而由面面垂直的判定定

理證明即可.

(2)由二面角的定義及面面垂直的性質(zhì)定理得ED,EF,EP兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出

平面PEF和平面PD尸的法向量利用向量法求解即可.

(3)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P(O,y(),Zo),由PE=Y2得羽+z衣=2,求出平面PCD的法向量，利用點(diǎn)面距

離的向量公式列方程求出y0,z°,即可得解.

本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系應(yīng)用問(wèn)題，也考查了空間向量在立體集幾何中的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔

題.

18.【答案】相交；

①m+n=|；②證明見解析.

【解析】(1)圓Cl；/+y2—2%—4y+4=0,

轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：(%-I)2+(y-2)2=1,

vC(0,a),Q(l,2),d(C=max(l,\a-2\]=2,

???\a-2\=2=>a=4或0,a41,a=0,???C(0,0),。式1,2),

2222

OC：%+y=4,QC1：(%-l)+(y-2)=1,

廠=2,=1,|r—q|=1<|CC-^\—V-5V3=7+q,

?*oc與。Cl相交；

(2)①直線&y=kx+1,OC：%2+y2=4,設(shè)8(%2，丫2)，

由｛；2消去y得：&+l)x2+2kx-3=0,

f%l+x2=弓”

由韋達(dá)定理｛_3+1,尸(0,1),Q(-i0),

由Ql=根對(duì)有+祀yj=m(xlfy1-1)=血=1+看，

同理由證=71而有幾=1+卷，

m+n=2+7^+7^=2+7(-+-)=2+7(^1±^)(*),

kxikX2k%2k'%i%2

—2k

將韋達(dá)定理代入(*)=2+1(空)=2+*百)=

IV兒]人2IV—D

k2+l

8

???m+n=-；

②證明：G(0,2),H(0,-2),則直線4"：y+2=^-x,

X1

直線BG：y—2=

x2

y+2_(丫1+2)%2_(-I+3)%2_依1%2+3%2(**)

聯(lián)立兩直線方程消久得:

——X

y—2(y22)%i1)%1/c%i%211)

X]|fcx%2>

由韋達(dá)定理有+x2=1

y+2_丘1*2+3丫2_3'"尸2)+3工2_|(^1+3%2)

即=返產(chǎn)代入(**)可得=3,解得y=4,

y-2—3XIXX

kx1X2-X1~(+2)_XI―|(X1+32)

故直線4H、BG交點(diǎn)R在定直線y=4上.

(1)由棋盤距離的定義及a的范圍求出a=0,再由圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法可得結(jié)果；

_________1

(2)①聯(lián)立直線/和OC的方程，并得到韋達(dá)定理，再由西=m西和麗=九而分別得到爪=1+至和t=

1+A結(jié)合韋達(dá)定理并化簡(jiǎn)可得m+n=小

②設(shè)出和BG的點(diǎn)斜式方程并聯(lián)立消掉支，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得到冷=3,即y=4得證.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

19.【答案】①tcmA=2;

②最小值為小

存在Xmin=

【解析】(1)①若△ABC的面積為1,則2As譏4=1,

若麗?刀=1,貝!JcbcosA=1,

兩式相比，可得tcmA=2；

②由題可得gbcsizM=1,即be=

由余弦定理可得小=b2+c2-2bccosA>2bc—2bccosA=2bc(l—cosA)=，

4(1—cosA),、

所以衛(wèi)o+]>+]=4(l-cos4