幾何輔助線進(jìn)階訓(xùn)練——構(gòu)造等腰三角形

一'階段一（較易）

1.如圖，在口ABCD,點(diǎn)F是BC上的一點(diǎn)，連接AF,AE平分/FAD,交CD于中點(diǎn)E,連接

EF.若NFAD=60。，AD=5,CF=3,則EF=.

2.如圖，口ABCD中，對角線AC、BD相交于O,過點(diǎn)。作OE_LAC交AD于E,若AE=4,DE

=3,AB=5,則AC的長為（）

A.3A/2B.4A/2C.5&D.1V2

3.如圖，在△ABC中，已知AB=6,AC=10,4。平分乙BAC,8。14。于點(diǎn)。，E為BC中點(diǎn).求

DE的長.

4.如圖，△ABC中，BD平分乙4BC,CD1BD,垂足為D,E為AC中點(diǎn)，若AB=30,BC=18,則

的長為.

5.如圖，在RtzkABC中，NACB=90。，AC=12,BC=5,點(diǎn)D在△ABC外，連接A。、BD,點(diǎn)E

是BD的中點(diǎn)，AD=4,^CAD=^CAB,則線段CE的長

6.如圖，△ABC中，BD、CE是△ABC的兩條高，點(diǎn)F、M分別是DE、BC的中點(diǎn).求證:

FM±DE?

點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，DELAB于點(diǎn)E,點(diǎn)F是線段AD的中

(2)若NBAC=45。，AD=6,求C、E兩點(diǎn)間的距離.

8.如圖，在△ABC中，24=45。，=EF1BC,其中=DF=2,BC=4近,

DE=()

A.V2-1B.V2+1C.2V2-1D.2V2+1

9.如圖，P為△ABC邊BC上的一點(diǎn)，且PC=2PB,已知NABC=45。，ZAPC=60°,則NACB的

度數(shù)是°.

A

10.如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分ZACB,BDLCD,ZX=^ABD,若4C=7,BC=4.貝

的長為（）

11.如圖，在△ABC中，BP平分/ABC,APIBP于點(diǎn)P,連接PC,若△PAB的面積為6c7彥,

△PBC的面積為8cm2,則△PAC的面積為（）cm2.

二'階段二（中等）

12.如圖，在△ABC中，NBAC=120。，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC上的一點(diǎn)，KAB+AE=

EC.若DE=2,則AB的長為（）

A.2>/3B.4C.3bD.6

13.如圖，四邊形ABCD中，NDAB=NBCD=90。，對角線AC=8,點(diǎn)E,F,O分別為AD,AB,

BD的中點(diǎn)，且EF=5,則點(diǎn)。到AC的距離為

E

14.如圖，在AaBC中，^CAB=90°,。是斜邊BC上的中點(diǎn)，E、F分別是4B、AC邊上的點(diǎn)，且

DE1DF.

(1)若28=4配BE+CF=4,求四邊形AEDF的面積.

(2)求證：BE2+CF2=EF2.

15.如圖，正方形ABCD中，P為邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)E與B關(guān)于直線CP對稱，射線ED與CP的延長線相

交于點(diǎn)F.若4。=4PD,EF=16V2，則BC的長為.

16.如圖，在△ABC中，AB=AC=2^10,40是邊BC上的高線，過點(diǎn)D作。E||4C交4B于點(diǎn)E.

(1)求證：△?)￡1是等腰三角形；

(2)連結(jié)CE交AD于點(diǎn)H,若NDCE=45。，求EH的長.

17.如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)P是線段AB的延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，連

接DM,以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)作MNLDM交NCBP的角平分線于N,過點(diǎn)C作CE||MN交AD于

E,連接EM,CN,DN.

(1)求證：DM=MN；

(2)求證：EMHCN.

18.如圖，在RtAZBC中，AACB=90°,Z.B<CE平分NZCB,CDVAB,MN為邊AB的垂直

平分線且分別交BC、AB于點(diǎn)M、N,若乙DCE=AB,AC=2,貝IBM的長是()

A.2B.|V2C.2V3D.2V2

19.已知：在等邊△ABC中，點(diǎn)E是ZB邊所在直線上的一個動點(diǎn)(E與2、B兩點(diǎn)均不重合)，點(diǎn)。在

CB的延長線上，且ED=EC.

(1)如圖①，當(dāng)E是邊的中點(diǎn)時，求證：AE=BD；

(2)如圖②，當(dāng)E是線段AB邊上任意一點(diǎn)時，(1)中的結(jié)論是否一定成立？請說明理由;

(3)若點(diǎn)E是線段ZB的延長線上任一點(diǎn)，ED=EC,AE=2,AC=1,求CD的長.

20.如圖，在△ABC中，AB=AC=2V10,AD是邊BC上的高線，過點(diǎn)D作DE〃AC交AB于點(diǎn)

A

(1)求證：△ADE是等腰三角形；

(2)連結(jié)CE交AD于點(diǎn)H,若NDCE=45。，求EH的長.

三'階段三(較難)

21.請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

三等分角是古希臘三大幾何問題之一.如圖(1),任意NABC可被看作是矩形BCAD的對角線BA

與邊BC的夾角，以B為端點(diǎn)的射線BF交CA于點(diǎn)E,交DA的延長線于點(diǎn)F.若EF=2AB,則射線

BF是NABC的一條三等分線.

證明：如圖(2),取EF的中點(diǎn)G,連接AG,：四邊形BCAD是矩形，；.ADAC=90。，AD||BC.

在R3AEF中，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，：.AG=^EF....

13(1)圖⑵圖⑶

(1)任務(wù)一：上面證明過程中得出“AG的依據(jù)

是;

(2)任務(wù)二：完成材料證明中的剩余部分；

(3)任務(wù)三：如圖(3),在矩形ABCD中，對角線AC的延長線與NCBE的平分線交于點(diǎn)F,

若=CF=4,請直接寫出BF的長.

22.

(1)【閱讀材料】如圖①，四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+乙。=180。，點(diǎn)E,F分別在

BC,CD上，y^Z-BAD=2Z-EAF,求證：EF=BE+DF.

A

,D

BEc

圖①

(2)【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形ABCD.已知CD=

CB=100m,乙D=60°,乙ABC=120。，乙BCD=150%道路AD,AB上分別有景點(diǎn)M,N,且

DM=100m,BN=50(V3-l)m,若在M,N之間修一條直路，則路線M—N的長比路線

M-A-N的長少幾m?(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：V3?1.7)

圖②

23.如圖

(1)發(fā)現(xiàn)：如圖1,點(diǎn)B是線段40上的一點(diǎn)，分另U以AB,為邊向外作等邊三角形4BC和等邊

三角形BCE,連接AE,CD,相交于點(diǎn)。.

①線段4E與CD的數(shù)量關(guān)系為：；乙4OC的度數(shù)為.

?ACBD可看作△ABE經(jīng)過怎樣的變換得到

的？.

(2)應(yīng)用：如圖2,若點(diǎn)4B,。不在一條直線上，(1)中的結(jié)論①還成立嗎？請說明理由；

(3)拓展：在四邊形ZBCD中，AB=AC,ABAC=90°,AADC=45°,若4。=8,CD=6,請

直接寫出B,。兩點(diǎn)之間的距離.

24.請閱讀下列材料：已知：如圖(1)在股△ABC中，Z.BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E分別為線

段BC上兩動點(diǎn)，若ZDAE=45。.探究線段BZXDE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是：把

△AEC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得至必ABE"連接E,D，使問題得到解決.請你參考小明的思路探究并

解決下列問題：

(2)當(dāng)動點(diǎn)E在線段BC上，動點(diǎn)D運(yùn)動在線段CB延長線上時，如圖(2),其它條件不變，(1)

中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明；

(3)已知：如圖(3),等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E在邊力B上，且ZDCE=30。，請你找出一個

條件，使線段DE、AD.EB能構(gòu)成一個等腰三角形，并求出此時等腰三角形頂角的度數(shù).

(1)【探究發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1,AABC中，AB=AC,Z.BAC=90°,點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，E、F分別

為邊ZC、4B上兩點(diǎn)，若滿足NEDF=90。，則4E、AF,4B之間滿足的數(shù)量關(guān)系是.

(2)【類比應(yīng)用】如圖2,△ABC中，AB=AC,NBAC=120。，點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，E、尸分別為

邊AC、ZB上兩點(diǎn)，若滿足NEDF=60。，試探究4E、AF、4B之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)【拓展延伸】在△ABC中，AB=AC=5,ZBAC=120。，點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，E、F分別為直

線AC、上兩點(diǎn)，若滿足CE=1,/.EDF=60°,請直接寫出AF的長.

26.平行四邊形ABCC中，AB1AC,點(diǎn)E在邊4)上，連接BE.

(1)如圖1,4C交BE于點(diǎn)G,若BE平分乙4BC,且ND4c=30。，CG=2,請求出四邊形EGCD

的面積;

(2)如圖2,點(diǎn)F在對角線4C上，且4F=4B,連接BF,過點(diǎn)F作FH1BE于H,連接4H,求

證：HF+42AH=BH.

(3)如圖3,線段PQ在線段BE上運(yùn)動，點(diǎn)R在邊BC上，連接CQ,PR.若BE平分乙4BC,

Z.DAC=30°,AB=V3,PQ=|,BC=4BR.請直接寫出線段CQ+PQ+PR的和的最小值以及此時

ACQE的面積.

27.如圖，等腰RtAABC中，AB=AC,Z.BAC=90°,AD1BC于點(diǎn)。，N4BC的平分線分另U交AC、

于E、F兩點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，4M的延長線交BC于點(diǎn)N,連接DM,下列結(jié)論：①DF=DN;

②ZkOMN為等腰三角形；③EN1NC；(4)Z.DAM=^ADM；@AE=NC,其中正確結(jié)論有

)

28.如圖1、在AABC中，E、D是BC邊上的點(diǎn)，且AE是NBAD的平分線，ZCAE+ZBEA=180°

(2)當(dāng)BE=AC時，請猜想線段AB、AD之間的數(shù)量關(guān)系；并證明你的猜想.

(3)如圖2,在⑵的條件下，過D作DFLAE,垂足為F,交AB于G,如果4DEF=(請

直接寫出四邊形AFDC的面積.

29.

(1)如圖1,等腰RSPBF的直角頂點(diǎn)P在正方形ABCD的邊AD上，斜邊BF交CD于點(diǎn)Q,連接

PQ,求證：PQ=4P+CQ.請利用現(xiàn)在所學(xué)的旋轉(zhuǎn)知識，可將旋轉(zhuǎn)到ACBE,然后通過證明

全等三角形來完成證明.

（2）如圖2,若等腰RtAPBF的直角頂點(diǎn)P在正方形ABCD的邊DA的延長線上，斜邊BF的延長線

交CD的延長線于點(diǎn)Q,連接PQ,猜想線段PQ,AP,CQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論;

(3)如圖3,Rt△ABC中，ACBC,AACB90°,P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，PA=ACRPB=

PC,貝此BCP=

圖3

30.如圖，在正方形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)B,C重合），連接。E.過點(diǎn)A作DE的垂線,

分別交DE,DC于點(diǎn)F,H.延長AF到點(diǎn)G,使得FG=ZF,連接CG,CG.

圖1圖2

(1)求證：XADgXDCE；

(2)①若乙4OE=60°,貝U乙4GC=.

②改變NADE的度數(shù)，乙4GC的度數(shù)是否會發(fā)生改變？若發(fā)生改變，請寫出乙4GC與乙4DE之間的

關(guān)系，若不改變，請說明理由；

(3)如圖2,若BE=EC=V^,求DF與CG的長.

答案解析部分

L【答案】4

2.【答案】B

3.【答案】解：如圖，延長BC交2c于點(diǎn)F.

:皿平分/射配

：.^BAD=AFAD.

"：BDLAD,

：.^ADB=^ADF=90°.

：.AABD=AAFD.

：.AB=AF,BD=DF.

是BF的中點(diǎn).

"：AC=10,AB=6,

：.FC=AC-AF=AC-AB=10-6=4.

為BC的中點(diǎn)，

為ABFC的中位線.

11

ADE=1FC=|x4=2.

4.【答案】6

5.【答案】義

6.【答案】證明：如圖，連接EM、DM,

NBEO90。,

.,.EM=|BC,

同理DM=：BC,

；.EM=DM,

...△DME為等腰三角形，

?.?F是DE的中點(diǎn)，

.\FM±DE.

7.【答案】(1)證明：：DB±AB,

Z.DEA=90°,在RtAAED和RtAACD中，

???點(diǎn)F是斜邊AD的中點(diǎn)，

11

EF=-^AD,CF=^AD

EF=CF

(2)解：連接CE,由⑴得EF=4F=CF=^AD=3,

."FEZ=^FAE,NFCA=NFAC,

：ZEFC=2AFAE+2^FAC=24BAC=2X45°=90。，

CE=JEF2+CF2=J32+32=3V2.

即C,E兩點(diǎn)間的距離是3或

8.【答案】C

9.【答案】75

10.【答案】B

11.【答案】A

12.【答案】B

13.【答案】3

14.【答案】(1)解：連接40,如圖1,

圖1

???在RtAABC中，AB=AC,AD為BC邊的中線，

???Z.DAC=乙BAD=ZC=45°,AD1BC,AD=DC,

又DE1DF,AD1DC,

/.EDA+AADF=乙CDF+^FDA=90°,

???Z.EDA=Z.CDF,

在△力￡。與4CFD中,

/-EDA=乙CDF

AD=CD,

、Z-EAD-Z.C

AED三△CFDQ4s力），

???AE=CF,

???BE+CF=4,

??.AB=BE+AE=4,

所以S四邊形AFDE-S^AFD+S>AED

^^AFD+S“FD

二S〉A(chǔ)DC

_1

=2S&ABC

112

=2X2AB

1,

=4x4

=4,

(2)證明：延長ED至點(diǎn)G,使得DG=DE,連接尸G,CG,如圖2,

A

???DE=DG,DF1DE,

???OF垂直平分OE,

??.EF=FG,

???。是3。中點(diǎn)，

BD=CD,

在aCDG中，

BD=CD

乙BDE=Z.CDG,

、DE=DG

BDE=△CDG(Si4S),

.?.BE=CG,Z-DCG=Z-DBE,

???Z.ACB+"BE=90°,

/.^ACB+Z.DCG=90°,BPZFCG=90°,

???CG2+CF2=FG2,

???BE2+CF2=EF2

15.【答案】4V17

16.【答案】(1)證明：在△ABC中，AB=AC,

??.△ABC是等腰三角形，

AD1BC,

BD-CD,Z-DAC-Z.EAD

vDE||AC,

:.Z.EDA=Z-DAC

??.Z.EAD=/.EDA

.?.DE—AE,

??.△ADE是等腰三角形；

(2)解：作EFIIBC,交4。于G,交AC于點(diǎn)F,連接尸”，則EG14D,

A

???△ZED是等腰三角形，EG1AD

???AG=GD,

-ADIBC,LDCE=45°,

.-.△CD”是等腰直角三角形，

???DH=DC,乙DHC=45°

???EGLAD,乙EHG=乙DHC=45。，

.-.△EG”是等腰直角三角形，

???EF||BC

??.Z.AEF=乙B,Z,AFE=Z.ACBf

又???ZB=乙ACB

?，?Z-AEF=Z.AFE

???AE=AF,

又??.AD1EF

??.HE=HF

???乙HEF=乙HFE=45°,

.?.△HEF是等腰直角三角形，

EF=V2EH,GH=^EF,

又,:Z.B=90°-A.EAD=90°-Z.EDA=乙EDB,NB=乙ACB

ED||AC,

Z.DEC=Z-FCE,

???EF||BC

???乙FEC=Z-ECD

在△DEC與中,

NFEC=乙ECD

EC=EC

/DEC=乙FCE

.*.△DEC=△FCE^ASA）,

??.EF=DC

13

??.GD=GH+DH=5EF+DC=^DC

1

???GA=GD=^AD,

??.AD=3DC,

7AB=AC2V10,AC2=AD2+DC2,

40=9DC2+DC2,

???DC—2,

EF=V2EH=DC=2

...EH=X2=也

???EH的長為魚.

17.【答案】（1）證明：在線段AD上截取DF=MB,連接FM,如圖所示:

在正方形ABCD中，AD=AB,ZA=ZABC=90°,

VDF=BM,

AAF=AM,

/.△FAM是等腰直角三角形，

.\ZAFM=45°,

；.NMFD=135。，

：BN平分NCBP,ZCBP=90°,

；.NCBN=45。，

.\ZMBN=135°,

；.NDFM=NMBN,

VDMXMN,

???ZNMB+ZAMD=90°,

ZAMD+ZADM=90°,

???NNMB=NMDF,

在^MDF和aNMB中，

ZDFM=乙MBN

DF=MB，

/MDF=乙NMB

???△MDF畛△NMB(ASA),

ADM=MN；

(2)證明：VCEHMN,DM±MN,

ADM±CE,

JNDEC+NEDM=90。，

??ZAMD+ZEDM=90°,

???NDEC=NAMD,

,?,四邊形ABCD是正方形，

ADC=AD,NEDC=NMAD=90。，

在^EDC和^MAD中，

(A.DEC=^AMD

DC=AD,

LEPC=^MAD

.*.△EDC^AMAD(ASA),

AEC=DM,

?「DM=MN,

AEC=MN,

VECHMN,

???四邊形EMNC為平行四邊形，

AEMHCN.

18.【答案】D

19.【答案】(1)證明：???△力為等邊三角形，點(diǎn)E為力B的中點(diǎn),

：-Z-ABC=乙ACB=60。，CE平分AE=BE,

1

;?乙ECB=^ACB=30%

°：DE=CE,

"D=(ECB=30°,

9：￡.ABC=乙D+乙DEB,

"DEB=^ABC一乙D=30°,

Z-D=乙DEB,

：.BD=BE,

：.AE=BD

(2)解：當(dāng)點(diǎn)E為線段43上任意一點(diǎn)時，(1)中的結(jié)論成立，理由如下:

如圖②，過E作EF||BC交AC于F,

圖②

???△力BC是等邊三角形，

：-￡.ABC=^ACB=^A=60%AB=AC=BC,

：.Z.AEF=^ABC=60°,^LAFE=乙ACB=60°,

即乙4EF=^AFE=乙4=60°,

???△力EF是等邊三角形，

：.AE=EF=AF,

9：Z.ABC=^ACB=^AFE=60°,

?"DBE=乙EFC=120°,zZ)+乙BED=乙FCE+乙ECD=60°,

?：DE=EC,

Z.D=(ECD,

:.(BED=Z.ECF,

(Z-DBE=乙EFC

在^ECF^,\^DEB=Z.ECF,

、DE=EC

：.2DEB皂△ECFQ44S),

：.BD=EF,

：.AE=BD；

(3)解：如圖③，過E作EF||BC交AC的延長線于F,

貝I」△力ER為等邊三角形，乙ECD=XEF,

：-AF=AE=EF=2f"=60°,

VEC=ED,

Z.D=Z,ECD,

"CEF=m

???△ABC是等邊三角形，

ABC=AC=1,^ABC=60°,

"DBE=4ABC=60°,

AZF="BE,

(Z-F=Z-DBE

在△CEF和△EDB中，zCEF=zZ),

、EC=DE

：.ACEF=AEDB(AAS),

：.BD=EF=2,

：.CD=BD+AC=2+1=3.

20.【答案】(1)證明：在△ABC中，AB=AC,

/.△ABC是等腰三角形，

VAD±BC,

ABD=CD,

?.?DE〃AC,

???AE=BE,

DE=iAB=AE,

???△ADE是等腰三角形；

(2)解：作EG〃:BC,交AD于G,

VAE=BE,

；.AG=DG,

；.EG=|BD=|CD,

VEG/7BC,

.GH_EH_EG_1

，,DH^CH=CD~2'

；.GH=1DH,EH=|CH,

VAD±BC,ZDCE=45°,

/.△CDH是等腰直角三角形，

；.DH=DC,

；.AD=3DC,

VAB=AC=2V10,AC2=AD2+DC2,

.\40=9DC2+DC2,

；.DC=2,

；.DH=DC=2,

，CH=V22+22=2V2,

；.EH=ICH=V2,

AEH的長為魚.

21.【答案】(1)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半

(2)解：任務(wù)二：如圖，取EF的中點(diǎn)G,連接AG,

???四邊形BCAD是矩形，

.\ZDAC=90°,AD||BC.

在R3AEF中，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn),

???AG=EG==乙F,

,.?EF=2AB,

AAB=AG.

???NABG=NAGB.

JNABG=NAGB=NF+NGAF=2NF.

VAD||BC,

???NF=NCBF,

??.NABG=2NCBF,

???NABC=3NCBF,

?,?射線BF是NABC的一條三等分線

(3)解：2+25

22.【答案】(1)證明：延長到點(diǎn)M,使BM=DF,連接4M,如圖,

A

Z.D=Z.ABM,

AB=AD,乙ABM=乙D,BM=DF,

：.△ABM=^ADFf

=AF,/LMAB=Z.DAF,

U：^BAD=2/.EAF,

：.Z.BAE+^DAF=匕BAE+^BAM=^EAM=^EAF,

又???力M=4F,AE=AE,

C.^AEM=LAEF,

：.ME=EF,

：.EF=MB+BE=BE+DF；

（2）解：如圖，延長DC,4B交于點(diǎn)G,連接CN,CM,

■:(D=60%/.ABC=120%乙BCD=150°,

：.^A=360°—60°-120°-150°=30°,

?"G=90°,

：.AD=2DG,

在Rt△CGB中，(BCG=180°-150°=30°,

:.BG=jBC=50,CG=50V3,

：-DG=CD+CG=100+50V3,

'.AD=2DG=200+IOOA/3,AG=G=150+IOOA/3,

:DM=100,

-,-AM=AD-DM200+IOOA/3-100=100+1008，

,:BG=50,BN=50(V3-1),

：.AN=AG-BG-BN=150+IOOA/3-50-50(國-1)=150+50V3,GN=BG+BN=

50V3，

"：CD=DM,Z.D=60。，

/.△DCM是等邊三角形，

：.ADCM=60°,

VGC=GN=50V3,

...△CGN是等腰直角三角形，

:.乙GCN=45°,

:.乙BCN=45°-30°=15°,

1

?"MCN=150°-60°-15°=75°="BCD,

由(1)的結(jié)論得：MN=DM+BN100+50(73-1)=50+50V3,

'：AM+AN-MN=100+100V3+150+50遮-(508+50)=200+100V3?370(m).

，路線M—N的長比路線M-A-N的長少370m.

23.【答案】(1)AE=CD；60°；△CBD可看作△ABE繞點(diǎn)b順時針旋轉(zhuǎn)60。得到的

(2)解：若點(diǎn)4B,。不在一條直線上，(1)中的結(jié)論①依然成立；理由如下：

???△4BC、ABDE都為等邊三角形，

AB=BC,BE=BD,^ACB=乙CAB=^ABC=乙EBD=60°,

???Z-ABE=Z-CBD,

AB=BC

在△力BE和△CBD中，\/.ABE=^CBD,

、BE=BD

：.4ABE=△CBD(SAS),

??.AE=CD,Z-BAE=乙BCD,

???乙CAE+乙BCD=60°,

???￡,AOC=180°-4ACB一乙CAE-乙BCD=180°-60°-60°=60°；

(3)解：BD=2V41.

24.【答案】(1)解：DE2=BD2+EC2,

(2)解：關(guān)系式0方=BD?+E/仍然成立.

證明：將AADB沿直線4。對折，得AAFD,連接FE

.'-AF=AB,FD=DB,^FAD=乙BAD,^AFD=^ABD,

y.'：AB=AC,

：.AF=AC,

"：^FAE=AFAD+^DAE=/.FAD+45°,

Z.EAC=Z.BAC-乙BAE=90°-(^DAE-Z.DAB~)=45°+Z.DAB,

J.^FAE=Z.EAC,

X'-'AE=AE,

△AFE=△ACE,

:?FE=EC,/.AFE=/.ACE=45°,Z.AFD=^ABD=180°-^ABC=135°

「人DFE=4AFD-匕AFE=135°-45°=90°,

在RtADFE中，DF2+FE2=DE2,

即。產(chǎn)=BD2+EC2；

解法二：將△EAC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△TAB.連接”.

DBEC

■,-^ABT=NC=45°,AT=AE,ATAE=90°.

VzXBC=45°,

:.乙TBC=乙TBD=90°,

,：ADAE=45°,

."DAT=^DAE,

'：AD=AD,

：.△DAT=ADAEVAS),

：.DT=DE,

,：DT2=DB2+BT2

：.DE2=BD2+EC2；

(3)解：當(dāng)4。=BE時，線段DE、AD.EB能構(gòu)成一個等腰三角形.

如圖，與(2)類似，以CE為一邊，作NECF=NECB,在CF上截取CF=CB,

CFE=ACBE,△DCF=△DCA.

-,-AD=DF,EF=BE.

:.ADFE=Z1+Z2=ZX+ZB=120°.

若使△CFE為等腰三角形，只需CF=EF,

即4。=BE,

...當(dāng)4。=BE時，線段。E、AD.EB能構(gòu)成一個等腰三角形，且頂角ZDFE為120。.

25.【答案】AB=AF+AE【類比應(yīng)用】（2）如圖2,zkABC中，ABAC,Z.BAC=120°,點(diǎn)、D為BC

的中點(diǎn)，E、F分別為邊AC、上兩點(diǎn)，若滿足NEDF=60。,試探究ZE、AF,4B之間滿足的數(shù)量

關(guān)系，并說明理由.【答案】解：4E+4F=由4?理由是：取AB中點(diǎn)G,連接DG,如圖2

AC,ABAC=120°,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，Z.Z.BAD=^CAD=60°,^GDA=^LBAD=60°,即

AGDF+AFDA=60°,XVZF/ID+AADE=/.FDE=60°,，乙GDF=4ADE,"：DG=AG,

^BAD=60°,；.△ADG為等邊三角形，J.^AGD=^CAD=60°,GD=AD,J.^GDF=△

ADE(ASA),：.GF=AE,：.AG=^AB=AF+FG=AE+AF,+AF=【拓展延伸】

(3)在△ABC中，AB=AC=5,ABAC=120°,點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，E、尸分別為直線AC、ZB上兩

點(diǎn)，若滿足CE=1,乙EDF=6。。,請直接寫出4F的長.【答案】解：4F的長為|或彳

(1)AB=AF+AE

(2)解：AE+AF=理由是：

取力B中點(diǎn)G,連接DG,如圖2

?.?點(diǎn)G是AADB斜邊中點(diǎn),

1

:?DG=AG=BG=%8,

9：AB=AC,Z-BAC=120°,點(diǎn)D為3。的中點(diǎn)，

：.Z,BAD=Z.CAD=60°,

：./.GDA=tBAD=60°,BPzGDF+^FDA=60°,

又「乙/力D+Z.ADE=乙FDE=60°,

：.^GDF=LADE,

U：DG=AG,^BAD=60°,

???△/DG為等邊三角形，

乙

C.Z.AGD=CAD=60°,GD=AD9

：.AGDF=6,ADE(ASA),

：.GF=AE,

^AG=^AB=AF+FG=AE+AF,

i

^-AE+AF=^AB;

(3)解：力F的長為|或孑

26.【答案】(1)解：如圖，過點(diǎn)G作GK_L力。于點(diǎn)K,

四邊形力BCD是平行四邊形，

：.LDAC=^ACB,AB=CD,AD||BC,

：.^AEB=乙CBE,

*：ABLAC,

：./.BAC=90°,

VZDXC=30°,

：.Z.ABC=60°,匕ACD=^BAC=90°,

9：BE^^^ABC,

：.Z.ABE=乙AEB=乙CBE=30°,

:.乙CBE=乙ACB,AE=AB,

ACG=BG=2,

1?AG=^BG=1,

--AC=AG+CG=3,AE=AB=y/BG2-AG2=75，KG=^AG=分

:四邊形EGCD=Sue?！猄"GE

11

--

22AExKG

11

--「1

22xV3x

乙

_5/3.

=丁’

(2)證明：如圖，過點(diǎn)A作4/1ZM于點(diǎn)A,交FH延長線于點(diǎn)J,

"：FH1BE,AB1AC,AB=AF,

：.ABAF=乙BHF=Z-BHJ=90°,^AFB=AABF=45°,

...點(diǎn)A,B,F,H四點(diǎn)共圓，

=^AFB=45°,

：.^AHJ=45°,

是等腰直角三角形，

：.AH=A],

-,-JH=V2AH

'."AB=AF,乙BAH=^FA]=90°+4PAH,AH=AJ,

：.△ABH三△AF/(SAS),

：.BH=FJ,

：HF+JH=HF+42AH

：.BH=FJ=FH+HJ=HF+四AH

(3)解:/21+3.73

2~'T

27.【答案】D

28.【答案】(1)解：9：^CAE+^BEA=180°,^AEC+/LBEA=180°,

：.^CAE=^AEC,

：.AC=CE,

VzC=38°,

：.^CAE=乙AEC=71°,

9：Z.CAD=25°,

：.^LCAE=71°-25°=46°；

(2)解：AB=2AD,理由如下：

在AB上截取力M=4D,連接ME,

A

：.^MAE=^E