2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)華東師大版（2024）七年級(jí)期末必刷常考

題之用正多邊形鋪設(shè)地板

一.選擇題（共7小題）

1.（2024春?南關(guān)區(qū)校級(jí)期中）如圖，有四種瓷磚圖案，用同一種瓷磚能鋪滿地面的是（）

AM金於

(1)(2)(3)(4)

A.(1)(2)(4)B.(2)(3)(4)C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(3)

2.（2024秋?義烏市期中）某校校園里的一條小路使用正六邊形、正方形、正三角形三種地磚按如圖方式

鋪設(shè).若這條小路共用了50塊正六邊形地磚，則正方形地磚的數(shù)量為（）

A.300塊B.301塊C.250塊D.251塊

3.（2024秋?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖是用邊長(zhǎng)相等的正三角形和正w邊形兩種地磚鋪設(shè)的部分地面示意圖,

則正w邊形的內(nèi)角和為（）

B.1440°C.1080°D.720°

4.（2024?蒸湘區(qū)校級(jí)開學(xué)）正六邊形和下列邊長(zhǎng)相同的正多邊形地磚組合中，能鋪滿地面的是（）

A.正方形

B.正八邊形

C.正十二邊形

D.正四邊形和正十二邊形

5.（2024春?偃師區(qū)期末）“動(dòng)感數(shù)學(xué)”社團(tuán)教室重新裝修，如圖是用邊長(zhǎng)相等的正方形和正w邊形兩種地

磚鋪滿地面后的部分示意圖，則〃的值為（）

正n邊形正n邊形

6.（2024?印江縣開學(xué)）如圖所示，是工人師傅用邊長(zhǎng)均為a的兩塊正方形和一塊正三角形地磚繞著點(diǎn)O

進(jìn)行的鋪設(shè).若將一塊邊長(zhǎng)為。的正多邊形地磚恰好能無空隙、不重疊地拼在NAOB處，則這塊正多

7.（2024春?新鄉(xiāng)期末）現(xiàn)有幾種形狀的多邊形地磚，分別是：①正三角形；②正方形；③正五邊形；④

正六邊形；⑤一般三角形；⑥一般四邊形.每一種地磚的大小形狀都相同，且都有很多塊，如果只用其

中的一種多邊形地磚鑲嵌，那么能夠鑲嵌成一個(gè)平面圖案的有（）

A.2種B.3種C.4種D.5種

二.填空題（共5小題）

8.（2025?碑林區(qū)校級(jí)三模）用兩種或兩種以上的正多邊形沒有重疊、沒有縫隙地填充一個(gè)平面（即每個(gè)

頂點(diǎn)上的各個(gè)角度數(shù)的和為360。并且每個(gè)頂點(diǎn)周圍的多邊形排列是相同的，所得到的圖案叫做“半正

密鋪”圖案.如圖所示的“半正密鋪”圖案，每個(gè)頂點(diǎn)上和為360。的三個(gè)角依次為正方形、正八邊形、

正八邊形的各一個(gè)內(nèi)角，可以用記號(hào)（4,8,8）表示.請(qǐng)嘗試用正三角形和正六邊形組成一個(gè)“半正

密鋪”圖案，并類比上述方法用記號(hào)表示.（寫出一種即可）

9.（2025?長(zhǎng)春一模）如圖，要用三塊正多邊形的木板鋪地，使拼在一起并相交于點(diǎn)A的各邊完全吻合,

其中已經(jīng)拼好的兩塊木板的邊數(shù)分別是4和6,則第三塊木板的邊數(shù)應(yīng)是

10.（2025?渭濱區(qū)校級(jí)模擬）如圖，這是兒童玩具底板的一幅圖案，供小朋友拼圖用的是正方形的木塊和

正n邊形木塊.由于小朋友只選了正方形的木塊,導(dǎo)致沒有拼成.老師鼓勵(lì)他選取正n邊形的木塊試試，

11.（2025?永壽縣校級(jí)一模）小明家裝修房屋，想用一種正多邊形瓷磚鋪地，頂點(diǎn)連著頂點(diǎn)，彼此之間不

留空隙又不重疊，請(qǐng)你幫助他選擇一種能密鋪的瓷磚形狀.（寫出一種即可）

12.（2025?歷城區(qū)模擬）我國(guó)古代園林連廊常采用八角形的窗戶設(shè)計(jì)，如圖1所示，其輪廓是一個(gè)正八邊

形，從窗戶向外觀看，景色宛如鑲嵌于一個(gè)畫框之中.圖2是八角形窗戶的示意圖，它的一個(gè)外角/I

圖2

三.解答題（共3小題）

13.（2025?上海校級(jí)一模）簪花結(jié)束后，小強(qiáng)和爸爸牽著媽媽的手，到螺埔村參觀游玩拍照紀(jì)念，精美的

鏤空窗花搭配蛆殼墻，極具泉州古民居特色，給小強(qiáng)一家留下來極其深刻的印象，在感嘆泉州人民的勤

勞與智慧的同

時(shí)，聰明的小強(qiáng)發(fā)現(xiàn)有的窗花是由幾種形狀的正多邊形組合鑲嵌而成，具有很好的對(duì)稱美，小強(qiáng)爸爸給

他出了如下兩個(gè)題目，請(qǐng)幫幫小強(qiáng)一起解決.

問題1.

已知一扇窗戶在某個(gè)結(jié)點(diǎn)處由兩種邊長(zhǎng)相等的正多邊形鑲嵌而成，其中一種是等邊三角形，另一個(gè)種不

能是下列哪種形狀的正多邊形（填序號(hào)）

①正三角形

②正四邊形

③正五邊形

④正六邊形

問題2.

小強(qiáng)發(fā)現(xiàn)某個(gè)花紋用4個(gè)全等的正八邊形進(jìn)行拼接，使相等的兩個(gè)正八邊形有一條公共邊，圍成一圈后

中間形成一個(gè)正方形，如圖1;小強(qiáng)猜想，如果用w個(gè)全等的正六邊形按這種方式進(jìn)行拼接，如圖2,

若圍成一圈后中間形成一個(gè)正多邊形，則w的值為，并簡(jiǎn)要說明理由.

14.（2025春?銅山區(qū)期中）【問題情境】平面密鋪是一類有趣的幾何問題.平面密鋪指的是用形狀、大小

完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，在拼接點(diǎn)處不留空隙也不會(huì)重疊.（注：當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一

起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角和為360。時(shí)，完成密鋪.）

某學(xué)習(xí)小組嘗試用幾種邊長(zhǎng)相等的正多邊形完成平面密鋪.開始前做足準(zhǔn)備，求出一些熟悉的正多邊形

的內(nèi)角度數(shù)，記錄如下：

正多邊形正三角形正四邊形正五邊形正六邊形正八邊形

正多邊形內(nèi)角的度數(shù)60°90°108°120°135°

【初步感知】該小組嘗試用一種正多邊形完成密鋪，結(jié)果發(fā)現(xiàn)用正三角形、正四邊形和正六邊形都可以

密鋪平面，如圖所示.

思考回答：用正五邊形能不能密鋪？請(qǐng)說明理由.

【問題探究】該學(xué)習(xí)小組打算用上面問題情境表格中的兩種正多邊形組合密鋪，其中一種是正三角形,

另一種是正〃邊形，求w的可能值，并說明組合方式.

【拓展延伸】該學(xué)習(xí)小組進(jìn)一步探究，用上面問題情境表格中的三種正多邊形組合密鋪，你認(rèn)為可行的

是.

A.正三角形、正四邊形和正六邊形

B.正三角形、正四邊形和正八邊形

C.正三角形、正六邊形和正八邊形

D.正四邊形、正六邊形和正八邊形

15.(2024秋?虞城縣月考)相信很多人家里都有“巧手媽媽”，圖1是一位巧手媽媽手工織的坐墊，圖2

是某學(xué)校操場(chǎng)鋪的地磚.它們或是用單獨(dú)的正多邊形，或是用多種正多邊形混合拼接成的，拼成的圖案

嚴(yán)絲合縫，不留空隙.從數(shù)學(xué)角度看，這些作品就是用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分覆蓋,

通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)的問題.

圖I圖2

(1)如果限用一種正三角形來覆蓋平面的一部分，是否能鑲嵌成一個(gè)平面圖形？請(qǐng)說明理由；

(2)如果同時(shí)用正三角形和正十二邊形來覆蓋平面的一部分，是否能鑲嵌成一個(gè)平面圖形？如果能,

應(yīng)如何搭配進(jìn)行平鋪，請(qǐng)說明理由.

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)華東師大版(2024)七年級(jí)期末必刷?？?/p>

題之用正多邊形鋪設(shè)地板

參考答案與試題解析

一.選擇題(共7小題)

題號(hào)1234567

答案ADADBBD

選擇題(共7小題)

1.(2024春?南關(guān)區(qū)校級(jí)期中)如圖，有四種瓷磚圖案，用同一種瓷磚能鋪滿地面的是()

M金今

(1)(2)(3)(4)

A.(1)(2)(4)B.(2)(3)(4)C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(3)

【考點(diǎn)】平面鑲嵌(密鋪).

【專題】正多邊形與圓.

【答案】A

【分析】能夠鋪滿地面的圖形是看一看拼在同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)角能否構(gòu)成周角.

【解答】解：(1)正三角形的每個(gè)內(nèi)角是60°,能整除360。，能密鋪，故符合題意；

(2)正方形的每個(gè)內(nèi)角是90°,能整除360°,能密鋪，故符合題意；

(3)正五邊形的每個(gè)內(nèi)角是180°-360°+5=108°,不能整除360°,不能密鋪，故不符合題意；

(4)正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是120°,能整除360°,能密鋪，故符合題意；

符合題意有(1)(2)(4),

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何圖形平面鑲嵌(密鋪)的基本性質(zhì)，掌握正多邊形的內(nèi)角求法是解題的關(guān)鍵.

2.(2024秋?義烏市期中)某校校園里的一條小路使用正六邊形、正方形、正三角形三種地磚按如圖方式

鋪設(shè).若這條小路共用了50塊正六邊形地磚，則正方形地磚的數(shù)量為(

Kxxxxxy

A.300塊B.301塊C.250塊D.251塊

【考點(diǎn)】平面鑲嵌（密鋪）.

【專題】規(guī)律型；創(chuàng)新意識(shí).

【答案】D

【分析】根據(jù)所給圖形，發(fā)現(xiàn)六邊形及正方形地磚與圖案之間的關(guān)系即可解決問題.

【解答】解：由所給圖形可知，

每增加一個(gè)圖案，則六邊形地磚的塊數(shù)增加1,且一個(gè)圖案中所含六邊形的個(gè)數(shù)為1,

又因?yàn)檫@條小路共用去50塊六邊形地磚，

所以這條小路由50個(gè)圖案組成.

因?yàn)槊吭黾右粋€(gè)圖案，正方形地磚的塊數(shù)增加5,且一個(gè)圖案中所含的正方形個(gè)數(shù)為6,

所以50個(gè)圖案中所含正方形的個(gè)數(shù)為5X50+1=251塊，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面鑲嵌（密鋪），能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)六邊形及正方形地磚與圖案之間的關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.

3.（2024秋?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖是用邊長(zhǎng)相等的正三角形和正"邊形兩種地磚鋪設(shè)的部分地面示意圖，

則正〃邊形的內(nèi)角和為（）

C.1080°D.720°

【考點(diǎn)】平面鑲嵌（密鋪）.

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)平面鑲嵌的條件，先求出正w邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)內(nèi)角和公式求出”的值.

【解答】解：正"邊形的一個(gè)內(nèi)角=（360°-60°）4-2=150°,

貝ij150°n=（w-2）780°,

解得n—12,

（12-2）?180°=1800°,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面鑲嵌，體現(xiàn)了學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的思想，掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵.

4.（2024?蒸湘區(qū)校級(jí)開學(xué)）正六邊形和下列邊長(zhǎng)相同的正多邊形地磚組合中，能鋪滿地面的是（）

A.正方形

B.正八邊形

C.正十二邊形

D.正四邊形和正十二邊形

【考點(diǎn)】平面鑲嵌（密鋪）.

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【答案】D

【分析】正多邊形的組合能否鋪滿地面，關(guān)鍵是看位于同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)角之和能否為360°.若能，

則說明能鋪滿，反之，則說明不能鋪滿.

【解答】解：A、正方形的每個(gè)內(nèi)角是90°,正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是120°,90°777+120°?=360°,n

取任何正整數(shù)時(shí)，機(jī)不能得正整數(shù)，故不能鋪滿，A選項(xiàng)不符合題意；

B、正八邊形的每個(gè)內(nèi)角是135°,正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是120°,135°m+120°/=360。，n取任何

正整數(shù)時(shí)，必不能得正整數(shù)，故不能鋪滿，3選項(xiàng)不符合題意；

C、正十二形的每個(gè)內(nèi)角是150°,正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是120°,150°租+120°n=360°,w取任何

正整數(shù)時(shí)，機(jī)不能得正整數(shù)，故不能鋪滿，C選項(xiàng)不符合題意；

。、正方形的每個(gè)內(nèi)角是90°，正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是120°,正十二形的每個(gè)內(nèi)角是150°,90°+120°

+150°=360°,故能鋪滿，￡＞選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面幾何圖形鑲嵌，解題的關(guān)鍵是明確圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在

一起恰好組成一個(gè)周角.

5.（2024春?偃師區(qū)期末）“動(dòng)感數(shù)學(xué)”社團(tuán)教室重新裝修，如圖是用邊長(zhǎng)相等的正方形和正力邊形兩種地

磚鋪滿地面后的部分示意圖，則w的值為（)

正n邊形正n邊形

正n邊形正n邊形

A.6B.8C.10D.12

【考點(diǎn)】平面鑲嵌（密鋪）.

【專題】多邊形與平行四邊形；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)平面鑲嵌的條件，先求出正〃邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)內(nèi)角和公式求出”的值.

【解答】解：正〃邊形的一個(gè)內(nèi)角=（360°-90°）+2=135°,

則135°n=(n-2)780°,

解得"=8.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面鑲嵌，體現(xiàn)了學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的思想，掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵.

6.（2024?印江縣開學(xué)）如圖所示，是工人師傅用邊長(zhǎng)均為a的兩塊正方形和一塊正三角形地磚繞著點(diǎn)。

進(jìn)行的鋪設(shè).若將一塊邊長(zhǎng)為a的正多邊形地磚恰好能無空隙、不重疊地拼在/A08處，則這塊正多

)

B.6C.7D.8

【考點(diǎn)】平面鑲嵌（密鋪）.

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和求出/AQB=120。，計(jì)算多邊形的外角為60。即可得到答案.

【解答】解：...正三角形的內(nèi)角為60°,正方形的內(nèi)角為90°,

AZAOB=360°-60°-90°-90°=120°，

這塊正多邊形地磚的邊數(shù)是由二訪=6,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面密鋪，熟練掌握多邊形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵.

7.（2024春?新鄉(xiāng)期末）現(xiàn)有幾種形狀的多邊形地磚，分別是：①正三角形；②正方形；③正五邊形；④

正六邊形；⑤一般三角形；⑥一般四邊形.每一種地磚的大小形狀都相同，且都有很多塊，如果只用其

中的一種多邊形地磚鑲嵌，那么能夠鑲嵌成一個(gè)平面圖案的有（）

A.2種B.3種C.4種D.5種

【考點(diǎn)】平面鑲嵌（密鋪）.

【專題】幾何圖形；幾何直觀.

【答案】D

【分析】判斷一種或幾種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看拼在同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)角能否構(gòu)成周角，若能

構(gòu)成360。，則說明能夠進(jìn)行平面鑲嵌，反之則不能.據(jù)此判斷即可.

【解答】解：①???正三角形的每個(gè)內(nèi)角是60°,60°X6=360°,

能夠鑲嵌成一個(gè)平面圖案；

②：正方形的每個(gè)內(nèi)角是90°,90°X4=360°,

能夠鑲嵌成一個(gè)平面圖案；

③?..正五邊形的每個(gè)內(nèi)角是108°,

不能鑲嵌成一個(gè)平面圖案；

④：正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是120°,120°X3=360°,

能夠鑲嵌成一個(gè)平面圖案；

⑤?..一般三角形的三個(gè)內(nèi)角組合在一起是180°,6個(gè)就可以組成360°,

???能夠鑲嵌成一個(gè)平面圖案；

⑥???一般四邊形四個(gè)內(nèi)角組合在一起可以組成360。，

A4個(gè)即能夠鑲嵌成一個(gè)平面圖案.

綜上所述，符合題意的有①②④⑤⑥共5種，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面鑲嵌（密鋪），掌握判斷一種或幾種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看拼在同一

頂點(diǎn)處的幾個(gè)角能否構(gòu)成周角，若能構(gòu)成360°,則說明能夠進(jìn)行平面鑲嵌，反之則不能是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

8.（2025?碑林區(qū)校級(jí)三模）用兩種或兩種以上的正多邊形沒有重疊、沒有縫隙地填充一個(gè)平面（即每個(gè)

頂點(diǎn)上的各個(gè)角度數(shù)的和為360。并且每個(gè)頂點(diǎn)周圍的多邊形排列是相同的，所得到的圖案叫做“半正

密鋪”圖案.如圖所示的''半正密鋪”圖案，每個(gè)頂點(diǎn)上和為360。的三個(gè)角依次為正方形、正八邊形、

正八邊形的各一個(gè)內(nèi)角，可以用記號(hào)（4,8,8）表示.請(qǐng)嘗試用正三角形和正六邊形組成一個(gè)“半正

密鋪”圖案，并類比上述方法用記號(hào)表示（3,3,6,6）（答案不唯一）.（寫出一種即可）

【考點(diǎn)】平面鑲嵌（密鋪）；多邊形內(nèi)角與外角.

【專題】多邊形與平行四邊形；運(yùn)算能力.

【答案】（3,3,6,6）或（3,3,3,3,1）（答案不唯一）.

【分析】根據(jù)在一個(gè)頂點(diǎn)處各正多邊形的內(nèi)角之和為360。，分別判斷即可.

【解答】解：???正三角形一個(gè)內(nèi)角為60°,正六邊形一個(gè)內(nèi)角為120°,

又：2><60°+2X120°=360°,4X60°+120°=360°,

可以用記號(hào)（3,3,6,6）或（3,3,3,3,1）表示.

故答案為：（3,3,6,6）或（3,3,3,3,1）（答案不唯一）.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平面鑲嵌（密鋪），兩種或兩種以上幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在

一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角.任意多邊形能進(jìn)行鑲嵌，說明它的內(nèi)角和應(yīng)能整除

360度.

9.（2025?長(zhǎng)春一模）如圖，要用三塊正多邊形的木板鋪地，使拼在一起并相交于點(diǎn)A的各邊完全吻合，

其中已經(jīng)拼好的兩塊木板的邊數(shù)分別是4和6,則第三塊木板的邊數(shù)應(yīng)是12.

【考點(diǎn)】平面鑲嵌（密鋪）.

【專題】線段、角、相交線與平行線；空間觀念.

【答案】12.

【分析】先求出正四邊形和正六邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，然后根據(jù)平面鑲嵌的條件求解第三塊正多邊形的

每個(gè)內(nèi)角度數(shù)，然后再結(jié)合外角和公式進(jìn)行計(jì)算求解.

【解答】解：正四邊形每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為360°4-4=90°,

正六邊形每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360°4-6=120°,

第三塊正多邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為360°-90°-120°=150°,

第三塊正多邊形的邊數(shù)為360°+（180°-150°）=12,

故答案為：12.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面鑲嵌（密鋪），兩種或兩種以上幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在

一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角.

10.（2025?渭濱區(qū)校級(jí)模擬）如圖，這是兒童玩具底板的一幅圖案，供小朋友拼圖用的是正方形的木塊和

正n邊形木塊.由于小朋友只選了正方形的木塊,導(dǎo)致沒有拼成.老師鼓勵(lì)他選取正n邊形的木塊試試，

他試了幾次終于成功了.這里的〃=8.

【考點(diǎn)】平面鑲嵌（密鋪）.

【專題】多邊形與平行四邊形；運(yùn)算能力.

【答案】8.

【分析】根據(jù)平面鑲嵌的條件，先求出正“邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)內(nèi)角和公式求出〃的值.

【解答】解：正”邊形的一個(gè)內(nèi)角為（360°-90°）+2=135°,

則135°n=in-2）780°,

解得見=8.

故答案為：8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面鑲嵌（密鋪），體現(xiàn)了學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的思想，同時(shí)考查了多邊形的內(nèi)角和公式.

H.（2025?永壽縣校級(jí)一模）小明家裝修房屋，想用一種正多邊形瓷磚鋪地，頂點(diǎn)連著頂點(diǎn)，彼此之間不

留空隙又不重疊，請(qǐng)你幫助他選擇一種能密鋪的瓷磚形狀正三角形.（寫出一種即可）

【考點(diǎn)】平面鑲嵌（密鋪）.

【專題】多邊形與平行四邊形；應(yīng)用意識(shí).

【答案】正三角形.

【分析】正多邊形鑲嵌有三個(gè)條件限制：①邊長(zhǎng)相等；②頂點(diǎn)公共；③在一個(gè)頂點(diǎn)處各正多邊形的內(nèi)角

之和為360°.

【解答】解：正三角形的每個(gè)內(nèi)角是60°,能整除360。，能密鋪.

故答案為：正三角形（答案不唯一）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是：一種正多邊形的鑲嵌應(yīng)符合一個(gè)內(nèi)角度數(shù)能整除360°.本題的難點(diǎn)在

于判斷出是求一種多邊形的鑲嵌.

12.（2025?歷城區(qū)模擬）我國(guó)古代園林連廊常采用八角形的窗戶設(shè)計(jì)，如圖1所示，其輪廓是一個(gè)正八邊

形，從窗戶向外觀看，景色宛如鑲嵌于一個(gè)畫框之中.圖2是八角形窗戶的示意圖，它的一個(gè)外角N1

的大小為45°.

圖1圖2

【考點(diǎn)】平面鑲嵌（密鋪）；多邊形內(nèi)角與外角.

【專題】運(yùn)算能力.

【答案】45.

【分析】由多邊形的外角和定理直接可求出結(jié)論.

【解答】解：???正八邊形的每一個(gè)外角都相等，外角和為360°,

它的一個(gè)外角N1=360°4-8=45°.

故答案為：45.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形外角和定理，平面鑲嵌等知識(shí)點(diǎn)，掌握外角和定理是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共3小題）

13.（2025?上海校級(jí)一模）簪花結(jié)束后，小強(qiáng)和爸爸牽著媽媽的手，到螺埔村參觀游玩拍照紀(jì)念，精美的

鏤空窗花搭配蜘殼墻，極具泉州古民居特色，給小強(qiáng)一家留下來極其深刻的印象，在感嘆泉州人民的勤

勞與智慧的同

時(shí)，聰明的小強(qiáng)發(fā)現(xiàn)有的窗花是由幾種形狀的正多邊形組合鑲嵌而成，具有很好的對(duì)稱美，小強(qiáng)爸爸給

他出了如下兩個(gè)題目，請(qǐng)幫幫小強(qiáng)一起解決.

問題1.

己知一扇窗戶在某個(gè)結(jié)點(diǎn)處由兩種邊長(zhǎng)相等的正多邊形鑲嵌而成，其中一種是等邊三角形，另一個(gè)種不

能是下列哪種形狀的正多邊形③（填序號(hào)）

①正三角形

②正四邊形

③正五邊形

④正六邊形

問題2.

小強(qiáng)發(fā)現(xiàn)某個(gè)花紋用4個(gè)全等的正八邊形進(jìn)行拼接，使相等的兩個(gè)正八邊形有一條公共邊，圍成一圈后

中間形成一個(gè)正方形，如圖1；小強(qiáng)猜想，如果用"個(gè)全等的正六邊形按這種方式進(jìn)行拼接，如圖2,

若圍成一圈后中間形成一個(gè)正多邊形，則”的值為，并簡(jiǎn)要說明理由.

【考點(diǎn)】平面鑲嵌(密鋪).

【專題】多邊形與平行四邊形；幾何直觀.

【答案】問題1：③；

問題2：6.

【分析】問題1：分別求出各多邊形內(nèi)角的度數(shù)，再由密鋪的條件即可得出結(jié)論;

問題2：根據(jù)正六邊形各內(nèi)角的度數(shù)即可得出結(jié)論.

【解答】解：?jiǎn)栴}1：①正三角形的內(nèi)角是60°,60°X6=360°,可以密鋪，不符合題意；

②正四邊形的內(nèi)角是90°,60°X3+9O0X2=360°,可以密鋪，不符合題意；

③正五邊形的內(nèi)角是108°,60°X2+1O80X2=336°W360°°,不能密鋪，符合題意；

④正六邊形的內(nèi)角是120°,60°X2+12O0X2=360°0,能密鋪，不符合題意，

故答案為：③；

問題2：”=6,

理由如下：由題意得，這〃個(gè)正六邊形圍成的圖形是一個(gè)正多邊形.由圖2可知，圍成的這個(gè)正多邊的

每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是120°

所以,(n-2)180°=120°n,

解得n=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平面鑲嵌，熟知用形狀，大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接.彼此之

間不留空隙，不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌是解題的關(guān)鍵.

14.（2025春?銅山區(qū)期中）【問題情境】平面密鋪是一類有趣的幾何問題.平面密鋪指的是用形狀、大小

完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，在拼接點(diǎn)處不留空隙也不會(huì)重疊.（注：當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一

起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角和為360°時(shí)，完成密鋪.）

某學(xué)習(xí)小組嘗試用幾種邊長(zhǎng)相等的正多邊形完成平面密鋪.開始前做足準(zhǔn)備，求出一些熟悉的正多邊形

的內(nèi)角度數(shù)，記錄如下：

正多邊形正三角形正四邊形正五邊形正六邊形正八邊形

正多邊形內(nèi)角的度數(shù)60°90°108°120°135°

【初步感知】該小組嘗試用一種正多邊形完成密鋪，結(jié)果發(fā)現(xiàn)用正三角形、正四邊形和正六邊形都可以

密鋪平面，如圖所示.

思考回答：用正五邊形能不能密鋪？請(qǐng)說明理由.

【問題探究】該學(xué)習(xí)小組打算用上面問題情境表格中的兩種正多邊形組合密鋪，其中一種是正三角形,

另一種是正〃邊形，求〃的可能值，并說明組合方式.

【拓展延伸】該學(xué)習(xí)小組進(jìn)一步探究，用上面問題情境表格中的三種正多邊形組合密鋪，你認(rèn)為可行的

是4■

A.正三角形、正四邊形和正六邊形

B.正三角形、正四邊形和正八邊形

C.正三角形、正六邊形和正八邊形

D.正四邊形、正六邊形和正八邊形

【考點(diǎn)】平面鑲嵌（密鋪）；三角形內(nèi)角和定理；多邊形內(nèi)角與外角.

【專題】應(yīng)用意識(shí).

【答案】【初步感知】不能，理由見解析過程；

【問題探究】〃=6時(shí)，組合方式是2個(gè)正三角形和2個(gè)正六邊形或4個(gè)正三角形和1個(gè)正六邊形；"=

4時(shí)，組合方式是3個(gè)正三角形和2個(gè)正四邊形；

【拓展延伸】A.

【分析】根據(jù)平面密鋪的定義，得出能平面密鋪的圖形的角度特征，據(jù)此即可解決問題.

【解答】解：【初步感知】不能，理由如下：

由題知，

能平面密鋪的圖形，其角度必須是360的因數(shù).

因?yàn)?60?108的結(jié)果不是整數(shù)，

所以正五邊形不能密鋪.

【問題探究】當(dāng)1個(gè)正三角形時(shí)，

360°-60°=300°,

其余角度中沒有300的因數(shù)，

所以此種情況不存在.

當(dāng)2個(gè)正三角形時(shí)，

360°-120°=240°,

因?yàn)?40+120=2,

所以w=6,此時(shí)的組合方式是2個(gè)正三角形和2個(gè)正六邊形.

當(dāng)3個(gè)正三角形時(shí)，

360°-180°=180°,

因?yàn)?80+90=2,

所以〃=4,此時(shí)的組合方式是3個(gè)正三角形和2個(gè)正四邊形.

當(dāng)4個(gè)正三角形時(shí)，

360°-240°=120°,

因?yàn)?204-120=1,

所以n=6,此時(shí)的組合方式是4個(gè)正三角形和1個(gè)正六邊形.

當(dāng)5個(gè)正三角形時(shí)，

360°-300°=60°,

其余角度中沒有60的因數(shù)，

所以此種情況不存在.

綜上所述：〃=6時(shí)，組合方式是2個(gè)正三角形和2個(gè)正六邊形或4個(gè)正三角形和1個(gè)正六邊形；n=4

時(shí)，組合方式是3個(gè)正三角形和2個(gè)正四邊形.

【拓展延伸】，

因?yàn)?0°+2X90°+120°=360°,

所以A選項(xiàng)符合題意.

因?yàn)?0°,90°,135°無法同時(shí)使用湊出360°,

所以B選項(xiàng)不符合題意.

因?yàn)?0°,120°,135°無法同時(shí)使用湊出360°,

所以C選項(xiàng)不符合題意.

因?yàn)?0°,120°,135°無法同時(shí)使用湊出360°,

所以。選項(xiàng)不符合題意.

故答案為：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面密鋪（鑲嵌），三角形的內(nèi)角和定理及三角形內(nèi)角和外角，理解平面密鋪

的定義是解題的關(guān)鍵.

15.（2024秋?虞城縣月考）相信很多人家里都有“巧手媽媽”，圖1是一位巧手媽媽手工織的坐墊，圖2

是某學(xué)校操場(chǎng)鋪的地磚.它們或是用單獨(dú)的正多邊形，或是用多種正多邊形混合拼接成的，拼成的圖案

嚴(yán)絲合縫，不留空隙.從數(shù)學(xué)角度看，這些作品就是用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分覆蓋，

通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面（或平面鑲嵌）的問題.

圖I圖2

（1）如果限用一種正三角形來覆蓋平面的一部分，是否能鑲嵌成一個(gè)平面圖形？請(qǐng)說明理由；

（2）如果同時(shí)用正三角形和正十二邊形來覆蓋平面的一部分，是否能鑲嵌成一個(gè)平面圖形？如果能,

應(yīng)如何搭配進(jìn)行平鋪，請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)】平面鑲嵌（密鋪）；多邊形.

【專題】多邊形與平行四邊形；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】（1）正三角形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形.理由見解析；

（2）同時(shí)用正三角形和正十二邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形.理由見解析.

【分析】（1）內(nèi)角的整數(shù)倍能等于360。即可；

（2）利用兩種正多邊形鑲嵌內(nèi)角之間關(guān)系進(jìn)而求出即可；

【解答】解：（1）能，理由如下：

?.?正三角形的內(nèi)角和為180。，

，正三角形的每一個(gè)內(nèi)角為180°4-3=60°.

V3600+60°=6,

；?正三角形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形.

(2)能，

理由：

:正十二邊形的內(nèi)角和為(12-2)X180°=1800°,

，正十二邊形的每一個(gè)內(nèi)角為1800°4-12=150°.

V150°X2+6O0