2022北京初二（上）期末數(shù)學(xué)匯編

等腰三角形與直角三角形

一、單選題

1.（2022?北京西城?八年級期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點4（0,2）,B（a,0）,C（m,”）（機(jī)>0）.若

48C是等腰直角三角形，且AB=3C,當(dāng)0<a<l時，點C的橫坐標(biāo)m的取值范圍是（）

A.0<m<2B.2<m<3C.m<3D.m>3

2.（2022?北京海淀?八年級期末）如圖,△ABC是等邊三角形,。是BC邊上一點，。石，47于點￡.若

EC=3,則。C的長為（）

3.（2022?北京平谷.八年級期末）等腰三角形的一個角是80。，則它的一個底角的度數(shù)是（）

A.50°B.80°C.50°或80°D.100°或80°

4.（2022?北京大興.八年級期末）下列三個說法：

①有一個內(nèi)角是30。，腰長是6的兩個等腰三角形全等；

②有一個內(nèi)角是120°,底邊長是3的兩個等腰三角形全等;

③有兩條邊長分別為5,12的兩個直角三角形全等.

其中正確的個數(shù)有（）.

A.3B.2C.1D.0

5.（2022?北京東城?八年級期末）如圖，ZA=ZD=90°,AC,2。相交于點。.添加一個條件，不一定能

使AABC絲AOCB的是（）

A.AB=DCB.OB=OC

C.ZABO=/DCOD.ZABC=NDCB

第II卷（非選擇題）

請點擊修改第II卷的文字說明

二、填空題

6.（2022?北京房山?八年級期末）等邊AABC的邊長為2,P,。分別是邊AB,上的點，連結(jié)A。，CP

交于點。.以下結(jié)論：①若”=3Q,則NAOP=60。；②若AQ=CP,則/AOC=120。；③若點P和點。

分別從點A和點C同時出發(fā)，以相同的速度向點B運動（到達(dá)點B就停止），則點。經(jīng)過的路徑長為內(nèi)，

其中正確的是（序號）.

7.（2022?北京昌平.八年級期末）已知一張三角形紙片ABC（如圖甲），其中/A8C=NC.將紙片沿過點B

的直線折疊，使點C落到AB邊上的E點處，折痕為3。（如圖乙）.再將紙片沿過點E的直線折疊，點A

恰好與點。重合，折痕為（如圖丙）.原三角形紙片A3C中，/ABC的大小為°.

8.（2022?北京門頭溝.八年級期末）如圖，。為△ABC內(nèi)一點，ADLCD,AD平分NC4B,且NZ）C2=

ZB.如果A8=10,AC=6,那么CD=.

9.（2022?北京東城?八年級期末）如圖，BD,CE是等邊三角形A8C的中線，BD,CE交于點F則

ZBFC=°,

10.（2022?北京石景山?八年級期末）如圖，點。是NAOB的平分線。C上一點，過點。作DE//03交射線

04于點E,則線段。E與OE的數(shù)量關(guān)系為：DE。￡（填“>”或“="或

11.（2022?北京平谷?八年級期末）如圖，ZC=ZD=90°,AC^AD,請寫出一個正確的結(jié)論

A

12.（2022.北京門頭溝.八年級期末）如圖，在△ABG中，AC尸BQ,4=20。,在上取一點C2，

延長A瓦到點&,使得B山2=B[C2,在22c2上取一點C3，延長4星到點分，使得B?B3=B2c3,在SG上

取一點C4,延長Aa到點耳，使得B3B?=B3c4,……，按此操作進(jìn)行下去，那么第2個三角形的內(nèi)角

/AB2c2=°；第n個三角形的內(nèi)角NAB/ZGJU°.

13.（2022?北京海淀.八年級期末）如圖，在AABC中，AC=BC,以點A為圓心，AB長為半徑作弧交8c

于點。，交AC于點E.再分別以點C,。為圓心，大于gen的長為半徑作弧，兩弧相交于凡G兩

14.（2022?北京海淀?八年級期末）若等腰三角形的一個外角為40。，則它的頂角的度數(shù)為.

三、解答題

15.（2022?北京豐臺?八年級期末）在AASC中，AB=AC,ZABC=a,點。是直線BC上一點，點C關(guān)于

射線AD的對稱點為點E.作直線BE交射線AD于點/，連接CF.

（1）如圖1,點。在線段上，補全圖形，求加8的大?。ㄓ煤琣的代數(shù)式表示）;

⑵如果Na=60。.

①如圖2,當(dāng)點。在線段2C上時，用等式表示線段AF,CF,所之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②如圖3,當(dāng)點。在線段CB的延長線上(不與點C重合)時，直接寫出線段AT,CF,所之間的數(shù)量關(guān)

系.

16.(2022?北京延慶?八年級期末)如圖，點O是等邊△ABC的邊A8上一點，過點。作的平行線交AC

于點E.

(1)依題意補全圖形；

(2)判斷△AOE的形狀，并證明.

17.(2022?北京朝陽?八年級期末)如圖，在A4BC中，點。在A8邊上，ZACD=ZB,CE平分/BCD,交

AB于點E,點尸在CE上，連接AE再從“①AF平分NA4C,②CF=W'中選擇一個作為已知，另外一個

作為結(jié)論，組成真命題，并證明.

18.(2022?北京西城?八年級期末)在AABC中，ZBAC=120°,AB=AC,為AABC的中線，點E是射

線AD上一動點，連接CE,作NCEM=60。，射線EM與射線BA交于點?

(1)如圖1,當(dāng)點￡與點。重合時，求證：AB=2AF；

(2)如圖2,當(dāng)點E在線段AD上，且與點A,。不重合時，

①依題意，補全圖形；

②用等式表示線段AB,AF,AE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(3)當(dāng)點E在線段的延長線上，且EDwAD時，直接寫出用等式表示的線段AB,AF,AE之間的數(shù)

量關(guān)系.

19.(2022.北京懷柔?八年級期末)如圖，在等邊三角形ABC邊AC左側(cè)有一射線CM,ZACM=a

（0°<a<30°）,點A關(guān)于射線CM的對稱點為點E,連接BE并延長交CM于點N,連接AN,AE,CE.

（1）依題意補全圖形；

（2）在a（0°<a<30°）的變化過程中，

①求NBEC的大小（用含a的代數(shù)式表示）；

②NANC的大小是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請直接寫出變化的范圍；如果不發(fā)生變化，請直接寫出

/ANC的大??；

（3）用等式表示線段AN,BE,NC之間的數(shù)量關(guān)系.

20.（2022?北京東城?八年級期末）在等腰AABC中，=AC,點。是BC邊上的一個動點（點。不與點

B,C重合），連接AD,作等腰AADE,使AD=AE,ZDAE=ZBAC,點、D,E在直線AC兩旁，連接

CE.

（1）如圖1,當(dāng)/班C=90。時，直接寫出與CE的位置關(guān)系；

（2）如圖2,當(dāng)0。</員4。<90。時，過點A作AFLCE于點尸，請你在圖2中補全圖形，用等式表示線段

BD,CD,2EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

21.（2022?北京豐臺?八年級期末）如圖，在AABC中，ZACB=90°,ZA=30°,COLAB于點。，

￡>E〃BC交AC于點E,如果應(yīng)）=2,求DE的長.

22.（2022?北京順義?八年級期末）“三等分角”是被稱為幾何三大難題的三個古希臘作圖難題之一.如圖1

所示的“三等分角儀”是利用阿基米德原理做出的.這個儀器由兩根有槽的棒外，組成，兩根棒在尸點

相連并可繞點尸旋轉(zhuǎn)，C點是棒以上的一個固定點，點A,O可在棒B4,內(nèi)的槽中滑動，且始終保持

OA=OC=PC.NAO8為要三等分的任意角.則利用“三等分角儀”可以得到NAPB=|ZAOB.

我們把“三等分角儀”抽象成如圖2所示的圖形，完成下面的證明.

已知：如圖2,點。，C分別在NAPB的邊尸2,以上，且。4=0C=PC.

求證：ZAPB=^ZAOB.

23.(2022?北京延慶?八年級期末)如圖，ZAOB=45°,0c是NAO8的角平分線，點。是射線上的一

點，點M為線段。。的中點，過點M作。。的垂線，交射線OA于點E,交射線OC于點R連接即，交

OC于點G.

(1)依題意補全圖形；

(2)猜想所和EG的數(shù)量關(guān)系并證明；

(3)求證：ED+EF=2EM.

24.(2022?北京朝陽?八年級期末)在△ABC中，ZACB=90°,AC=8C,點。在AC邊上(不與點A,C重

合)，連接B。，過點。作。E_LB。，點E與點A在直線BC的兩側(cè)，DE=BD,延長BC至點R使

CF=BC,連接跖.

(1)依題意補全圖1;

(2)在點A,B,C,。中，和點/所連線段與。E相等的是點

①求NCFE的度數(shù)；

②連接EC并延長，交AB于點M,用等式表示線段EC與MC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

25.（2022?北京房山?八年級期末）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點.已知A、8是兩個

格點，如果點C也是圖形中的格點，且AABC為等腰三角形，請你在如下6x3的網(wǎng)格中找到所有符合條件

的點C（可以用C-C2……表示），并畫出所有三角形.

L--------T-----------1----------T--------------T

?'I由I?

......................................

......................................

?I?

I>I<I?I

I1I1I1I

......................................

......................................

L.___________1_____________X______________J

26.（2022?北京平谷?八年級期末）針對于等腰三角形三線合一的這條性質(zhì)，老師帶領(lǐng)同學(xué)們做了進(jìn)一步的

猜想和證明，提問：如果一個三角形中，一個角的平分線和它所對的邊的中線重合，那么這個三角形是等

腰三角形.

已知：在△ABC中，AD平分/CA8,交BC邊于點D,MCD=BD,

求證：AB=AC.

以下是甲、乙兩位同學(xué)的作法.

甲：根據(jù)角平分線和中線的性質(zhì)分別能得出一組角等和一組邊等，再加一組公共邊，可證

AACD^AABD,所以這個三角形為等腰三角形；

乙：延長到E,?DE=AD,連接8E,可證依據(jù)已知條件可推出A8=AC,所以這

個三角形為等腰三角形

（1）對于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的是（）；

A兩人都正確8甲正確，乙錯誤C.甲錯誤，乙正確

（2）選擇一種你認(rèn)為正確的作法，并證明.

27.（2022?北京懷柔?八年級期末）如圖，在AABC中，垂直平分BC,垂足為E,交AC于點。，連接

BD.若乙4=100°,ZABD=22°,求NC的度數(shù).

A

D

28.（2022.北京大興.八年級期末）如圖，AABC為等邊三角形，。是中點，ZADE=60。，CE^^ABC

的外角/AC/的平分線.

求證：AD=DE.

29.（2022?北京通州?八年級期末）如圖是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個小等邊三角形的頂

點為格點，線段A8的端點都在格點上.要求以AB為邊畫一個等腰AYWC,且使得點C為格點.請在下面

的網(wǎng)格圖中畫出3種不同的等腰AABC.

30.（2022?北京海淀?八年級期末）如圖，AABC中，NB=/C,點、D、E在邊BC上，S.AD=AE,求

證：BE=CD.

RDF.

參考答案

1.B

【分析】過點。作CD_L九軸于。，由“A4S”可證AAO3二ABDC,可得AO=BD=2,BO=CD=n=af即

可求解.

【詳解】解：如圖，過點。作軸于。，

:.AO=2,

???AABC是等腰直角三角形，且AB=3C,

:ZABC=90°=ZAOB=ZBDC,

ZABO+ZCBD=90°=ZABO+ZBAO,

:.ZBAO=ZCBD,

在AAOB和AB。。中，

ZAOB=ZBDC

</BAO=NCBD,

AB=BC

/.\AOB=ABPC(AAS),

/.AO=BD=2,BO=CD=n=a,

：.Q<a<ly

OD=OB+BD=2+a=m,

:.2<m<3,

故選：B.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是畫圖及添加恰當(dāng)輔

助線構(gòu)造全等三角形.

2.C

【分析】先求解？C60靶EDC=30?,可得C￡)=2CE,從而可得答案.

【詳解】解：；△ABC是等邊三角形，

ZC=60°,

DE1AC,

\?DEC90靶EDC=90?60?30?,

???C￡=3,

\CD=1CE=6.

故選C

【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，含30。的直角三角形的性質(zhì)，掌

握“直角三角形中，30。所對的直角邊等于斜邊的一半”是解本題的關(guān)鍵.

3.C

【分析】已知給出一個角的的度數(shù)為80。，沒有明確是頂角還是底角，要分類討論，聯(lián)合內(nèi)角和求出底角

即可.

【詳解】解：等腰三角形的一個角是80。，

當(dāng)80。為底角時，它的一個底角是80。，

當(dāng)80。為頂角時，它的一個底角是-u=券=50。,

則它的一個底角是50°或80°.

故選：C.

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，內(nèi)角和定理，掌握分類討論的思想是解決問題的關(guān)鍵.

4.C

【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法，等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】解：①當(dāng)一個是底角是30。，一個是頂角是30。時，兩三角形就不全等，故本選項錯誤；

②有一個內(nèi)角是120。，底邊長是3的兩個等腰三角形全等，本選項正確；

③當(dāng)一條直角邊為12,一條斜邊為12時，兩個直角三角形不全等，故本選項錯誤；正確的只有1個，

故選：C.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理，等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角

形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

5.C

【分析】直接利用直角三角形全等的判定定理（兒定理）即可判斷選項A；先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可

得ZACB=NDBC,再根據(jù)三角形全等的判定定理（A4s定理）即可判斷選項8；直接利用三角形全等的

判定定理（A4S定理）即可判斷選項。，由此即可得出答案.

【詳解】解：當(dāng)添加條件是=DC時，

[AB=DC

在用AABC和RfADCB中，f,

\BC=CB

:.Rt^ABC=Rt^DCB{HL）,則選項A不符題意；

當(dāng)添加條件是。3=OC時，

.\ZACB=ZDBC,

NA=ZD=90°

在AABC和ADCB中，,NACB=NDBC,

BC=CB

.-.^ABC=^DCB(AAS),則選項8不符題意;

當(dāng)添加條件是ZABC=ZDCB時,

ZA=ZD=90°

在AABC和ADCB中，＜NABC=NDCB,

BC=CB

.-.^ABC=^DCB（AAS）,則選項￡）不符題意；

當(dāng)添加條件是NABO=/DCO時，不一定能使AABC三AOCB,則選項C符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了三角形全等的判定、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題關(guān)

鍵.

6.①③

【分析】①根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/3A0=NACP,再由三角形的外角性質(zhì)即可求解；第②結(jié)論有兩

種情況，準(zhǔn)確畫出圖之后再來計算和判斷；③要先判斷判斷軌跡（通過對稱性或者全等）在來計算路徑

長.

【詳解】解：:△ABC為等邊三角形，

/.AB=AC,ZABC=ZCAB=60°,

,/AP=BQ,

/.△ABQ=AC4P,

ZBAQ=ZACP,

,/ZBAQ+ZCAQ=ABAC=60°,

ZACP+ZG42=60°,

AAOP=AACP+ZCAQ=60°,

故①正確；

當(dāng)A。=C尸時可分兩種情況，

第一種，如①所證時，42=8且42=8(2時，

ZAOP=6Q°,

：.ZAOC=180°-ZAOP=120°,

第二種如圖，AQ=CP時，若APwB。時，則/AOC大小無法確定,

A

故②錯誤;

由題意知AP=C。，

:△ASC為等邊三角形，

/.AC=BC,ABAC=NBCA,

/.^PAC=^QCA,

二點。運動軌跡為AC邊上中線，

「△ABC的邊長為2,

；.AC上邊中線為6,

.??點。經(jīng)過的路徑長為6，

故③正確；

故答案為：①③.

【點睛】此題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)

等知識的綜合應(yīng)用.本題綜合性強，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

7.72°.

【分析】根據(jù)題意設(shè)NA為x,再根據(jù)翻折性質(zhì)得到再根據(jù)AB=AC,得出

/ABC=/C=2x,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和列出方程2x+2r+x=180。，解方程即可.

【詳解】解：設(shè)乙4為x,

則翻折點A恰好與點。重合，折痕為EF由對應(yīng)角相等可得

由ZBED是AAED的外角可得

則翻折點C落至IJ48邊上的E點處，折痕為BD由對應(yīng)角相等可得/C=N8ED=2x,

"：AB=AC,

ZABC=ZC=2x,

在△ABC中，ZABC+ZC+ZA=2x+2x+x=180°,

.*.x=36°,

/.ZABC=2x=72°.

故答案為72°.

【點睛】本題主要考查折疊性質(zhì)，三角形外角性質(zhì).三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，解一元一次

方程，掌握三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，解一元一次方程，三角形外角性質(zhì)是解題

關(guān)鍵.

8.2

【分析】延長交A8于點E,根據(jù)垂線及角平分線的性質(zhì)可得=ZCDA^ZEDA,然后

利用全等三角形的判定定理和性質(zhì)可得AC=AE=6,再由等角對等邊可得BE=CE=4,由此即可得出線

段長度.

【詳解】解：如圖所示：延長交AB于點E,

??4。平分/CAB,

.-.ZCAD^ZDAE,

：ADVCD,

.?.NCZM=ZEZM=90°,

在AACD與A4ED中，

ACAD=NDAE

<AD=AD,

NCDA=NEDA

：.\ACD^\AED,

AC=AE=6,CD=DE,

'.BE=AB-AE=4,

,；NDCB=/B,

：.BE=CE=4,

.-.CD=-CE=2,

2

故答案為：2.

【點睛】題目主要考查角平分線和等角對等邊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，作出相應(yīng)

輔助線是解題關(guān)鍵.

9.120

【分析】等邊三角形中線與角平分線合一，＜Zr＞BC=1zABC=30°,ZECB=^ZACB=30°,由

/3PC=180。-ND3C-ZECB可求得結(jié)果.

【詳解】解：:△ABC是等邊三角形

ZABC=ZACB=60°

'：BD,CE是等邊三角形ABC的中線

ZDBC=-ZABC=30°,NECB=-ZACB=30°

22

又ZBFC=180°-NDBC-ZECB

：.NBFC=180。一30°-30。=120°

故答案為：120。.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，角度的計算.解題的關(guān)鍵在于熟練利用等邊三角形三線合一的性

質(zhì).

10.=

【分析】首先由平行線的性質(zhì)求得/皮＞。=/。08,然后根據(jù)角平分線的定義求得最后根

據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)即可判斷.

【詳解】M：'：ED//OB,

ZEDO=ZDOB,

?.?。是NAOB平分線0c上一點，

ZEOD=ZDOB,

：.ZEOD=ZEDO,

：.DE=OE,

故答案為：=.

【點睛】本題主要考查的是平行線的性質(zhì)、角平分線的定義以及等角對等邊，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分

線的定義求得/石。。=/西。是解題的關(guān)鍵.

11.BC=BD

【分析】根據(jù)證明AACB和AAOB全等解答即可.

rAC=AD

【詳解】解：在放△AC3和放△中，LD

[AB=AB

：.AACB^AADB(HL),

；?BC=BD,

故答案為：BC=BD（答案不唯一）.

【點睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)證明AACB和全等解答.

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出NGSA的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分

別求出NB/&C2，NC3a&及NC453&的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出NA3加%的度數(shù).

【詳解】解：△A8/G中，ACi=BiCi，ZC/=20°,

180?！?180?！?0。

：.ZCiBiA==80°

22

?：B1B2=B1C2,,NC乃源是的外角,

NC]B]A饗=40。

:?/B1B2c2=

22

同理可得,

ZC3B3B2=20°,

80。

/./ABnCn=-r.

2"一

故答案為：40,.

【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出NB/&C2,/C3B3B2及

的度數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵.

13.126

【分析】連接A。，DE,^ZC=x，根據(jù)題意可由/4。3+/40￡+/即。=180。得出關(guān)于尤的方程，進(jìn)

而求出x的值，即可得到/GEC=54。，即可求解.

【詳解】解：連接A。，DE,

設(shè)ZC=x,

'：AC=BC,

1QQO_丫1

AZABC=ZBAC=----------=90°——%,

22

???以點A為圓心，A3長為半徑作弧交3C于點。，交AC于點

AAB=AD=AE,

ZABC=ZADB=90°--x,ZADE=/AED,

2

???分別以點C,。為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于RG兩點，

2

ADE=CE,FG±CD,

：.ZEDC=ZC=x,

：.ZADE=ZAED=2x,

VZADB+ZADE+ZEDC=90°--x+2x+x=lS00,

2

解得：x=36°,

/GEC=90?！狽C=54。，

ZAEG=180°-ZGEC=126°,

故答案為：126.

【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，解決本題的關(guān)鍵是理解作圖過程，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、等

腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì).

14.140°##140度

【詳解】解：由等腰三角形的一個外角為40。，可得這個等腰三角形的一個內(nèi)角為140。，根據(jù)三角形的內(nèi)

角和定理可得這個角為等腰三角形的頂角，即這個等腰三角形頂角的度數(shù)為140°.

故答案為：140。.

15.(1)補全圖形見解析；ZAFB=a

(2)①尸+CF,證明見解析；?CF^AF+BF.

【分析】(1)根據(jù)題意畫圖，由點E為點C關(guān)于AD的對稱點，得到AE=AC,/EAD=/CAD,設(shè)

ZEAD=ZCAD=x,ZABE+ZAEB=2x+2a,繼而得至U==,據(jù)止匕解題；

(2)①延長EB至點G,使=連接AG,證明△ABG^/\ACF(SAS),由全等三角形對應(yīng)邊相

等得到BG=CF,據(jù)此解題；

②連接AE,由對稱的性質(zhì)，解得/AFE=60。，繼而證明△AGE之(5AS),由全等三角形對應(yīng)邊

相等得到BF=EG,￡F=EG+PG=3尸+AF即可解題.

(1)

解：補全圖形；

連接AE,

:點E為點C關(guān)于AD的對稱點,

AE^AC,ZEAD^ZCAD

^：ZEAD=ZCAD=x

/CAE=2x

9：AB=AC

ZACB=ZABC=a

：.ZBAE=1800-2x-2a

ZABE+ZAEB=2x+2。

*.*AE=AB,

ZABE=ZAEB=x+a

：.ZAFB=ZAEB-ZEAD=a

(2)

?AF=BF+CF

證明：延長FB至點G,使FG=E4,連接AG

,?AB=AC

/.NABC=a=60。

???△ABC為等邊三形，44C=60。

由(1)知NA^5=a=60°

???△AFG為等邊三角形

AG=AF,ZGAF=60°

：.ZGAB=ZFAC

在aABGVaAC廠中，

AG=AF

<ZGAB=ZFAC

AB=AC

：./\ABG^/\ACF(SAS)

：.BG=CF

:.CF+BF=BG+BF=GF

,:GF=AF

：.AF=BF+CF

②結(jié)論為：CF=AF+BF.

連接AE,

??,點E為點。關(guān)于AD的對稱點，

：.AE=AC,EF=FC,ZEAD=ZCAD

i^ZEAD=ZCAD=x

：.ZCAE=2x

9：AB=AC=AE

：.ZACB=ZABC=ABAC=60°

：.ZDAB=x-60°

Z.EAB=尤+%一60°=2x—60°

*.*AE=AB,

/ABE=ZAEB=180°-2*+60°=120°-x

2

...ZAFE=NDAB+ZABE=x-60°+120°-x=60°

在BE上取點G,使得FG=FA,連接AG

:?△A尸G為等邊三角形

AAG=AF,ZGAF=60°

：.ZGAE=AFAB=x-6Q°

在^AGE^LAT為中，

AG=AF

<ZGAE=ZFAB

AE=AB

:?△AGE之(SAS)

：.BF=EG

：.EF=EG-vFG=BF+AF

：.CF=EF=BF+AF

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點，難度一般,

掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

16.⑴見詳解；

(2)AAOE為等邊三角形，證明見詳解.

【分析】(1)利用作作出NAOE的邊。E,利用同位角相等兩直線平行得出。E〃BC；

(2)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)NA=N8=NC=60。，根據(jù)平行線性質(zhì)得出/ADE=N3=60。，ZAED=ZC=60°,

得出ZDAE=ZADE=NA￡D=60。即可

(1)

解：過點。作/AOE=NB,

,/ZADE=ZB,

:.DE〃BC,

解：△ADE為等邊三角形，

,/△ABC為等邊三角形，

ZA=ZB=ZC=60°,

?：DE〃BC,

：.ZADE=ZB=60°,ZAED=ZC=60°,

/DAE=NADE=/AED=60°,

：.為等邊三角形

【點睛】本題考查作平行線，作一個角等于已知角，等邊三角形性質(zhì)與判定，平行線性質(zhì)，掌握作平行線

方法，作一個角等于己知角基本作圖，等邊三角形性質(zhì)與判定，平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

17.選擇已知①，結(jié)論②(或選擇已知②，結(jié)論①)；證明見解析

【分析】選擇①作為已知，②作為結(jié)論時證明/ACE=/AEC得EA=C4,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)

論；選擇②作為己知，①作為結(jié)論時，證明NACE=NAEC得EA=CA,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)

論.

【詳解】解：選擇已知①，結(jié)論②.

證明：平分N3CD

ZDCE=ZBCE.

ZACD=ZB.

：.ZDCE+NACD=/BCE+NB.

：.ZACE=ZAEC.

：.EA=CA.

〈Ab平分NBA。，

CF=EF.

選擇已知②，結(jié)論一①.

證明：〈CE平分N8C。，

：.ZDCE=ZBCE.

???ZACD=ZB.

：.ZDCE+ZACD=ZBCE+NB.

???ZACE=ZAEC.

：.EA=CA.

?;CF=EF.

JAF1平分NBAC.

【點睛】本題主要考查民角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角

形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

18.(1)見解析；(2)AB=AF+AE,證明見解析；(3)當(dāng)時，=AF+AE,當(dāng)ADv￡D時，

AB=AE-AF

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得NBAD=NC4D=60。，NADC=90。，從而可得在

應(yīng)△AD5中，4=30。，進(jìn)而即可求解；

(2)畫出圖形，在線段上取點G,使EG=E4,再證明"GE=△E4￡(ASA),進(jìn)而即可得到結(jié)論；

(3)分兩種情況：當(dāng)AD>￡D時，當(dāng)ADv￡D時，分別畫出圖形，證明△瓦/E1二△E4￡(ASA)或

ANEF=AAEC(ASA)F進(jìn)而即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)*：AB=AC,

???△ABC是等腰三角形，

???ZBAC=120°,

???ZB=ZC=30°,ZFAC=180°-120°=60°,

??,AO為△ABC的中線，

：.ZBAD=ZCAD=6Q°,ZADC=90°,

JZDAF=ACAD+ZFAC=600+60°=120°,

NCEM=60。，

：.ZADF=90°-60°=30°f

：.ZAFD=180°-(120°+30°)=30°,

AD=AF,

在RMADJB中，ZB=30°,

:.AB=2AD=2AF；

(2)AB=AF+AE,證明如下:

圖2

如圖2,在線段A8上取點G,使EG=E4,

NR4c=60。，

???ZVIEG是等邊三角形，

AZAEG=6O°,NBGE=NFAE=120。,

:△ABC是等腰三角形，AD為△ABC的中線，

:?EB=EC,/BED=/CED,

：.ZAEB=ZAECf即ZAEG+NGEB=NCEF+ZAEF,

丁ZCEF=ZAEG=60°,

：.ZGEB=ZAEF,

在A/G石與石中，

ZGEB=ZAEF

<EG=EA,

NBGE=NFAE

：.^BGE=^FAE(ASA),

：.GB=AF,

：.AB=GB+AG=AF-^-AE；

(3)當(dāng)時，如圖3所示：

與(2)同理：在線段A5上取點〃，使EH=EA,

ZBAD=60°f

???△AEH是等邊三角形,

：.ZBHE=ZFAE=120°,ZAEH=6Q0,

?「△ABC是等腰三角形，AD為△A5C的中線,

:?/BED=/CED,

?.?ZCEF=ZAEH=60°,

:.ZHEB=ZAEF,

：.^BHE=^FAE(ASA)f

??HB=AF,

:.AB=HB+AH=AF+AE,

當(dāng)AOv￡D時，如圖4所示：

在線段A8的延長線上取點N,使EN=EA,

*：NR4D=60。，

是等邊三角形，

JZAEN=ZFNE=60°,

ZCEF=ZAEN=60°

：.ZNEF=ZAEC,

在△NET與△/1￡€中，

/FNE=/CAE=60。

<EN=EA,

ZNEF=ZAEC

：.ANEF-AEC(ASA),

：.NF=AC=AB,

：.BN=AF,

：.AB=AN-BN=AE-AF,

:.AB=AE-AF.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意

做出輔助線找全等三角形是解題的關(guān)鍵.

19.(1)見解析；(2)①60。+(1；②NANC不發(fā)生變化，ZANC=60°；(3)NC=2AN+BE

【分析】(1)①根據(jù)題意畫出圖形即可；

(2)①先證明CE=AC,ZACM=ZECM=af再由等邊三角形的性質(zhì)得到A3=AC=8CNA4C=NAC8=60。，

貝UCE=8C,ZBCE=ZACB-ZACM-ZECM=60°-2a,再由三角形內(nèi)角和定理求解即可；

②先求出/ANC=NENC,再由/ENC+/ECN=/BEC,得至*/ANC+NECN=NBEC,貝l|

ZANC=ZBEC-N￡C7V=6O°+a-a=60°；

(3)在NC上取一點。，使NQ=AN,連接A。.可證△AAQ是等邊三角形.得到AN=A0=NQ,

/NAQ=/AQN=60。.證明/BAN=NCA。，ZANB=ZAQC=nO0,即可證明△AA?之△&℃得到

BN=QC,貝INC==NQ+CQ=NQ+BN=NQ+NE+BE=2AN+BE.

【詳解】解：(1)如圖所示，即為所求；

（2）①：點A關(guān)于射線CM的對稱點為點E,

；?NC是線段AE的垂直平分線，

CE=AC,AELNC,

：.ZACM=ZECM=a,

△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC=BC,ZBAC=ZACB=6Q°,

：.CE=BC,ZBCE=ZACB-ZACM-ZECM=60°-2a,

：.ZEBC=NBEC=1(180°-/BCE)=60°+a；

②NANC不發(fā)生變化.ZANC=60°,理由如下：

：NC是線段AE的垂直平分線，

：.NE=NA,NC±AE,

：.ZANC=ZENC,

又?:ZENC+ZECN=ZBEC,

：.ZANC+ZECN=ZBEC,

：.ZANC=ZBEC-ZECN=60°+a-a=60°；

(3)在NC上取一點。，使NQ=AN,連接A。.

,/ZANQ=60°,AN=NQ,

：.△AN0是等邊三角形.

：.AN=AQ=NQ,ZNAQ=^AQN=60°.

：.ZBAN+ZBAQ=ZCAQ+ZBAQ^60°,即N8AN=/C4。，ZAQC=nO°,

*.?/ANQ=NENQ=60°,

ZANB=ZAQC=120°,

又

AAANB^AAQC(AAS).

：.BN=QC.

：.NC==NQ+CQ=NQ+BN=NQ+NE+BE=2AN+BE.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形

外角的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

20.(1)BC±CE

Q)CD-BD=2EF或BD-CD=2EF,見解析

【分析】(1)根據(jù)已知條件求出NB=/AC2=45。，證明△四△山￡,得到NACE=N8=45。，求出

ZBCE=ZACB+ZACE=9Q°,即可得到結(jié)論BC±CE；

(2)根據(jù)題意作圖即可，證明△"￡>0AAeE.得到3。=耍，ZB^ZACE,ZADB^ZAEC,推出

ZACB^ZACE.延長斯到點G,使FG=EF,證明AADC0AAGC,推出CD=CG.由此得到

CD—BD=2EF.同理可證應(yīng))—CD=2。.

(1)

解：4c=90。，AB=AC,

：.ZB=ZACB^45°,

,?ZDAE=ZBAC,

：.ZDAE-ZDAC=ABAC-Z.DAC,即ZBAD=ZCAE,

'：AB=AC,AD=AE,

：.△54。絲△CAE,

ZACE=ZB=45°,

：.ZBCE=ZACB+ZACE=90°,

：.BC±CE；

(2)

解：如圖，補全圖形；

CD-BD=2EF.

證明：VZBAC=ZDAEf

：.ZBAD=ZCAE.

XVAB=AC,AD=AE,

:./\ABD絲AACE.

：.BD=CE,ZB=ZACE,ZADB=ZAEC.

9：AB=AC,

：.ZB=ZACB.

：.ZACB=ZACE.

延長Eb到點G,使FG=EF.

VAF1CE,

AE=AG.

：.ZAEG=ZG.

\9ZADB=ZAEC,

：.ZADC=ZAEG.

：.ZADC=NG.

AC=AC,

：.AADC之△AGC.

：.CD=CG.

*：CG-CE=2EF,

：.CD-BD=2EF.

如圖，同理可證CD=2砂.

【點睛】此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定及性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.掌握分類思想解題是難點.

21.DE=3.

【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得N3=60。，AB=2BC,再根據(jù)垂直的定義可得

NCDB=NCDA=90°,從而可得/BCD=30。，3C=4,AB=8,然后根據(jù)線段和差可得AD=6,根據(jù)平

行線的性質(zhì)可得NOE1=/ACB=90。，最后在必aADE中，利用直角三角形的性質(zhì)即可得.

【詳解】解：,??ZACB=90。，ZA=30°,

AZB=60°,AB=2BC,

,/CD_LAB于點。，

ZCDB=ZCDA=90°,

：./BCD=30。，

BC=2BD,

?；BD=2,

：.3C=4,

AB=23C=8,

AD^AB-BD^6,

"：DE//BC,

：.ZDEA=ZACB=90°,

?.?在中，ZA=30°,

/.DE=-AD=3.

2

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握含30。角的直角三角

形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

22.見解析

【分析】由。4=OC=PC,得出APOCAAOC為等腰三角形，由外角的性質(zhì)及等量代換得

ZCAO=2ZAPB,再次利用外角的性質(zhì)及等量代換得ZAO8=3ZAP8,即可證明.

【詳解】解：?.?Q4=OC=PC，

:.APOC/AOC為等腰三角形,

ZAPB=ZCOP,ZACO=ZCAO,

由外角的性質(zhì)得：ZACO=ZAPB+NCOP=2ZAPB,

ZCAO=2ZAPB,

再由外角的性質(zhì)得：ZAOB=ZAPB+ZCAO,

:.ZAOB=3ZAPB,

:.ZAPB=-ZAOB.

3

【點睛】本題考查了等腰三角形、外角的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是掌握外角的性質(zhì)及等量代換的思想進(jìn)行求

解.

23.⑴見詳解；

Q)EF=EG；理由見詳解；

(3)見詳解.

【分析】(1)根據(jù)要求畫出圖形即可；

(2)由題意，得到垂直平分。則得至“NEDO=NEOM=NOEF=45。,由角平分線的定

義，得/AOC=/BOC,再由三角形的外角性質(zhì)，即可得到結(jié)論成立；

(3)在射線EA上，截取￡H=EG,連接G",則ED+EF=OH,然后有OO=2EM,再證明

AODG^^OHG(44S),得至UOD=OH,即可得證.

(1)

解：根據(jù)題意，如圖：

(2)

解：EF=EG；

理由如下：如圖,

;點M為線段0。的中點，EM±0D,

.?.線段EM是△。即的高，也是中線，

垂直平分0D,ZOME=9Q°,

：.OE=DE,

：.NEDO=/A0B=NOEF=45。,

：OC是/AOB的角平分線，

ZAOC=ZBOC,

：.ZAOC+ZOEF=ZBOC+ZEDO,

：.ZEFG=ZEGF,

：.EF=EG；

(3)

解：在射線EA上，截取EH=EG,連接GH,如圖:

A

B

O/TMXDB

貝I]EH=EF,

,/OE=DE,

：.ED+EF=OE+EH=OH,

NEDO=NEOM=ZOEF=45°,點M是。。的中點，

：.OM=EM=DM,/?！?=45。+45。=90。，

0D=2EM；ZEHG=45°,

'：ZAOC=ZBOC,OG=OG,

:.△ODGQ&OHG(A4S),

OD=OH,

；.ED+EF=2EM.

【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的

性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的作出輔助線，從而進(jìn)行證明.

24.(1)補全的圖形見解析.

(2)0.①NCFE=45°；②EC=MC.證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)題意題意直接作圖即可；

(2)如圖：先說明△說明。尸=8￡>,進(jìn)而說明確定所求的點；①由尸可得

ZCBD=ZCFD.然后根據(jù)題意說明ZEDF=180。一/BDE-ZCBD—ZCFD=90°~2ZCFD.再根據(jù)等腰三

角形的性質(zhì)可得最后運用等量代換代入計算即可；②先說明△之△￡(?『，然后根據(jù)

全等三角形的性質(zhì)即可證明.

(1)

(1)解：補全的圖形如圖所示：

圖1E

(2)

解：(2)如圖：連接。F.

在45。。和4。。廠中

BC=CF,/BCD=/DCF,CD=CD

：.ABDC^ADCF(SAS)

：.DF=BD

?:BD=DE

:?DF=DE,

???在點A,B,C,。中，和點/所連線段與。石相等的是點。.