2024-2025學年山東省濟南市高一（下）期末數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.若復數(shù)z滿足z（l-i）=3+是虛數(shù)單位），貝Uz=（）

A.2+iB.2-iC.l+2iD.1-2i

2.某校開展“閱讀經(jīng)典”的調(diào)查研究，高一、高二、高三的人數(shù)比例為2：3：4.現(xiàn)采用按比例分配分層隨

機抽樣的方法從各年級中抽取人員進行調(diào)研.已知從高一抽取的人數(shù)為30,則從高三抽取的人數(shù)為（）

A.45B.60C.90D.135

3.已知向量五=（2,4）5=0,1），且&1b,則x的值為（）

11

A.-2B.2C.一楙D）

4.已知zn,九是兩條直線，a,0,Y是三個平面，則正確的是（）

A.若?！?7,mca,nu0,則m〃九B.若a±S，/?1y,貝（Ja〃丫

C.若a1y,，〃a,則￡1yD.若7n〃九，m//a,貝ljn〃a

5.解放閣是山東省的“國防教育基地”.如圖，為測量解放閣的高度CD,某人取了一條水平基線ZB,使

4B,。在同一條直線上.在4B兩點用測角儀器測得C的仰角分別是4C/D=30。，Z.CBD=53°,并測得

48=35米，則CO約為（）（參考數(shù)據(jù)：s譏53。為0.8,s）23。y0.4）

A.30米B.35米C.45米D.70米

6.用斜二測畫法畫水平放置的△ABC,其直觀圖△49C'如圖所示，其中B'O'=C'O'=2.若原的周長

為10,貝1」4。'=()

75

A.~T

7.拋擲2n枚質(zhì)地均勻的硬幣，恰有?1枚正面朝上的概率為「九(其中n=1,2,3),貝1|()

A.Pl=P2=P3B.p3>Pl>p2C.P3>P2>PlD.Pl>p2>P3

8.在AaBC中，ABAC=W，NBAC的平分線交BC于點N,M為BC的中點.若AN=4,BC=6MN,則

AM=()

A.3<2B.3<3C.3<6D.3/7

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.某校為了解高一學生的體能達標情況，抽調(diào)了200名學生進行立定跳遠測試，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到如圖的

頻率分布直方圖(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)，則()

A.a=0.0175B.眾數(shù)是230

C.中位數(shù)是210D.跳遠距離在區(qū)間［200,260］的人數(shù)為168

10.已知古典概型的樣本空間。及事件4和事件B,滿足踐(。)=36,n(4)=12,n(S)=16,n(AUB)=

24,則()

A.P(XB)=B.P{AUB)=jC.P(4B)=玄D.P(AB)=j

11.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-中，點E,尸分別是棱BC,D,C

CCi的中點，P是側(cè)面BCCiBi內(nèi)(含邊界)的一動點，且滿足&P〃平面4EF,八

則()

A.點P到平面AEF的距離為定值

B.存在點P,滿足&P1EF

C.二面角P-4的—Bi的取值范圍為［0,勺

D.過點P作正方體外接球的截面，所得截面面積的最小值為兀

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.己知圓臺的上底面半徑和母線長均為2,下底面半徑為3,則圓臺的體積為.

13.若復數(shù)z滿足|z-2+i|=3(i為虛數(shù)單位)，則|z|的最大值為.

14.設。久，Oy是平面內(nèi)的兩條數(shù)軸，NxOy=火0＜6＜兀),前局分別是與％軸、y軸正方向同向的單位向

量.若。M=x瓦＞+y/，則把有序數(shù)對(久,y)叫做向量。M在坐標系。久y中的坐標.已知。力=(3,0),OB=

(1,1),對任意teR,南|22恒成立，則cos?的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

袋中有5個大小質(zhì)地完全相同的小球，其中白球編號為1,2,紅球編號為3,4,5.從中有放回地依次隨機

摸出兩個小球.

(1)求至少一個是白球的概率；

(2)設事件4為“第一次是白球”，事件B為“兩個小球的編號之和為6”，判斷力與B是否相互獨立，并說

明理由.

16.(本小題12分)

已知正四棱錐P—力BCD,M,N分別是BC,PD的中點.

(1)證明：CN〃平面P4M；

(2)若四棱錐各棱長均為2,求直線CN與力M所成角的余弦值.

17.(本小題12分)

在△ABC中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c=bcosA+

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若△ABC為銳角三角形.

(i)求角4的取值范圍；

(近)設￡1=6,求AABC面積的取值范圍.

18.(本小題12分)

某同學用同一把尺子多次測量同一張標準力4紙的寬度，得到以下10個數(shù)據(jù)看,iez(單位：毫

米)：

%9

%2%3%4%5%6第7%8%10

211209210208210210209208210215

(1)計算該組數(shù)據(jù)的平均值I和方差S2;

(2)考慮到測量誤差問題，可能存在無效數(shù)據(jù)，可以采用如下準則進行無效數(shù)據(jù)篩選:

①記n=邑三(其中S為樣本標準差，1WiW10,iGZ)；

②若Ti>G■其中幾為樣本容量)，則該數(shù)據(jù)x,判斷為無效數(shù)據(jù)，否則認為該數(shù)據(jù)有效

Gn對照表

n345678910

Gn1.161.481.721.892.022.132.222.29

(i)求Ao,并判斷句。是否為無效數(shù)據(jù)(結(jié)果保留兩位小數(shù))；

(ii)求久i，x2>久io中無效數(shù)據(jù)的個數(shù)，并說明理由.

(參考數(shù)據(jù)：7^6?1.90)

19.(本小題12分)

在數(shù)學上用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體某頂點的曲率等于27r與多面體在該點的面角之和的差，其

中面角是多面體的面的內(nèi)角(角用弧度制表示).例如：對于正四面體任意一個頂點，每個面角均為以所以

正四面體在該頂點的曲率為2兀-亨X3=兀.

(1)如圖1,該多面體由邊長相等的10個正三角形和2個正五邊形圍成，任取一頂點，求該點的曲率；

(2)如圖2,在正三棱臺4BC-4/16中，力/1=2,4B=4,點4與4處的曲率之差為兀若。為側(cè)面

ACG4(含邊界)內(nèi)一動點，且直線8。與平面4CC14所成角的正切值為2,求動點。的軌跡長度；

(3)某多面體由邊長相等的m(meN*)個正三角形和n(neN*)個正五邊形圍成，若各頂點的曲率之和為

4兀，且每個頂點與其相連接的棱所形成的空間圖形均相同（圖3為滿足條件的兩個多面體示例），求該多面

體面數(shù)的所有可能取值.

答案解析

1.【答案】c

【解析】解：復數(shù)Z滿足z（l-0=3+i（i是虛數(shù)單位），z=泮=容嘿繆=竽=1+2i.

1-I（JL—I以1,十I）Z

故選：C.

由復數(shù)除法運算即可求解.

本題主要考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎題.

2.【答案】B

【解析】解：設高三抽取的人數(shù)為X,

高一、高二、高三的人數(shù)比例為2：3：4.從高一抽取的人數(shù)為30,

則由分層抽樣可知當=解得：%-60.

故選：B.

根據(jù)分層抽樣的基本原則，計算各層人數(shù)即可.

本題主要考查分層抽樣的基本原則，屬于基礎題.

3.【答案】A

【解析】解：,??向量1=（2,4）,3=（尤,1）,

又,:alb,

a-b=0

即2久+4=0

解得x=-2

故選：A.

由已知中向量五=（2,4）石=（久,1）,且孔根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為0,可以構(gòu)造關(guān)于久的方程，解方程

可得答案.

本題考查的知識點是數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系，其中根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為0,構(gòu)造關(guān)于x的

方程，是解答本題的關(guān)鍵.

4.【答案】C

【解析】解：已知n是兩條直線，a,0,y是三個平面，

對于4,若cc“6,mca,nu0,

則ni〃n或?n,71異面，

故A錯誤，

對于B,若aL0,01y,

則a〃/或a,y相交，

故8錯誤，

對于C,若a1y,0〃a,

則01y,

故C正確，

對于D,若mlla,

則n〃a或nua,

故。錯誤.

故選：C.

根據(jù)空間中點線面的位置關(guān)系，即可結(jié)合選項逐一求解.

本題考查了空間點、線、面的位置關(guān)系，屬基礎題.

5.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意可知，^CAD=30°,ZCBD=53°,并測得4B=35米,

rnr

在ACBD中，CB=-^-.==-CD,

sinb34

在△4BC中，4ACB=KCBD-4CAD=23°,

則由正弦定理可得號=$，即卷=整，

sin23sin300.40.5

解得CD=35千米，故B選項正確.

故選：B.

由題意可得在ACBD中，CB=-^=)CD,在A/IBC中，再結(jié)合正弦定理可得」%=總從而可求

sm534smzOsm30

解.

本題考查了解三角形，屬于中檔題.

6.【答案】A

【解析】解：可由直觀圖△畫出原圖△力BC,如圖所示，

可得8。=CO=B'O'=CO'=2,所以248=10—4=6,即48=3,

則A。=AB2-BO2=V32-22=居,所以40,=苧.

故選：力.

根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，由直觀圖△4B'C'畫出原圖△4BC,得到BO=2,AB=3,求得力。=4，進而

得到40'的長.

本題主要考查斜二測畫法的應用，屬于基礎題.

7.【答案】D

【解析】解：由題意，當幾=1時，Pi=1；當n=2時，p2=T=1；當幾=3時，P3="=巳

乙202lo

所以Pl>P2>P3?

故選：D.

由古典概型的概率計算公式分別計算Pl、P2、P3的值，從而得到結(jié)果.

本題考查古典概型求概率公式，屬于基礎題.

8.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意可知，ABAC的平分線交BC于點N,

則S&4BN=%=2AB/Ns%BN=AB

SMCN-NC_yc/Ns酒NC-AC'

_1111

根據(jù)題意可知，BC=6MN,M為8c的中點，則MN=^BC,MC=：BC,BN=BM—NM=：BC—今BC=

6ZZ6

|BC,

112

CN=MC+NM=:BC+：BC=￡BC,

z63

所以處=竺一，

7/NCAC2

又結(jié)合等面積法可知SMBC=S“BN+SUCN=^AB-ANsin1+^AC-ANsin^=-ABsin^,

化簡得4Q4B+AC)=AC-AB,

故AC=12,AB=6,

故選：B.

利用面積比可得瞿=*=；，結(jié)合等面積法可得2C=12,AB=6,即可利用向量的模長求解.

iVC*21乙

本題考查了解三角形，屬于中檔題.

9.【答案】AB

【解析】解：對于4，由頻率分布直方圖得：

20x(0.0050+0.0075+0.0100x2+a)=1,

解得a=0.0175,故A正確；

對于B,由頻率分布直方圖知，最高的矩形是區(qū)間［220,240)所對應的矩形，

眾數(shù)是230,故2正確；

對于C,第一組的頻率為20x0.0050=0.1,

第二組的頻率為20X0.0075=0.15,

第三組的頻率為20x0.0100=0.2,

第四組的頻率為20X0.0175=0.35,

???0.1+0.15+0.2=0.45<0,5<0.45+0.35=0.8,

???中位數(shù)在區(qū)間［220,240)內(nèi),

設中位數(shù)為X,

貝ljo.45+(%-220)x0.0175=0.5,

解得x=222號>210,故C錯誤；

對于。，由頻率分布直方圖知：

跳遠距離在區(qū)間［200,260］的頻率為20X(0.0100X2+0.0175)=0.75,

.?.跳遠距離在區(qū)間［200,260］的人數(shù)為0.75X200=150,故。錯誤.

故選：AB.

對于4由各個矩形面積之和為1列方程驗算即可；對于B,只需看最高矩形的中間值即可；對于C,由中

位數(shù)的定義即可驗算；對于D,由對應的頻率乘以總?cè)藬?shù)即可驗算.

本題考查頻率分布直方圖、頻率、中位數(shù)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

10.【答案】BCD

【解析】解：根據(jù)題意，樣本空間僅及事件力和事件B,滿足幾(0)=36,71(2)=12,n(B)=16,n(/lU

B)=24,

則有n(4ClS)=12+16-24=4,n(XClS)=16-4=12,n(XClS)=36-8-4-12=12,

所以P（941P（auB）嚏=|,P（欣=||=",P（而迷=".

故選：BCD.

分別計算出n(4nB),n(AnB),n(An5),再結(jié)合古典概型概率計算公式即可求解.

本題考查古典概型的計算，涉及概率的性質(zhì)，屬于基礎題.

11.【答案】ABD

【解析】解：取BB]中點M,BiG中點N,連接MN,連接&M,A±N,

ME,BC],

貝IM41//BB1，BBJ/ME,所以dAJ/ME,5LAAr=ME,

所以四邊形4EN4為平行四邊形，

所以4E〃力iN,S.AE=ArN,

又因為EF〃BCi，MN//BC1,所以EF〃MN,

又因為ZE,EFu平面AEF,A】NCMN=N,A】N,MNu平面4iMN,

所以力iMN〃平面2EF,

因為&P〃平面4EF,所以&Pu平面力[MN,

所以點P的軌跡為MN.

對于選項A：因為S“EF=^X，lx，I=1,

可得Vp-AEF=匕-PEF=qS^pEF-AB=§為定值，故選項A正確；

對于選項2：作/G1MN且交MN的中點G,連接&G,

因為1平面BCC/i，MNu平面BCC/i，

所以1MN,又4/1nBrG=B],A1B1,B±Gu平面4聲",

所以MN1平面&B]G,

又因為EF〃MN,

所以EF1平面A/G,又為Gu平面2/iG,

所以EF14iG,

所以當點P于點G重合時，滿足EF1&P,故選項8正確；

對于選項C：連接&G，PQ,作PK〃BBi且交BiG于K點，作KT1&G且交4cl于點T,

由PK_L平面4&的u平面4/16，

則PK14G，

又PKCKT=K,PK,KTu平面PTK,

所以AQ1平面PTK,又PTu平面PTK,

所以力iG1PT,

所以NPTK就是二面角「—&的一當?shù)钠矫娼牵?/p>

即tan"TK=芻

1K

因點P的軌跡為MN,結(jié)合圖形當點P從N到M的過程中NPTK是逐漸增大的，

當點P位于N處，此時PK=0,貝！Jtan/PTK=盟=0,求得4PTK=0,

當點P位于MN的中點G處時，PK=4,KT=—，

24

貝UtanNPTK=翳=￥<1，

1K3

當點P位于M處時，PK=1,KT=^2,

貝UtanNPTK=修=￥<1=tang，

IKL4

綜上所述：NPTK取不到故選項C錯誤；

對于選項D：正方體的外接球的半徑為22+22+22=1x2/3=/3,

當點P在M或N處時，正方體的中心（即外接球球心）離P點距離最遠為，之

此時以點P為截面圓心，截面圓半徑最小為V3-2=1,

所以截面面積的最小值為兀xI?=兀，故選項。正確.

故選：ABD.

取BBi中點M,BiG中點N,連接MN,連接&N,ME,BC「證明點P的軌跡為MN,再結(jié)合

^P-AEF=^A-PEF=QSAPEF'可對4判斷；

當點P為MN的中點時可證MN1平面&B1G,從而可對B判斷；

利用幾何法作出NPTK就是二面角P--的平面角，分析點P在運動時NP7K變化情況，可對C判

斷；

求出正方體外接球的半徑，且當點尸位于M或N時，離球心的距離最遠，從而可對D判斷求解.

本題考查立體幾何綜合問題，屬于難題.

12.【答案】學兀

【解析】解：因為圓臺的上底面半徑和母線長均為2,下底面半徑為3,

所以圓臺的高為J22—(3—2/=g

所以圓臺的體積U=|TZ-X73X(22+32+2X3)=萼兀.

故答案為：萼兀.

由圓臺的性質(zhì)先求出高，再代入體積公式計算可得結(jié)果.

本題考查圓臺的體積的求解，屬基礎題.

13.【答案】V5+3

【解析】解：設2=x+yi(x,yeR),因為|z—2+=J(x-24+(y+1產(chǎn)=3,BP(x-2)2+(y+

l)2=9,

所以z的軌跡為以(2,-1)為圓心，以3為半徑的圓，

所以|z|=J*2+y2,其表示上述圓上的點Q,y)到點(0,0)的距離，

所以其最大值為(2,-1)到(0,0)的距離加半徑，為J22+(_1)2+3=店+3.

故答案為：75+3.

根據(jù)|z—2+i|=3可得z的軌跡為以(2,—1)為圓心，以3為半徑的圓，|z|表示點(Xy)到(0,0)的距離，結(jié)合

幾何意義可得結(jié)果.

本題考查復數(shù)模的求法，考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎題.

14.【答案】(-1市

【解析】解：因為礪=(3,0),OB=(1,1),

所以。4=3部，OB=e^+

由題意，瓦*與石的夾角為氏且0<8<兀，

所以|OA|=J(3宙尸=3,\OB\=J(百+4==V2+2cos9,

則瓦？?痂=3工2+3瓦.石=3+3cos8,

因為對任意t€R,|瓦？一t布|N2恒成立，

22

所以瓦?之+tOB-2tOA-OB>4,

即2(1+cosd)t2-2(3+3cos0)t+5>0,

因為1+cos3>0,

所以4=[-2(3+3cos6)]2-4(2+2cos6)x5<0,

解得-1<cos3<

1

因為。<8<兀，所以一1<cose<

即cose的取值范圍為(一1，3

故答案為：(―1市.

根據(jù)題意將市=(3,0),加=(1,1)轉(zhuǎn)化成用基底瓦，石表示的形式，進一步可求出|旗-t加根據(jù)

\OA-tOB\>2恒成立求解cos。的取值范圍即可.

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算，屬中檔題.

15.【答案】||；

a與B是相互獨立的，理由見解析.

【解析】(1)由于有放回地依次隨機摸出兩個小球，所以每次摸球的結(jié)果互相獨立，

故至少一個是白球的概率為1一(|)2=S

(2)因為事件a為“第一次是白球”，所以p(4)=|.

因為事件B為“兩個小球的編號之和為6”,且1+5=2+4=3+3=6,

所以P(B)=Lx2+tYx2+gxW，

事件4B為“第一次編號為1且第二次編號為5”或者“第一次編號為2且第二次編號為4”，

所以PQ4B)=(x"(X3急

貝UP(AB)=^=(xi=P(4)P(B),

所以a與B是相互獨立的.

(1)由對立事件概率公式、獨立乘法公式即可求解；

(2)由古典概型概率計算公式和獨立事件的定義求解即可.

本題考查古典概型求概率公式、相互獨立事件的概率乘法公式等，屬于基礎題.

16.【答案】證明見解析；

7VT5

30,

【解析】(1)證明：正四棱錐P—ABCD中，M,N分別是BC,PD的中點，

取4P的中點為Q,連接QM,QN,

貝UQN//2D,S.QN^^AD,

又CM且CM=次,

故CM〃QN且CM=QN,則四邊形NQMC為平行四邊形,

故CN〃QM,QMu平面P4M,CNC平面P4M,

故CN〃平面P4M；

(2)由⑴知：CN//QM,則乙4MQ或其補角即為直線CN與4M所成角,

又△PCD為邊長為2的等邊三角形，故QM=CN=^X2=/Z，

AM=VAB2+BM2=V22+I2=VT,AQ=jPA=1,

故C0S41M。-命+QfQ2_5+3_1_9

姒COSN4WQ-2AM-QM~2xVTx/3-30

故直線CN與AM所成角的余弦值為甯.

(1)根據(jù)中位線以及平行四邊形的判定可證明NQMC為平行四邊形，即可由線面平行的判定求解,

(2)根據(jù)平行可得N4MQ或其補角即為直線CN與力M所成角，即可利用三角形的邊角關(guān)系求解.

本題考查線面平行的判定及異面直線所成的角的求法，難度中檔.

17.【答案】B=*

(團)管《)，(0)(^,18/3).

【解析】(1)利用正弦定理化簡已知等式可得sin。=sin(i4+B)=sinAcosB+cosAsinB=sinBcosA+

1.4

~SITLA,

所以sinAcosB=-sinA,

又因為si幾4>0,

可得cosB=

又由于BG(0,7T),

可得B=[

/?7T

0<741<-

(2)(回)由題意可得｛27r爐

0<B=^-A<^

、oZ

解得3<A<^,

OZ

可得a的取值范圍為GA)；

OZ

(ii)由于B=I，a=6,

可得S=|acsinB—

又因為急=短=贏毀'

可得c=3"

sinA

可得S=?C=9G』吧=/&+W),

由于4G償￡),

可得tcmae(苧,+8),可得高e(o,C),可得嘉e(嗚)，

1

得

可+

-V3A6

22tanA/

故S=9C?+磊）6（亨180）.

（1）由正弦定理邊化角，結(jié)合正弦和角公式即可求解；

（2）（助由銳角三角形的定義列不等式組即可求解；

（ii）由三角形面積公式、正弦定理得到5=9，^6+磊），結(jié)合角力的取值范圍，即可求解.

本題考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換，三角形的面積公式以及正切函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的應用,

考查了計算能力和函數(shù)思想，屬于中檔題.

18.【答案】平均數(shù)為210,方差為3.6；

（回）*10為無效數(shù)據(jù)；

（團）1個，理由見解析.

【解析】（1）由題意可知，平均數(shù)尤=^（211+209+210+208+210+210+209+208+210+

215）=210,

方差52=2X（12+F+02+22+02+02+12+22+02+52）==X36=3.6;

（2）（回）由題意可知，A。=鳳旦=⑷蜜川=熹二亮〉2.29,

S7J.OV5.0i.y

故%10是無效數(shù)據(jù);

(ii)由表中數(shù)據(jù)可知：x3—x=x5—x=x6—x=x9—x=0,

故此時可得4=與4=0<2.29,

|-x\=\x2—x\=|x7—x|=1,此時A="/I=!=^<2.29,

|x4-x|=|x8-x|=2,此時A=邑三=|=^<2.29,

故久1，x2,…，％9均為有效數(shù)據(jù)，

由(i)知%10是無效數(shù)據(jù)，

因此無效數(shù)據(jù)只有1個.

(1)根據(jù)平均數(shù)和方差的計算公式即可求解；

(2)(助根據(jù)4=『的計算公式，與Gio的值比較即可求解;

(ii)根據(jù)4=壓用的計算公式，與Gio的值比較即可求解

本題主要考查了平均數(shù)和方差的定義，屬于中檔題.

19.【答案】y；~12,32和92.

【解析】解；(1)該多面體任取一頂點連接3個正三角

形和1個正五邊形，則該點的曲率為2兀-(3x^+

3兀)_27r

(2)梯形性質(zhì)分析：由于梯形4CG&是等腰梯形，A,

設梯形在4的內(nèi)角為a,在4的內(nèi)角為0,則a+0=7i.

但是根據(jù)曲率差的條件，2兀一2”尹(2兀一2。一宗)=2"2a=兀.

解方程組：a=%S=).

44

從A1,Q點向下底作垂線，交于E,F,上下底中點分別為M,N.

由于上底4iG=2,下底AC=4,

AE=1,ArE=MN=CjF=1,CCr=AAr=<2,

H

設上下底面的中心分別為0「0,N在下底面內(nèi)的射影為N',貝。分別

在C】N,CM上，

且N'6CM,0rN=竽。M=竽,。。1=NN',00]1CM,NN'1CM,

計算得CM=2/3,C1N=/3,0rN=r,0M=亨,N'M=?，

MN=1,NN'=cosACMN=苧,sin/CMN=g

MH=MCcos^CMH=273=2,NH=MH-MN=2-1=1，

CH=CMsin^CMH=2/3x?=22,DH=q=”，

H^JAA1,CG的交點，由于a=%；.“4]==A=D"，

.??點。的軌跡為如圖所示的以H為圓心，以4,G為端點，半徑為R=，2圓弧，

軌跡的長度為令7?=等.

（3）多面體由伍個正三角形和n個正五邊形組成，邊長相等，各頂點曲率之和為4兀.

每個頂點與其相連接的棱所形成的空間圖形均相同（頂點傳遞性）.

歐拉公式：對于凸多面體，歐拉公式U-E+F=2,其中了是頂點數(shù)，E是邊數(shù)，F(xiàn)是面數(shù).

這里尸—m+n.

曲率總和：根據(jù)題目，曲率總和為47r.

頂點均勻性：題目要求每個頂點相同，意味著多面體是頂點傳遞的，且每個頂點周圍的配置相同.

面角計算：正三角形的內(nèi)角為最正五邊形的內(nèi)角為各

頂點曲率：設每個頂點周圍有a個正三角形和b個正五邊形.

由于頂點相同，所有頂點配置相同，面角總和為a^+b?卷