第1講直線與圓

［考情分析］1.和導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線相結(jié)合，求直線的方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式，多以選

擇題、填空題的形式出現(xiàn)，中低難度2和圓錐曲線相結(jié)合，求圓的方程或弦長、面積等，中

高難度.

考點(diǎn)一直線的方程

【核心提煉】

1.已知直線/i：Aix+Biy+Ci=O（Ai,Bi不同時(shí)為零），直線松Ajx+B^y+C2=O（Az,82不

同時(shí)為零），則耳〃/2臺(tái)41&-〃81=0,且4C2—A2C1WO,ZI±Z2^AIA2+BIB2=O.

|Arp+Byo+C|

2.點(diǎn)PQo,比）到直線/:Ax+By+C=0（A,8不同時(shí)為零）的距離d=[/+序

3.兩條平行直線Zi：Ar+By+Ci=0,和Ax+By+C2=0（.A,B不同時(shí)為零）間的距離d=

un

例1⑴（2022?常德模擬）已知直線Max—4y—3=0〃2：x—世+1=0,則“a=2”是li//l2

的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若/1〃/2,

則有一“2+4=0,解得〃=±2,

當(dāng)〃=2時(shí)，Zi：2x—4y—3=0,

，2：x—2y+l=0,/i〃，2,

當(dāng)a=-2時(shí)，Zi：2x+4y+3=0,

I2：x+2y+l=0,/i〃，2,

所以若/1〃/2,則。=±2,

所以“4=2”是的充分不必要條件.

（2）（2022?濟(jì)寧模擬）已知直線東近+y=0過定點(diǎn)A,直線L：龍一6+2吸+2左=0過定點(diǎn)8,

h與h的交點(diǎn)為C,則IACI+IBCI的最大值為.

答案24

解析由/i：fcv+y=O,得/i過定點(diǎn)A(0,0),

由b：x~\~2y[2~\~k(2—y)=0,

得/2過定點(diǎn)8(—2小，2),

顯然ZX1+1X(一左)=0,即/i,辦相互垂直，

而/i與A的交點(diǎn)為C,

gpAC±BC,又以8|=2仍，

.".|AC|2+|BC|2=12,

.,.(|AC|+|BC|)2=12+2|AC|-|BC|^12+(|AC|2+|BC|2)=24,

...|AC|十|2C|的最大值為2冊(cè),

當(dāng)且僅當(dāng)|AC|=|BC|=加時(shí)，等號(hào)成立.

...|AC|+|BC|的最大值為2乖.

易錯(cuò)提醒解決直線方程問題的三個(gè)注意點(diǎn)

(1)求解兩條直線平行的問題時(shí)，在利用4氏-4281=0建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代

入檢驗(yàn)，排除兩條直線重合的可能性.

(2)要注意直線方程每種形式的局限性，點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式要求直線不能與x軸垂直，

而截距式方程既不能表示過原點(diǎn)的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線.

(3)討論兩直線的位置關(guān)系時(shí)，要注意直線的斜率是否存在.

跟蹤演練1(1)已知直線/：ax+y-2+a=0在x軸與y軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)a的值是

()

A.1B.-1

C.—2或1D.2或1

答案D

解析當(dāng)。=0時(shí)，直線y=2,此時(shí)不符合題意，應(yīng)舍去；

2—CL

當(dāng)aWO時(shí)，由直線/：ax-\-y—2+。=0可得，橫截距為一~一,縱截距為2—a.

解得a—1或a—2.

經(jīng)檢驗(yàn)，。=1,2均符合題意，故。的值是2或1.

(2)若直線人尤一2y+l=0與直線/2：2r+沖+1=0平行，則直線h與L之間的距離為

答案

解析由直線/i：x—2y+l=0與直線，2：2x+zny+l=0平行，

可得1義機(jī)一2X(—2)—0,即m=—4,故兩直線可化為/i：2x—4y+2=0,h：2x—4y+1—0,

故直線/1與，2之間的距離為d—^1^2~10

考點(diǎn)二圓的方程

【核心提煉】

1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

當(dāng)圓心為(%b),半徑為廠時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為。一〃)2+。一人)2=於.

2.圓的一■般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中/^+序一小。，表示以(一景一勻?yàn)閳A心，匹*三E為半

徑的圓.

例2(1)己知圓C與直線y=x及無-y—4=0都相切，圓心在直線y=-x上，則圓C的方程

為()

A.(x+l)2+(j—1)2=2

B.(X+1)2+(J+1)2=2

C.(x-l)2+(y~l)2^2

D.(x—l)2+(y+lp=2

答案D

解析因?yàn)閳A心在直線y=—尤上，

設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,—a),

因?yàn)閳AC與直線y=x及x—y—4=0都相切，

|o+tz-4|

所以方=一^’

解得a=l,所以圓心坐標(biāo)為(1,-1),

-11+11

又

所以R=y[i,

所以圓的方程為(x—l)2+(y+l)2=2.

(2)(多選X2022?南京六校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系中，存在三點(diǎn)A(—1,0),仇1,0),C(0,7),動(dòng)

點(diǎn)P滿足照|=5『8|,貝!]()

A.點(diǎn)尸的軌跡方程為Q—3)2+產(chǎn)=8

B.△刑8面積最大時(shí)必|=2加

C./孫8最大時(shí)，|^4|=2^6

D.P到直線AC距離的最小值為警

答案ABD

解析設(shè)尸(x,y),

由照尸也得照|2=2|尸8|2,

即(x+l)2+y2=2[(x—l)2+y2],

化簡可得(X—3>+y2=8,

即點(diǎn)P的軌跡方程為(x—3)2+9=8,A正確；

?.?直線A8過圓(x—3)2+V=8的圓心，

.?.點(diǎn)P到直線A8的距離的最大值為圓(x—3/+9=8的半徑廠，即為2

V\AB\=2,

：./\PAB面積最大為g><2X2吸=2吸，

此時(shí)P(3,±2g)，

A|^4|=^/(3+1)2+(2^2)2=2A/6,B正確；

當(dāng)/P48最大時(shí)，則B4為圓。-3)2+)?=8的切線,

用仁、(3+1)2—8=26,C錯(cuò)誤;

7X3+714也

直線AC的方程為7x—y+7=0,則圓心(3,0)到直線AC的距離為

U+15

二點(diǎn)尸到直線AC距離的最小值為喈-2吸=曝D正確.

規(guī)律方法解決圓的方程問題一般有兩種方法

(1)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程.

(2)代數(shù)法：即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù).

跟蹤演練2(1)(2022?全國甲卷)設(shè)點(diǎn)M在直線2尤+y—1=0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在。M上，

則QM的方程為.

答案(x—l)2+(y+1y=5

解析方法一設(shè)。M的方程為(x—。尸+?-6)2=/，

2a~\-b—1=0,

則|(3-4+〃=凡

42+(1—6)2=戶,

a—1,

解得b=—1,

/=5,

的方程為(x—1)2+。+1)2=5.

方法二設(shè)。M的方程為x1+y2+Dx+Ey+F^0(D-+E2-4F>0),

則4苦,—￡),

%(罔+(_f)T=。,

?<

9+3D+F=O,

A+E+F^Q,

D=~2,

解得|E=2,

、F=-3,

〃的方程為/+產(chǎn)一2元+2y-3=0,

即(L1)2+0+1)2=5.

方法三設(shè)A(3,O),B(O,1),0M的半徑為r,

則&B=W^=—g,AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(I，1

'3'

：.AB的垂直平分線方程為廠3=31L1

即3%一廠4=0.

3x—y—4=0,x=l,

聯(lián)立，“T=。，解得

尸一1，

-1),

.?.戶=|又如2=(3—1)2+[0—(-1)]2=5,

，。用的方程為(X—1)2+。+1)2=5.

(2)直線/過定點(diǎn)(1,-2),過點(diǎn)p(—1,0)作/的垂線，垂足為M,已知點(diǎn)N(2,l),則IMN的最

大值為?

答案3g

解析設(shè)點(diǎn)4(1,-2),依題意知

所以點(diǎn)M的軌跡是以AP為直徑的圓，

圓心C的坐標(biāo)為(0,-1),

半徑為R=^\AP\=y[2,

又N(2,l)為圓外一點(diǎn)，

所以|MNmax=|NC|+R=、(2—0)2+(1+1)2+也=34.

考點(diǎn)三直線、圓的位置關(guān)系

【核心提煉】

1.直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離.

其判斷方法為：

⑴點(diǎn)線距離法.

(2)判別式法：設(shè)圓C:(無一a)2+(y-6)2=?,直線/：Ar+By+C=0(A2+B2#0),方程組

|Ar+B.y+C=O,

[(x-a)2+(y—Z7)2=r,

消去y,得到關(guān)于x的一元二次方程，其根的判別式為/,則直線與圓相離臺(tái)/<0,直線與圓

相切<=>/=0,直線與圓相交㈡/>0.

2.圓與圓的位置關(guān)系，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離.

考向1直線與圓的位置關(guān)系

例3(1)(2022.南通模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線or—y+2=0與圓C：f+y?—2x—

3=0交于A,8兩點(diǎn)，若鈍角△ABC的面積為小，則實(shí)數(shù)a的值是()

A.B.

答案A

解析由圓C：-2%—3=0,

可得圓心坐標(biāo)為C(l,0),半徑為r=2,

因?yàn)殁g角AABC的面積為3，

則SAABC—2x2X2sinZACB=-\[3,

解得sin/ACB=*,

所以/ACB=華，

可得|48|=2小，

又由圓的弦長公式，可得2也二7=2小,

解得d=1,

|〃+2|,3

根據(jù)點(diǎn)到直線ax—y+2=0的距離公式d=解得〃=一[

4次+1=i,

(2)(2022?新高考全國II)設(shè)點(diǎn)A(—2,3),3(0,d),若直線A5關(guān)于y=a對(duì)稱的直線與圓(x+3)2

+。+2)2=1有公共點(diǎn)，則。的取值范圍是.

2口3]

合案L3;2

解析方法一由題意知點(diǎn)4—2,3)關(guān)于直線y=a的對(duì)稱點(diǎn)為A'(—2,2a—3),

3—CL

所以3B=-2~，

3—a

所以直線A'3的方程為y=^r+a,

即(3—d)x—2y+2a=0.

由題意知直線A'8與圓(尤+3)2+。+2)2=1有公共點(diǎn),

易知圓心坐標(biāo)為(-3,-2),半徑為1,

|—3(3—<3)+(—2)X(—2)+2a|

所以Wl,

-7(3-a)2+(-2)2

整理得6a2—1B+3W0,解得1號(hào)3，所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是ri慘]3

方法二易知(x+3)2+(y+2)2=l關(guān)于〉軸對(duì)稱的圓的方程為(X-3)2+(J+2)2=1,

由題意知該對(duì)稱圓與直線AB有公共點(diǎn).直線AB的方程為>=用當(dāng)十°,

即(a—3)x—2y+2。=0,

又對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)為(3,-2),半徑為1,

|3(a-3)+(-2)X(-2)+2a|

所以<i

^/(a-3)2+(-2)2

I3rI3

整理得6a2—”a+3W0,解得亨aW宗所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是修五

方法三易知(x+3)2+(y+2)2=l關(guān)于y軸對(duì)稱的圓的方程為(X—3)2+。+2)2=1,

由題意知該對(duì)稱圓與直線AB有公共點(diǎn).

設(shè)直線AB的方程為y—3=k(x+2),

即kx—y+3+2Z=0,

因?yàn)閷?duì)稱圓的圓心坐標(biāo)為(3,-2),半徑為I,

所以湍二尸,解得-扛-q，

又％=罔之所以一拄巴"?一I，

解得地I尋3，

n3'

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是心，2

考向2圓與圓的位置關(guān)系

例4(1)(2022?武漢模擬)圓Ci：。-2)2+。-4)2=9與圓C2：。-5)2+產(chǎn)=16的公切線條數(shù)

為()

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析依題意得，圓G的圓心Ci(2,4),半徑4=3,圓C2的圓心C2(5,0),半徑&=4,⑹③

=4(2—5)2+42=56(1,7),故圓G與C2相交，有2條公切線.

(2)(2022?益陽調(diào)研)已知直線/：x—y+l=0,若尸為/上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作。C：(龍一5)2+9

=9的切線B4,PB,切點(diǎn)為A,B,當(dāng)IPCHABI最小時(shí)，直線的方程為.

答案無一y—2=0

解析OC：。-5)2+產(chǎn)=9的圓心C(5,0),半徑r=3,

四邊形PACB的面積

S=^\PC\-\AB\=2S^PAC=\PA\-\AC\

=3解|=31|PCF—9,

要使IPCHA8I最小，則需|PC|最小，

當(dāng)PC與直線/垂直時(shí)，|PC|最小，

此時(shí)直線PC的方程為y=—x+5,

\y=x+l,

聯(lián)立一解得尸(2,3),

[y=—x+5,

則以PC為直徑的圓的方程為

I〉號(hào),

則兩圓方程相減可得直線的方程為x—y—2=0.

規(guī)律方法直線與圓相切問題的解題策略

直線與圓相切時(shí)，利用“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于

切線斜率的等式，所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式.過圓外一點(diǎn)求解切線段長的問題，可

先求出圓心到圓外一點(diǎn)的距離，再結(jié)合半徑利用勾股定理計(jì)算.

跟蹤演練3(1)(多選X2022?湖北七市(州)聯(lián)考)已知直線Z：kx-y-k+l=Q,圓C的方程為(x

—2)2+0+2)2=16,則下列選項(xiàng)中正確的是()

A.直線/與圓C一定相交

B.當(dāng)左=0時(shí)，直線/與圓C交于N兩點(diǎn)，點(diǎn)E是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則面積的最

大值為3幣

C.當(dāng)/與圓有兩個(gè)交點(diǎn)M,N時(shí)，也見的最小值為2加

D.若圓C與坐標(biāo)軸分別交于A,B,C,。四個(gè)點(diǎn)，則四邊形ABC。的面積為48

答案AC

解析直線/：kx-y-k+1^0過定點(diǎn)尸(1,1),(1-2)2+(1+2)2<16,尸在圓內(nèi)，因此直線/

一定與圓C相交，A正確；

當(dāng)左=0時(shí)，直線為y=l,代入圓的方程得(x—2尸+9=16,解得x=2域，因此|四川=2巾，

因?yàn)閳A心C(2,-2),半徑r=4,圓心到直線/的距離1=3,因此點(diǎn)E到直線/的距離的最

大值〃=4+3=7,

所以面積的最大值S=；X7X2巾=7巾，B錯(cuò)誤；

當(dāng)/與圓有兩個(gè)交點(diǎn)M,N時(shí)，當(dāng)最小時(shí)，

PC±/,|PC|=^/(l-2)2+(l+2)2=VT0.

因此|MMmin=2嚴(yán)N7W=2加，C正確；

在圓的方程(x—2>+(y+2)2=16中，分別令x=0和y=0,求得圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(2

—2小,0),8(2+2小，0),C(0,-2+2^3),

D(0,—2—2?則|48|=44，\CD\=4yf3,

所以四邊形ABC。的面積S'=1x4^3X4^3=24,D錯(cuò)誤.

(2)(2022?新高考全國I)寫出與圓和(x—3)2+(y—4)2=16都相切的一條直線的方程

答案x=-l或7x—24y—25=0或3x+4y—5=0(答案不唯一，只需寫出上述三個(gè)方程中的

一個(gè)即可)

解析如圖，因?yàn)閳A/+/2=1的圓心為。(0。)，半徑廠［=1,圓Q—3)2+。-4產(chǎn)=16的圓心

為4(3,4),半徑r2=4,

所以|。4|=5,n+冷=5,所以|。川=廠1+廠2,所以兩圓外切，公切線有三種情況：

①易知公切線Zi的方程為尤=-1.

②另一條公切線/2與公切線/1關(guān)于過兩圓圓心的直線/對(duì)稱.

易知過兩圓圓心的直線I的方程為y=1x,

x=—l9-1,

由,4得,4

［尸尹y，,

由對(duì)稱性可知公切線L過點(diǎn)(一1，一：).

4

設(shè)公切線/2的方程為y+q=%a+l),

則點(diǎn)0(0,0)到/2的距離為1,

k」

37

所以解得k=五，

y/kz+l/a

所以公切線，2的方程為y+g=，a+l),

即7x-24y-25=o.

43

③還有一條公切線b與直線/：y=gx垂直，設(shè)公切線/3的方程為y=—三+"

易知t>0,貝！］點(diǎn)0(0,0)到b的距離為1,

解得/=土或*舍去),

所以公切線6的方程為y=—%+"

即3x+4y—5=0.

綜上，所求直線方程為x=~l或7x—24y—25=0或3x+4y—5=0.

專題強(qiáng)化練

一、單項(xiàng)選擇題

1.直線/經(jīng)過兩條直線無一丫+1=0和2x+3y+2=0的交點(diǎn)，且平行于直線x—2y+4=0,

則直線/的方程為()

A.x—2y—1=0B.x—2y+l=0

C.2x—y+2=0D.2x~\~y—2=0

答案B

fx—y+l=0,1

解析由c「i八得兩直線交點(diǎn)為(一1,0)，直線/的斜率與x—2y+4=o相同，為5,

〔21+3〉+2=0乙

則直線I的方程為y-0=1(x+l),

即x—2y+1—0.

2.(2022?福州質(zhì)檢)已知A(—0),B電,0),C(0,3)，則△ABC外接圓的方程為()

A.(X-1)2+/=2

B.(X-1)2+/=4

C.r+?一1尸2

D.1)2=4

答案D

解析設(shè)△ABC外接圓的方程為(x—。)2+。-b)2=d

卜一木—a)2+(0—6)2=’,a—0,

則有《(A/3—a)2+(0—/?)2=r2,

解得6=1，

一療+(己

1(03-4=、r=2.

則△ABC外接圓的方程為一+。-1)2=4.

3.(2022.新高考全國II)圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，A4',BB',CC',DD'是

桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其

中?？?，CCi，BBi，44i是舉，OG，DC!，CBi，84是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別

為篇=0.5,罷=依，繆=依，魯=依.已知質(zhì)，依，總成公差為0」的等差數(shù)列，且直線

UU\UCiCnjDA\

OA的斜率為0.725,則依等于()

A.0.75B.0.8

C.0.85D.0.9

答案D

解析設(shè)ODi=DCi=CB尸BAi=1,

則CC1=A1,BBi—k2,AAl—ki,

依題意，有％3—0.2=/1,上3—0.1=左2,

DD1±CC1±BB1±AAL

ODi+DCi+CBi+BAi'

0.5+3上一0.3

所以

4=0.725,

故依=0.9.

4.過圓C：(x-l)2+/=l外一點(diǎn)P作圓C的兩條切線PA,PB,切點(diǎn)分別為A,B,若PA±PB,

則點(diǎn)尸到直線/：尤+廠5=0的距離的最小值為()

A.1B.^2C.2^/2D.3陋

答案B

解析因?yàn)檫^圓C：(x—l)2+y2=i外一點(diǎn)尸向圓c引兩條切線B4,PB,切點(diǎn)分別為A,B,

由可知，四邊形CAP2是邊長為1的正方形，所以|CP|=啦，

所以尸點(diǎn)的軌跡是以C(l,0)為圓心，'「為半徑的圓，則圓心C(l,0)到直線/：x+y—5=0的

距離1=艮段9=方=2吸，所以點(diǎn)尸到直線I：x+廠5=0的最短距離為d-r=2yf2-y[2

=V2.

5.與直線x—y—4=0和圓(x+l)2+(j—1>=2都相切的半徑最小的圓的方程是()

A.(x+1)2+3+1)2=2

B.(x+1)2+8+1)2=4

C.(X-1尸+3+1)2=2

D.(x-l)2+(y+l)2=4

答案C

解析圓(x+l)2+(y—1>=2的圓心坐標(biāo)為(一1,1),半徑為表，過圓心(一1,1)與直線x—y—4

=0垂直的直線方程為x+y=O,所求圓的圓心在此直線上，又圓心(一1,1)到直線x—y—4=0

的距離為1=3陋，則所求圓的半徑為陋，設(shè)所求圓的圓心為(a,b),且圓心在直線x+y=0

上'所以~市—=小,且〃+/?=0,解得a=l,b=-l(a=3f/?=-3不符合題意，舍去)，

故所求圓的方程為(x—l)2+(y+1尸=2.

9

22

6.已知圓。f+y2=w，圓M：(x—a)+(y—l)=lf若圓”上存在點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作圓O

的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,使得則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[-V15,V15]

B.[一小,^3]

C.他,y/15]

D.[-V15,一洞“小，V15]

答案D

3

解析由題可知圓。的半徑為東圓〃上存在點(diǎn)P,過點(diǎn)尸作圓。的兩條切線，切點(diǎn)分別為

JTTT

A,B,使得乙4尸2=?則/4尸0=不

在RtAR4O中,|尸。|=3,

點(diǎn)P在圓x2+y2=9上，

由于點(diǎn)尸也在圓M上，故兩圓有公共點(diǎn).

又圓M的半徑等于1,圓心坐標(biāo)M(a,1),

；.3-lWQMW3+l,

；.20/a2+lW4,

：.a^[-y[15,一事]U他,y/15].

7.已知圓G：(尤+6)2+。-5)2=4,圓C2：(無一2)2+。-1)2=1,M,N分別為圓G和C2

上的動(dòng)點(diǎn)，尸為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則1PM+|PN|的取值范圍是()

A.[6,+°°)B.[7,+8)

C.[10,+8)D.[15,+°°)

答案B

解析Ci(-6,5),C2(2,l),CI關(guān)于無軸的對(duì)稱點(diǎn)為C3(—6,-5),

故|PCi|+|PC2|2|C2c3|=、64+36=10,

又兩圓的半徑分別為2,1,

則|PM+|PN|》10—2—1=7,

故IPM+IPN的取值范圍是［7,+8).

8.(2022?荷澤質(zhì)檢)瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位

于同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中作△ABC,

|AB|=|AC|,點(diǎn)2(—1,1),點(diǎn)C(3,5),過其“歐拉線”上一點(diǎn)P作圓O：x2+y2^4的兩條切線，

切點(diǎn)分別為M,N,則|MN|的最小值為()

A.y[2B.2y[2

C.小D.2小

答案B

解析由題設(shè)知BC的中點(diǎn)為(1,3),

“歐拉線”斜率為左=一；=—1,

kBC

所以“歐拉線”方程為y—3=—(x—1),

即x~\~y—4—0,

又。到x+y—4=0的距離為1=言2,即“歐拉線”與圓。相離，

要使|MN|最小，則在RtAPMO與R3N0中，NMOP=ZNOP最小，即ZMPN最大，

而僅當(dāng)。尸，“歐拉線”時(shí)，/MPN最大,

所以d=|OP|=245,

則|M7V|=2rsinNNOP,

一r、歷

且圓O半徑丫=2,cosNNOP=/=，，

所以sin/NOP=^-,EP|MA^niin=2V2.

二、多項(xiàng)選擇題

9.已知直線/過點(diǎn)(3,4),點(diǎn)A(—2,2),8(4,—2)到/的距離相等，則/的方程可能是()

A.x—2y+2=0B.2x—y—2=0

C.2尤+3y—18=0D.2%-3y+6=0

答案BC

解析當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=3,此時(shí)點(diǎn)A到直線/的距離為5,點(diǎn)B

到直線/的距離為1,此時(shí)不成立；

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y-4=%(x—3),即fcc—y+4-34=0,

?.?點(diǎn)4(—2,2),2(4,-2)到直線2的距離相等,

.|一2左一2+4—3總|44+2+4—3川

yjlc+l:丁+1

2

解得上=—§或k=2,

2?

當(dāng)左=—§時(shí)，直線/的方程為y—4=一§(x—3),整理得2x+3y—18=0,

當(dāng)左=2時(shí)，直線/的方程為y—4=2(x—3),整理得2x—y—2=0.

綜上，直線I的方程可能為2x+3y—18=0或2x—y—2=0.

10.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為d+V—4x=0.若直線＞=左@+1)上存在一點(diǎn)P,使

過點(diǎn)尸所作的圓的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)左的可能取值是()

A.1B.2C.3D.4

答案AB

解析由V+y?—4x=0,得(x—2)2+)?=4,

則圓心為C(2,0),半徑r=2,過點(diǎn)尸所作的圓的兩條切線相互垂直，設(shè)兩切點(diǎn)分別為A,B,

\2k~0+k\

連接AC,8C,所以四邊形E4CB為正方形，即PC=pr=2吸，圓心到直線的距離d=

5+超

W26，

即一2市,WkW2也

所以實(shí)數(shù)%的取值可以是12

11.(2022?南通模擬)已知P是圓。：f+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)，直線(：尤cos0+ysin。=4與松

尤sin，一ycos6=1交于點(diǎn)。，貝!1()

A.ZiJ_/2

B.直線/i與圓。相切

C.直線/2與圓。截得弦長為2小

D.|PQ長的最大值為加+2

答案ACD

解析圓。半徑為2,

cos夕sin8+sin夕（一cos3）=0,

所以A正確；

4

圓心。到/i的距離為d=4>2,

^/cos20+sin20

/i與圓O相離，B錯(cuò)誤；

圓心。到直線辦的距離為

1

d'1,

<\/sin20+(—cos02

所以弦長為2^22—y=25,C正確；

[xcos8+ysin8=4,

由],

[xsin夕一ycos8=1,

|x=4cos6+sin3,

得

[y=4sincos0,

即Q(4cos9+sin0,4sincosff),

所以IOQ\=q(4cos夕+sin6)2+(4sin。一cos3f

=5，所以|PQ的最大值為行+2,D正確.

12.(2022?龍巖質(zhì)檢)已知點(diǎn)尸(xo,%)是直線/：x+y=4上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓。：x2+/=2

的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,連接OA,OB,貝!]()

A.當(dāng)四邊形OAPB為正方形時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,2)

B.|以|的取值范圍為[加，+8)

C.當(dāng)△研2為等邊三角形時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,3)

D.直線A8過定點(diǎn)弓，

答案BD

解析對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)四邊形。4尸2為正方形時(shí)，

^]\OA\=\OB\=\AP\=\BP\,

,圓0\x^~\~y^=2.=^r='^2,

.?.|PO|=A(M)2+(M)2=2.

又點(diǎn)尸(沏，yo)是直線/：x+y=4上的一點(diǎn)，

設(shè)P(XQ,4—XO),

：.\PO\=^/(XO-O)2+(4-XO-O)2

=、2埔一8尤o+16=2,

即看一4xo+6=O,該方程/<0,尤o無解，

故不存在點(diǎn)P使得四邊形04PB為正方形，

A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，由A知，

\PA\7Poi2一|OA|2=N|PO|2一2,

又尸。|2=焉+(4—尤o)2=2局一8無o+16

=2(均一2)2+8三8,

.?.|P0|2—2N6,則|以|》加，

即B4的取值范圍是［加，+°°）,故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,若為等邊三角形，

易知NAPB=60。，又OP平分

/.NAPO=N2PO=30°.

在RtZVR4。中，由于|。4|=也，

Asin30。=隘/0口=2g.

又P點(diǎn)坐標(biāo)為（M）,4—xo）,

I.焉+（4—刈）2=8,

即2焉一8&+8=00（陽）一2月=0,

xo=2,yo=2,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,???尸（刈，4—必），

???|尸0|2=焉+（4—的）2=2看一8的+16,

記。尸的中點(diǎn)為。怎，生式則以。為圓心，苧為半徑的圓與圓。的公共弦為AB,

???圓D方程為野+（廠與斗

=：（2郊一8x0+16）,

整理得xz+y2—xox—（4—xo）y=O,

、、［x2+y2—xox—（4—xo）y=O,

聯(lián)立j212c

〔必+尸2,

化簡得xox+（4—xo）y=2,

即得直線方程為xox+（4—xo）y—2=0,

將x=y=T代入方程恒成立，

故直線AB過定點(diǎn)弓，￡）,D正確.

三、填空題

13.與直線2x—y+l=0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線的方