2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)南市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知函數(shù)/（x）=ex-%2,則:。"1+髭一"1）=（）

A.e—2B.e—1C.e+1D.e+2

2.用1,2,3,4這四個(gè)數(shù)能夠組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.9B.12C.16D.24

3.對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖散點(diǎn)圖，將四組數(shù)據(jù)對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行比較，貝式）

相關(guān)系數(shù)為r,,

4.(/+妥+2)2的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為()

A.2B.4C.6D.12

5.連續(xù)型隨機(jī)變量X?N(5?2),若P(XZ7)=0.2,P(X>8)=0.1,貝上(2<X<7)=()

A.0.8B.0.7C.0.6D.0.4

6.定義在R上的函數(shù)/"（X）的導(dǎo)函數(shù)為/Q）,若［（x）>3,/（2）=6,則/（%）>3%的解集為（）

A.(―8,0)B.(—8,2)C.(0,+oo)D.(2,+oo)

7.由若干根相同的木棍組成如圖所示的長方體框架，一只螞蟻從點(diǎn)P出發(fā)，沿木棍爬行到點(diǎn)Q的最短路徑有

()

A.15種

B.30種

C.48種

D.60種

8.甲同學(xué)參加綜合素質(zhì)測試，該測試共有6個(gè)項(xiàng)目.已知甲同學(xué)每個(gè)項(xiàng)目合格的概率均為p（0<p<l）,合

格得3分，不合格扣2分，且各項(xiàng)目是否合格相互獨(dú)立.設(shè)6個(gè)項(xiàng)目測試完后甲的總得分為丫，期望為E（Y）,

方差為。（丫），當(dāng)E（y）+D（y）最大時(shí)，p=（）

1132

A-5B4C5D3

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知(1一久)"的展開式中僅第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，貝!1()

A.n=6B.含x項(xiàng)的系數(shù)為15

C.各二項(xiàng)式系數(shù)和為64D.各項(xiàng)系數(shù)和為64

10.已知函數(shù)/1(%)=(%+2)(%-1)2,則()

A.f(x)的極大值為4B.對VxeR,f(久)+/(-%)=4

(2./(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一1,1)D.當(dāng)0<x<l時(shí)，0<〃2久一1)<4

11.4與B兩人玩游戲，4有標(biāo)號為1,2,3,九(九N1)的幾張卡片，B有標(biāo)號為1,2,3,n,九+1的

幾+1張卡片.規(guī)則如下：①雙方交替從對方手中抽取一張卡片，若抽到的卡片與自己手中的某張卡片數(shù)字

相同，則將這兩張卡片丟棄；②力先從B手中抽??；③當(dāng)有一位玩家手中沒有卡片時(shí)，該玩家獲勝，游戲

結(jié)束.記4有n張卡片，B有幾+1張卡片時(shí)，4獲勝的概率為外，則()

A.若n=3,貝恰好在兩人共抽取4次后獲勝的概率為號

1

BD.Pl=5

=3.1

C.Pi=-pr+g

n_1014

D-「2025-醞

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.口袋中有大小、形狀均相同的3個(gè)紅球，2個(gè)白球，從中任取兩個(gè)球，則取到的兩個(gè)球顏色相同的概率

為.

13.兩個(gè)相關(guān)變量％,y的一組數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表：

X23456

y2.83.13.33.84.0

根據(jù)上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=+a中的b為0.31,據(jù)此經(jīng)驗(yàn)回歸方程，當(dāng)％=7時(shí)，y的預(yù)測值為

14.過點(diǎn)(0,a)可以作曲線丫=卷的三條切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

從某校高一年級全體學(xué)生中隨機(jī)抽取120人，進(jìn)行文理選科傾向調(diào)查，得到如表列聯(lián)表:

性別

男生女生合計(jì)

傾向

偏理科4090

偏文科10

合計(jì)60120

(1)請完成上述2x2列聯(lián)表；

(2)從女生中隨機(jī)抽取一人，求該女生是偏文科生的概率；

(3)根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析性別與選科傾向是否有關(guān).

參考數(shù)據(jù)：

a0.10.050.01

2.7063.8416.635

2

n(ad—bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

16.(本小題15分)

已知函數(shù)/(x)=ex(x2-2ax+1)在x=1處取得極值.

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若/(久)一/cW0在(一8,2］上恒成立，求k的取值范圍.

17.(本小題15分)

(1)證明：kCn=其中IWkWn,n>2；

(2)化簡：或+2++3鬣+4盤+.“+nC廠】+5+1)4,其中nN2.

18.(本小題17分)

甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行猜拳游戲，規(guī)則如下：累計(jì)負(fù)兩局者被淘汰；隨機(jī)確定第一局的游戲者，另一人

輪空；每局游戲的勝者與輪空者進(jìn)行下一局游戲，負(fù)者下一局輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰

后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，游戲結(jié)束.設(shè)每局游戲雙方獲勝的概率

都為

(1)求甲獲得第二局比賽勝利的概率；

(2)在甲獲得第二局比賽勝利的條件下，第一局是由甲、乙進(jìn)行游戲的概率；

(3)已知第一局是由甲、乙進(jìn)行游戲，記丙參加游戲的局?jǐn)?shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

19.(本小題17分)

已知函數(shù)/'(%)=xalnx—x.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，討論函數(shù)/(久)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)％E(1,+8)時(shí)，不等式f(%)+1<0恒成立，求Q的取值范圍;

(3)設(shè)neN*,證明：表+擊+強(qiáng)+…+7^^>In"2n+1.

答案解析

1.【答案】A

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)/。）=1—％2,

所以1（%）=ex-2%,

所以/二。足+?V⑴=1（l）=e-2.

AxJyy

故選：A.

由導(dǎo)數(shù)的定義可知0*1+乎-f（D=（。），再結(jié)合求導(dǎo)公式求解即可.

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：用1,2,3,4這四個(gè)數(shù)能夠組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)個(gè)數(shù)為題=24個(gè).

故選：D.

根據(jù)排列數(shù)公式直接可得.

本題考查排列數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：根據(jù)相關(guān)系數(shù)性質(zhì)，即相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1,變量的相關(guān)性越強(qiáng),

由圖可得后兩幅圖呈正相關(guān)，貝1J0<%<4，

前兩幅圖呈負(fù)相關(guān)，則巳<72<0,

則q<r2<r3<r4.

故選：A.

根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可解.

本題考查相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

4.【答案】C

【解析】解：因?yàn)?1+2）2=[（%+；）2]2=（X+34,

所以常數(shù)項(xiàng)為4/??）2=6.

故選：C.

將已知多項(xiàng)式化為二項(xiàng)式，再根據(jù)二項(xiàng)式定理化簡即可求解.

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：已知連續(xù)型隨機(jī)變量X?N(5R2),則對稱軸為X=5,

若P(X>7)=0.2,P(X>8)=0.1,

則P(X<2)=P(X>8)=0.1,則P(X>2)=1-0.1=0,9,

則P(2<X<7)=P(X>2)-P(X27)=0.9-0.2=0.7.

故選:B.

根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性可解.

本題考查正態(tài)分布曲線的對稱性相關(guān)知識，屬于中檔題.

6.【答案】D

【解析】解:令。(久)=/(x)-3x,

因?yàn)槭?x)>3,

所以g'Q)=f(x)-3>0,

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)閒(2)=6,所以g(2)=f(2)-6=0,

由/'(x)>3x可得/'(x)—3x>0,

即9(X)>

所以x>2.

故選：D.

令g(x)=f(x)-3x,先對g(x)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解不等式?

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：由題意可知，從點(diǎn)P到點(diǎn)Q的最短路徑需要經(jīng)過3條水平的棱、1條豎直的棱和2條橫向的棱,

所以最短路徑有底?廢?廢=60.

故選：D.

利用排列組合知識，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.

本題主要考查了排列組合知識，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：依題意，合格項(xiàng)目的個(gè)數(shù)X滿足X?8(6,p),

則E(X)=6p,D(X)=6p(l-p),

由每個(gè)項(xiàng)目合格得3分，不合格扣2分，得甲的總得分y=3X—2(6—X)=5X—12,

因此E(y)=5E(X)-12=30p-12,D(Y)=25D(X)=150p(l-p),

貝i|E(y)+D(Y)=-150p2+180p-12=-150(p—|)2+42,又0<p<1,

所以當(dāng)p=卷時(shí)，E(T)+。⑺取得最大值42.

故選：C.

根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)分布的期望、方差公式，結(jié)合、方差的性質(zhì)列式求出最大值.

本題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列和期望，屬于中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：對于4第4項(xiàng)系數(shù)最大，則該項(xiàng)為中間項(xiàng)，共7項(xiàng)，n=6,A正確；

對于含％的項(xiàng)為盤(-工)=-6,B錯(cuò)誤；

對于C,各二項(xiàng)式系數(shù)之和為26=64,C正確；

對于。，令x=l,可得各項(xiàng)系數(shù)之和為0,。錯(cuò)誤.

故選：AC.

根據(jù)題意求出幾，而后結(jié)合選項(xiàng)分析即可.

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABD

【解析】解：f'(x)-(x-I)2+2(久+2)(%-1)=3(x-l)(x+1),

當(dāng)x>1或比<—1時(shí)，/'(%)>0,當(dāng)一1<x<1時(shí)，f，(x)<0,

故/(X)在(一8,-1)和(1,+8)上單調(diào)遞增，在(—1,1)上單調(diào)遞減，

故尤=一1時(shí)，函數(shù)取得極大值/'(-1)=4,A正確，C錯(cuò)誤；

/(x)+/(—x)=(%+2)(x—I)2+(―x+2)(—x—I)2=爐_3%+2—*3+3*+2=4,B正確；

當(dāng)0<%<1時(shí)，一1<2*-1<1,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，

所以/⑴</(2x—1)</(—1),

即0<f(2x—1)<4,。正確.

故選：ABD.

先對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可求解.

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】AD

【解析】解：選項(xiàng)A：當(dāng)n=3時(shí)，8恰好在4次抽取后獲勝的情況需滿足，前4次抽取后8無卡片：

第1次(4抽B)：8有4張卡(1-4),4抽中1—3的概率為:匹配，B卡數(shù)減1),抽中4的概率為J(不匹配，B

44

卡數(shù)減1）;

第2次（B抽力）：B抽中4的卡（1一3）必匹配（因B有1一4）,B卡數(shù)減1；

第3次（4抽B）：8剩余2張卡，4抽中匹配卡的概率為■若B剩余卡含力的卡）或不匹配；

第4次（8抽A）：B需抽中最后一張匹配卡使卡數(shù)為0,綜合計(jì)算得概率為盤，故A正確；

選項(xiàng)2：當(dāng)n=l時(shí)，4有［1］,B有［1,2］；4第一次抽中1的概率：（4勝）；

抽中2的概率,此時(shí)力有［1,2］,B有［1］；B抽中1的概率加勝）；

抽中2的概率,此時(shí)B有［1,2］,力有［1］,

后續(xù)循環(huán)中4獲勝概率為Pi=1+：xjxp］，P1=|故8錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C:假設(shè)Pn遞推關(guān)系為P"=肅yPn-l+…，

但P3=}+|=|x|+j=|^y,故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D分析：通過歸納可得外=成%，

當(dāng)"2025時(shí)，「2。25=熬=嘿約等于瑞，故。正確?

故選：AD.

選項(xiàng)人按抽取順序，分析每次抽取時(shí)4B抽中特定卡片的概率，利用分步乘法原理算B在4次抽取后獲

勝概率；

選項(xiàng)8：確定初始卡片，分析4B每次抽取的不同結(jié)果，建立4獲勝概率方程求解并判斷；

選項(xiàng)C：假設(shè)pn遞推關(guān)系，代入已知pi，P3值驗(yàn)證遞推關(guān)系是否成立；

選項(xiàng)。：用歸納出的「九公式，代入n=2025計(jì)算并約算判斷.

本題考查九重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布，屬于中檔題.

12.【答案】|

【解析】解：口袋中有大小、形狀均相同的3個(gè)紅球，2個(gè)白球，

從中任取兩個(gè)球的所有取法共有廢=10種，

則取到的兩個(gè)球顏色相同的情況有廢+廢=4種，

故概率P=4=|?

故答案為：

先求出所有取球的取法，然后求出顏色相同的結(jié)果數(shù)，然后結(jié)合古典概率公式即可求解.

本題主要考查了古典概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】4.33

rA73j.r-1癡J士曰十國日而*—24-3+4+5+6.-2.8+3.1+3.3+3.8+4.0.

【解析】解：根據(jù)題忌，x=---------=4,y=----------------=3Q.4,

又經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+a中的b為0.31,即y=0.31x+a,

將中心點(diǎn)代入，即3.4=0.31X4+a,則a=2.16,

則經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.31x+2.16,

當(dāng)x=7時(shí)，y的預(yù)測值為4.33.

故答案為：4.33.

根據(jù)線性回歸方程相關(guān)知識可解.

本題考查線性回歸方程相關(guān)知識，屬于中檔題.

14.【答案】(0合

【解析】解：因?yàn)閥=/(x)=親所以"%)=崇，

設(shè)過點(diǎn)(0,a)的切線切曲線/(乃=宗于點(diǎn)(*)，

則切線方程為"探二寧。一)，又其過點(diǎn)(。⑷，

所以。一5=寧(_。，所以根據(jù)題意該方程有3解，

即a=1有3解，

el

所以y=a與y-g(t)=/有3個(gè)交點(diǎn)，

又“《)=等，

所以當(dāng)te(-8,0)時(shí)，g'(t)v0,g?單調(diào)遞減;

當(dāng)tw(0,2)時(shí),y(t)>0,g(t)單調(diào)遞增;

當(dāng)te(2,+8)時(shí)，“o<o,g(t)單調(diào)遞減；

所以g(t)的極小值為g(0)=0,極大值為g(2)=2，

且當(dāng)力7-8時(shí)，g(t)T+8;當(dāng)t-?+8時(shí)，g(t)T0；

所以要使y=a與y=g(t)=、有3個(gè)交點(diǎn)，

則需ae(0,?

故答案為：(。3).

設(shè)過點(diǎn)(0,a)的切線切曲線f(x)=宗于點(diǎn)(*),從而可得切線方程為—又其過點(diǎn)(0,a),

22

進(jìn)而可得a=宏有3解，從而可得y=a與y=g(t)=會有3個(gè)交點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，即可求

解.

本題考查函數(shù)的切線問題的求解，屬中檔題.

15.【答案】列聯(lián)表見解析；

1

3；

認(rèn)為性別與選科傾向有關(guān).

【解析】(1)2x2列聯(lián)表如下：

性別

男生女生合計(jì)

傾向

偏理科504090

偏文科102030

合計(jì)6060120

(2)女生共60人，其中偏文科20人，概率為：P=^=1；

2=120X(50X20-40X10)2=120x60()2?

I〃(50+40)(10+20)(50+10)(40+20)90x30x60x60?''

因?yàn)?.444>3.841=XoQ5,所以在小概率值a=0.05下，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為性別與選科傾向有關(guān).

(1)根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)即可求解；

(2)根據(jù)概率的性質(zhì)即可求解；

(3)根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的性質(zhì)即可求解.

本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】a=l.

[e2,+oo).

【解析】(l)f'(x)=ex(x2-2ax+1)+ex(2x-2a)=ex[x2—(2a-2)x+1—2a]=ex(x+1—2a)(x+

1)，

因?yàn)閒(久)在x=1處取得極值,

所以/''(1)=0,得a=1.

(2)由(1)知/(久)=ex(x2—2x+1)=ex(x—I)2,

若/(%)-k<。在(-8,2]上恒成立，則/(x)<k在(-8,2]上恒成立,

所以只需k2FCOmax，xG

/z(x)=ex(x—1)2+ex-2(x-1)=ex(x2—1),

令f'(x)=O,得久=±1,

所以在(一8,-1)上，f'(x)>0,f。)單調(diào)遞增,

在(-1,1)上,/(%)<0,7?(￡)單調(diào)遞減,

在(1,2)上，f3>0,“X)單調(diào)遞增，

所以在x=1處取得極大值/(I)=0,

又/'(2)=e2,

所以〃久)在(-8,2]上的最大值為e2,

所以k2e2,

所以k的取值范圍為忸2,+00).

(1)求導(dǎo)，并令((1)=0,解得a,即可得出答案.

(2)問題可轉(zhuǎn)化為只需k2/(嗎加磔，xe(—8,2],即可得出答案.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.【答案】證明過程見解析;

2n-1(n+2).

【解析】(1)證明：左邊=譚不(々一1)!(九—k)!'右邊九C、」=nx(k-1)![(九—I)—(攵-1)]!二

(n—1)!_n!

(/c-l)!(n-/c)!=(々-1)!(八一/:)!'

因此左邊等于右邊，

故卜普=nC'H成立；

(2)設(shè)S=C°+2碎+3鬣+-+(n+1)翁，

kC

則S=Xfc=o(+i)n=Zfc=O卜然+Zfc=0就,

其中》=0噂=2巳

對于￡2=okCt，當(dāng)k=0時(shí)項(xiàng)為0,

所以可寫為￡￡=通匿，

由(1)的結(jié)論/(:或=nCn~l>

則&=ikCgna=i以1=n乎藍(lán)勰］(令巾=k-1)，

而用二鵬1=2^1，

因此￡h0上制=nx2"T,

綜上，S=nx2n-1+2n=2nT(n+2).

(1)利用組合數(shù)公式證明即可；

(2)利用組合數(shù)公式求解即可.

本題主要考查了組合數(shù)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

18.【答案I"；

1

4；

分布列見詳解；等.

O

【解析】(1)根據(jù)題意，第一局中的游戲者可以為甲乙，甲丙，乙丙，對應(yīng)事件設(shè)為A1，A2,人3,

1

P(&)=P(A2)=P(43)=總

設(shè)甲獲得第二局比賽勝利為事件B,若甲在第一局參加比賽則必須獲勝，且在第二局也獲勝，

若甲第一局未參加比賽，則只需在第二局獲勝即可，

111111

所以P(B)=P(4)xjxj+P(A2)x|xj+P(A3)x1=i

甲獲得第二局比賽勝利的概率全

(2)由題知P(&B)=gX■H今P⑷B)==*=［，

Q乙乙J.乙1J-1"

所以甲獲得第二局比賽勝利的條件下，第一局是由甲、乙進(jìn)行游戲的概率為

q

(3)由題知比賽最多進(jìn)行5局，則X的取值可以為2,3,4,

111

X-

X=2時(shí)，丙分別在第2局和第4局輸了比賽，所以P(X=2-2-4-

1111

X=4時(shí)，丙在2,3局獲勝，第4局輸，第5局繼續(xù)比賽，所以P(X=4)2-2-2-8-

11q

所以P(X=3)=1—P(X=2)-P(X=4)=1-

4oo

則分布列為:

X234

151

P

488

1Si23

E(X)=2xi+3x|+4xi=f.

(1)根據(jù)題意分情況列舉即可；

(2)結(jié)合(1),再利用條件概率公式即可求解；

(3)由題知，對局?jǐn)?shù)最多5局，X的取值可以為2,3,4,先分析X=2,X=4的情形并計(jì)算概率，再利用概

率和為1,確定X=3的概率，寫出分布列并計(jì)算期望.

本題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列和期望，屬于中檔題.

19.【答案】在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增；

(一8,|］；

證明見解析.

【解析】(1)當(dāng)Q=1時(shí)，函數(shù)/'(%)=%-%的定義域?yàn)?0,+8),求導(dǎo)得「(%)=仇％,

當(dāng)時(shí)，/(%)<0；當(dāng)％>1時(shí)，廣⑺>0,

所以函數(shù)f(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

(2)函數(shù)/(%)=xalnx—x,求導(dǎo)得/'(%)=axa~rlnx+xa~r—1,/'(l)=0,

令g(%)=/'(%)=axa~rlnx+xa~r—1,求導(dǎo)得g'(%)=a(a—V)xa~2lnx+