2024-2025學(xué)年廣東省廣州市白云區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知復(fù)數(shù)z滿足（z-l）i=1,則z=（）

A.1+iB.1—iC.-1+iD.-1—i

2.參加某次數(shù)學(xué)競賽的10名學(xué)生的成績（單位：分）如下：71,86,76,80,96,81,84,83,92,88,

則這10人成績的第60百分位數(shù)是（）

A.84B.85C.86D.87

3.若圓錐的底面半徑為1,體積為（則該圓錐的側(cè)面展開圖的面積是（）

A.兀B.A/"］兀C.yj~3n:D.2n

4.已知向量Z與加勺夾角為30。，且|初=，百，\b\=2,則|五+9|=（）

A./TOB.7T1C.A<12D./13

5.在△ABC中，AB=3AD,E為CD中點(diǎn)，設(shè)屈=落AC=b,則荏=（）

A.a+B.TC.a+D.^3+b

3Z4LoL52

6.已知Z,TH為兩條不同的直線，a,B，y為三個不同的平面，下列命題正確的是（）

A.若a1y,/?1y,則a1S

B.若any=Z,I1m,mu0,則a1￡

C.若aCy=Z,0Cy=m,a〃S，則Z〃?n

D.若any=Z,ny=m,Z//m,貝!Ja〃S

7.將函數(shù)f（x）=S譏3X（3>0）的圖象向右平移J個單位長度，所得圖象關(guān)于點(diǎn)（乎,0）對稱，則3的最小值

是（）

A.1B.1C.|D.2

8.一個袋子中裝有標(biāo)號分別是1,2,3,4,5,6的6個球，除標(biāo)號外沒有其他差異.采用有放回方式從袋中

依次任意摸出兩球.設(shè)事件4表示“第一次摸到球的標(biāo)號是偶數(shù)”，事件B表示“第二次摸到球的標(biāo)號是質(zhì)

數(shù)”，事件C表示“兩次摸到球的標(biāo)號之和是9”，事件。表示“兩次摸到球的標(biāo)號之和是10”.在上述四個

事件中任選兩個事件，它們相互獨(dú)立的概率為（）

112

AD

6-3-3-

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知復(fù)數(shù)z=2+2為虛數(shù)單位），則（）

A.z=12—iB.\z\=AA5C.z2=3+4iD.z-z=3

10.為了解某市家庭用水量的情況，該市統(tǒng)計局調(diào)查了100戶居民的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照

［0,0.5）,［0.5,1）,…，［4,4.5］分成9組，制成如圖頻率分布直方圖，貝）

頻率

TO

a.....................

0.30—……

S

16

O.12

OS.08

(74

O5

O.1.522.533.544,5月均用水量/噸

A.調(diào)查的100戶居民的月均用水量的極差是48

B.調(diào)查的100戶居民中有24戶的月均用水量介于3至4.5之間

C.估計該市居民用戶的月均用水量不低于1.5的比率為73%

D.估計該市居民用戶月均用水量的中位數(shù)介于［2,2.5）之間

11.已知三棱錐P-4BC滿足P41底面4BC,且N4BC=90°,PA=AC=a,貝?。荩ǎ?/p>

A.三棱錐P-ABC的體積最大值為:

B.三棱錐P-ABC的外接球表面積為27ra2

―—"2

C.△PBC的面積最大值為當(dāng)

D.4C與側(cè)面P8C所成的角小于二面角P一BC-2的平面角

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.某班級有男生28人，女生21人.按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全體學(xué)生中抽取一個容量為

14的樣本.如果樣本按比例分配，則男生應(yīng)抽取人.

13.在如圖所示的平面四邊形4BCD中，CD=6,^ACD=Z.BDC=15°,Z.ACB=135°,^ADB=120°,

則4B=.

14.如圖，設(shè)筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為d（單位：恒）（在水面下則d為負(fù)數(shù)），若以盛水筒P剛浮

出水面時開始計算時間，則d與時間t（單位：s）之間的關(guān)系為d（t）=Asin^t+<p）+K{A>0,3>0,-^<

9V》已知一個半徑為27n的筒車按照逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)5圈，筒車的軸心。距離水面的高度為后血，則

d(t)=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

設(shè)向量d=(k,l),b=(1,2),且向量N—23與2互相垂直.

(1)求k的值；

(2)求向量石在a上的投影向量的坐標(biāo).

16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P-中，底面4BCD為矩形，側(cè)面PAD是正三角形，E,尸分別是AB,PD的中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面PBC；

(2)若側(cè)面PAD_L底面4BCD,求證：4F1平面PDC.

17.(本小題15分)

甲、乙兩人組成“龍隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語.已知甲每輪猜對的概率為|,

乙每輪猜對的概率為自在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.

(1)求“龍隊”在一輪活動中猜對成語的總數(shù)至少1個的概率；

(2)若“龍隊”在兩輪活動中猜對成語的總數(shù)不少于3個，即可晉級.求“龍隊”晉級的概率.

18.(本小題17分)

已知△ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足cosC+2cosBcos/+4)=0.

(1)求角B；

(2)已知△ABC的外接圓的圓心為。，半徑R=C.

(i)作角B的平分線交AC于D,BD=2,求AaBC的面積；

(ii)若。8=m0A+n0C(m,neR),求?n+n的取值范圍.

19.(本小題17分)

在三棱錐P—ABC中，AB=AC=PB=PC,記點(diǎn)P在平面ABC上的投影為點(diǎn)H.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,證明：APLBC-,

(2)如圖2,記NP4B=0,4BAH=%,直線2P與平面ABC所成角為。2，求證：cosd=cos91-cosd2,比

較。與。2的大小并說明理由；

(3)如圖3,已知4B=5,AP=4,BC=6,M為平面4BC內(nèi)一點(diǎn)，且記異面直線PM與BC所成

角為a,求cosa的最大值.

答案解析

1.【答案】B

【解析】解:復(fù)數(shù)z滿足(z-l)i=l,

-1

則Z=l+±=l-i.

I

故選：B.

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解即可.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：已知某次數(shù)學(xué)競賽的10名學(xué)生的成績：71,86,76,80,96,81,84,83,92,88,

則從小到大排序?yàn)椋?1,76,80,81,83,84,86,88,92,96.

因?yàn)?0x0.6=6,則這10人成績的第60百分位數(shù)是第6個數(shù)與第7個數(shù)的平均數(shù)，

故選：B.

先將10人的成績從小到大排序，然后由百分位數(shù)計算方法可得答案.

本題考查百分位數(shù)相關(guān)知識，屬于中檔題.

3.【答案】B

【解析】解：由題意圓錐的底面半徑r=l,體積為爭

設(shè)圓錐的高八，可得體積了=卜2%=或可得仁1,

則圓錐母線長為1=Vr2+h2=72,

則圓錐的側(cè)面積S=Tirl=7Tx1xV~2=V_27r.

故選：B.

由圓錐的底面半徑為1,體積為(可得圓錐的高及母線，然后可得圓錐側(cè)面展開圖的面積.

本題考查了圓錐的側(cè)面積，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：???向量a與3的夾角為30。，且I初=門，I瓦=2,

a-b=|a11&|cos30°=-\Z_3X2X亨=3,

|a+KI2=a2+K2+2a-b=3+4+6=13,

則|五+3|=百耳；

故選：D.

要求沒有坐標(biāo)的向量的模，一般先求向量模的平方；利用已知可求向量的數(shù)量積.

本題考查了向量的模的求法；如果求沒有坐標(biāo)的向量的模，一般先求向量的平方.

5.【答案】C

【解析】解：^AABC^,AB=3AD,E為CD中點(diǎn)，

則方=前+荏=1?+:麗=前+2(同一前)=AC+^AB-1AC=^AB+^-AC=^a+^b,

LL626262

故選：c.

由平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量基本定理求解即可.

本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量基本定理，屬基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：若a，y,3,則a與0可以成［0,4的任意角，所以4選項(xiàng)錯誤；

若aCiy=Z,I1m,mu0,貝!ja與0可以成［0,自的任意角，所以B選項(xiàng)錯誤；

若any=l,0Cy=m,a〃￡,則〃/m,所以C選項(xiàng)正確；

若aCiy=1,BCy=m,1//m,則&〃￡或a與￡相交，所以。選項(xiàng)錯誤.

故選：C.

由題意結(jié)合面面垂直，線面平行，面面平行關(guān)系可判斷選項(xiàng)正誤.

本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查函數(shù)y=4s出(3%+◎)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)函數(shù)y=asin(3%+0)的圖象變換規(guī)律，所得函數(shù)的解析式為y=sintoQ-J),再根據(jù)正弦函數(shù)的圖

象的對稱性，求得3的值.

【解答】

解：將函數(shù)f(X)=S譏3X(3>0)的圖象向右平移［個單位長度，

可得y=sinoo(x-7)=sin(a)x—竿)的圖象,

44

再根據(jù)所得圖象關(guān)于點(diǎn)葉,0)對稱，可得3X筌-竿=eZ,

求得3=2k,keZ,結(jié)合所給的選項(xiàng)，可取3=2,

故選：D.

8.【答案】C

【解析】解：偶數(shù)有2,4,6；質(zhì)數(shù)有2,3,5；標(biāo)號之和為9的有(3,6),(6,3),(4,5),(5,4)；

標(biāo)號之和為10的有(4,6),(6,4),(5,5)共36個，

由于質(zhì)數(shù)的個數(shù)和非質(zhì)數(shù)的個數(shù)相同，故利用對稱性可知事件B包含的樣本點(diǎn)個數(shù)為3x36=18,

1111

則P(4)=|,P(B)=I，P(C)=i,P(D)=今，

事件ZB：(2,2),(4,2),(6,2),(2,3),(4,3),(6,3),(2,5),(4,5),(6,5),共9種；

事件AC：(6,3),(4,5)；事件AD：(4,6),(6,4)；事件BC：(6,3),(4,5)；

事件BD：(5,5)；事件CD為不可能事件；

11111

則P(AB)=%P(AC)=表，P(AD)=P(BC)=P(BD)=P(CD)=0,

故PQ4B)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(AD)*P(4)P(D),P(BC)=P(B)P(C),P(BD)豐

P(B)P(D),P(CD)^P(QP(D),

則事件ZB獨(dú)立、事件4c獨(dú)立、事件BC獨(dú)立、事件AD不獨(dú)立、

事件8。不獨(dú)立、事件CD不獨(dú)立，

則在上述四個事件中任選兩個事件，它們相互獨(dú)立的概率為I=

oZ

故選：C.

根據(jù)古典概型的概率公式求出各個事件的概率，再利用獨(dú)立事件的概率公式判斷事件之間的獨(dú)立性，最后

利用古典概型的概型公式即可.

本題主要考查了古典概率公式的應(yīng)用，相互獨(dú)立事件概率公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

9.【答案】BC

【解析】解：復(fù)數(shù)z=2+i,5=2—i,故A錯誤；

\z\=V22+I2=VT,故B正確；

z2=(2+i)(2+i)=22+i2+4i=3+4i,故C正確；

復(fù)數(shù)z=2+i,

z-z=(2+i)(2-i)=22-i2=5,故。錯誤.

故選：BC.

對于4有共軌復(fù)數(shù)概念可判斷選項(xiàng)正誤；對于B,由復(fù)數(shù)模計算公式可判斷選項(xiàng)正誤；對于C,由復(fù)數(shù)乘

法可判斷選項(xiàng)正誤；對于0,由4分析及復(fù)數(shù)乘法可判斷選項(xiàng)正誤.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】CD

【解析】解：4選項(xiàng)，?.?頻率分布直方圖沒有原始數(shù)據(jù)，二頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)不能代表實(shí)際數(shù)據(jù)，

不能斷定調(diào)查的100戶居民的月均用水量的極差是4.5,故A選項(xiàng)錯誤；

B選項(xiàng)，用水量介于3至4.5之間的頻率為：(0.12+0.08+0,04)x0.5=0.12,則應(yīng)有

100x0.12=12戶介于3至4.5之間，故2選項(xiàng)錯誤；

C選項(xiàng)，不低于1.5的比率為：1—(0.16+0.3+0.08)x0.5=0.73,故C選項(xiàng)正確；

。選項(xiàng)，由圖可得(0.52+a+0.3x2+0.16+0.12+0.08x2+0.04)x0.5=1=>a=0.4,

前3個矩形對應(yīng)頻率之和為：(0.16+0.3+0.08)X0.5=0.27,前4個矩形對應(yīng)頻率之和為：(0.16+0.3+

0.4+0.08)x0.5=0.47,前5個矩形對應(yīng)頻率之和為：

(0.16+0.3+0.4+0.08+0.52)X0.5=0.73,

則該市居民用戶月均用水量的中位數(shù)介于［2,2.5)之間，故D選項(xiàng)正確.

故選：CD.

對于4由頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)判斷A的真假；對于B,由圖可估計用水量介于3至4.5之間的頻率，據(jù)此

可得用戶數(shù)；對于C,由圖可判斷選項(xiàng)正誤；對于D,由圖可得a,結(jié)合頻率分布直方圖可得中位數(shù)所在區(qū)

間.

本題考查了頻率分布直方圖，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：對于4：設(shè)=BC=y,因?yàn)橐?BC=90。，則有/+y2=a2,

22

Q

〃1n.a.ax+y_3

Vp-ABC=3^BC,PA=^xy<--

當(dāng)且僅當(dāng)％=y=a時等號成立，故A正確;

對于8：取PC的中點(diǎn)。，連接040B,

因?yàn)镻A_L底面ABC,ACu底面ABC,

則paiAC,/-PAC=y,所以。a=與=op=oc；

乙z

又4ABC=90°,則ZB1BC,

PAQAB=B,P4u平面PAB,ABu平面PAB,

所以CB1平面248,因?yàn)镻Bu平面P4B,所以CB1P8,乙PBC=90°,

PC

則。B=券=OP=OC=OA,

故。為三棱錐P-ABC的外接球球心.

設(shè)三棱錐P-ABC的外接球半徑為r,

則廠=竿=號^,S=4ffr2=2nd2,故8正確；

對于C：PB=Va2+/,

S^ABC=3PB.BC=a2+x2<1xV+'+M=j

當(dāng)且僅當(dāng)y=Va2+x2>等號成立，

結(jié)合/+丫2=42,此時y=口，不合題意，故C錯誤；

對于。：過點(diǎn)4作4ELPB,交PB于點(diǎn)E,連接EC,

R

B

根據(jù)CB1平面PAB,AEu平面PAB,則4E1BC,

又因?yàn)镻BCBC=B,PB,BCu平面PBC,所以AE1?平面PBC,

貝UNACE為AC與側(cè)面P8C所成的角，且NAEC=90°,

所以sin/ACE=差，

又根據(jù)CB1平面P4B,所以NPB4為二面角P—BC—4的平面角,

PA

sin4PBA=為

▽sinZ.ACE_AC_AE-PB

乂sin/PBZ一旦一PA-AC9

由等面積法可知：AE-PB=PA-AB,

v7sinz.ACE_PA-AB_AB1

^sinZPBA~PA-AC_'

故sin/ACE<smZ.PBA,

即"CEVNPBA,故D正確.

故選：ABD.

對于4求得三棱錐P-ABC的體積，利用基本不等式求最值即可；

對于8：確定外接球球心位置為PC的中點(diǎn)，進(jìn)一步計算即可；

對于C：求得AP8C的面積利用基本不等式即可判定；

對于。：求得兩個角的正弦值，比較大小即可判定.

此題考查二面角及錐體體積、球的表面積，屬于中檔題.

12.【答案】8

【解析】解：由分層隨機(jī)抽樣的定義可知，男生應(yīng)抽取14x扁=8人.

Zo+Z1

故答案為：8.

根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的定義求解.

本題主要考查了分層隨機(jī)抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】6代

【解析】解：因?yàn)镃D=6,ZXCD=Z.BDC=15°,^ACB=135°,^ADB=120°,

所以在AACD中，AADC=135°,ADAC=30°,

由正弦定理4CCD

sinz.ADCsinZ.DACf

得"=而父5譏135。=6n

在△BCD中，ZCBD=Z.CDB=15°,所以8C=CD=6,

在△ABC中，由余弦定理得MB』=\AC\2+\BC\2-2\AC\■\BC\■cosl35°=72+36+2-6<2-6-=

180,解得|AB|=675.

故答案為：6A/-5.

根據(jù)正弦定理求得AC=62，再根據(jù)已知條件求得BC=6,利用余弦定理即可求得2B的長.

本題考查利用正、余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】2sin(-1--)+

A+K=2+y/1

【解析】解：根據(jù)題意4>0,可得

_("4)=2-73'

解得4=2,K=0,

由于筒車按照逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)5圈，3>0,

可得60to=5x2兀=3=g

6

又因?yàn)閐(0)=0,

可得2s譏0+=0,可得sbiR=一苧,

又由于一5<夕<與

則可得0=一?

從而可得d(t)=2sin(—t——)+y/~3.

故答案為：2sm(^—+V-3.

由題意結(jié)合實(shí)際含義可得43,K,然后由d(0)=0,可得"，據(jù)此可得答案.

本題主要考查了三角函數(shù)應(yīng)用以及由y=4s譏@x+中)的部分圖象確定其解析式，考查了函數(shù)思想和運(yùn)算

求解能力，屬于中檔題.

15.【答案】1=3或3=—1；

k=3時，投影向量的坐標(biāo)為(|,今；k=-1時，投影向量的坐標(biāo)為(-：［)-

【解析】(1)由己知得，a.-2b=(k—2,—3).

因?yàn)橄蛄縟-2另與N互相垂直，

所以@-2K)-a=(fc-2)fc-3=0=>fc2-2/c-3=0,

解得k=3或k=—1；

(2)當(dāng)k=3時，a=(3,1),則向量3在2上的投影向量為：

當(dāng)上=一1時，a=(-1,1),則向量3在點(diǎn)上的投影向量為:

(1)由向量垂直坐標(biāo)表示可得答案；

(2)由題結(jié)合投影向量坐標(biāo)計算公式可得答案.

本題主要考查平面向量的投影向量，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】證明過程見解析；

證明過程見解析.

【解析】證明：(1)取PC的中點(diǎn)H,連接8H,FH,

因?yàn)镕是PO的中點(diǎn)，所以FH〃CD,

1

且FH

底面4BCD為矩形，E是4B的中點(diǎn),

1

所以BE〃CD,且BE=：CD,

所以叩/BE且FH=BE,

所以四邊形FHBE為平行四邊形，故EF//BH,

又EFC平面PBC,BH^^PBC,

所以EF〃平面PBC；

(2)底面4BCD為矩形，故CDL4D,

側(cè)面PAD1底面ABC。，側(cè)面PA。C底面ABC。=AD,

所以CDJ_平面PAD,

因?yàn)?尸u平面24。，所以CD1AF,

側(cè)面PAD是正三角形，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，

所以4尸1PD,

因?yàn)镃DCPD=D,

所以4尸1平面PCD.

(1)作出輔助線，得到四邊形FHBE為平行四邊形，故EF//BH,證明出EF〃平面PBC；

(2)由面面垂直得到線面垂直，即CD1平面P2。，所以CDLAF,由三線合一得到4F，PD,故可證4尸1

平面PCD.

本題考查線面垂直的判定定理的應(yīng)用，線面平行的判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.【答案】g；

192

625,

【解析】(1)根據(jù)題意，在一輪活動中，設(shè)事件4="甲猜對成語”，事件8="乙猜對成語”，

事件。="該隊伍猜對成語的總數(shù)至少1個”，

-

易得C=4-----B-,且「(4)=京□P(S)=IO，

貝UP(C)=1-P(C)=1-P(期=券

即“龍隊”在一輪活動中猜對成語的總數(shù)至少1個的概率為卷.

(2)設(shè)事件4="在兩輪活動中甲猜對i個成語”，事件與="在一輪活動中乙猜對i個成語”，i=0,1,

2,事件。=“龍隊晉級”，

則由題可知。=4/2U&BL042殳，且事件//2，①當(dāng)，①殳兩兩互斥，

n/A、。3212“A、339n/n、。2312nzn、224

P(711)=2x-x-=-)P(712)=-x-=-1=2x-x-=P(B2)=gx-=-

124912

■■■P(0)=P(a/2)+P(4B1)+P(&B2)=P(4)P=2)+P(4)P(B1)+P(4)P(殳)=^x-+-x-+

—9X4—=1-9-2，

2525625

???“龍隊”晉級的概率為黑.

(1)設(shè)事件4="在一輪活動中甲猜對成語"，事件B="在一輪活動中乙猜對成語"，事件C=“龍隊在

一輪活動中猜對成語的總數(shù)至少1個”，則事件4與事件B相互獨(dú)立，且2=1京，P(4)=|，=|，由

對立事件的概率公式及相互獨(dú)立的概率公式即可求解；

(2)設(shè)事件4="在兩輪活動中甲猜對i個成語”，事件與=”在一輪活動中乙猜對i個成語”，i=0,1,

2,事件0=“龍隊晉級”，則由題可知。=44U&Z042殳，且事件AB?,A2Br,4B2兩兩互斥，

由對立事件的概率公式及相互獨(dú)立的概率公式即可求解.

本題考查概率的應(yīng)用，涉及互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率計算，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】8=或

⑴苧；3)[-皿

【解析】(1)因?yàn)閏ost*+2cosBcos(^+A)=0,所以cos(7r—A—B)+2cosBcos(^+/)=0,

所以一cos(Z+B)+2cosBcos(^+4)=0,

整理得到一(coSi4cosB—sinAsinB)+2cosB(^cosA—^sinA)=0,

進(jìn)而得到一(cosAcosB-sinAsinB)+cosBcosA—y/~3cosBsinA=0,

所以sizi/s譏8—y/~3cosBsinA=0,提取公式sin/得至Ijsi7b4(s譏8—y/~3cosB)=0,

因?yàn)槿藶槿切蝺?nèi)角所以＞0,可以得至!Js譏B=y[3cosBi

又由于cosB豐0,可以得到tcmB=%=心,

cosB

又因?yàn)锽為三角形的內(nèi)角，所以8=親

(2)(i)因?yàn)锽

所以根據(jù)正弦定理可得：b=2Rs譏B=2xCx?=3,

B

A

DC

又因?yàn)锽D是角B的角平分線，所以可以得到乙=乙CBD=%

O

為

因4C

XB

111

所以

■2譏+2.

-awm7T---Xa7T--X咐m(xù)7T-

232SL626

整理得至！j'ac=a+c...①，

再根據(jù)余弦定理得到COSB=層+/一.=(a+c)2-2ac-9=1

2ac2ac2

進(jìn)而得到(a+c)?=3CLC+9....②，

根據(jù)①②可得7。2c2=3ac+9,

4

整理得到（ac-6）（ac+2）=0,

求得ac=6或ac=-2（舍去），

11￡苧

6

-7T---XX2=

根據(jù)三角形的面積公式可得SUB。232

（范）根據(jù)題意作圖如下：

由題易知Z710C=2B=y,Z-BOC=2A,AAOB=2C,

又因?yàn)榈Z=mOA+nOC(m,nER),\OB\=\~OA\=\~OC\=R=<3,

所以?。2=m。4+nOC-0^

|>>>>-->2

WB-OC=mOA-OC+nOC

整理得到,而I?Ia|cos2C=刈??？|2+n|歷H瓦^|cos2B

%Jl|0B|?|0C\cos2A=m\0A\-\0C\cos2B+n\0C\2>

cos2C=m—

進(jìn)而得到1'

cos2A=--m+n

_-1i

化簡可得5nl+-n=cos2A+cos2C,

故可以求得m+n=2(cos2A+cos2C)=2[cos(與—2C)+cos2C]=2(—^cos2C—與sin2c+cos2C)=

2?cos2C—容s譏2C)=2cos(2C+》

又因?yàn)閏e(o,引，所以得至U2C+如?片)，

所以cos(2C+日)e[―1,^),

所以2cos(2C+金e[-2,1),

即m+ri的取值范圍為[一2,1).

(1)在△48C中，由三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式可得一COS(A+B)+2COSBCOSG+4)=0,結(jié)合兩角和的

余弦公式整理化簡可得si7L4(si7iB—V_3cosB)=0,進(jìn)而sinB=V3cos即可求解.

(2)⑴由(1)知B=?由正弦定理福=2R可得b的值.根據(jù)角平分線的性質(zhì)及三角形面積公式可得苧ac=

a+c.結(jié)合余弦定理求出ac的值即可求解；

(花)由⑴知B=*由AABC的外接圓的性質(zhì)可知乙40C=2B=y,乙B0C=24,乙40B=2c,根據(jù)向量數(shù)量

積的運(yùn)算可得

好.旅=加罰+九爐?可，化簡整理得.如2。-二/，故如+*=郎22+郎2。，根據(jù)三

W-0C=m0A-0C+n0Ccos2A=--m+n

角恒等變換及角c的范圍即可求解.

本題專用卡利用正余弦定理解三角形以及利用三角恒等變換求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.

19.【答案】證明見解析；證明見解析；。＞/；v-

【解析】(1)證明：取8c中點(diǎn)為點(diǎn)D,連接4。、PD,

所以8CLAD,BC1PD,

因?yàn)?￡)nPD=。，AD,PDu平面PAD,BCC平面PAD,

所以8cl平面PAD,又APu平面PA。，

所以AP1BC.

(2)證明：作HE14B于點(diǎn)E,連接PE,

由題意知PH_L平面ABC,則乙巴4"=6?2，

由三垂線定理知PELAB,在RtAPAH中，cos4="，

“PA

AF

在RtA