2024-2025學(xué)年福建省百校高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

L“a為銳角”是“a<5”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.已知函數(shù)/Q)在％=1處可導(dǎo)，且]im/1+翌-"1)=2,則廣(1)=()

21x-?0

11

AiBiC.4D.8

84

3.設(shè)隨機變量X?N(3,02),P(X<5)=0.8,貝!JP(1<X<3)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6

4.在等比數(shù)列｛an｝中,若說=8a2且的=1，則的=()

A.64B.32C.16D.8

5.已知一道解答題共有兩小問，某班50個人中有30個人能夠解答出第一問.在第一問解答不出的情況下,

解答出第二問的概率為0.1,第一問解答出來的情況下，第二問解答不出來的概率為0.7,則解答出第二問

的概率為()

A.0.46B.0.22C.0.18D.0.04

6.若函數(shù)/(%)=2%+In%+：在其定義域內(nèi)的區(qū)間(2租-1,2血)內(nèi)有極值點，則實數(shù)m的取值范圍為()

A-[14)B.(另)C.品)D.

7.從編號1?10的10張卡片中依次不放回地抽出兩張，記事件4：“第一次抽到的卡片編號數(shù)字為5的倍

數(shù)”，事件B：“第二次抽到的卡片編號數(shù)字小于第一次”，則P(B|4)=()

213717

A-3B.而C.-D.-

8.在一個具有五個行政區(qū)域的地圖上，用6種顏色著色，若相鄰的區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.曲線/(x)=——x+3在點P處的切線平行于直線y=2x-1,則點P的坐標可能為()

A.(1,3)B.(0,3)C.(2,9)D.(-1,3)

10.關(guān)于(a-2x)6的展開式，下列說法中正確的是()

A.各項系數(shù)之和為1B.第二項與第四項的二項式系數(shù)相等

C.常數(shù)項為60D.有理項共有4項

11.函數(shù)/(%)=Asin?%+0)(/>0,3>0,|租|<1)的部分圖象如圖所示，貝4()

A./Q)的圖象關(guān)于直線第=一手對稱

B.f(%)的圖象向左平移方個單位長度后得到函數(shù)g(%)=3cos2%

C./(工—%)的單調(diào)遞增區(qū)間為瞪++fcn](fcGZ)

D.若方程/(%)=|在(0,?n)上有且只有6個根，則me(3n,等|

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

1

12.已知cos2a=-貝！Jsin2a=.

13.已知圓臺的上、下底面半徑分別為丁，2r,高為6-2廠，則圓臺體積的最大值為.

an

14.已知數(shù)列的前幾項和為%,且%=1,an+1=[+1"為奇?’則S20=_____

kan+2,71為偶數(shù)，

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

在12aBe中，角2,B,C所對的邊分別為a,b,c,且asinB-ObcosA=0.

(1)求a；

(2)若a=回ABC的面積為門，求團ABC的周長.

16.(本小題15分)

在等差數(shù)列｛%i｝中，a6=—6,a7=—3.

(1)求｛an｝通項公式及其前n項和目的最小值；

(2)若數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，且瓦=。9,b2=a11,求｛%｝的前n項和葛.

17.(本小題15分)

已知函數(shù)/(X)-x3-ax2+b在％=2取得極值為一2.

(1)求實數(shù)a,b的值；

(2)若t>0,求函數(shù)/O)在區(qū)間[0,可上的值域.

18.(本小題17分)

甲參加一項招聘考試，分為筆試和面試兩個環(huán)節(jié)，筆試成績合格后才能進入面試.筆試共有2道專業(yè)理論題

與2道崗位實踐題，每道專業(yè)理論題的難度系數(shù)(考生能夠正確作答的概率)均為p(0<p<1),每道崗位實

踐題的難度系數(shù)均為q(0<q<l),考生至少答對3道題才能進入面試，否則被淘汰出局；面試共有5道問

答題，由考官逐一提問作答，累計答對3道題或答錯3道題，面試結(jié)束.已知甲筆試得滿分的概率為白，筆試

和面試各題是否答對相互獨立.

7

(1)當p=§時,求q；

(2)求甲能夠進入面試的概率f(p)的最小值及相應(yīng)的p值；

(3)已知甲通過了筆試環(huán)節(jié)，面試時每道題的難度系數(shù)是(2)中求得的p值，令甲面試結(jié)束時的答題數(shù)為X,

求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

19.(本小題17分)

已知函數(shù)/'(%)=ex—ax.

(1)討論函數(shù)/Q)的單調(diào)性；

(2)若/(久)20,求實數(shù)a的取值范圍；

(3)若函數(shù)/O)有且僅有兩個零點X],x2>且%2>比1，證明：5%1+6X2>11.

答案解析

1.【答案】A

【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合弧度制表示角的意義判斷即可.

【詳解】若a為銳角，貝UO<a<*而a<》則a可以為銳角，也可以為零角，還可以為負角，

所以“a為銳角”是“a的充分而不必要條件.

故選：A

2.【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義及極限的簡單運算計算即可.

【詳解】由lim⑴=2,得lim=8,可得尸(1)=8.

故選：D.

3.【答案】B

【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性計算可得P(1WXW3)=P(X21)—0.5=0.3,即可得B正確.

【詳解】根據(jù)X?N(3R2)可知正態(tài)曲線關(guān)于〃=3對稱，

易知尸(X<5)=P(X>1)=0.8,

因此可得P(1<X<3)=P(X>1)-0.5=0.3.

故選：B

4.【答案】C

【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得到口4=8和公比，從而得到答案

【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得退=8(12=a2a4，易知a2K0,故(24=8,

又a1=1,所以q3=—=8,故q=2,可得CI5=a*q=16.

al

故選：C.

5.【答案】B

【解析】【分析】設(shè)相應(yīng)事件，由題意可得PG4),P(B|I),P(JM),根據(jù)對立事件求出所需事件的概率，依

據(jù)全概率公式求解.

【詳解】設(shè)“解出第一問”為事件4“解出第二問”為事件B,

由題意可得：P(4)=|^=0.6,P(B|Z)=0.1,P(B\A)=0.7,

則P(1)=0.4,P(B|4)=0.3,

所以p(B)=P(4)P(B|4)+P(Z)P(B|Z)=0.6X0.3+0.4X0.1=0.22.

故選：B.

6.【答案】C

【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后依題意即可得參數(shù)滿足的不等式，求解即可.

【詳解】由/(%)=2+工一吃=2，+jT=(2?。+1),

則當xe(og)時,f'(x)<0,當xeg+8)時，f'(x)>0,

所以函數(shù)/(x)的減區(qū)間為(0,勻，增區(qū)間為G，+8),

則依題意有0<2m-1<|<2m,可得2<m<|,

故選：C.

7.【答案】B

【解析】【分析】根據(jù)古典概型的計算方法和分步乘法概率計算公式，求出事件的概率和積事件的概率，

依據(jù)條件概率公式求出條件概率即可.

【詳解】由題意，在1?10這10個數(shù)字中，5的倍數(shù)有5、10,共2個，

所以事件4發(fā)生的概率P(4)=^=1,

記事件AB表示“第一次抽到的卡片編號數(shù)字為5的倍數(shù)且第二次抽到的卡片編號數(shù)字小于第一次”，

若第一次抽到5,那么第二次從剩下9張卡片中抽小于5的卡片，有4種抽法；

若第一次抽到10,那么第二次從剩下9張卡片中抽小于10的卡片，有9種抽法；

所以P(他=躲=器

13

根據(jù)條件概率公式，P(8|4)=黯=平=葛

故選：B.

8.【答案】D

【解析】【分析】先涂3區(qū)域，然后涂1區(qū)域，然后涂5區(qū)域，進而分若1和5區(qū)域同色與不同色兩種情況求

解即可.

【詳解】先涂3區(qū)域，共有6種涂法，然后涂1區(qū)域，共有5種涂法，

然后涂5區(qū)域，若1和5區(qū)域同色，一共的涂法種數(shù)為A2A2x(4+Ai)=480；

若1和5區(qū)不同色，一共的涂法種數(shù)為x(3+Ai)=1080.

故一共的涂色總數(shù)為480+1080=1560.

故選：D.

9.【答案】AD

【解析】【分析】設(shè)切點POo,琮-Ko+3）.利用導(dǎo)數(shù)表示切線的斜率，列方程即可求解.

【詳解】設(shè)切點PQo,瑞一&+3）.

因為曲線f（x）在點P處的切線的斜率k=尸（比）=3詔-1=2,所以久°=±1，所以點P的坐標為（1,3）或

（-1,3）.

故選：AD.

10.【答案】ACD

【解析】【分析】根據(jù)二項式定理的定義、通項的運用和賦值法即可得到答案.

【詳解】對于4令x=l時，則（專-2x）6展開式中各項系數(shù)之和為1,故A正確；

對于B,第二項二項式系數(shù)瑪=6,第四項的二項式系數(shù)廢=裝|目=20,第二項與第四項的二項式系數(shù)

不相等，故8錯誤；

對于C,信一2久）6展開式的通項為備后）6-『（一2久）『=（-2）P曠竽+「,（r=0,1,2,3,456）,

令一殍+r=0,二r=2,展開式中的常數(shù)項為（一2產(chǎn)出=4X15=60,故C正確；

對于D,層-2x）6展開式的通項為原今尸（_2乃==（_2）心曠3+冬,&=0,1,234,5,6）,當r=0,2,4,6

時，-3+與6Z,所以展開式的有理項共有4項，故。正確.

故選：ACD.

11.【答案】ACD

【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)圖象即得a=3,代入兩點坐標，求得@0的值，即得函數(shù)解析式，再根據(jù)各

選項的要求逐一分析，計算，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)即可判斷.

【詳解】由圖可知，4=3,且經(jīng)過（0,|）,篇0）,故可得［51Tsin”=2,①，

.（sin（芨3+。）=0,②

由①，結(jié)合則得0=稱，代入②，化簡得.3+卷=krt,keZ,即3=-|+裝k,keZ,

由圖知，原函數(shù)的最小正周期T滿足六%浮解得0<3（去故3=2,即/（X）=3sin（2x+?

對于4當x=—等時，因/（—陰=3sin（—野+勺=3sin（-：）=—3,故直線尤=—苧是/（久）的一條對稱

軸，故A正確;

對于8,將函數(shù)f(%)的圖象向左平移三個單位長度后得到函數(shù)y=/(%+=)=3sin[2(x+=)+=]

3cos(2%+§,故3錯誤；

對于C,因/-%)=3sin[2(-^—%)+^]=—3sin(2x—學(xué)，

由/+2fcn<2%-+2kn,kE.可得％6[居++kii\,fcGZ,

即/信-%)的單調(diào)遞增區(qū)間為[居+而，若+的攵EZ,故C正確；

對于D,由/(%)=5可得sin(2%+3)=去設(shè)￡=2%+弓，因%E(0,7n),貝！JtE償,2租+加

依題意函數(shù)y=sin嗚y=；在償,2?n+3)上必有6個交點，作出函數(shù)的圖象如下：

由圖知，需使罷<2.+牌手，解得九〈根工竽故。正確?

故選：ACD.

12.【答案】I

q

【解析】【分析】由二倍角余弦公式直接代入求解即可.

【詳解】cos2a=1—2sin2a=—：,???sin2a=

z4

故答案為：p

13.【答案】等

【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合臺體的體積公式可得，=：口(6產(chǎn)—2/),求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性和最

值.

【詳解】由題意可得：[6—27?,解得

Ir>0

-17

因為圓臺的體積為V=-n(r2+2r2+4r2)(6—2r)=-n(6r2—2r3),0<r<3,

則片=與(12r—6r2)=14irr(2—r),0<r<3,

令，'<0,解得2<r<3；令『>0,解得0<r<2；

可得函數(shù)P=|it(6r2-2r3)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2,3),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2),

且當r=2時，了=等，所以圓臺體積的最大值為噓ax=學(xué).

故答案為：等.

14.【答案】300

【解析】【分析】由n為奇數(shù)，則幾+1是偶數(shù)，n+2是奇數(shù)，根據(jù)題意的遞推關(guān)系式可得到廝+2=廝+

3,再利用等差數(shù)列前幾項和公式計算求解.

【詳解】若n為奇數(shù)，則幾+1是偶數(shù)，n+2是奇數(shù)，

則％1+1=+1(1),an+2=an+l+2d).

由①+②得的1+2=。九+3,

所以數(shù)列｛冊｝的奇數(shù)項是首項為的=1,公差為3的等差數(shù)列，

故$20=(。1+。3++…+。19)+(。2++。6+…+020)

=(a1+(I3+---+019)+(。1+1+(X3+1+。5+1"I----+。19+1)

=2(%+的+05+…+。19)+I。

=2(10x1+x3)+10=300.

故答案為：300.

15.【答案】解：(1)vasinB—yfSbcosA=0,

???sinAsinB—V5sinBcosA=0,

又Be(0,it),.L/-H

???sinX-V_3cos>l=0,即tanA=V3.

又/E(0,ir)

(2)???4=5團ZBC的面積為C，

???^bcsinA=A/-3,即be=4.

22

由余弦定理可得匠=b+c—2bccosAf

即13=廬+c?—兒=(b+c)2—3bc,

又be=4,?,.b+c=5.

??.△ABC的周長為5+

【解析】(1)由正弦定理即可求得tam4=門，由此即可得解；

(2)由三角形面積公式和余弦定理即可求解.

16.【答案】解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d.

因為。6=—6,。7=—3,所以爛黃廠二解得產(chǎn);飛，

所以的i,=%+(ji—l)d=3n—24.

Z15\2675

所以S=Qi+.)幾=(3幾―45)九=八九一1)一丁

因為九CN*,所以當九=7或九=8時%取得最小值，

且最小值為S7=Sg=(3X8,45)X8=_84

(2)由(1)可得：瓦=%=3,b2-%,1=9,

所以等比數(shù)列也｝的公比為q=察="3,

所以與=瓦?(fT=3",所以等比數(shù)列｛%｝的前n項和&=當山=隼3=1(3"-1).

1—q1—3z

【解析】(1)根據(jù)題意，列出關(guān)于的,d的方程，代入計算，再由等差數(shù)列的前n項和公式，即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，由等比數(shù)列的前n項和公式，代入計算，即可得到結(jié)果；

17.【答案】解：(1)由/(久)=3——2如有F⑵，:=士,

IjI乙)一i乙一4a—u

解得a=3,b—2,故a=3,b=2.

(2)由(1)有/'(久)=%3—3%2+2,f'(x)=3x2—6%=3x(%—2),

令/'(x)>0有久<0或x>2,可得函數(shù)/(X)的減區(qū)間為(0,2),增區(qū)間為(-8,0),(2,+8),

又由/(0)=2,f(2)=-2,令/-3%2+2=2可得％=0或3,

32

①當0<t<2時,f(x)max=f(0)=2,f(X)min=f(t)=t-3t+2,函數(shù)f(久)在區(qū)間［0,t］上的值域為

［t3-3t2+2,2］.

②當2<t<3時,/(x)max=/(0)=2,f(x)min=f(2)=-2,函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,訂上的值域為［-2,2］.

③當t>3時，f(X)min=f(2)=-2,f(X)max=/?)=七一3戶+2,函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,t］上的值域為

［—2,戶—3t之+2］.

綜上所述:當0<tW2時,函數(shù)”功在區(qū)間［0,t］上的值域為［/—3/+2,2］；

當2<tW3時，函數(shù)/(?在區(qū)間［0,t］上的值域為［―2/3—3t2+2］；

fit>3時，函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,t］上的值域為［—2,/—3t2+2］.

【解析】⑴由題意可得｛"2；禧I；；［：；］：,求解即可；

(2)求導(dǎo)得廣(久)=3x2—6x—3x(x—2),求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，分0<tW2和2<t$3和t>3三種

情況可求解.

18.【答案】解：(1)由題意，筆試和面試各題是否答對相互獨立，

所以甲筆試滿分的概率為p2q2=高貝皿另，

lo4

又p=|，所以q=7X|=|-

(2)由題意，甲至少答對3道題才能夠進入面試，

22

所以甲能夠進入面試的概率f(p)=禺p(l-p)q2+禺q(l-q)p2+pqf

11

由(1)知pq="貝1Jq=通，

財(p)=2p(l_p)康+2Q—p2+獷高,

整理得f(p)=2+K看

因為0<P<1,0<Q<1,

所以/(p)=—+^-—>2l—x^-—=

7/1〃八8p216-18P21621616

當且僅當表=*即p=2時，等號成立，

所以甲能夠進入面試的概率f(p)的最小值為能相應(yīng)的P值為今

(3)由(2)知，面試時每道題的難度系數(shù)是q=看則甲答對每道面試題的概率q

由題意，甲累計答對3道題或答錯3道題，面試結(jié)束，

所以甲面試結(jié)束時的答題數(shù)X的可能取值為3,4,5,

當X=3時，p(X=3)=g)3+(1—鄉(xiāng)3=p

當X=4時，p(X=4)=C1g)2x|x|+Cl|xg)2x|=|,

當X=5時，p(X=5)=1—p(X=3)-p(X=4)=1，

o

所以X的分布列為:

X

345

133

P488

數(shù)學(xué)期望為：E(X)=3x；+4x，+5xW

4ooo

【解析】(1)由甲筆試得滿分的概率為表，可得p2q2=\即可求得q；

(2)由題意，甲至少答對3道題才能夠進入面試，可得甲能夠進入面試的概率/(p)=(2如(1-p)q2+

函(l-q)p2+p2q2,化簡得〃p)=盍+與一卷利用基本不等式即可求得f(p)的最小值及相應(yīng)的p值;

(3)由題意，甲面試結(jié)束時的答題數(shù)X的可能取值為3,4,5,求出對應(yīng)概率，得到分布列與數(shù)學(xué)期望.

19.【答案】解：(1)由尸(久)=眇一a,

①當a40時，有0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞增；

②當a>0時，令尸(%)>0,有久>lna,可得函數(shù)/(%)的減區(qū)間為(一8