§2-1平面一般力系的簡化§2-2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用習(xí)題課§2-3考慮摩擦?xí)r物體的平衡§2-4空間的平衡方程及其應(yīng)用§2-5物體的重心與形心第二章力系的平衡方程及其應(yīng)用本章主要研究力系的簡化、平衡條件和平衡方程，并應(yīng)用平衡方程求解物體及簡單物體系統(tǒng)的平衡問題。平面一般力系的工程實例§2-1平面一般力系的簡化復(fù)習(xí)：力的平移定理力多邊形規(guī)則：作力多邊形，找封閉邊。復(fù)習(xí):平面匯交力系的合成復(fù)習(xí)：合力投影定理:FR=F1+

F2+…+

Fn=

∑

Fi平面匯交力系合力的大小和方向分別為：

式中a為合力與x軸所夾的銳角。

1.平面一般力系向作用面內(nèi)一點簡化·主矢和主矩一、平面一般力系的簡化若選取不同的簡化中心，對主矢、主矩有無影響？

——平面一般力系的主矢。

——平面一般力系對O點的主矩。能否稱為合力？能否稱為合力偶？思考：平面一般力系的主矢和對簡化中心的主矩：★

平面一般力系向作用面內(nèi)任一點O簡化，可得一個力和一個力偶，這個力等于該力系的主矢，作用線通過簡化中心。這個力偶的矩等于力系對于點O的主矩。平面一般力系向作用面內(nèi)一點簡化結(jié)果：主矢大小和方向：主矩的大小及轉(zhuǎn)向：2.平面固定端的約束力分析固定端工程實例

3.平面一般力系的簡化結(jié)果分析(1)簡化結(jié)果為合力偶，此時主矩與簡化中心的位置無關(guān)。(2)簡化結(jié)果為過簡化中心的合力。其中合力矩定理(3)簡化結(jié)果為不過簡化中心的合力。(４)力系平衡。例2-1

如圖所示平面一般力系，已知F1=F2=10N,F3=F4=10N,若各方格邊長a=10cm，試求力系向O點的簡化結(jié)果。(2)計算力系的主矢和對O點的主矩解

(1)選取直角坐標(biāo)系Oxy(圖a)平面一般力系F1、F2、F3，F(xiàn)4向O點簡化，得到作用于O點的一個力FR′和一個力偶MO，如圖b所示。思考：本例中力系的最終簡化結(jié)果是什么？已知

,求此力系的簡化結(jié)果。練習(xí)：aaaa

OABC345

OABC345解：OABCxyMoOABCxyd45

§2-2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用1.平面一般力系平衡的充要條件

一、平面一般力系的平衡條件和平衡方程力系的主矢和對作用面內(nèi)任意點的主矩都等于零，即平面一般力系的平衡方程。（基本形式、兩影一矩式）2.平面一般力系的平衡方程

平面一般力系平衡方程有三種形式二矩式（矩心A、B兩點的連線不能與投影軸x垂直）。三矩式（矩心A、B、C三點不能共線）。1.平面匯交力系的平衡方程二、平面特殊力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程有兩種形式（各力不得與投影軸垂直）（矩心A、B兩點連線不得與各力平行）2.平面平行力系的平衡方程3.平面力偶系的平衡方程三、平面力系平衡方程的應(yīng)用1.單個物體平衡問題的求解例2-2

如圖所示懸臂梁AB，A端為固定端支座，B端為自由端，已知梁上作用有載荷集度為q的均布載荷和集中力

F，且F=2qa，，不計梁的自重，試求固定端支座A的約束力。解

(1)取梁AB為研究對象。(2)畫出梁AB的受力圖。梁上所受的均布載荷q

、集中力F和支座約束力FAx和FAy及約束力偶MA組成平面一般力系。其中有三個未知量，可以求解。(3)建立坐標(biāo)系，列平衡方程并求解。例2-3

一簡易起重機如圖所示。橫梁A端為固定鉸支座，B端用拉桿BC與立柱相連。已知梁受重力G1=4kN，載荷G2=12kN，梁長l=6m，。試求當(dāng)載荷離A端距離x=4m時，拉桿BC的受力和鉸支座A的約束力。G2CBAG1解(1)取橫梁AB（含電動葫蘆和重物）為研究對象。(2)因BC桿為二力構(gòu)件，橫梁AB（含電動葫蘆和重物）的受力如圖所示。(3)選取坐標(biāo)系如圖所示（約定這種常規(guī)的坐標(biāo)系可不畫出），列平衡方程求解。G2G1BA例2-4

三角形支架的受力情況如圖所示。已知,。試求鉸鏈A、B處的約束力。解

(1)取三角形支架整體為研究對象。(2)因BC桿為二力構(gòu)件，可畫出整體的受力圖,如圖所示。(3)列平衡方程求解0.6m整體受均布載荷q,集中力F及支座約束力FAx、FAy和FB，它們組成平面一般力系。校核：

均布載荷的合力等于載荷集度與其分布長度的乘積，均布載荷對某一點之矩或在某個軸上的投影，分別由合力矩定理或合力投影定理計算。討論：在受力分析中，指向未知的約束力可以先假設(shè)一個方向，當(dāng)計算結(jié)果為正時，說明其實際方向與所設(shè)的方向相同；當(dāng)計算結(jié)果為負時，說明實際方向與所設(shè)的方向相反；平面一般力系有三個獨立的平衡方程，最多能求解三個未知量，但非獨立的平衡方程可以校核計算結(jié)果是否正確；例2-5

已知系統(tǒng)如圖，不計桿、輪自重，忽略滑輪大小，G=20kN。求系統(tǒng)平衡時，桿AB、BC的受力。解(1)AB、BC桿為二力桿，取滑輪B（或點B），畫受力圖。(2)建立圖示坐標(biāo)系，列平衡方程解得：解得：例2-6

已知M=Fa。求支座A、B處約束力。解法1：(2)畫受力圖(3)建立坐標(biāo)系,列方程求解(1)取剛架為研究對象

解法2：解上述方程，得

解法3：解上述方程，得例2-7

已知,求光滑螺柱A、B所受水平力。解得解：由力偶只能由力偶平衡的性質(zhì)，其受力如圖。解（1）取AB梁，畫受力圖。解得練習(xí)1：已知AC=CB=l,

G=10kN。求鉸鏈A和DC桿受力。（2）列平衡方程求解練習(xí)2：取起重機如圖所示。已知G1=10kN，G2=40kN，尺寸如圖。求軸承A、B處的約束力。解：取起重機，畫受力圖。練習(xí)3：

已知G、q、M=Ga、a，求支座A、B處的約束力。解：取AB梁，畫受力圖。例2-8

欲使起重機滿載和空載時均不翻倒，求平衡錘的重量。解：取起重機為研究對象，其受力如圖所示。

（1）滿載時，其限制條件是：FNA≥0（2）空載時，其限制條件是：FNB≥0因此，G2必須滿足：練習(xí)4：

已知F＝8kN，M＝4kN·m求A、B處的約束力。4m2.5m2.5m4m2.5m2.5m解：取剛架AB為研究對象，受力如圖所示。應(yīng)用平面力系平衡方程的解題步驟可總結(jié)如下：根據(jù)題意，選取適當(dāng)?shù)难芯繉ο?。畫受力圖。約束力根據(jù)約束的類型來確定，要注意正確判別二力構(gòu)件，由二力平衡條件確定其約束力作用線的位置。當(dāng)約束力的方向未知時，可以先假設(shè)一個方向，最后根據(jù)計算結(jié)果的正負可確定其實際方向。列平衡方程，求解未知量。應(yīng)根據(jù)物體所受力系的形式，選取相應(yīng)力系的平衡方程及平衡方程的適當(dāng)形式。要選取適當(dāng)?shù)木匦暮屯队拜S，力求在一個平衡方程中只含一個未知量，以便簡化計算。為此，在應(yīng)用投影方程時，投影軸盡可能與較多的未知力垂直；在應(yīng)用力矩方程時，矩心應(yīng)盡可能取在較多未知力的交點上。列出非獨立的平衡方程，以校核計算結(jié)果是否正確。2.物體系統(tǒng)的平衡·靜定和靜不定問題平面力偶系只有一個獨立方程，只能求一個未知量。平面平行力系只有兩個獨立方程，只能求兩個未知量。平面匯交力系只有兩個獨立方程，只能求兩個未知量。平面一般力系只有三個獨立方程，只能求三個未知量。受力圖（力系）獨立平衡方程個數(shù)存在的未知量個數(shù)可求未知量個數(shù)？靜定問題：未知量個數(shù)≤獨立平衡方程個數(shù)超靜定問題：未知量個數(shù)＞獨立平衡方程個數(shù)，也稱靜不定問題。若干個物體通過適當(dāng)?shù)募s束所組成的系統(tǒng)，稱為物系。靜定與靜不定問題剛體靜力分析只能解決靜定問題。靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)用盡量少的平衡方程，平衡方程中盡量只含一個未知量，簡化計算。物系平衡的特點：當(dāng)物體系統(tǒng)平衡時，系統(tǒng)內(nèi)任一物體（或幾個物體組成的部分）均處于平衡，求解靜定物體系的平衡問題時，可以選每個物體為研究對象，列出全部平衡方程，然后求解。也可以先取整個系統(tǒng)為研究對象，列出平衡方程，這樣的方程因不含內(nèi)力，式中未知量較少，解出部分未知量后，再從系統(tǒng)中選取某些物體為研究對象，列出另外的平衡方程，直至求出所有的未知量為止。例2-9

圖示組合梁，已知FP=10kN，M=20kN﹒m，q=10kN/m,a=1m,試求固定端A、可動鉸支座B及中間鉸鏈C的約束力。

分析：該組合梁由AC梁和CB梁組成，其中固定端A有三個未知的約束力，中間鉸鏈C處有兩個未知的約束力，可動鉸支座B處有一個未知的約束力，共有六個未知量，因此取整體不可解；取AC梁為研究對象，有五個未知量，也不可解；取CB梁為研究對象，有三個未知量，可以求解。因此，應(yīng)先取CB梁為研究對象，求出C、B處的約束力之后，再取AC梁或整體可求出A處的約束力。解

(1)選取CB梁為研究對象，畫出其受力圖。列平衡方程(2)選取AC梁為研究對象，畫出其受力圖。本題也可在取CB梁之后，再取組合梁整體為研究對象。列平衡方程討論：本題中的組合梁，如將C鉸鏈去掉,會發(fā)現(xiàn)AC梁可以獨立平衡載荷，稱為基本部分，而CB梁不能獨立平衡載荷，稱為附屬部分。由基本部分與附屬部分組成的結(jié)構(gòu)，稱為主從關(guān)系的結(jié)構(gòu)。對這一類結(jié)構(gòu)，應(yīng)先算附屬部分，后算基本部分。主從關(guān)系的結(jié)構(gòu)基本部分＋附屬部分先算附屬部分，后算基本部分例2-10

如圖所示三鉸剛架，已知FP＝12kN，q=8kN/m,試求支座A、B及鉸C處的約束力。8m分析：分析整體和左、右折桿的受力，畫出它們的受力圖，如圖所示。若分別選取左折桿和右折桿,則需要解聯(lián)立方程,計算較繁瑣。若取整體為研究對象,雖然也有四個未知力,而只有三個獨立的平衡方程，但由于A、B兩個鉸在同一水平線上，以A點和B點為矩心建立力矩方程,可求出A、B支座的豎向約束力FAy和FBy，然后再考慮左折桿或右折桿的平衡，每個折桿都只有三個未知量，可求出全部未知量。整體和左、右折桿都分別有四個未知量,但總未知量的個數(shù)只有六個，左、右折桿受平面一般力系作用，可列出六個獨立的平衡方程，因此可以求出六個未知量。解

(1)取整體為研究對象,畫出其受力圖。（a）列平衡方程求解(2)取右折桿為研究對象，畫出其受力圖。由式（a）得討論：對于兩個固定鉸(B、C鉸)在同一水平線上的三鉸結(jié)構(gòu)，一般先取整體為研究對象，求出兩個豎向約束力后，再取受力簡單的部分為研究對象，可求出全部未知量。（1）分析題意,選取適當(dāng)?shù)难芯繉ο笪矬w系統(tǒng)整體平衡時，其每個局部也必然平衡。因此，研究對象可取整體、部分或單個物體。選取的原則是盡量做到一個平衡方程只含一個未知量，以避免解聯(lián)立方程。(2)畫出研究對象的受力圖在受力分析中應(yīng)注意區(qū)分內(nèi)力與外力，受力圖上只畫外力不畫內(nèi)力,兩物體間的相互作用力要符合作用與反作用定律。(3)對所選取的研究對象,列出平衡方程求解為了避免解聯(lián)立方程,應(yīng)選取適當(dāng)?shù)耐队拜S和矩心,力求一個平衡方程中只包含一個未知量。(4)列出非獨立的平衡方程，校核計算結(jié)果。求解物體系統(tǒng)平衡問題的一般步驟總結(jié)如下:習(xí)題課小結(jié)：1.平面一般力系向平面內(nèi)任一點O簡化，一般情況下，可得一個作用線通過簡化中心O的力和一個力偶，這個力等于該力系的主矢，這個力偶的矩等于該力系對于點O的主矩，即2.平面一般力系向一點簡化，可能出現(xiàn)的四種情況：4.平面一般力系平衡的必要與充分條件是：力系的主矢和對任一點的主矩都等于零，即：主矢主矩簡化結(jié)果說明合力合力力偶平衡此力為原力系的合力，合力的作用線通過簡化中心合力作用線離簡化中心的距離此力偶為原力系的合力偶，在這種情況下主矩與簡化中心的位置無關(guān)3.平面一般力系平衡的必要與充分條件是：力系的主矢和對任一點的主矩都等于零，即：4.平面一般力系的平衡方程（矩心A、B、C

三點不得共線）（投影軸x不得垂直于矩心A、B兩點的連線）基本形式二力矩式三力矩式5.其它各種平面力系都是平面一般力系的特殊情形，其平衡方程如下：力系名稱獨立平衡方程的數(shù)目共線力系平衡方程平面力偶系平面匯交力系平面平行力系1122例1：求三桿對三角形平板ABC的約束力。解：取三角形板ABC為研究對象，受力如圖所示。FDECBAaaaMGFAFBFCGACaaaMB例2：已知：OA=R,AB=l,當(dāng)OA水平時，沖壓力為FP時,系統(tǒng)平衡，求：①M=？②O點的約束反力？③AB桿內(nèi)力？④沖頭給導(dǎo)軌的側(cè)壓力？解（1）取滑塊B，受力如圖所示。（2）取輪O，受力如圖所示。例3：已知a=4m，r=1m，F(xiàn)P=12kN。求A、B處的反力。解：取整體，受力如圖所示。

例4：已知F、

。求物塊M的壓力。解（1）取鉸鏈B，畫出其受力圖。（2）取物塊M，畫出其受力圖。（1）取圖示部分為研究對象，畫出其受力圖。解法2:假設(shè)BC＝a例5：已知M1=2kN·m，OA=r=0.5m，θ=30°。求平衡時的M2及鉸鏈O、B處的約束力。解（1）取輪，由力偶只能由力偶平衡的性質(zhì)，畫受力圖。（2）取桿BC，畫受力圖。解得

解得

討論題：求：A、C、O處的約束力。解

(1)取整體為研究對象(2)取CED桿為研究對象(3)取ACO桿為研究對象§2-3考慮摩擦?xí)r物體的平衡摩擦滑動摩擦滾動摩擦靜滑動摩擦動滑動摩擦靜滾動摩擦動滾動摩擦摩擦干摩擦濕摩擦摩擦分類：

接觸面間有相對滑動的兩個物體間的摩擦力，稱為動摩擦力。一、滑動摩擦規(guī)律兩個相互接觸的物體，當(dāng)接觸面間有相對滑動或相對滑動的趨勢時,在接觸面上將會產(chǎn)生阻礙物體相對滑動的切向約束力，稱為滑動摩擦力，簡稱摩擦力（frictionforce)

?；瑒幽Σ亮ψ饔迷诮佑|處，其方向沿接觸面的公切線與物體相對滑動或相對滑動趨勢的方向相反。接觸面間有相對滑動趨勢但仍保持相對靜止的兩個物體間的摩擦力，稱為靜摩擦力(staticfrictionforce)

。（1）FP<FPm

物體保持靜止。1.靜摩擦力

由平衡條件可得：F=FP（2）FP=FPm，物體處于臨界平衡狀態(tài)。靜摩擦力的方向與物體相對滑動的趨勢相反，大小由平衡條件確定，在零與最大值之間，即GFNFPF

G

FNFPmFmax

F

—

靜摩擦力

(staticfrictionforce)。Fmax—最大靜摩擦力(maximumstaticfrictionforce)。最大靜摩擦力Fmax的大小與接觸物體間的正壓力（法向約束力）成正比，即

FN——法向壓力，

f

s——靜摩擦因數(shù)(staticfrictionfactor)。Fmax

=fs·FN——庫侖靜摩擦定律

(Coulomblawoffriction)

fs取決于接觸物體的材料以及接觸表面的物理狀態(tài)，如粗糙度、溫度、濕度等，與接觸表面的面積無關(guān)。fs的數(shù)值由實驗測定。工程中常用材料的靜摩擦因數(shù),可查閱有關(guān)工程手冊，表2-1給出了部分材料的靜摩擦因數(shù)值。表2-1

材料fs

的參考值材料靜摩擦因數(shù)材料靜摩擦因數(shù)鋼—

鋼0.1—0.2木材—

木材0.4—0.6鋼—

鑄鐵0.2—0.3木材—

土0.3—0.7皮革—

鑄鐵0.3—0.5混凝土—土0.7—0.8橡膠—

鑄鐵0.5—0.8混凝土—磚0.3—0.4G

FPFdFN

FN——法向壓力,f——動摩擦因數(shù)（dynamicfrictionfactor)。

Fd

＝f·FN

2.動摩擦力動摩擦因數(shù)f除了與接觸物體的材料和接觸面的狀況有關(guān)外,還與物體之間的相對滑動速度有關(guān)。但在工程計算中，常忽略后者的影響,認為動摩擦因數(shù)是僅與材料和接觸表面狀況有關(guān)的常數(shù)。一般情況下，動摩擦因數(shù)略小于靜摩擦因數(shù)。動摩擦力的方向與物體相對滑動的方向相反，大小與接觸面間的正壓力（法向約束力）成正比，即（3）FP>FPm

,物體滑動。Fd

——動摩擦力（dynamicfrictionforce)。摩擦力隨主動力的變化圖分析討論：作出下列各物體的受力圖。②FP

最大維持平衡狀態(tài)的受力圖①FP

最小維持平衡狀態(tài)的受力圖臨界平衡狀態(tài)下，靜摩擦力達到最大值Fmax，全約束力為

角達到最大值

m——摩擦角(angleoffriction)摩擦角的正切等于靜摩擦因數(shù)，摩擦角為全約束力與接觸面法線間的最大夾角。

m與fs都是表征材料摩擦性質(zhì)的物理量。1.摩擦角全約束力（全反力）:二、摩擦角與自鎖現(xiàn)象

改變主動力FP的方向，則全反力FR的方向也隨之改變，假如接觸面在各方向的靜摩擦因數(shù)都相同，則全反力FR作用線的極限位置形成一個以接觸點為頂點頂角為2

m的圓錐，稱為摩擦錐(coneofstaticfriction)，如圖所示。2.摩擦錐圖中，F(xiàn)Q為主動力的合力，即

m

mFQFRm

對于考慮摩擦的物體，其受力可以分為主動力和約束力。當(dāng)物體平衡時，主動力的合力FQ與全反力FR必共線，由于全反力FR與接觸面法線間的夾角

在零與摩擦角

m之間，即

因此，如果作用于物體上全部主動力的合力FQ的作用線在摩擦角之內(nèi),則無論FQ有多大，在接觸面上總能產(chǎn)生與它等值、反向、共線的全反力FR而使物體保持靜止；反之，如果全部主動力的合力FQ的作用線在摩擦角之外，則無論FQ多小，全約束力不能與其共線，因而物體不能靜止。主動力合力的作用線在摩擦角之內(nèi)而使物體靜止的現(xiàn)象稱為摩擦自鎖(self-lock)

。摩擦自鎖的條件為3.摩擦自鎖現(xiàn)象當(dāng)α>

m時，不論主動力FQ多小，物體都滑動——不自鎖。FWFPFmaxFN

mFRFQα

m三、摩擦自鎖在工程中的應(yīng)用摩擦系數(shù)的測定：OA繞O軸轉(zhuǎn)動使物塊剛開始下滑時測出a角，tana=fs

,(該兩種材料間靜摩擦系數(shù))1.斜面上物塊的自鎖和靜摩擦因數(shù)的測定2.螺紋自鎖條件四、考慮摩擦?xí)r物體平衡問題的求解判斷物體是否平衡；臨界平衡問題；求平衡范圍問題?？紤]摩擦?xí)r物體平衡問題的特點:常見的問題有：2.平衡方程式中除主動力、約束力外還出現(xiàn)了靜摩擦力，因而未知量增多。3.除平衡方程外還可補充關(guān)于摩擦力的物理方程F≤fsFN

。4.除為避免解不等式，可以解臨界情況，即補充方程Fmax=fs

FN

。1.受力分析中除接觸面的法向約束力外，還有切向約束力（靜摩擦力）。解：取物塊為研究對象，畫出其受力圖。解得例2-11

已知FQ=400N,G=1500N,fs=0.2,f=0.18,a＝30°。問物塊是否靜止，并求此時摩擦力的大小和方向。物塊不可能靜止，而是向下滑動。此時的摩擦力應(yīng)為動滑動摩擦力，方向沿斜面向上，大小為假定物塊平衡例2-12

如圖所示重為G的物塊，放在傾角為a的斜面上，且a大于物塊與斜面間的摩擦角

m，物塊與斜面間的靜摩擦因數(shù)為fs。求物塊平衡時，作用于其上的水平力FQ的大小。分析：由于

>

m，當(dāng)FQ=0或FQ太小時物塊將下滑，因此使物塊不下滑F(xiàn)Q不能小于某一極限值FQmin。當(dāng)FQ＝FQmin時，物塊處于下滑的臨界平衡狀態(tài)；當(dāng)FQ太大時，物塊將上滑，因此使物塊不上滑，F(xiàn)Q不能大于某一極限值FQmax。當(dāng)FQ＝FQmax時，物塊處于上滑的臨界平衡狀態(tài)。這樣，物塊的平衡范圍為FQmin≤FQ

≤FQmax。解

(1)求物塊平衡時力FQ的最小值FQmin，此時物塊處于向下滑動的臨界平衡狀態(tài)，摩擦力F沿斜面向上。取物塊為研究對象，其受力圖如圖所示。列補充方程

聯(lián)立可解得列平衡方程(2)求物塊平衡時力FQ的最大值FQmax，此時物塊處于向上滑動的臨界平衡狀態(tài)，摩擦力F沿斜面向下，畫出物塊的受力圖。列補充方程聯(lián)立解得

故使物塊平衡的水平力FQ的大小為列平衡方程解法2：例2-13

如圖所示為攀登電線桿的套鉤。已知套鉤的尺寸b、電線桿直徑d、套鉤與電線桿之間的靜摩擦因數(shù)fs。試求套鉤不致下滑時腳踏力FP的作用線與電線桿軸線的距離l。解取套鉤為研究對象，畫出其受力圖。聯(lián)立上述各方程，解得經(jīng)判斷，為使套鉤不致下滑l的范圍為分析套鉤的臨界平衡狀態(tài)，A、B兩處的靜摩擦力同時達到最大值，列平衡方程及摩擦力的補充方程討論：本例中，將A、B處的約束力用全反力表示，在臨界平衡狀態(tài)下套鉤的受力如圖所示。解得套鉤在FRA、FRB、FP三力作用下處于臨界平衡狀態(tài)，故三力必交于一點C，由圖中的幾何關(guān)系可得由于全反力的作用線只能在各自的摩擦角之內(nèi)，且根據(jù)三力平衡匯交定理，力FP必須過力FRA、FRB的交點。因此，力FP的作用點必須位于圖中的陰影區(qū)域內(nèi)。即例2-14

一制動器的結(jié)構(gòu)和尺寸如圖所示。已知圓輪上作用一力偶M，制動塊和圓輪表面之間的靜摩擦因數(shù)為fs。忽略制動塊的厚度，求制動圓輪所需的力FP的最小值。

分析：這是一個物體系統(tǒng)的平衡問題。圓輪的制動是靠制動塊與圓輪間的摩擦力來實現(xiàn)的。當(dāng)圓輪恰能被制動時，物體系統(tǒng)處于臨界平衡狀態(tài)，此時，靜摩擦力達到最大值，力FP有最小值。先選圓輪O研究，求出圓輪與制動塊間的約束力之后，再選制動桿ABD為研究對象，可求出最小作用力FP的大小。解

(1)取圓輪O為研究對象，并畫出其受力圖(圖a、b)。解得(2)取制動桿ABD為研究對象，畫出其受力圖（圖c）。列平衡方程解得列平衡方程和靜摩擦力的補充方程MeaABdbABO解：取推桿為研究對象考慮平衡的臨界情況，可得補充方程例2-15

已知fs、b

。求a為多大，推桿才不致被卡。FNBFBFFNAFAD用幾何法求解上例：CFABObad解:由圖示幾何關(guān)系得

m

m討論題：已知均質(zhì)木箱重G=5kN，fs=0.4，h=2a=2m，q=30°求（1）當(dāng)D處拉力為F=1kN時，木箱是否平衡?（2）能保持木箱平衡的最大拉力。解（1）取木箱，設(shè)其處于平衡狀態(tài)。木箱不會滑動；木箱無翻倒趨勢。所以木箱平衡。（2）設(shè)木箱將要滑動時拉力為F1設(shè)木箱有翻倒趨勢時拉力為F2所以能保持木箱平衡的最大拉力為1443N?！?-4空間力系的平衡方程及其應(yīng)用一.力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影1.直接投影法(已知力及其與三個軸的夾角)設(shè)力F與空間直角坐標(biāo)系的三個坐標(biāo)軸x、y、z的正向之間的夾角分別為a、b、g，從力F的起點和終點分別作與三個坐標(biāo)軸垂直的平面，這些平面在三坐標(biāo)軸上所截線段的長度并冠以適當(dāng)?shù)恼撎?，分別為稱為力F在x、y、z坐標(biāo)軸上的投影Fx、Fy、Fz

，即2.二次投影法若已知力的作用線與某一坐標(biāo)軸的夾角g

以及力在與該軸垂直的平面上的投影與另一坐標(biāo)軸的夾角j，可以先求出力在此坐標(biāo)平面上的投影，然后再求力在各坐標(biāo)軸上的投影，力F在三個坐標(biāo)軸上的投影分別為力在平面上的投影是矢量，而力在軸上的投影是代數(shù)量。

如果已知力F在三個坐標(biāo)軸上的投影Fx、Fy、Fz，由圖中可求得力F的大小和方向余弦二、力沿空間直角坐標(biāo)軸的分解如圖為求力F沿三個坐標(biāo)軸方向的分力，先將力F分解為沿z軸方向的分力Fz和在Oxy平面上的分力Fxy,，再將力Fxy分解為沿x、y軸方向的兩個分力Fx和Fy，即得力沿三個坐標(biāo)軸方向的分力Fx、Fy、Fz。力沿直角軸的分力與力在該軸上投影的大小相等，但力在坐標(biāo)軸上的投影是代數(shù)量，而分力是矢量。當(dāng)力在坐標(biāo)軸上的投影為正時，說明力沿該坐標(biāo)軸方向的分力指向坐標(biāo)軸的正向；反之，則指向負向。

說明：如圖所示，圓柱斜齒輪輪齒的嚙合力Fn的作用線在法平面abcd內(nèi)，平面abcd與齒輪端面abgf之間的夾角b稱為齒傾角或螺旋角，平面aedf為切平面，嚙合力Fn與切平面的夾角a稱為壓力角。嚙合力Fn沿平行于齒輪軸線的分力Fa稱為軸向力，沿嚙合圓切線的分力Ft稱為切向力，沿嚙合圓半徑方向的分力Fr稱為徑向力。斜齒輪及其受力分析：如圖所示為圓錐齒輪，輪齒和軸線的夾角為頂錐角d，輪齒的嚙合力Fn和嚙合點所在圓周切線的夾角a為壓力角。嚙合力Fn沿平行于齒輪軸線的分力Fa稱為軸向力，沿嚙合圓切線的分力Ft稱為切向力，沿嚙合圓半徑方向的分力Fr稱為徑向力。

圓錐齒輪及其受力分析：三、力對軸之矩

力對某軸之矩，等于力在垂直于該軸的平面內(nèi)的投影對軸與平面交點之矩,力F對z軸之矩用Ｍz(F)表示，即式中，d為O點到投影Fxy的垂直距離；正負號表示力使物體繞軸轉(zhuǎn)動的方向，一般用右手定則確定，用右手四指表示力使物體繞軸轉(zhuǎn)動的方向，當(dāng)大姆指指向軸的正向時，取正號，反之取負號?？梢娏S之矩是代數(shù)量，其單位與力對點之矩的單位相同，常用單位為N·m或kN·m。力對軸之矩是力使物體繞某軸轉(zhuǎn)動效應(yīng)的度量。1.力對軸之矩說明：當(dāng)力的作用線與軸平行(Fxy=0)或相交(d=0),即力與軸共面時，力對軸之矩等于零。力對軸之矩的定義可知，在平面問題中力對平面內(nèi)某點O的矩，實際上是力對通過該點且與平面垂直的軸之矩。在計算力對軸之矩時，仍可以使用合力矩定理，即合力對某一軸之矩等于各分力對該軸之矩的代數(shù)和。力對軸之矩例2－16如圖所示托架套在轉(zhuǎn)軸z上，力F=100kN,求力F對z軸之矩。解

本題可用合力矩定理計算，將力F沿坐標(biāo)軸x、y、z方向分解為三個分力Fx、Fy、Fz，其大小分別為由合力矩定理可得力F對z軸之矩為四、常見的空間約束及其約束力五、空間一般力系的平衡方程可以證明，空間一般力系平衡方程為空間一般力系平衡的充分和必要條件是：力系中所有各力在空間直角坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零，各力對三個坐標(biāo)軸之矩的代數(shù)和也分別等于零?？臻g一般力系有六個獨立的平衡方程，可以求解六個未知量。六、空間特殊力系的平衡方程1.空間匯交力系的平衡方程空間匯交力系平衡的充分和必要條件是：力系中所有各力在三個坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和都等于零?？臻g匯交力系有三個獨立的平衡方程，可以求解三個未知量。若以力系的匯交點O為坐標(biāo)原點，則力系中各力對三個坐標(biāo)軸之矩均等于零。因此，空間匯交力系的平衡方程為2.空間平行力系的平衡方程設(shè)z軸與力系中各力的作用線平行，則各力在x軸、y軸上的投影均等于零，各力對z軸之矩均等于零。因此，空間平行力系的平衡方程為空間平行力系平衡的充分和必要條件是：力系中所有各力在與力的作用線平行的坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零，各力對與力作用線垂直的兩個坐標(biāo)軸之矩的代數(shù)和分別等于零?？臻g平行力系有三個獨立的平衡方程，可以求解三個未知量。例2－17如圖所示電動機E通過皮帶帶動AB軸轉(zhuǎn)動，從而將重物D勻速起吊。已知帶與水平線成30°角，輪軸的半徑r=10cm，R=20cm，重物D的重量G=10kN，帶緊邊（下邊）拉力為松邊（上邊）拉力的兩倍。求軸承A、B處的約束力。解（1）取整個輪軸系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。（2）選取坐標(biāo)系如圖所示。（3）列平衡方程并求解

例2－18一傳動軸如圖所示，皮帶輪D的半徑R=600mm，自重G2＝2kN，緊邊拉力F1的傾角為45°，松邊拉力F2的傾角為30°，且F1＝2F2；齒輪C的分度圓半徑r=200mm,G1＝1kN，齒輪嚙合力的三個分力為：圓周力Ft=12kN，徑向力Fr=1.5kN，軸向力Fa=0.5kN。已知AC=CB=l，BD=l/2。。求皮帶拉力和軸承A、B的反力。解一個空間物體可以用三個平面視圖來表示。同樣，空間問題也能轉(zhuǎn)化為平面問題?？梢宰C明，若物體在空間力系作用下平衡，則其三視圖所表示的每個平面力系也一定平衡。因此，可以將空間平衡問題轉(zhuǎn)化為平面平衡問題求解，這種方法稱為平面解法。在機械工程中，輪軸類零件的空間力系平衡問題常采用平面解法。（1）取帶輪整體為研究對象，選取坐標(biāo)系，并作受力圖。（2）將輪軸的輪廓及所受的力向三個坐標(biāo)平面投影，作出三個投影圖。（3）求解三個平面力系xz平面：zy平面：

xy平面：

練習(xí)：有一起重絞車的鼓輪軸如圖所示。已知G=10kN，b=c=30cm，a=20cm,大齒輪半徑R=20cm,在最高處E點受Fn的作用，F(xiàn)n與齒輪分度圓切線之夾角為α=20°，鼓輪半徑r=10cm，A、B兩端為向心軸承。試求輪齒的作用力Fn以及A、B兩軸處的約束力。解：取鼓輪軸為研究對象，畫出其受力圖。將輪軸的輪廓及所受的力向三個坐標(biāo)平面投影，作出三個投影圖。xz平面：

yz平面：xy平面：

負號表明，圖中所標(biāo)力的方向與實際方向相反。練習(xí):

圖a所示為一電機通過聯(lián)軸器帶動帶輪的傳動裝置。已知驅(qū)動力偶矩M=20Nm，帶輪直徑D=16cm，a=20cm，輪軸自重不計，帶的拉力FT1=2FT2。試求A、B二處的軸承反力。解：取輪軸為研究對象，畫出其受力圖。將輪軸的輪廓及所受的力向三個坐標(biāo)平面投影，作出三個投影圖。xz平面：

yz平面