第一章集合與常用邏輯用語1.1集合的概念與運算集合是高中數(shù)學的基礎語言，也是高考的必考內(nèi)容（多為選擇題第1題）。核心是元素與集合的關系、集合間的關系及集合運算。1.1.1集合的基本概念1.定義：集合是由確定的、互異的、無序的對象（稱為元素）組成的整體。確定性：元素是否屬于集合必須明確（如“優(yōu)秀學生”不是集合，“身高170cm以上的學生”是集合）?；ギ愋裕杭现性夭荒苤貜停ㄈ鐊1,1,2}應表示為{1,2}）。無序性：集合中元素順序無關（如{1,2}={2,1}）。2.表示方法：列舉法：逐一列出元素（如{1,2,3}，適用于有限集或規(guī)律明顯的無限集）。描述法：用“代表元素|元素滿足的條件”表示（如{x|x2-2x=0}，注意代表元素的類型：{y|y=x2}是數(shù)集（函數(shù)值域），{(x,y)|y=x2}是點集（拋物線））。Venn圖：用圓形或矩形表示集合（直觀展示集合關系）。3.元素與集合的關系：屬于（∈）：如1∈{1,2}；不屬于（?）：如3?{1,2}。1.1.2集合的基本關系1.子集：若集合A的所有元素都在集合B中，則A是B的子集，記作A?B（或B?A）。性質(zhì)：①??A（空集是任何集合的子集）；②A?A（自身是自身的子集）；③若A?B且B?C，則A?C（傳遞性）。2.真子集：若A?B且A≠B，則A是B的真子集，記作A?B（或B?A）。性質(zhì)：①??A（A≠?時，空集是任何非空集合的真子集）；②若A?B且B?C，則A?C。3.集合相等：若A?B且B?A，則A=B（如{1,2}={2,1}）。1.1.3集合的基本運算設全集為U（包含所有研究對象的集合），A、B為U的子集：1.交集（A∩B）：所有同時屬于A和B的元素組成的集合，即A∩B={x|x∈A且x∈B}。性質(zhì)：①A∩A=A；②A∩?=?；③A∩B=B∩A。2.并集（A∪B）：所有屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合，即A∪B={x|x∈A或x∈B}。性質(zhì)：①A∪A=A；②A∪?=A；③A∪B=B∪A。3.補集（??A）：全集U中不屬于A的元素組成的集合，即??A={x|x∈U且x?A}。性質(zhì)：①??(??A)=A；②??U=?；③???=U；④A∪??A=U；⑤A∩??A=?。解題技巧：數(shù)集運算用數(shù)軸法（如求A={x|1<x<3}與B={x|2<x<4}的交集，數(shù)軸上重疊部分為(2,3)）；有限集運算用Venn圖（如求A∪B、A∩B時，用圖形表示集合邊界）。1.2常用邏輯用語常用邏輯用語是研究命題關系、推理的工具，高考重點考查充分必要條件判斷、命題的否定。1.2.1命題與四種命題1.命題：可以判斷真假的陳述句（如“2是偶數(shù)”是真命題，“3<2”是假命題）。2.四種命題：原命題：若p，則q（p→q）；逆命題：若q，則p（q→p）；否命題：若?p，則?q（?p→?q）；逆否命題：若?q，則?p（?q→?p）。3.等價關系：原命題與逆否命題同真同假（如“若x>2，則x>1”的逆否命題是“若x≤1，則x≤2”，均為真）；逆命題與否命題同真同假（如“若x>1，則x>2”的逆命題是“若x>2，則x>1”，逆命題為真，否命題“若x≤1，則x≤2”也為真）。應用：判斷命題真假時，若原命題難以判斷，可轉(zhuǎn)化為逆否命題（如“若a+b≠5，則a≠2或b≠3”，逆否命題是“若a=2且b=3，則a+b=5”，為真，故原命題為真）。1.2.2充分條件與必要條件1.定義：若p→q（p成立則q一定成立），則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若p→q且q→p（p?q），則p是q的充要條件（充分必要條件）；若p→q且q→/p，則p是q的充分不必要條件；若p→/q且q→p，則p是q的必要不充分條件；若p→/q且q→/p，則p是q的既不充分也不必要條件。2.判斷方法：定義法：直接驗證p→q和q→p是否成立；集合法：設P={x|p(x)}，Q={x|q(x)}，則：p是q的充分條件?P?Q；p是q的必要條件?Q?P；p是q的充要條件?P=Q；等價法：利用逆否命題轉(zhuǎn)化（如“p→q”等價于“?q→?p”）。示例：判斷“x>2”是“x>1”的什么條件？集合法：P={x|x>2}，Q={x|x>1}，P?Q，故“x>2”是“x>1”的充分不必要條件。1.2.3邏輯聯(lián)結(jié)詞與復合命題1.邏輯聯(lián)結(jié)詞：“且（∧）”、“或（∨）”、“非（?）”。2.復合命題真值表：p∧q（p且q）：只有p、q都真時，才真；p∨q（p或q）：只要p、q有一個真，就真；?p（非p）：p真則?p假，p假則?p真。注意：“或”在數(shù)學中是可兼或（如“x>2或x<1”包含x>2、x<1兩種情況），與日常語言中的“或”（不可兼或）不同。1.2.4全稱量詞與存在量詞1.量詞：全稱量詞（?）：表示“所有”“任意”（如“?x∈R，x2≥0”，所有實數(shù)的平方非負）；存在量詞（?）：表示“存在”“至少有一個”（如“?x∈R，x2=2”，存在實數(shù)x使x2=2）。2.命題的否定：全稱命題“?x∈M，p(x)”的否定是特稱命題：“?x∈M，?p(x)”（如“所有正方形都是矩形”的否定是“存在一個正方形不是矩形”）；特稱命題“?x∈M，p(x)”的否定是全稱命題：“?x∈M，?p(x)”（如“存在x∈R，x2≤0”的否定是“?x∈R，x2>0”）。易錯點：命題否定時，量詞與結(jié)論都要否定（如“?x∈R，x2+2x+3≤0”的否定是“?x∈R，x2+2x+3>0”，而非“?x∈R，x2+2x+3>0”）。1.3易錯點辨析與高頻考點突破1.3.1易錯點1：空集的忽略問題：若A?B，A={x|x2-2x+a=0}，B={1,2}，求a的取值范圍。錯解：直接代入1或2得a=1或a=0，忽略A=?的情況。正解：當A=?時，Δ=4-4a<0?a>1；當A≠?時，若1∈A，則a=1（此時A={1}?B）；若2∈A，則a=0（此時A={0,2}?B，舍去）。結(jié)論：a≥1。1.3.2易錯點2：命題否定與否命題混淆命題：“若x>2，則x>1”（真）；否命題：“若x≤2，則x≤1”（假，如x=1.5≤2但x>1）；命題否定：“存在x>2，使得x≤1”（假）?？偨Y(jié)：否命題是“條件+結(jié)論都否定”，命題否定是“只否定結(jié)論，量詞反轉(zhuǎn)”。1.3.3高頻考點：充分必要條件判斷示例（2023年全國甲卷）：設p：x>1，q：x2>1，則p是q的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：q：x2>1?x>1或x<-1。P={x|x>1}，Q={x|x>1或x<-1}，P?Q，故p是q的充分不必要條件，選A。1.4高考題例析1.4.1集合運算（2023年全國乙卷）設集合A={x|x2-3x+2<0}，B={x|2x-3>0}，則A∩B=（）A.(1,3/2)B.(3/2,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)解析：解A：x2-3x+2<0?(x-1)(x-2)<0?1<x<2；解B：2x-3>0?x>3/2。交集為(3/2,2)，選B。1.4.2命題否定（2022年全國乙卷）設命題p：?x∈R，x2+2x+3≤0，則?p是（）A.?x∈R，x2+2x+3≤0B.?x∈R，x2+2x+3>0C.?x∈R，x2+2x+3>0D.?x∈R，x2+2x+3≥0解析：特稱命題的否定是全稱命題，結(jié)論否定，故?p：?x∈R，x2+2x+3>0，選B。1.5本章總結(jié)1.核心考點：集合運算（交集、并集、補集）、充分必要條件判斷、命題否定。2.解題技巧：集合運算用數(shù)軸（數(shù)集）或Venn圖（有限集）；充分必要條件用集合法（小推大）；命題否定用“量詞反轉(zhuǎn)+結(jié)論否定”。3.易錯提醒：