統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題及答案一、描述統(tǒng)計(jì)習(xí)題及解答習(xí)題1：某班級(jí)30名學(xué)生數(shù)學(xué)期中考試成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?8,85,92,65,73,88,95,70,81,89,76,83,90,68,79,84,87,72,80,91,75,86,69,77,82,93,71,85,94,66。（1）計(jì)算均值、中位數(shù)、眾數(shù)-均值：將所有數(shù)據(jù)相加后除以樣本量?？偤?78+85+92+65+73+88+95+70+81+89+76+83+90+68+79+84+87+72+80+91+75+86+69+77+82+93+71+85+94+66=2490均值=2490÷30=83（分）-中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排序后，取中間位置的數(shù)。排序后數(shù)據(jù)為：65,66,68,69,70,71,72,73,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95第15和16個(gè)數(shù)分別為81和82，中位數(shù)=(81+82)÷2=81.5（分）-眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)。觀察排序后數(shù)據(jù)，85分出現(xiàn)2次，其余數(shù)均出現(xiàn)1次，因此眾數(shù)為85分。（2）計(jì)算極差、方差（樣本方差）、標(biāo)準(zhǔn)差（樣本標(biāo)準(zhǔn)差）、四分位距-極差：最大值-最小值=95-65=30（分）-樣本方差：公式為\(s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\)。計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)與均值（83）的差的平方和：(78-83)2+(85-83)2+...+(66-83)2=25+4+81+324+100+25+144+169+4+36+49+25+49+225+16+1+16+121+9+64+64+9+25+36+1+100+144+4+121+289=2830樣本方差\(s^2=2830÷(30-1)≈97.59\)（分2）-樣本標(biāo)準(zhǔn)差：樣本方差的平方根，\(s=\sqrt{97.59}≈9.88\)（分）-四分位距（IQR）：第三四分位數(shù)（Q3）-第一四分位數(shù)（Q1）。Q1位置=(30+1)×0.25=7.75，取第7和第8個(gè)數(shù)的加權(quán)平均：第7個(gè)數(shù)72，第8個(gè)數(shù)73，Q1=72+0.75×(73-72)=72.75（分）Q3位置=(30+1)×0.75=23.25，取第23和第24個(gè)數(shù)的加權(quán)平均：第23個(gè)數(shù)88，第24個(gè)數(shù)89，Q3=88+0.25×(89-88)=88.25（分）IQR=88.25-72.75=15.5（分）（3）繪制頻數(shù)分布表（組距10分，起始組50-60），并描述數(shù)據(jù)分布特征頻數(shù)分布表：|分組（分）|頻數(shù)|頻率（%）||------------|------|-----------||50-60|0|0||60-70|5|16.67||70-80|9|30.00||80-90|13|43.33||90-100|3|10.00|分布特征：數(shù)據(jù)主要集中在70-90分區(qū)間（占83.33%），其中80-90分頻數(shù)最高（13人），整體分布略右偏（高分段有少數(shù)極端值，如95分），但基本接近對(duì)稱。二、概率基礎(chǔ)習(xí)題及解答習(xí)題2：某電子廠生產(chǎn)A、B兩種型號(hào)的芯片，A型號(hào)占總產(chǎn)量的60%，B型號(hào)占40%。A型號(hào)的次品率為2%，B型號(hào)的次品率為5%?，F(xiàn)從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一枚芯片，發(fā)現(xiàn)是次品，求該芯片是A型號(hào)的概率。解答：設(shè)事件A為“抽到A型號(hào)芯片”，事件B為“抽到B型號(hào)芯片”，事件C為“抽到次品”。已知\(P(A)=0.6\)，\(P(B)=0.4\)，\(P(C|A)=0.02\)，\(P(C|B)=0.05\)。根據(jù)貝葉斯定理，所求概率為\(P(A|C)=\frac{P(C|A)P(A)}{P(C)}\)。首先計(jì)算全概率\(P(C)=P(C|A)P(A)+P(C|B)P(B)=0.02×0.6+0.05×0.4=0.012+0.02=0.032\)。因此，\(P(A|C)=\frac{0.012}{0.032}=0.375\)（即37.5%）。三、概率分布習(xí)題及解答習(xí)題3：某交通路口每分鐘通過(guò)的汽車數(shù)量服從泊松分布，已知平均每分鐘通過(guò)3輛汽車。求：（1）一分鐘內(nèi)恰好通過(guò)2輛汽車的概率；（2）一分鐘內(nèi)通過(guò)汽車數(shù)量不超過(guò)4輛的概率；（3）若該路口安裝了智能監(jiān)控系統(tǒng)，當(dāng)一分鐘內(nèi)通過(guò)汽車數(shù)量超過(guò)5輛時(shí)會(huì)觸發(fā)警報(bào)，求警報(bào)觸發(fā)的概率。解答：泊松分布概率公式為\(P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}\)，其中\(zhòng)(\lambda=3\)。（1）\(P(X=2)=\frac{3^2e^{-3}}{2!}=\frac{9×0.0498}{2}≈0.224\)（22.4%）。（2）\(P(X≤4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)\)計(jì)算各概率：\(P(X=0)=\frac{3^0e^{-3}}{0!}≈0.0498\)\(P(X=1)=\frac{3^1e^{-3}}{1!}≈0.1494\)\(P(X=2)≈0.224\)（同上）\(P(X=3)=\frac{3^3e^{-3}}{3!}≈0.224\)\(P(X=4)=\frac{3^4e^{-3}}{4!}≈0.168\)總和≈0.0498+0.1494+0.224+0.224+0.168≈0.8152（81.52%）。（3）警報(bào)觸發(fā)概率為\(P(X>5)=1-P(X≤5)\)。計(jì)算\(P(X=5)=\frac{3^5e^{-3}}{5!}≈0.1008\)，則\(P(X≤5)≈0.8152+0.1008=0.916\)，因此\(P(X>5)=1-0.916=0.084\)（8.4%）。習(xí)題4：某品牌手機(jī)電池的待機(jī)時(shí)間服從正態(tài)分布，均值為24小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為2小時(shí)。求：（1）隨機(jī)選取一塊電池，待機(jī)時(shí)間超過(guò)26小時(shí)的概率；（2）待機(jī)時(shí)間在22到25小時(shí)之間的概率；（3）為了保證95%的電池待機(jī)時(shí)間不低于某一閾值，該閾值應(yīng)設(shè)定為多少小時(shí)？（Z值表：Φ(1.645)=0.95，Φ(1.96)=0.975）解答：設(shè)待機(jī)時(shí)間為X，\(X\simN(24,2^2)\)，標(biāo)準(zhǔn)化后\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\simN(0,1)\)。（1）\(P(X>26)=P(Z>\frac{26-24}{2})=P(Z>1)=1-Φ(1)≈1-0.8413=0.1587\)（15.87%）。（2）\(P(22<X<25)=P(\frac{22-24}{2}<Z<\frac{25-24}{2})=P(-1<Z<0.5)=Φ(0.5)-Φ(-1)=0.6915-0.1587=0.5328\)（53.28%）。（3）設(shè)閾值為k，要求\(P(X≥k)=0.95\)，即\(P(X<k)=0.05\)。標(biāo)準(zhǔn)化后\(P(Z<\frac{k-24}{2})=0.05\)。查Z表，Φ(-1.645)=0.05，因此\(\frac{k-24}{2}=-1.645\)，解得\(k=24-1.645×2=20.71\)（小時(shí)）。四、參數(shù)估計(jì)習(xí)題及解答習(xí)題5：為估計(jì)某城市家庭月均用電量（單位：度），隨機(jī)抽取50戶家庭，測(cè)得樣本均值為280度，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為45度。要求：（1）用矩估計(jì)法估計(jì)總體均值和總體方差；（2）計(jì)算總體均值的95%置信區(qū)間（t分布臨界值t?.???(49)=2.0096，Z?.???=1.96）；（3）若要求置信區(qū)間寬度不超過(guò)20度，至少需要抽取多少戶家庭？（假設(shè)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替）解答：（1）矩估計(jì)法中，總體均值的矩估計(jì)為樣本均值\(\hat{\mu}=\bar{x}=280\)（度）；總體方差的矩估計(jì)為樣本二階中心矩\(\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum(x_i-\bar{x})^2\)，但實(shí)際中常用樣本方差\(s^2=\frac{1}{n-1}\sum(x_i-\bar{x})^2\)估計(jì)總體方差。本題樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=45，故總體方差矩估計(jì)為\(s^2=45^2=2025\)（度2）。（2）由于總體標(biāo)準(zhǔn)差未知且樣本量n=50（大樣本），可用t分布或Z分布。通常n≥30時(shí)可用Z分布近似，本題給出t臨界值，故用t分布：置信區(qū)間公式為\(\bar{x}\pmt_{\alpha/2}(n-1)\frac{s}{\sqrt{n}}\)。代入數(shù)據(jù)：\(280\pm2.0096×\frac{45}{\sqrt{50}}≈280\pm2.0096×6.364≈280\pm12.79\)，即(267.21,292.79)度。（3）置信區(qū)間寬度=2×邊際誤差（E），要求寬度≤20，即E≤10。邊際誤差公式\(E=z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}\)（大樣本用Z分布）。已知s=45，z?.???=1.96，代入得\(10=1.96×\frac{45}{\sqrt{n}}\)，解得\(\sqrt{n}=\frac{1.96×45}{10}≈8.82\)，故\(n≈(8.82)^2≈77.8\)，向上取整為78戶。五、假設(shè)檢驗(yàn)習(xí)題及解答習(xí)題6：某奶粉廠宣稱其生產(chǎn)的嬰兒奶粉每100克蛋白質(zhì)含量不低于18克。質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取25袋奶粉，測(cè)得樣本均值為17.5克，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為1.2克。假設(shè)蛋白質(zhì)含量服從正態(tài)分布，檢驗(yàn)該廠家的宣稱是否成立（α=0.05）。解答：-原假設(shè)\(H_0:\mu≥18\)（廠家宣稱成立），備擇假設(shè)\(H_1:\mu<18\)（單側(cè)檢驗(yàn)）。-總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，樣本量n=25（小樣本），用t檢驗(yàn)。-檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量\(t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{17.5-18}{1.2/\sqrt{25}}=\frac{-0.5}{0.24}≈-2.083\)。-自由度df=25-1=24，α=0.05，單側(cè)檢驗(yàn)臨界值\(t_{0.05}(24)=-1.711\)（左側(cè)檢驗(yàn)）。-計(jì)算得t=-2.083<-1.711，落在拒絕域內(nèi)，因此拒絕原假設(shè)，認(rèn)為廠家宣稱不成立。習(xí)題7：為比較兩種教學(xué)方法的效果，分別從采用方法A和方法B的班級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生，測(cè)得數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢悍椒ˋ：78,82,85,79,81,86,83,77,84,80,87,75,89,76,88,82,80,85,79,83方法B：72,75,78,74,77,81,76,73,79,70,80,69,82,71,78,75,77,74,79,76假設(shè)兩總體方差相等且服從正態(tài)分布，檢驗(yàn)兩種教學(xué)方法的效果是否有顯著差異（α=0.05）。解答：-設(shè)方法A的均值為\(\mu_1\)，方法B的均值為\(\mu_2\)，原假設(shè)\(H_0:\mu_1=\mu_2\)，備擇假設(shè)\(H_1:\mu_1≠\mu_2\)（雙側(cè)檢驗(yàn)）。步驟1：計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量方法A：樣本均值\(\bar{x}_1=\frac{78+82+...+83}{20}=82.1\)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差\(s_1=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar{x}_1)^2}{19}}≈4.2\)方法B：樣本均值