概率統(tǒng)計(jì)試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）（1）設(shè)事件A與B滿足P(A)=0.6，P(B)=0.5，且P(A∪B)=0.8，則P(AB)的值為（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5（2）已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且E[(X-1)(X-2)]=1，則λ=（）A.1B.2C.3D.4（3）設(shè)X~N(μ,σ2)，Y=2X-3，則Y的分布為（）A.N(2μ-3,2σ2)B.N(2μ-3,4σ2)C.N(μ-3,σ2)D.N(μ-3,4σ2)（4）設(shè)X?,X?,…,X?是來自正態(tài)總體N(μ,σ2)的簡單隨機(jī)樣本，樣本均值為X?，樣本方差為S2，則下列統(tǒng)計(jì)量中服從t(n-1)分布的是（）A.(X?-μ)/(σ/√n)B.(X?-μ)/(S/√n)C.(n-1)S2/σ2D.Σ(X?-μ)2/σ2（5）在假設(shè)檢驗(yàn)中，若原假設(shè)H?為真，但拒絕H?的概率稱為（）A.第一類錯(cuò)誤概率B.第二類錯(cuò)誤概率C.置信水平D.檢驗(yàn)功效二、填空題（每小題4分，共20分）（1）袋中有5個(gè)紅球和3個(gè)白球，不放回地依次取2個(gè)球，已知第一次取到紅球的條件下，第二次取到白球的概率為__________。（2）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=\(\begin{cases}kx,&0<x<2\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，則k=__________。（3）設(shè)X~B(n,p)，且E(X)=4，D(X)=2.4，則n=__________。（4）設(shè)X與Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=-2，D(X)=4，D(Y)=9，則X與Y的相關(guān)系數(shù)ρ??=__________。（5）設(shè)總體X~N(μ,σ2)，σ2未知，從總體中抽取容量為n的樣本，樣本均值為X?，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為S，則μ的置信水平為1-α的置信區(qū)間為__________。三、計(jì)算題（每小題10分，共40分）1.某工廠有三條生產(chǎn)線A、B、C，分別生產(chǎn)產(chǎn)品的30%、50%、20%，各生產(chǎn)線的次品率分別為2%、1%、3%?，F(xiàn)從該廠產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，求：（1）該產(chǎn)品是次品的概率；（2）若抽到的是次品，求它來自生產(chǎn)線B的概率。2.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：f(x,y)=\(\begin{cases}6xy,&0<x<1,0<y<1-x\\0,&\text{其他}\end{cases}\)（1）求X的邊緣概率密度f?(x)；（2）求E(XY)。3.設(shè)總體X的概率密度為：f(x;θ)=\(\begin{cases}\frac{1}{θ}e^{-x/θ},&x>0\\0,&\text{其他}\end{cases}\)（θ>0未知）X?,X?,…,X?是來自X的簡單隨機(jī)樣本，求θ的極大似然估計(jì)量。4.某品牌電池的壽命（單位：小時(shí)）服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中σ2=100?，F(xiàn)從一批電池中隨機(jī)抽取16只，測得樣本均值為110小時(shí)。（1）在顯著性水平α=0.05下，檢驗(yàn)H?:μ=105vsH?:μ≠105；（2）若實(shí)際均值μ=108，求檢驗(yàn)的功效（即1-β，其中β為第二類錯(cuò)誤概率）。四、應(yīng)用題（每小題15分，共25分）1.某保險(xiǎn)公司統(tǒng)計(jì)顯示，某類車險(xiǎn)的年索賠次數(shù)X服從泊松分布，參數(shù)λ未知?，F(xiàn)隨機(jī)調(diào)查100位車主，得到年索賠次數(shù)的頻數(shù)分布如下：|索賠次數(shù)k|0|1|2|≥3||-----------|---|---|---|----||頻數(shù)n?|55|30|10|5|（1）用極大似然估計(jì)法估計(jì)λ；（2）在顯著性水平α=0.05下，檢驗(yàn)該分布是否為泊松分布（χ2檢驗(yàn)臨界值χ?.??2(2)=5.991，χ?.??2(3)=7.815）。2.某企業(yè)生產(chǎn)的零件長度X~N(μ,σ2)，為提高精度，改進(jìn)了生產(chǎn)工藝?，F(xiàn)從新工藝生產(chǎn)的零件中抽取9個(gè)，測得長度（單位：mm）為：21.5,22.0,21.8,21.6,22.1,21.9,21.7,21.8,22.2。（1）求新工藝下零件長度的樣本均值和樣本方差；（2）假設(shè)原工藝的零件長度均值為21.5mm，在顯著性水平α=0.05下，檢驗(yàn)新工藝是否提高了零件長度的均值（t?.??(8)=1.8595，t?.???(8)=2.3060）。---答案與解析一、單項(xiàng)選擇題（1）B解析：由概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)，代入得0.8=0.6+0.5-P(AB)，解得P(AB)=0.3。（2）A解析：泊松分布的期望和方差均為λ，E(X)=λ，D(X)=λ。展開E[(X-1)(X-2)]=E(X2-3X+2)=E(X2)-3E(X)+2。由于E(X2)=D(X)+[E(X)]2=λ+λ2，故λ+λ2-3λ+2=1，即λ2-2λ+1=0，解得λ=1。（3）B解析：正態(tài)分布的線性變換性質(zhì)：若X~N(μ,σ2)，則aX+b~N(aμ+b,a2σ2)。本題中a=2，b=-3，故Y~N(2μ-3,4σ2)。（4）B解析：當(dāng)σ2未知時(shí)，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)化統(tǒng)計(jì)量為(X?-μ)/(S/√n)，服從t(n-1)分布（t分布定義）。選項(xiàng)A服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，C服從χ2(n-1)分布，D服從χ2(n)分布。（5）A解析：第一類錯(cuò)誤（棄真錯(cuò)誤）是原假設(shè)為真時(shí)拒絕原假設(shè)的概率；第二類錯(cuò)誤（取偽錯(cuò)誤）是原假設(shè)為假時(shí)接受原假設(shè)的概率。二、填空題（1）3/7解析：設(shè)A為“第一次取紅球”，B為“第二次取白球”。P(B|A)=P(AB)/P(A)。P(A)=5/8，P(AB)=(5×3)/(8×7)=15/56，故P(B|A)=(15/56)/(5/8)=3/7。（2）1/2解析：由概率密度的規(guī)范性，∫?∞^∞f(x)dx=∫?2kxdx=k(x2/2)|?2=2k=1，解得k=1/2。（3）10解析：二項(xiàng)分布的期望E(X)=np=4，方差D(X)=np(1-p)=2.4。代入得4(1-p)=2.4，解得p=0.4，故n=4/0.4=10。（4）-1/3解析：相關(guān)系數(shù)ρ??=Cov(X,Y)/(√D(X)√D(Y))=-2/(√4×√9)=-2/(2×3)=-1/3。（5）(X?-t_{α/2}(n-1)S/√n,X?+t_{α/2}(n-1)S/√n)解析：σ2未知時(shí)，μ的置信區(qū)間用t分布，公式為X?±t_{α/2}(n-1)(S/√n)。三、計(jì)算題1.解：（1）設(shè)A、B、C分別表示產(chǎn)品來自生產(chǎn)線A、B、C，D表示“抽到次品”。由全概率公式：P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.3×0.02+0.5×0.01+0.2×0.03=0.006+0.005+0.006=0.017。（2）由貝葉斯公式：P(B|D)=P(B)P(D|B)/P(D)=0.5×0.01/0.017≈0.2941。2.解：（1）X的邊緣概率密度f?(x)=∫?∞^∞f(x,y)dy。當(dāng)0<x<1時(shí)，y的范圍是0到1-x，故：f?(x)=∫?^{1-x}6xydy=6x(y2/2)|?^{1-x}=3x(1-x)2。當(dāng)x≤0或x≥1時(shí)，f?(x)=0。（2）E(XY)=∫?∞^∞∫?∞^∞xyf(x,y)dxdy=∫?1∫?^{1-x}xy6xydydx=6∫?1x2dx∫?^{1-x}y2dy計(jì)算內(nèi)層積分：∫?^{1-x}y2dy=(y3/3)|?^{1-x}=(1-x)3/3外層積分：6∫?1x2(1-x)3/3dx=2∫?1x2(1-3x+3x2-x3)dx=2∫?1(x2-3x3+3x?-x?)dx=2[(x3/3-3x?/4+3x?/5-x?/6)|?1]=2(1/3-3/4+3/5-1/6)=2(20/60-45/60+36/60-10/60)=2(1/60)=1/30。3.解：似然函數(shù)L(θ)=∏??f(x?;θ)=∏??(1/θ)e^{-x?/θ}=θ??e^{-∑x?/θ}（x?>0）。取對(duì)數(shù)得lnL(θ)=-nlnθ-(∑x?)/θ。對(duì)θ求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0：d(lnL)/dθ=-n/θ+(∑x?)/θ2=0，解得θ=∑x?/n=X?。故θ的極大似然估計(jì)量為θ?=X?。4.解：（1）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z=(X?-μ?)/(σ/√n)=(110-105)/(10/4)=5/2.5=2。顯著性水平α=0.05，雙側(cè)檢驗(yàn)臨界值Z_{α/2}=1.96。由于|Z|=2>1.96，拒絕H?，認(rèn)為均值不等于105。（2）檢驗(yàn)功效=P(拒絕H?|μ=108)=P(|Z|>1.96|μ=108)。當(dāng)μ=108時(shí)，Z=(X?-105)/(10/4)=(X?-105)/2.5，而X?~N(108,100/16)=N(108,6.25)，故Z~N((108-105)/2.5,1)=N(1.2,1)。拒絕域?yàn)閆>1.96或Z<-1.96。P(Z>1.96)=1-Φ(1.96-1.2)=1-Φ(0.76)=1-0.7764=0.2236；P(Z<-1.96)=Φ(-1.96-1.2)=Φ(-3.16)≈0.0008；總功效≈0.2236+0.0008=0.2244。四、應(yīng)用題1.解：（1）泊松分布的極大似然估計(jì)λ?=X?。樣本均值X?=(0×55+1×30+2×10+3×5)/100=(0+30+20+15)/100=65/100=0.65。（2）檢驗(yàn)假設(shè)H?:X~P(λ)vsH?:X不服從泊松分布。計(jì)算理論頻數(shù)：λ=0.65，P(X=0)=e^{-0.65}≈0.5220，理論頻數(shù)n?=100×0.5220=52.2；P(X=1)=0.65e^{-0.65}≈0.3393，理論頻數(shù)n?=100×0.3393=33.93；P(X=2)=0.652e^{-0.65}/2≈0.1103，理論頻數(shù)n?=100×0.1103=11.03；P(X≥3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)≈1-0.5220-0.3393-0.1103=0.0284，理論頻數(shù)n?=100×0.0284=2.84。合并頻數(shù)小于5的組：n?=2.84<5，與n?合并，合并后組數(shù)k=3（X=0,X=1,X≥2），估計(jì)了1個(gè)參數(shù)，自由度df=k-1-1=1。計(jì)算χ2統(tǒng)計(jì)量：χ2=∑(n?-n??)2/n??=(55-52.2)2/52.2+(30-33.93)2/33.93+(15-13.87)2/13.87≈(7.84/52.2)+(15.44/33.93)+(1.28/13.87)≈0.150+0.455+0.092≈0.697。臨界值χ?.??2(1)=3.841，由于0.697<3.841，不拒絕H?，認(rèn)為該分布是泊松分布。2.解：（1）樣本均值X?=(21.5+22.0+…+22.2)/9=(21.5+22.0=43.5;43.5+21.8=65.3;65.3+21.6=86.9;86.9+22.1=109;109+21.9=130.9;130.9+21.7=152.6;152.6+21.8=174.4;174.4+22.2=196.6)/9≈196.6/9≈21.844mm。樣本方差S2=∑(X?-X?)2/(n-1)。計(jì)算各偏差平方：(21.5-21.844)2≈0.118,(22.0-21.844)2≈0.024,(21.8-21.844)2≈0.002,(21.6-21.844)2≈0.059,(22.1-21.844)2≈0.066,(21.9-21.844)2≈0.003,(21.7-21.844)2≈0.021,(21.8-21.844)2≈0.002,(22.2-21.844)2≈0.127。總和≈0.118+0