/2024-2025學(xué)年福建省福州市九校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.集合A={x|?2<x<3}，B={x|x≥1}，則A∩B=(

)A.(1,3) B.(?2,3) C.[1,3) D.[1,3]2.復(fù)數(shù)z=?2i(?1+i)的虛部為(

)A.?2 B.2i C.2 D.?2i3.已知a∈R，則“a2?3a?4<0”是“a<4”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知平面向量a，b滿足a=(1,?3)，b=(2,x)，若aA.?3 B.?23 C.5.若m+n=1(mn>0)，則1m+1nA.1 B.2 C.3 D.46.已知角α的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，點P(?1,2)在角α的終邊上，則sinA.?63 B.?337.甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生站成一排，記“甲、乙相鄰”為事件A，“甲不站在兩端”為事件B，則P(B|A)=(

)A.16 B.14 C.128.設(shè)隨機(jī)變量Z～N(μ,1)，函數(shù)f(x)=x3?3x2+Z?x在定義域R上是單調(diào)遞增函數(shù)的概率為12，則P(1<Z≤2)=(

)

A.0.1587 B.0.1355 C.0.2718 D.0.3413二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列選項正確的是(

)A.命題“?x>0，x2+x+1≥0”的否定是?x<0，x2+x+1<0

B.滿足{1}?M?{1,2,3}的集合M的個數(shù)為4

C.已知x=lg3，y=lg5，則lg45=2x+y

D.已知指數(shù)函數(shù)f(x)=ax10.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，NA.D1N⊥平面ADM B.BN/?/AM

C.B，D，M，N四點共面 D.平面ADM⊥11.在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=2bcosB，且b≠c，則下列說法中正確的是(

)A.A=2B

B.ab的取值范圍是(2,3)

C.點P是△ABC所在平面內(nèi)任一點，若c=2，則PA?PB的取值范圍是[?1,2]

D.點P是△ABC所在平面內(nèi)任一點，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(2x13.若正方體的表面積為6，則它的外接球的表面積為

．14.已知拋物線C的準(zhǔn)線是圓x2+y2?4=0與圓x四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a2=7，S5=55．

(1)求an，Sn；

(2)若數(shù)列{16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且M是PD的中點，PA=AD=4，AB=2．

(1)求證：AM⊥平面PCD；

(2)求AM與平面MBC所成角的余弦值．

17.(本小題15分)

已知a、b、c分別為△ABC三個內(nèi)角A、B、C的對邊，且3asinC+ccosA=3c，A為銳角．

(1)求角A的大小；

(2)在①△ABC的面積為23，②AB?AC=12，③|BA18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=lnx+x2+ax+2在點(2,f(2))處的切線與直線2x+3y=0垂直．

(1)求a；

(2)求19.(本小題17分)

如圖，已知橢圓C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦點分別為F1、F2，左頂點為P，焦距為2，若△PF1F2為正三角形．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點F1，斜率為33

參考答案1.C

2.C

3.A

4.B

5.D

6.A

7.D

8.B

9.BC

10.AD

11.ABD

12.20

13.3π

14.y215.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

因為a2=7，S5=55，所以a1+d=75a1+5×42×d=55，解得a1=3，d=4，

所以an=3+(n?1)×4=4n?1，

Sn=(3+4n?1)×n2=2n2+n．16.解：(1)證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，

∴PA⊥CD，又四邊形ABCD是矩形，則CD⊥DA，

∵DA∩PA=A，DA、PA?平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，AM?平面PAD，

∴CD⊥AM，

又M是PD的中點，PA=AD=4，則AM⊥PD，

而CD∩PD=D，CD、PD?平面PCD，

∴AM⊥平面PCD；

(2)由題易知：PA，AB，AD兩兩互相垂直，

以A為空間坐標(biāo)系的原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則M(0,2,2)，A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，

故MB=(2,?2,?2),MC=(2,2,?2)，

設(shè)平面MBC法向量為n=(x,y,z)，

則n⊥MBn⊥MC，則n?MB=0n?MC=0，

即2x?2y?2z=02x+2y?2z=0，

令x=1，y=0，則z=1，

即n=(1,0,1)，

而AM=(0,2,2)，17.解：(1)∵△ABC中，3asinC+ccosA=3c，

∴由正弦定理得：3sinAsinC+sinCcosA=3sinC，

又C∈(0,π)，sinC>0，

∴3sinA+cosA=3，即sin(A+π6)=32，

又A為銳角，

∴A=π6；

(2)若選①△ABC的面積為23，則12bcsinA=12bc×12=23?bc=83(1°)；

又a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2?2bccosA，即4=b18.解：(1)f′(x)=1x+2x+a，則f′(2)=12+2×2+a=92+a，

由題意可得(92+a)×(?23)=?1，解得a=?3；

(2)由a=?3，故f(x)=lnx+x2?3x+2，

則f′(x)=1x+2x?3=2x2?3x+1x=(2x?1)(x?1)x，x>0，

故當(dāng)0<x<12時，f′(x)>0，當(dāng)19.解：(1)由焦距為2可得2c=2，再由△PF1F2為正三角形，P為左頂點，可得b=32?2c=3，

所以a2=b2+c2=3+1=4，

所以橢圓的方程為：x24+y23=1；

(2)由(1)可得上焦點F1(0,1)，

由題意