六安市中學(xué)高三數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域是？

A.(-∞,-1)∪(3,+∞)

B.(-1,3)

C.R

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

2.若復(fù)數(shù)z=1+2i的模為|z|，則|z|等于？

A.1

B.2

C.√5

D.3

3.已知等差數(shù)列{a?}的首項(xiàng)為2，公差為3，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和S?等于？

A.n2+n

B.3n2+n

C.n2-n

D.3n2-n

4.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是？

A.2π

B.π

C.π/2

D.4π

5.已知圓的方程為(x-1)2+(y+2)2=4，則該圓的圓心坐標(biāo)是？

A.(1,-2)

B.(-1,2)

C.(2,-1)

D.(-2,1)

6.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上，且頂點(diǎn)在x軸上，則下列條件正確的是？

A.a>0且△=0

B.a<0且△>0

C.a>0且△<0

D.a<0且△=0

7.已知三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別為a=3，b=4，c=5，則該三角形的面積等于？

A.6

B.12

C.9

D.15

8.函數(shù)f(x)=e?在點(diǎn)(1,e)處的切線斜率等于？

A.e

B.1

C.0

D.-e

9.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,-4)，則向量a與向量b的點(diǎn)積等于？

A.-5

B.5

C.-7

D.7

10.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1，則f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)f'(0)等于？

A.-3

B.0

C.1

D.3

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是？（多選）

A.y=x2

B.y=2?

C.y=log?/?(x)

D.y=sin(x)

2.已知z?=2+i，z?=1-i，則下列結(jié)論正確的有？（多選）

A.z?+z?=3

B.z?*z?=3i

C.z?/z?=i

D.|z?|=|z?|

3.已知等比數(shù)列{b?}的前n項(xiàng)和為S?，公比為q(q≠1)，則下列式子中正確的有？（多選）

A.b?=b?*q2

B.S?=b?*(q?-1)/(q-1)

C.S?=n*b?

D.q=(b?/b???)

4.已知圓C?：x2+y2=1與圓C?：(x-2)2+(y-3)2=r2相交，則下列關(guān)于r的說(shuō)法正確的有？（多選）

A.r=1

B.r=5

C.2<r<5

D.r>5

5.已知函數(shù)f(x)=x3-ax2+bx+1，若f(x)在x=1處取得極值，且f'(x)在x=2處等于0，則下列結(jié)論正確的有？（多選）

A.a=3

B.b=4

C.a=4

D.b=3

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=√(x-1)，則其定義域是________。

2.若復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)滿足|z|=5且arg(z)=π/3，則a=________，b=________。

3.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=10，a??=19，則該數(shù)列的公差d=________。

4.函數(shù)f(x)=tan(x)-x的圖像關(guān)于________對(duì)稱。

5.已知直線l：y=kx+b與圓C：x2+y2-4x+6y-3=0相切，則k2+b2=________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2。求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

2.計(jì)算不定積分∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

3.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，邊c=√6。求邊a的長(zhǎng)度。

4.已知向量a=(1,2,-1)，向量b=(2,-1,1)。求向量a與向量b的夾角余弦值。

5.解微分方程y'-y=x。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)有意義需滿足x2-2x+3>0。因判別式△=4-12=-8<0，故x2-2x+3=(x-1)2+2永遠(yuǎn)大于0，定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R。

2.C

解析：|z|=√(12+22)=√5。

3.A

解析：S?=n/2*(首項(xiàng)+末項(xiàng))=n/2*(2+(n-1)×3)=n/2*(3n-1)=3n2/2-n/2。選項(xiàng)A為n2+n，與上述結(jié)果不符。此處原試卷答案有誤，正確答案應(yīng)為C。

4.A

解析：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2*sin(x+π/4)，最小正周期T=2π/|ω|=2π。

5.A

解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-h)2+(y-k)2=r2，圓心坐標(biāo)為(h,k)。本題中h=1，k=-2。

6.A

解析：函數(shù)f(x)=ax2+bx+c開口向上需a>0；頂點(diǎn)在x軸上即△=b2-4ac=0。故a>0且△=0。

7.B

解析：由勾股定理知△ABC為直角三角形，斜邊c=5。面積S=1/2*a*b=1/2*3*4=6。

8.A

解析：f'(x)=e?。f'(1)=e1=e。

9.C

解析：a·b=1×3+2×(-4)=3-8=-5。

10.B

解析：f'(x)=3x2-3。f'(0)=3×02-3=-3。此處原試卷答案有誤，正確答案應(yīng)為A。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.B

解析：y=2?是指數(shù)函數(shù)，底數(shù)大于1，在其定義域(?∞,+∞)上單調(diào)遞增。y=x2在(0,+∞)上單調(diào)遞增。y=log?/?(x)是底數(shù)小于1的對(duì)數(shù)函數(shù)，在其定義域(0,+∞)上單調(diào)遞減。y=sin(x)非單調(diào)函數(shù)。

2.A,C

解析：z?+z?=(2+i)+(1-i)=3。z?*z?=(2+i)(1-i)=2-2i+i-1=1-i。z?/z?=(2+i)/(1-i)=(2+i)(1+i)/(1-i)(1+i)=(2+3i-1)/(1+1)=1/2+3/2*i。|z?|=√(22+12)=√5，|z?|=√(12+(-1)2)=√2。故B、D錯(cuò)誤。

3.A,B,D

解析：A是等比數(shù)列通項(xiàng)公式b?=b?*q??1，故b?=b?*q2正確。B是等比數(shù)列求和公式(當(dāng)q≠1時(shí))，正確。C錯(cuò)誤，等比數(shù)列求和公式與首項(xiàng)和公比有關(guān)。D是等比數(shù)列的定義，b?/b???=q正確。

4.A,C

解析：圓心距d=√((2-0)2+(3-0)2)=√13。圓C?半徑r?=1。圓C?半徑r?=√r。兩圓相交需滿足|r?-r?|<d<r?+r?，即|√r-1|<√13<√r+1。解得r>5+√13或r<1-√13(舍去)。又r>0，故r>5+√13。同時(shí)，兩圓內(nèi)切時(shí)r=√13+1，外切時(shí)r=√13-1?！?3-1<√r<√13+1。解得2<√r<4，即4<r<16。綜上，r>5+√13或4<r<16。故A(√13+1<5+√13<16，正確)和C(4<√r<16，即4<r<16，正確)正確。

5.A,D

解析：f'(x)=3x2-2ax+b。因x=1處取得極值，代入f'(1)=0得3-2a+b=0。又f'(x)在x=2處等于0，代入f'(2)=0得12-4a+b=0。聯(lián)立方程組：

{3-2a+b=0

{12-4a+b=0

解得a=3，b=-3。代入原函數(shù)f(x)=x3-3x2-3x+1。此時(shí)f'(x)=3x2-6x-3=3(x-1)(x+1)。可知在x=1處確實(shí)是極值點(diǎn)。故A正確。若a=4，b=3，則f'(x)=3x2-8x+3，x=1和x=8/3為極值點(diǎn)，與題意不符。故D錯(cuò)誤。

三、填空題答案及解析

1.R

解析：需x-1≥0，即x≥1。

2.5√3/2,5/2

解析：|z|=5，z=a+bi。模長(zhǎng)|z|=√(a2+b2)=5。輻角arg(z)=π/3，則a/z=cos(π/3)=1/2，b/z=sin(π/3)=√3/2。所以a=5/2，b=5√3/2。

3.3/2

解析：由等差數(shù)列性質(zhì)a??=a?+5d。19=10+5d，解得d=(19-10)/5=3/2。

4.(0,0)

解析：f(x)=tan(x)-x。f(-x)=tan(-x)-(-x)=-tan(x)+x=-(tan(x)-x)=-f(x)。故f(x)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱。

5.25

解析：直線l：y=kx+b。圓C：(x-2)2+(y+3)2=10。圓心(2,-3)，半徑r=√10。圓心到直線l的距離d=|2k-(-3)+b|/√(k2+1)=|2k+3+b|/√(k2+1)。因直線與圓相切，d=r，即|2k+3+b|/√(k2+1)=√10。兩邊平方得(2k+3+b)2=10(k2+1)。展開并整理得4k2+12k+9+4kb+6b+b2=10k2+10。即6k2-12k-4kb-6b+b2-1=0。因k存在，判別式△=0，即(-12)2-4*6*(-4b-6+b2-1)=0。解得b=3。代入原方程檢驗(yàn)成立。此時(shí)k=1。故k2+b2=12+32=1+9=10。此處原試卷答案有誤，正確答案應(yīng)為10。

四、計(jì)算題答案及解析

1.最大值5，最小值-1

解析：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=(-1)3-3(-1)2+2=-1-3+2=-2。f(0)=03-3(0)2+2=2。f(2)=23-3(2)2+2=8-12+2=-2。f(3)=33-3(3)2+2=27-27+2=2。比較f(-1),f(0),f(2),f(3)，最大值為max{2,2}=2。最小值為min{-2,-2}=-2。需與端點(diǎn)值比較，f(-1)=-2<f(0)=2，f(2)=-2<f(0)=2。故最大值為f(0)=2，最小值為f(-1)=-2。此處原試卷答案有誤，正確答案為最大值2，最小值-2。

2.x2/2+x+3ln|x|+C

解析：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x2+x)+(x+3)-1]/(x+1)dx=∫(x(x+1)+(x+3)-1)/(x+1)dx=∫(x+3-1/x+1)dx=∫(x+2-1/x)dx=∫xdx+∫2dx-∫1/xdx=x2/2+2x-ln|x|+C。

3.a=√6*(√2+√3)

解析：由正弦定理a/sinA=c/sinC。sinC=sin(180°-(A+B))=sin(105°)=sin(90°+15°)=cos(15°)=(√6+√2)/4。sinA=sin60°=√3/2。sinB=sin45°=√2/2。a=c*sinA/sinC=√6*(√3/2)/((√6+√2)/4)=√6*2√3/(√6+√2)=2√18/(√6+√2)=6√2/(√6+√2)。有理化分母：(6√2)/(√6+√2)*(√6-√2)/(√6-√2)=(6√2)(√6-√2)/(6-2)=3√12-3√4=3*2√3-3*2=6√3-6。此處原試卷答案有誤，正確答案為a=√6*(√2+√3)。

4.cosθ=1/√30

解析：cosθ=a·b/(|a||b|)=(1*2+2*(-1)+(-1)*1)/(√(12+22+(-1)2)*√(22+(-1)2+12))=0/(√6*√6)=0/6=0。此處原試卷答案有誤，正確答案為cosθ=1/√30。

5.y=e?(x-1)+C

解析：這是一階線性非齊次微分方程。對(duì)應(yīng)齊次方程y'-y=0的通解為y_h=C?e?。設(shè)非齊次方程的特解為y_p=Ae?。代入y'-y=x得Ae?-Ae?=x，即0=x，矛盾。改設(shè)y_p=Ax+B。代入y'-y=x得A-(Ax+B)=x，即A-Ax-B=x。比較系數(shù)得-A=1,A-B=0。解得A=-1,B=-1。故特解y_p=-x-1。通解y=y_h+y_p=C?e?-x-1。由初始條件x=0,y=0得0=C?e?-0-1，即0=C?-1，得C?=1。故y=e?-x-1。此處原試卷答案有誤，正確答案為y=e?(x-1)+C。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

本試卷涵蓋的理論基礎(chǔ)部分主要包括函數(shù)、復(fù)數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、不定積分、立體幾何、微分方程等高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容。這些知識(shí)點(diǎn)構(gòu)成了高中數(shù)學(xué)的主干，是學(xué)生解決各類數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)。

函數(shù)部分：重點(diǎn)考察了函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、圖像變換以及函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系。涉及到的函數(shù)類型包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等。

復(fù)數(shù)部分：主要考察了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、幾何意義（模、輻角）、復(fù)數(shù)的運(yùn)算（加、減、乘、除、乘方、開方）以及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)。

數(shù)列部分：涵蓋了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)以及數(shù)列與函數(shù)、方程的聯(lián)系。

三角函數(shù)部分：重點(diǎn)考察了任意角三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的公式、倍角公式、半角公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性）以及解三角形。

解析幾何部分：主要考察了直線與圓的方程、性質(zhì)以及它們的位置關(guān)系（相交、相切、相離），包括點(diǎn)到直線的距離公式、兩直線平行與垂直的條件、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程、圓與直線的位置關(guān)系的判斷與計(jì)算。

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用部分：考察了導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義（切線斜率）、物理意義以及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算（基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)）。主要應(yīng)用在于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值與最值。

不定積分部分：考察了原函數(shù)與不定積分的概念、基本積分公式、不定積分的運(yùn)算法則（線性運(yùn)算法則、乘積法則）。主要應(yīng)用在于求函數(shù)的不定積分。

立體幾何部分：考察了向量的概念、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)