103.遞推方法計算概率與一維馬爾科夫過程一．基本原理1.轉移概率：對于有限狀態(tài)集合，定義：為從狀態(tài)到狀態(tài)的轉移概率.2.馬爾可夫鏈：若，即未來狀態(tài)只受當前狀態(tài)的影響，與之前的無關.3.完備事件組：如果樣本空間中一組事件組符合下列兩個條件：（1）；（2）.則稱是的一個完備事件組，也稱是的一個分割.4.全概率公式：設是一個完備事件組，則有5.一維隨機游走模型，即：設數(shù)軸上一個點，它的位置只能位于整點處，在時刻時，位于點，下一個時刻，它將以概率或者（）向左或者向右平移一個單位.若記狀態(tài)表示：在時刻該點位于位置，那么由全概率公式可得：另一方面，由于，代入上式可得：.進一步，我們假設在與處各有一個吸收壁，當點到達吸收壁時被吸收，不再游走.于是，.隨機游走模型是一個典型的馬爾科夫過程.進一步，若點在某個位置后有三種情況：向左平移一個單位，其概率為，原地不動，其概率為，向右平移一個單位，其概率為，那么根據(jù)全概率公式可得：有了這樣的理論分析，下面我們看全概率公式及以為隨機游走模型在2019年全國1卷中的應用.二．典例分析例1．（2023·新高考1卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．解析：（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設，依題可知，，則，即，構造等比數(shù)列，設，解得，則，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因為，，所以當時，，故．例2．（23屆杭州二模）馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，在強化學習、自然語言處理、金融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用．其數(shù)學定義為：假設我們的序列狀態(tài)是…，，，，，…，那么時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)，即．現(xiàn)實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型．假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?，且賭輸就要輸?shù)?元．賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達到預期的B元，賭徒停止賭博．記賭徒的本金為，賭博過程如下圖的數(shù)軸所示．當賭徒手中有n元（，）時，最終輸光的概率為，請回答下列問題：（1）請直接寫出與的數(shù)值．（2）證明是一個等差數(shù)列，并寫出公差d．（3）當時，分別計算，時，的數(shù)值，并結合實際，解釋當時，的統(tǒng)計含義．解析：（1）當時，賭徒已經(jīng)輸光了，因此.當時，賭徒到了終止賭博的條件，不再賭了，因此輸光的概率.（2）記M：賭徒有n元最后輸光的事件，N：賭徒有n元上一場贏的事件,,即，所以，所以是一個等差數(shù)列，設，則，累加得，故，得，（3），由得,即,當時，，當時，，當時，，因此可知久賭無贏家，即便是一個這樣看似公平的游戲，只要賭徒一直玩下去就會的概率輸光．例3.（2023廣東茂名二模）馬爾可夫鏈是因俄國數(shù)學家安德烈·馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關，與第次狀態(tài)是“沒有任何關系的”.現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，盒子中都有大小、形狀、質地相同的2個紅球和1個黑球.從兩個盒子中各任取一個球交換，重復進行次操作后，記甲盒子中黑球個數(shù)為，甲盒中恰有1個黑球的概率為，恰有2個黑球的概率為.（1）求的分布列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）求的期望.解析：（1）由題可知，的可能取值為0，1，2.由相互獨立事件概率乘法公式可知：;;，故的分布列如下表：012（2）由全概率公式可知：，即：，所以，所以，又，所以，數(shù)列為以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，即：.（3）由全概率公式可得：,即：,又,所以,所以,又,所以,所以,所以,所以.例4．足球是一項大眾喜愛的運動.2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21日打響，決賽定于12月18日晚進行，全程為期28天.校足球隊中的甲、乙、丙、丁四名球員將進行傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即．（1）求（直接寫出結果即可）；（2）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大?。馕觯海?）由題意得：第二次觸球者為乙，丙，丁中的一個，第二次觸球者傳給包括甲的三人中的一人，故傳給甲的概率為，故．（2）第次觸球者是甲的概率記為，則當時，第次觸球者是甲的概率為，第次觸球者不是甲的概率為，則，從而，又，是以為首項，公比為的等比數(shù)列．則，∴，，，故第19次觸球者是甲的概率大例5．馬爾可夫鏈是因俄國數(shù)學家安德烈·馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關，與第次狀態(tài)是“沒有任何關系的”.現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，盒子中都有大小、形狀、質地相同的2個紅球和1個黑球.從兩個盒子中各任取一個球交換，重復進行次操作后，記甲盒子中黑球個數(shù)為，甲盒中恰有1個黑球的概率為，恰有2個黑球的概率為.（1）求的分布列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）求的期望.解析：（1）由題可知，的可能取值為0，1，2.由相互獨立事件概率乘法公式可知：;;，故的分布列如下表：012（2）由全概率公式可知：，即：，所以，所以，又，所以，數(shù)列為以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，即：.（3）由全概率公式可得：,即：,又,所以,所以,又,所以,所以,所以,所以.例6（山東省濟南市2023高三下學期開學考試）甲、乙兩人進行拋擲骰子游戲，兩人輪流拋擲一枚質地均勻的骰子．規(guī)定：先擲出點數(shù)6的獲勝，游戲結束．（1）記兩人拋擲骰子的總次數(shù)為X，若每人最多拋擲兩次骰子，求比賽結束時，X的分布列和期望；（2）已知甲先擲，求甲恰好拋擲n次骰子并獲得勝利的概率．解析：（1）依題意，拋擲骰子一次獲勝的概率，的可能值為1，2，3，4，，，，，所以的分布列為；1234期望.（2）設甲拋擲第n次骰子且不獲勝的事件的概率為，依題意，，當時，，因此數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則，當時，甲恰好拋擲n次骰子并獲得勝利的概率，顯然當時，滿足上式，所以甲恰好拋擲n次骰子并獲得勝利的概率為.三．習題演練1.（23屆佛山二模）有個編號分別為1，2，…，n的盒子，第1個盒子中有2個白球1個黑球，其余盒子中均為1個白球1個黑球，現(xiàn)從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子，再從第2個盒子中任取一球放入第3個盒子，以此類推，則從第2個盒子中取到白球的概率是______，從第個盒子中取到白球的概率是______．解析：記事件表示從第個盒子里取出白球，則，，所以，，，進而可得，，又，，，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，故答案為：；.2．從甲?乙?丙等5人中隨機地抽取三個人去做傳球訓練.訓練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出.（1）記甲乙丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機變量，求的分布列；（2）若剛好抽到甲乙丙三個人相互做傳球訓練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為，①直接寫出的值；②求與的關系式，并求.解析：（1）可能取值為，；；，所以隨機變量的分布列為123（2）若剛好抽到甲乙丙三個人相互做傳球訓練，且次傳球后球在甲手中的概率為，則有記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在甲手中”，所以即，所以，且，所以數(shù)列表示以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以所以，即次傳球后球在甲手中的概率是.3.（2019全國1卷）．為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設，．（i）證明：為等比數(shù)列；（ii）求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性．解析：（1）由題意可知所有可能的取值為：，，；；則的分布列如下：（2），，，（i）即整理