第1頁（共1頁）2025年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（3分）中國是世界上最早使用負數(shù)的國家，負數(shù)早已廣泛應(yīng)用到生產(chǎn)和生活中．例如，零上3℃記作+3℃，則零下3℃記作（）A． B． C．﹣3℃ D．3℃2．（3分）古錢幣是我國珍貴的歷史文化遺產(chǎn)．下列選項是在《中國古代錢幣》特種郵票中選取的部分圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）2025年5月14日12時12分，全球首個太空計算星座在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，此次發(fā)射的太空計算星座共有12顆衛(wèi)星，其中10顆為“內(nèi)江城市衛(wèi)星星群”成員，若每顆衛(wèi)星每天處理的數(shù)據(jù)量為3500000000字節(jié)，則“內(nèi)江城市衛(wèi)星星群”每天處理的總數(shù)據(jù)量可達到35000000000字節(jié)，將數(shù)據(jù)35000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．35×109 B．3.5×109 C．3.5×1010 D．0.35×10104．（3分）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（）A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜25．（3分）某體育用品專賣店在一段時間內(nèi)銷售了20雙運動鞋，其中幾種尺碼運動鞋的銷售量如表所示：尺碼/cm2424.52525.526銷售量/雙131042這20雙運動鞋的尺碼組成的一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．24.5，25 B．25，25 C．25，25.5 D．25.5，266．（3分）如圖是正方體的表面展開圖，與“共”字相對的字是（）A．安 B．全 C．校 D．園7．（3分）下列計算正確的是（）A．x2?x4＝x8 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．x+2x2＝3x2 D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣48．（3分）阿基米德曾說過：“給我一個支點，我能撬動整個地球．”這句話生動體現(xiàn)了杠桿原理：通過調(diào)整支點位置和力臂長度，用較小的力就能撬動重物．這一原理在生活中隨處可見．如圖甲，這是用杠桿撬石頭的示意圖，當用力壓杠桿時，另一端就會撬動石頭．如圖乙所示，動力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，則AC的長度是（）A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm9．（3分）學(xué)校準備添置一批課桌椅，原訂購60套，每套100元．店方表示：如果多購，可以優(yōu)惠．結(jié)果校方購了72套，每套減價3元，但商店獲得同樣多的利潤．求每套課桌椅的成本．設(shè)每套課桌椅的成本為x元，則可列方程為（）A．72（100﹣x）＝60（100+3﹣x） B．60（100﹣x）＝72（100﹣3﹣x） C．60（100+x）＝72（100﹣3+x） D．10．（3分）按如下步驟作四邊形ABCD：（1）畫∠EAF；（2）以點A為圓心，1個單位長為半徑畫弧，分別交AE、AF于點B、D；（3）分別以點B和點D為圓心，1個單位長為半徑畫弧，兩弧交于點C；（4）連接BC、DC、BD．若∠A＝40°，則∠BDC的度數(shù)是（）A．64° B．66° C．68° D．70°11．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤2 B．a(chǎn)＜2 C．a(chǎn)≤2且a≠1 D．a(chǎn)＜2且a≠112．（3分）對于正整數(shù)x，規(guī)定函數(shù)．在平面直角坐標系中，將點（m，n）中的m，n分別按照上述規(guī)定，同步進行運算得到新的點的橫、縱坐標（其中m，n均為正整數(shù)）．例如，點（8，5）經(jīng)過第1次運算得到點（4，16），經(jīng)過第2次運算得到點（2，8），經(jīng)過第3次運算得到點（1，4），經(jīng)過有限次運算后，必進入循環(huán)圈．按上述規(guī)定，將點（2，1）經(jīng)過第2025次運算后得到點是（）A．（2，1） B．（4，2） C．（1，2） D．（1，4）二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分．）13．（4分）分解因式：a2﹣1＝．14．（4分）在英文單詞“banana”中任選一個字母，字母“a”被選中的概率是．15．（4分）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，且AB＝8，OC＝5．則DC的長是．16．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，點E、F分別是邊AD、CD上的動點，連接BE、EF，點G為BE的中點，點H為EF的中點，連接GH，則GH的最大值是．三、解答題（本大題共5小題，共48分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推演步驟．）17．（10分）（1）計算：；（2）化簡：．18．（9分）如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若BF＝4，F(xiàn)C＝3，求BE的長．19．（10分）內(nèi)江，東漢建縣，古稱漢安，是一座依江而生、因水得名的城市．“成渝之心、大千故里、甜蜜之城”是新時代內(nèi)江的三張靚麗名片，也是“心里甜”的由來．為弘揚內(nèi)江傳統(tǒng)文化，我市將舉辦中小學(xué)生“知內(nèi)江、愛內(nèi)江、興內(nèi)江”知識競賽活動．某校舉辦選拔賽后，隨機抽取了部分學(xué)生的成績，成績按百分制分為A、B、C、D四個等級，并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表．等級成績（x）人數(shù)A95＜x≤100mB85＜x≤9524C75＜x≤8514Dx≤7510根據(jù)統(tǒng)計圖表中的信息解答下列問題：（1）表中m＝；扇形統(tǒng)計圖中，表示成績等級為D的扇形圓心角為度．（2）若全校有3000人參加了此次選拔賽，其中成績等級為A的學(xué)生大約有多少人？（3）現(xiàn)從成績等級為A的甲、乙、丙、丁4人中隨機選出2人參加市級比賽，請通過列表或畫樹狀圖的方法求出甲、乙兩人同時被選中的概率．20．（9分）在綜合與實踐活動中，某學(xué)習(xí)小組計劃測量內(nèi)江麻柳壩大橋橋塔AD的高度（如圖甲）．他們設(shè)計了如下方案：如圖乙，點B、D、C依次在同一條水平直線上，在B處測得橋塔頂部A的仰角（∠ABD）為45°，在C處測得橋塔頂部A的仰角（∠ACD）為30°，又測得BC＝80m，AD⊥BC，垂足為D，求橋塔AD的高度（結(jié)果保留根號）．21．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y的圖象與一次函數(shù)y＝k2x+b的圖象相交于A（a，6）、B（﹣6，1）兩點．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；（2）當x＜0時，請根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式k2x+b0的解集；（3）過直線AB上的點C作CD∥x軸，交反比例函數(shù)的圖象于點D．若點C橫坐標為﹣4，求△BOD的面積．四、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分．）22．（6分）已知實數(shù)a，b滿足a+b＝2，則a2﹣b2+4b＝．23．（6分）對于x、y定義了一種新運算G，規(guī)定G（x，y）＝x+3y．若關(guān)于a的不等式組恰好有3個整數(shù)解，則實數(shù)P的取值范圍是．24．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的邊AB在x軸上，點B的坐標為（1，0），點E在邊CD上．將△ADE沿AE折疊，點D落在點F處．若點F的坐標為（0，3），則點E的坐標為．25．（6分）如圖，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，，點D、E、F分別是邊BC、AB、AC上的動點，則△DEF周長的最小值是．五、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推演步驟．)26．（12分）2025年春節(jié)期間，我國國產(chǎn)動畫電影《哪吒之魔童鬧?！匪⑿铝酥袊娪捌狈康男录o錄，商家推出A、B兩款“哪吒”文旅紀念品．已知購進A款200個，B款300個，需花費14000元；購進A款100個，B款200個，需花費8000元．（1）求A、B兩款“哪吒”紀念品每個進價分別為多少元？（2）根據(jù)網(wǎng)上預(yù)約的情況，如果該商家計劃用不超過12000元的資金購進A、B兩款“哪吒”紀念品共400個，那么至少需要購進B款紀念品多少個？（3）在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)每個A款紀念品售價60元時，可售出200個，售價每增加1元，銷售量將減少5個．設(shè)每個A款紀念品售價a（60≤a≤100）元，W表示該商家銷售A款紀念品的利潤（單位：元），求W關(guān)于a的函數(shù)表達式，并求出W的最大值．27．（12分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，點O是邊AB上一點，以點O為圓心、OB長為半徑作圓，⊙O恰好經(jīng)過點D，交AB于點E．（1）求證：直線AC是⊙O的切線；（2）若點E為AO的中點，AD＝3，求陰影部分的面積；（3）連接DE，若，求cosA的值．28．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于A（﹣3，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．（1）求拋物線的表達式；（2）如圖1，過點B的直線l：y＝x﹣1與拋物線的另一個交點為點D，點M為拋物線對稱軸上的一點，連接MB、MD，設(shè)點M的縱坐標為n，當MB＝MD時，求n的值；（3）如圖2，點N是拋物線的頂點，點P是x軸上一動點，將頂點N繞點P旋轉(zhuǎn)90°后剛好落在拋物線上的點H處，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．

2025年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）題號1234567891011答案C．DC．ABBDBBDC題號12答案A一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（3分）中國是世界上最早使用負數(shù)的國家，負數(shù)早已廣泛應(yīng)用到生產(chǎn)和生活中．例如，零上3℃記作+3℃，則零下3℃記作（）A． B． C．﹣3℃ D．3℃【分析】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．【解答】解：“正”和“負”相對，所以，中國是世界上最早使用負數(shù)的國家，負數(shù)早已廣泛應(yīng)用到生產(chǎn)和生活中．例如，零上3℃記作+3℃，則零下3℃記作﹣3℃．故選：C．【點評】此題主要考查了正負數(shù)的意義，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．2．（3分）古錢幣是我國珍貴的歷史文化遺產(chǎn)．下列選項是在《中國古代錢幣》特種郵票中選取的部分圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形；據(jù)此進行判斷即可．【解答】解：A是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意，B不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意，C不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意，D是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意，故選：D．【點評】本題考查中心對稱圖形，軸對稱圖形，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．3．（3分）2025年5月14日12時12分，全球首個太空計算星座在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，此次發(fā)射的太空計算星座共有12顆衛(wèi)星，其中10顆為“內(nèi)江城市衛(wèi)星星群”成員，若每顆衛(wèi)星每天處理的數(shù)據(jù)量為3500000000字節(jié)，則“內(nèi)江城市衛(wèi)星星群”每天處理的總數(shù)據(jù)量可達到35000000000字節(jié)，將數(shù)據(jù)35000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．35×109 B．3.5×109 C．3.5×1010 D．0.35×1010【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【解答】解：35000000000＝3.5×1010．故選：C．【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．4．（3分）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（）A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求得答案．【解答】解：已知函數(shù)，則x﹣2≥0，解得：x≥2，故選：A．【點評】本題考查函數(shù)自變量的取值范圍，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．5．（3分）某體育用品專賣店在一段時間內(nèi)銷售了20雙運動鞋，其中幾種尺碼運動鞋的銷售量如表所示：尺碼/cm2424.52525.526銷售量/雙131042這20雙運動鞋的尺碼組成的一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．24.5，25 B．25，25 C．25，25.5 D．25.5，26【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可．【解答】解：由表知，這組數(shù)據(jù)中25出現(xiàn)次數(shù)最多，有10次，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為25；中位數(shù)是數(shù)據(jù)排列后，第10個和第11數(shù)據(jù)的平均數(shù)，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為25．故選：B．【點評】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)它們的定義來解答．6．（3分）如圖是正方體的表面展開圖，與“共”字相對的字是（）A．安 B．全 C．校 D．園【分析】正方體的平面展開圖中，相對面的特點是之間一定相隔一個正方形，據(jù)此作答．【解答】解：∵正方體的平面展開圖中，相對面的特點是之間一定相隔一個正方形，∴在此正方體上與“共”字相對的面上的字是“全”．故選：B．【點評】本題考查了正方體的展開圖，解題關(guān)鍵是從相對面入手進行分析及解答問題．7．（3分）下列計算正確的是（）A．x2?x4＝x8 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．x+2x2＝3x2 D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4【分析】利用平方差公式，完全平方公式，合并同類項，同底數(shù)冪乘法法則逐項判斷即可．【解答】解：x2?x4＝x6，則A不符合題意，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，則B不符合題意，x與2x2不是同類項，無法合并，則C不符合題意，（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，則D符合題意，故選：D．【點評】本題考查平方差公式，完全平方公式，合并同類項，同底數(shù)冪乘法，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．8．（3分）阿基米德曾說過：“給我一個支點，我能撬動整個地球．”這句話生動體現(xiàn)了杠桿原理：通過調(diào)整支點位置和力臂長度，用較小的力就能撬動重物．這一原理在生活中隨處可見．如圖甲，這是用杠桿撬石頭的示意圖，當用力壓杠桿時，另一端就會撬動石頭．如圖乙所示，動力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，則AC的長度是（）A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm【分析】首先根據(jù)題意構(gòu)造出相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得AC的長度．【解答】解：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴AC∥BD，∴△AOC∽△BOD，∴，∵OA＝150cm，OB＝50cm，BD＝20cm，∴，∴AC＝60，∴AC的長為60cm．故選：B．【點評】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確判定相似三角形并運用相似三角形的性質(zhì)列出比例式．9．（3分）學(xué)校準備添置一批課桌椅，原訂購60套，每套100元．店方表示：如果多購，可以優(yōu)惠．結(jié)果校方購了72套，每套減價3元，但商店獲得同樣多的利潤．求每套課桌椅的成本．設(shè)每套課桌椅的成本為x元，則可列方程為（）A．72（100﹣x）＝60（100+3﹣x） B．60（100﹣x）＝72（100﹣3﹣x） C．60（100+x）＝72（100﹣3+x） D．【分析】利用總利潤＝每套的銷售利潤×銷售數(shù)量，結(jié)合總利潤不變，即可列出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得：60（100﹣x）＝72（100﹣3﹣x）．故選：B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．10．（3分）按如下步驟作四邊形ABCD：（1）畫∠EAF；（2）以點A為圓心，1個單位長為半徑畫弧，分別交AE、AF于點B、D；（3）分別以點B和點D為圓心，1個單位長為半徑畫弧，兩弧交于點C；（4）連接BC、DC、BD．若∠A＝40°，則∠BDC的度數(shù)是（）A．64° B．66° C．68° D．70°【分析】由尺規(guī)作圖可知AB＝AD＝BC＝DC，則四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形性質(zhì)得AB∥CD，∠BDC∠ADC，再根據(jù)∠A＝40°得∠ADC＝140°，由此可得出∠BDC的度數(shù)．【解答】解：由尺規(guī)作圖可知：AB＝AD＝BC＝DC，∴四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∠BDC＝∠ADB∠ADC，∴∠A+ADC＝180°，∵∠A＝40°，∴∠ADC＝180°﹣∠A＝140°，∴∠BDC∠ADC＝70°．故選：D．【點評】此題主要考查了尺規(guī)作圖，菱形的性質(zhì)，熟練掌握尺規(guī)作圖，菱形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．11．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤2 B．a(chǎn)＜2 C．a(chǎn)≤2且a≠1 D．a(chǎn)＜2且a≠1【分析】根據(jù)二次項系數(shù)非零及根的判別式Δ≥0，可列出關(guān)于a的一元一次不等式組，解之即可得出實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有實數(shù)根，∴，解得：a≤2且a≠1，∴實數(shù)a的取值范圍是a≤2且a≠1．故選：C．【點評】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，利用二次項系數(shù)非零及根的判別式Δ≥0，找出關(guān)于a的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．12．（3分）對于正整數(shù)x，規(guī)定函數(shù)．在平面直角坐標系中，將點（m，n）中的m，n分別按照上述規(guī)定，同步進行運算得到新的點的橫、縱坐標（其中m，n均為正整數(shù)）．例如，點（8，5）經(jīng)過第1次運算得到點（4，16），經(jīng)過第2次運算得到點（2，8），經(jīng)過第3次運算得到點（1，4），經(jīng)過有限次運算后，必進入循環(huán)圈．按上述規(guī)定，將點（2，1）經(jīng)過第2025次運算后得到點是（）A．（2，1） B．（4，2） C．（1，2） D．（1，4）【分析】求函數(shù)值，通過計算點（2，1）每次運算后的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)其變化呈現(xiàn)周期性循環(huán)，周期為3次．利用周期性規(guī)律，確定第2025次運算后的結(jié)果．【解答】解：初始點：（2，1）（第0次運算）．第1次：橫坐標2為偶數(shù)，，縱坐標1為奇數(shù)，f（1）＝3×1+1＝4；，得到點（1，4）．第2次：橫坐標1為奇數(shù)，f（1）＝3×1+1＝4，縱坐標4為偶數(shù)，，得到點（4，2）．第3次：橫坐標4為偶數(shù)，，縱坐標2為偶數(shù)，，得到點（2，1），與初始點相同，即三次一循環(huán)，∴2025÷3＝675，∴第2025次運算后對應(yīng)點與第3次運算后的點相同，即（2，1）．故選：A．【點評】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探究，點的坐標規(guī)律，正確找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分．）13．（4分）分解因式：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．【分析】符合平方差公式的特征，直接運用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．故答案為：（a+1）（a﹣1）．【點評】本題主要考查平方差公式分解因式，熟記公式是解題的關(guān)鍵．14．（4分）在英文單詞“banana”中任選一個字母，字母“a”被選中的概率是．【分析】讓“a”的個數(shù)除以所有字母的個數(shù)即為所求的概率．【解答】解：在英文單詞“banana”中共6個字母，其中字母“a”有3個；則字母為“c”的概率是：．故答案為：．【點評】此題主要考查了概率公式，解題的關(guān)鍵掌握如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率P（A）．15．（4分）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，且AB＝8，OC＝5．則DC的長是2．【分析】根據(jù)垂徑定理由OC⊥AB得到ADAB＝4，再根據(jù)勾股定理開始出OD，然后用OC﹣OD即可得到DC．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝BDAB8＝4，在Rt△OAD中，OA＝5，AD＝4，∴OD3，∴DC＝OC﹣OD＝5﹣3＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ恚?6．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，點E、F分別是邊AD、CD上的動點，連接BE、EF，點G為BE的中點，點H為EF的中點，連接GH，則GH的最大值是5．【分析】由勾股定理可求BD的長，由三角形中位線定理可得BF＝2GH，當BF有最大值時，GH有最大值，即當點F與點D重合時，BF有最大值為10，即可求解．【解答】解：如圖，連接BD，BF，∵AB＝8，AD＝6，∴BD10，∵點G為BE的中點，點H為EF的中點，∴BF＝2GH，∴當BF有最大值時，GH有最大值，∵點F是CD的點，∴當點F與點D重合時，BF有最大值為10，∴GH的最大值為5，故答案為：5．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理等知識，添加恰當輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共5小題，共48分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推演步驟．）17．（10分）（1）計算：；（2）化簡：．【分析】（1）利用零指數(shù)冪，絕對值的性質(zhì)，算術(shù)平方根的定義，特殊銳角三角函數(shù)值計算后再算加減即可；（2）先將分子相減，然后進行約分即可．【解答】解：（1）原式＝1+3+4﹣1＝7；（2）原式＝3．【點評】本題考查分式的加減法，實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，特殊銳角三角函數(shù)值，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．18．（9分）如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若BF＝4，F(xiàn)C＝3，求BE的長．【分析】（1）根據(jù)AB∥DE得∠A＝∠E，由此可依據(jù)“AAS”判定△ABC和△DEF全等；（2）根據(jù)△ABC和△DEF全等得BC＝EF，進而得BF＝EC＝4，由此即可得出BE的長．【解答】（1）證明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠E，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）；（2）解：由（1）可知：△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+CF＝EC+CF，∴BF＝EC，∵BF＝4，F(xiàn)C＝3，∴EC＝4，∴BE＝BF+EF+EC＝4+3+4＝11．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，準確識圖，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．19．（10分）內(nèi)江，東漢建縣，古稱漢安，是一座依江而生、因水得名的城市．“成渝之心、大千故里、甜蜜之城”是新時代內(nèi)江的三張靚麗名片，也是“心里甜”的由來．為弘揚內(nèi)江傳統(tǒng)文化，我市將舉辦中小學(xué)生“知內(nèi)江、愛內(nèi)江、興內(nèi)江”知識競賽活動．某校舉辦選拔賽后，隨機抽取了部分學(xué)生的成績，成績按百分制分為A、B、C、D四個等級，并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表．等級成績（x）人數(shù)A95＜x≤100mB85＜x≤9524C75＜x≤8514Dx≤7510根據(jù)統(tǒng)計圖表中的信息解答下列問題：（1）表中m＝60；扇形統(tǒng)計圖中，表示成績等級為D的扇形圓心角為60度．（2）若全校有3000人參加了此次選拔賽，其中成績等級為A的學(xué)生大約有多少人？（3）現(xiàn)從成績等級為A的甲、乙、丙、丁4人中隨機選出2人參加市級比賽，請通過列表或畫樹狀圖的方法求出甲、乙兩人同時被選中的概率．【分析】（1）由B的人數(shù)除以所占百分比得出抽取的學(xué)生人數(shù)，即可解決問題；（2）由全校參賽學(xué)生人數(shù)乘以成績等級為A的學(xué)生所占的比例即可；（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人被同時選中的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）隨機抽取的學(xué)生共有：24÷40%＝60（人），∴m＝60﹣24﹣14﹣10＝12，人），扇形統(tǒng)計圖中，表示成績等級為D的扇形圓心角為：360°60°，故答案為：60，60；（2）3000600（人），答：若全校有3000人參加了此次選拔賽，其中成績等級為A的學(xué)生大約有600人；（3）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人被同時選中的結(jié)果有2種，∴甲、乙兩人被同時選中的概率為．【點評】本題考查的是用樹狀圖法求概率以及頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖等知識．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．20．（9分）在綜合與實踐活動中，某學(xué)習(xí)小組計劃測量內(nèi)江麻柳壩大橋橋塔AD的高度（如圖甲）．他們設(shè)計了如下方案：如圖乙，點B、D、C依次在同一條水平直線上，在B處測得橋塔頂部A的仰角（∠ABD）為45°，在C處測得橋塔頂部A的仰角（∠ACD）為30°，又測得BC＝80m，AD⊥BC，垂足為D，求橋塔AD的高度（結(jié)果保留根號）．【分析】設(shè)AD＝xm，解Rt△ABD得到BD＝xm，解Rt△ACD得到CDxm，再由BC＝BD+CD＝80m，得到xx＝80，解方程即可得到答案．【解答】解：設(shè)AD＝xm，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴BD（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴CD（m），∵BC＝BD+CD＝80m，∴xx＝80，解得x＝4040，∴AD＝（4040）m，答：橋塔AD的高度為（4040）m．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．21．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y的圖象與一次函數(shù)y＝k2x+b的圖象相交于A（a，6）、B（﹣6，1）兩點．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；（2）當x＜0時，請根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式k2x+b0的解集；（3）過直線AB上的點C作CD∥x軸，交反比例函數(shù)的圖象于點D．若點C橫坐標為﹣4，求△BOD的面積．【分析】（1）先根據(jù)點B（﹣6，1）利用待定系數(shù)法可求出反比例函數(shù)的表達式；再通過反比例函數(shù)的表達式求出點A的坐標，最后利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的表達式；（2）所求不等式的解集即為求一次函數(shù)的圖象位于反比例函數(shù)的圖象的上方時，x的取值范圍；（3）根據(jù)題意得出B（﹣6，1），D（﹣2，3），根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義得出S△BFO＝S△DEO＝3，則S△BOD＝S梯形BFED＝8，即可求解．【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)的圖象過點B（﹣6，1），∴k1＝﹣6×1＝﹣6，故反比例函數(shù)的表達式為，把點A（a，6）代入反比例函數(shù)得，，解得a＝﹣1，∴點A的坐標為（﹣1，6），∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（﹣1，6）、B（﹣6，1）兩點，∴，解得，故一次函數(shù)的表達式為y＝x+7；（2）∵，∴，即一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，∴﹣6≤x≤﹣1；（3）∵點C橫坐標為﹣4，代入y＝x+7，解得：y＝﹣4+7＝3，∴C（﹣4，3），當y＝3時，代入，得，解得：x＝﹣2，∴D（﹣2，3），如圖，過點B，D分別作x軸的垂線，垂足分別為F，E，∵B（﹣6，1），D（﹣2，3），∴DE＝3，BF＝1，EF＝﹣2﹣（﹣6）＝4，∵S△BOD+S△BFO＝S梯形BFED+S△DEO，S△BFO＝S△DEO＝3，∴S△BOD＝S梯形BFED（DE+BF）EF（3+1）×4＝8．【點評】本題考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)k的幾何意義、函數(shù)圖象的特點，掌握理解函數(shù)圖象的特點是解題關(guān)鍵．四、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分．）22．（6分）已知實數(shù)a，b滿足a+b＝2，則a2﹣b2+4b＝4．【分析】利用平方差公式將原式變形后代入數(shù)值計算，然后將其整理后再代入數(shù)值計算即可．【解答】解：∵a+b＝2，∴a2﹣b2+4b＝（a+b）（a﹣b）+4b＝2（a﹣b）+4b＝2a﹣2b+4b＝2a+2b＝2（a+b）＝2×2＝4，故答案為：4．【點評】本題考查平方差公式，將原式進行正確地變形是解題的關(guān)鍵．23．（6分）對于x、y定義了一種新運算G，規(guī)定G（x，y）＝x+3y．若關(guān)于a的不等式組恰好有3個整數(shù)解，則實數(shù)P的取值范圍是﹣17≤P＜﹣7．【分析】依據(jù)題意，先根據(jù)新定義化簡關(guān)于a的不等式，根據(jù)不等式組有3個整數(shù)解，得出進而解不等式組，即可求解．【解答】解：由題意，∵G（x，y）＝x+3y，∴關(guān)于a的不等式組，即為，∴解不等式①得：a≤1，解不等式②得：．∵不等式組有3個整數(shù)解，∴整數(shù)解為﹣1，0，1，∴．∴﹣17≤P＜﹣7．故答案為：﹣17≤P＜﹣7．【點評】本題考查了解一元一次不等式組，不等式組的整數(shù)解的應(yīng)用，能根據(jù)找不等式的解集和已知得出關(guān)于P的不等式組是解此題的關(guān)鍵．24．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的邊AB在x軸上，點B的坐標為（1，0），點E在邊CD上．將△ADE沿AE折疊，點D落在點F處．若點F的坐標為（0，3），則點E的坐標為（﹣1.5，5）．【分析】設(shè)正方形ABCD的邊長為a，CD與y軸相交于G，則四邊形BOGC矩形，推出OG＝BC＝a，CG＝BO，∠EGF＝90°．由折疊的性質(zhì)，得AD＝AF＝a，DE＝FE．根據(jù)點B的坐標為（1，0），點F的坐標為（0，3），得出BO＝1，F(xiàn)O＝3，所以AO＝AB﹣BO＝a﹣1．在Rt△AOF中，AO2+FO2＝AF2，解得a＝5，則FG＝OG﹣OF＝2，GE＝CD﹣CG﹣DE＝4﹣DE．在Rt△EGF中，GE2+FG2＝EF2，解得DE＝2.5，所以GE＝1.5，則點E的坐標為（﹣1.5，5）．【解答】解：如圖，設(shè)正方形ABCD的邊長為a，CD與y軸相交于G，則四邊形BOGC是矩形，∴OG＝BC＝a，CG＝BO，∠EGF＝90°．由折疊的性質(zhì)，得AD＝AF＝a，DE＝FE．∵點B的坐標為（1，0），點F的坐標為（0，3），∴BO＝1，F(xiàn)O＝3，∴AO＝AB﹣BO＝a﹣1．在Rt△AOF中，AO2+FO2＝AF2，∴（a﹣1）2+32＝a2，解得a＝5，∴FG＝OG﹣OF＝2，GE＝CD﹣CG﹣DE＝4﹣DE．在Rt△EGF中，GE2+FG2＝EF2，∴（4一DE）2+22＝DE2，解得DE＝2.5，∴GE＝1.5，∴點E的坐標為（﹣1.5，5）．故答案為：（﹣1.5，5）．【點評】本題考查翻折變換，正方形的性質(zhì)，坐標與圖形變化—對稱，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運用．25．（6分）如圖，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，，點D、E、F分別是邊BC、AB、AC上的動點，則△DEF周長的最小值是．【分析】作點D關(guān)于AB，AC的對稱點N，M，連接AM，AN，EN，F(xiàn)N，MN，AD，得出△AMN是等腰直角三角形，當AD⊥BC時，AD取得最小值，即△DEF周長最小，進而求得AD，即可求解．【解答】解：如圖，作點D關(guān)于AB，AC的對稱點N，M，連接AM，AN，EN，F(xiàn)N，MN，AD，∴△DEF周長為DE+EF+FD＝NE+EF+FM≥MN，當N，E，F(xiàn)，M四點共線時取得最小值，∵N，M是D關(guān)于AB，AC的對稱點，∴∠NAE＝∠EAD，∠FAD＝∠FAM，AN＝AD＝AM，又∵∠EAD+∠FAD＝45°，∴∠NAM＝∠NAE+∠EAD+∠FAD+∠FAM＝90°，∴△AMN是等腰直角三角形，∴，∴當AD⊥BC時，AD取得最小值，即△DEF周長最小，又∵∠B＝60°，，∴，∴△DEF周長最小為，故答案為：．【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，解直角三角形，垂線段最短，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，五、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推演步驟．)26．（12分）2025年春節(jié)期間，我國國產(chǎn)動畫電影《哪吒之魔童鬧?！匪⑿铝酥袊娪捌狈康男录o錄，商家推出A、B兩款“哪吒”文旅紀念品．已知購進A款200個，B款300個，需花費14000元；購進A款100個，B款200個，需花費8000元．（1）求A、B兩款“哪吒”紀念品每個進價分別為多少元？（2）根據(jù)網(wǎng)上預(yù)約的情況，如果該商家計劃用不超過12000元的資金購進A、B兩款“哪吒”紀念品共400個，那么至少需要購進B款紀念品多少個？（3）在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)每個A款紀念品售價60元時，可售出200個，售價每增加1元，銷售量將減少5個．設(shè)每個A款紀念品售價a（60≤a≤100）元，W表示該商家銷售A款紀念品的利潤（單位：元），求W關(guān)于a的函數(shù)表達式，并求出W的最大值．【分析】（1）設(shè)A款“哪吒”紀念品每個進價為x元，B款“哪吒”紀念品每個進價為y元，根據(jù)購進A款200個，B款300個，需花費14000元；購進A款100個，B款200個，需花費8000元建立方程組求解即可；（2）設(shè)需要購進B款紀念品m個，則需要購進A款紀念品（400﹣m）個，根據(jù)購買資金不超過12000元建立不等式求解即可；（3）根據(jù)題意可得每個A款紀念品的利潤為（a﹣40）元，銷售量為[200﹣5（a﹣60）]個，據(jù)此列出W關(guān)于a的二次函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出W的最大值即可．【解答】解：（1）設(shè)A款“哪吒”紀念品每個進價為x元，B款“哪吒”紀念品每個進價為y元，由題意得，解得，答：A款“哪吒”紀念品每個進價為40元，B款“哪吒”紀念品每個進價為20元；（2）設(shè)需要購進B款紀念品m個，則需要購進A款紀念品（400﹣m）個，由題意得，40（400﹣m）+20m≤12000，解得m≥200，∴m的最小值為200，答：至少需要購進B款紀念品200個；（3）由題意得，W＝（a﹣40）[200﹣5（a﹣60）]＝（a﹣40）（200﹣5a+300）＝（a﹣40）（500﹣5a）＝500a﹣20000﹣5a2+200a＝﹣5（a﹣70）2+4500，∵﹣5＜0，60≤a≤100，∴當a﹣70＝0，即a＝70時，W最大，最大值為4500．【點評】本題主要考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用，二次函數(shù)的實際應(yīng)用，一元一次不等式的實際應(yīng)用，正確理解題意列出方程組，函數(shù)關(guān)系式和不等式是解題的關(guān)鍵．27．（12分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，點O是邊AB上一點，以點O為圓心、OB長為半徑作圓，⊙O恰好經(jīng)過點D，交AB于點E．（1）求證：直線AC是⊙O的切線；（2）若點E為AO的中點，AD＝3，求陰影部分的面積；（3）連接DE，若，求cosA的值．【分析】（1）連接OD，根據(jù)角平分線定義得∠OBD＝∠CBD，根據(jù)OD＝OB得∠ODB＝∠OBD＝∠CBD得OD∥BC，由此得OD⊥AC，然后根據(jù)切線的判定即可得出結(jié)論；（2）設(shè)⊙O的半徑為R，則OD＝OE＝OB＝R，根據(jù)點E是AO的中點得AO＝2R，由此得∠A＝30°，∠AOD＝60°，再求出OD，進而得S△AOD，S扇形EOD，據(jù)此可得陰影部分的面積；（3）在Rt△BDE中，根據(jù)sin∠DBA，設(shè)DE，BE＝5a，則BD，OD＝2.5a，證明△BDE和△BCD全等得CD＝2a，BC＝4a，再證明△AOD和△ABC相似得AD，則AO，由此根據(jù)余弦函數(shù)的定義即可得出cosA的值．【解答】（1）證明：連接OD，如圖所示：∵∠C＝90°，∴BC⊥AC，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB是⊙O的半徑，⊙O恰好經(jīng)過點D，交AB于點E，∴OE＝OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴OD⊥AC，又∵OD是⊙O半徑，∴直線AC是⊙O的切線；（2）解：設(shè)⊙O的半徑為R，∴OD＝OE＝OB＝R，∵點E是AO的中點，∴AE＝OE＝R，∴AO＝2R，由（1）可知：OD⊥AC，∴在Rt△AOD中，sinA，∴∠A＝30°，∴∠AOD＝60°，∵AD＝3，∴tanA，∴OD＝AD?tanA＝3×tan30°，∴S△AODAD?OD，S扇形EOD，∴陰影部分的面積為：