方差分析

方差分析(Analysisofvariance，ANOVA)

又叫變量分析，是英國著名統(tǒng)計學家R.A.Fisher于20世紀提出的。它是用以檢驗兩個或多個均數(shù)間差異的假設檢驗方法。它是一類特定情況下的統(tǒng)計假設檢驗，或者說是平均數(shù)差異顯著性檢驗的一種引伸。方差分析的定義方差分析的基本功能對多組樣本平均數(shù)差異的顯著性進行檢驗

t檢驗可以判斷兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)間的差異顯著性，而方差分析既可以判斷兩組又可以判斷多組數(shù)據(jù)平均數(shù)之間的差異顯著性。有人說，我們可以把多組數(shù)據(jù)化成n個兩組數(shù)據(jù)（化整為零），用n次t檢驗來完成這個多組數(shù)據(jù)差異顯著性的判斷。到底這種方法行不行？對多個處理進行平均數(shù)差異顯著性檢驗時，采用t檢驗法的缺點：1.檢驗過程煩瑣。試驗包含４個處理t檢驗：C42

＝6次缺點缺點2.無統(tǒng)一的試驗誤差，誤差估計的精確性和檢驗的靈敏性低。t檢驗：C42

＝6次需計算6個標準誤誤差估計不統(tǒng)一誤差估計精確性降低缺點3.推斷的可靠性低，檢驗時犯α錯誤概率大。t檢驗：C42

＝6次H0的概率：1-α＝0.956次檢驗相互獨立6次都接受的概率(0.95)6＝0.735犯α錯誤的概率＝1-0.735＝0.265犯α錯誤的概率明顯增加例如我們用t檢驗的方法檢驗4個樣本平均數(shù)之間的差異顯著性試驗指標（experimentalindex）：為衡量試驗結(jié)果的好壞和處理效應的高低，在實驗中具體測定的性狀或觀測的項目稱為試驗指標。常用的試驗指標有：身高、體重、日增重、酶活性、DNA含量等等。試驗因素（experimentalfactor）：試驗中所研究的影響試驗指標的因素叫試驗因素。當試驗中考察的因素只有一個時，稱為單因素試驗；若同時研究兩個或兩個以上因素對試驗指標的影響時，則稱為兩因素或多因素試驗。因素水平（leveloffactor）:

試驗因素所處的某種特定狀態(tài)或數(shù)量等級稱為因素水平，簡稱水平。如研究3個品種奶牛產(chǎn)奶量的高低，這3個品種就是奶牛品種這個試驗因素的3個水平。試驗處理（treatment）:

事先設計好的實施在實驗單位上的具體項目就叫試驗處理。如進行飼料的比較試驗時，實施在試驗單位上的具體項目就是具體飼喂哪一種飼料。試驗單位（experimentalunit）:

在實驗中能接受不同試驗處理的獨立的試驗載體叫試驗單位。一只小白鼠，一條魚，一定面積的小麥等都可以作為實驗單位。重復（repetition）:

在實驗中，將一個處理實施在兩個或兩個以上的試驗單位上，稱為處理有重復；一處理實施的試驗單位數(shù)稱為處理的重復數(shù)。例如，用某種飼料喂4頭豬，就說這個處理（飼料）有4個重復。第一節(jié)方差分析的基本原理二、數(shù)學模型一、方差分析的基本思想、目的和用途三、平方和與df的分解四、統(tǒng)計假設的顯著性檢驗五、多重比較觀測值不同的原因處理效應(treatmenteffect)：處理不同引起試驗誤差：試驗過程中偶然性因素的干擾和測量誤差所致。方差：又叫均方，是標準差的平方，是表示變異的量。在一個多處理試驗中，可以得出一系列不同的觀測值。方差分析的基本思想總變異處理效應試驗誤差方差分析的目的確定各種原因在總變異中所占的重要程度。處理效應試驗誤差相差不大，說明試驗處理對指標影響不大。相差較大，即處理效應比試驗誤差大得多，說明試驗處理影響是很大的，不可忽視。方差分析的用途1.用于多個樣本平均數(shù)的比較2.分析多個因素間的交互作用3.回歸方程的假設檢驗4.方差的同質(zhì)性檢驗1.用于多個樣本平均數(shù)的比較2.分析多個因素間的交互作用二、數(shù)學模型假定有k組觀測數(shù)據(jù)，每組有n個觀測值，則共有nk個觀測值平均T=∑xij

Tk…Ti…T2T1總和xk1xk2…xkj…xkn………………xi1xi2…xij…xin………………x21x22…x2j…x2nx11

x12

…x1j…x1n12…j…nk…i…21

處理重復xx1

x2

xi

xk

…用線性模型(linearmodel)來描述每一觀測值：xij=μ+τi+εij

(i=1,2,3…,kj=1,2,3…,n)μ

－總體平均數(shù)τi

－處理效應εij

－試驗誤差xij

－是在第

i次處理下的第

j

次觀測值要求εij是相互獨立的，且服從標準正態(tài)分布N(0,σ2)二、數(shù)學模型對于由樣本估計的線性模型為：xij=x+ti+eijx

－樣本平均數(shù)ti

－樣本處理效應eij

－試驗誤差二、數(shù)學模型xij=μ+τi+εij

根據(jù)的τi不同假定，可將數(shù)學模型分為以下三種：固定模型隨機模型混合模型二、數(shù)學模型(一)固定模型(fixedmodel)指各個處理的效應值τi

是固定值，各個的平均效應τi

＝μi

－μ是一個常量，且∑τi

＝0。就是說除去隨機誤差以后每個處理所產(chǎn)生的效應是固定的。二、數(shù)學模型實驗因素的各水平是根據(jù)試驗目的事先主觀選定的而不是隨機選定的。不同離子對木聚糖酶活性的影響(mg/ml)0.000.250.500.751.001.250.000.060.120.180.240.300.000.400.801.201.602.000.000.400.600.801.001.20固定模型Na+K+

Cu2+

Mn2+二、數(shù)學模型在固定模型中，除去隨機誤差之后的每個處理所產(chǎn)生的效應是固定的，試驗重復時會得到相同的結(jié)果方差分析所得到的結(jié)論只適合于選定的那幾個水平，并不能將其結(jié)論擴展到未加考慮的其它水平上。固定模型二、數(shù)學模型(二)隨機模型(randommodel)指各處理的效應值τi不是固定的數(shù)值，而是由隨機因素所引起的效應。這里τi

是一個隨機變量，是從期望均值為0，方差為σ2的標準正態(tài)總體中得到的隨機變量。得出的結(jié)論可以推廣到多個隨機因素的所有水平上。二、數(shù)學模型隨機模型美國的黑核桃品種對不同地理條件的適應情況氣候、水肥、土壤無法人為控制河南北京廣州江蘇新疆二、數(shù)學模型如果實驗條件不能人為控制，那么這個樣本對所屬總體作出推斷就屬于隨機模型。隨機模型在隨機模型中，水平確定之后其處理所產(chǎn)生的效應并不是固定的，試驗重復時也很難得到相同的結(jié)果方差分析所得到的結(jié)論，可以推廣到這個因素的所有水平上二、數(shù)學模型固定模型與隨機模型的比較1.兩者在設計思想和統(tǒng)計推斷上有明顯不同，因此進行方差分析時的公式推導也有所不同。其平方和與df的分解公式?jīng)]有區(qū)別，但在進行統(tǒng)計推斷時假設檢驗構(gòu)成的統(tǒng)計數(shù)是不同的。2.模型分析的側(cè)重點也不完全相同，方差期望值也不一樣，固定模型主要側(cè)重于效應值的估計和比較，而隨機模型則側(cè)重效應方差的估計和檢驗3.對于單因素方差分析來說，兩者并無多大區(qū)別二、數(shù)學模型(三)混合模型(mixedmodel)指多因素試驗中既有固定因素又有隨機因素時所用的模型．在實際應用中，固定模型應用最多，隨機模型和混合模型相對較少二、數(shù)學模型三、平方和與df的分解方差是離均差平方和除以自由度的商σ2

＝∑(x-μ)2

N∑(x-x)2

s2=n-1要把一個試驗的總變異依據(jù)變異來源分為相應的變異，首先要將總平方和和總df分解為各個變異來源的的相應部分。方差分析的基本思想引起觀測值出現(xiàn)變異分解為處理效應的變異和試驗誤差的變異。三、平方和與df的分解……平均T=∑xij

Tk…Ti…T2T1總和xk1xk2…xkj…xkn………………xi1xi2…xij…xin………………x21x22…x2j…x2nx11

x12

…x1j…x1n12…j…nk…i…21處理重復xx1

x2

xi

xk

處理間平均數(shù)的差異是由處理效應引起的：處理內(nèi)的變異是由隨機誤差引起：平方和(x-xi)(xi–

x)三、平方和與df的分解根據(jù)線性可加模型，則有：平方和(xi–

x)(x-x)＝(x-xi)+(x-x)2

＝[]2(x-xi)+(xi–

x)(xi–x)2∑(x-x)2

＝∑1n1n(x-xi)2+(x-xi)(xi–

x)2∑1n+∑1n每一個處理n個觀測值離均差平方和累加：＝(x-xi)2+2(x-xi)(xi–

x)+(xi–x)20……平均T=∑xij

Tk…Ti…T2T1總和xk1xk2…xkj…xkn………………xi1xi2…xij…xin………………x21x22…x2j…x2nx11

x12

…x1j…x1n12…j…nk…i…21處理重復xx1

x2

xi

xk

(xi–

x)＝0(x-xi)2∑1n？三、平方和與df的分解(xi–

x)(x-xi)由于＝0，則：

2∑1n∑(x-x)2

＝∑(xi–x)2(x-xi)2nn11+∑1n(xi–x)2(x-xi)2(x-x)2

＝

∑∑1n1k∑∑1n1k+n∑1k總平方和

SST

處理內(nèi)或組內(nèi)平方和SSe處理間或組間平方和

SSt平方和把k個處理的離均差平方在累加，得三、平方和與df的分解平方和總平方和＝處理間平方和+處理內(nèi)平方和SST＝

SSt+SSeSST＝∑∑(x-x)21n

1k

=∑x2

-T2

kn(∑x)2

kn＝∑x2-SST＝∑x2-C令矯正數(shù)C＝，則：T2

kn平方和三、平方和與df的分解SSt

＝n∑1

k

(xi–x)2

k

＝n∑(-2+)1xi2

xixx2

=n∑-+nk1

k

xi2

2n∑1

k

xxix2

=-2nk+n∑1

k

xi2

x2

nkx2

=-n∑1

k

xi2

nkx2

=-n∑1

k

Ti2

n2

nkT2(nk)2

=∑Ti2-Cn1∑1

k

xi=kxxi=Tin=Tnkx三、平方和與df的分解總平方和：SST＝∑x2-C

處理間平方和：

SSt=∑Ti2-Cn1處理內(nèi)平方和：SSe

=SST-SSt平方和自由度三、平方和與df的分解總自由度也可分解為處理間自由度和處理內(nèi)自由度：dfT

=dft+dfe總df處理間df處理內(nèi)df三、平方和與df的分解自由度dfT

=

nk-1dft=k-1dfe=dfT-

dft=nk-1-(k-1)=nk-k=k(n-1)……平均T=∑xij

Tk…Ti…T2T1總和xk1xk2…xkj…xkn………………xi1xi2…xij…xin………………x21x22…x2j…x2nx11

x12

…x1j…x1n12…j…nk…i…21處理重復xx1

x2

xi

xk

三、平方和與df的分解根據(jù)各變異部分的平方和和自由度，可求得處理間方差（st2

）和處理內(nèi)方差（se2

）：st2

=SStdftSSedfese2=平方和自由度方差處理間處理內(nèi)總變異某豬場對4個不同品種幼豬進行4個月增重量的測定，每個品種選擇體重接近的幼豬4頭，測定結(jié)果列于下表，試進行方差分析。=27.227.924.125.830.9T=434.4111.496.2103.2123.6Ti27.030.829.024.622.223.026.724.324.825.726.825.931.924.031.835.91234沈花沈黑沈白大白品種重復xixk=4，n=4，nk=16例=27.227.924.125.830.9T=434.4111.496.2103.2123.6Ti27.030.829.024.622.223.026.724.324.825.726.825.931.924.031.835.91234沈花沈黑沈白大白

品種重復xix4個不同品種豬4個月的增重量(kg)(1)平方和的計算：T2

knC＝＝434.42

16＝11793.96SST＝∑x2-C＝31.92+24.02+…+24.62-C＝213.3SSt=∑Ti2-Cn1＝1/4×(123.62+103.22+…+111.42)-C＝103.94SSe

＝SST-SSt=213.3-103.94=109.36例(2)自由度的計算：dfT＝nk-1=16-1=15dft=k-1=4-1=3dfe=k(n-1)=4×3=12(3)方差計算：st2

=SStdft＝103.942

3＝34.647SSedfese2=＝109.362

12＝9.113四、統(tǒng)計假設的顯著性檢驗

——F檢驗確定各種原因（處理效應、試驗誤差）在總變異中所占的重要程度。處理間的方差（st2

）可以作為處理效應方差的估計量處理內(nèi)的方差（se2

）可以作為試驗誤差差異的估計量處理效應試驗誤差方差分析的目的:二者相比，如果相差不大，說明不同處理的變異在總變異中所占的位置不重要，也就是不同試驗處理對結(jié)果影響不大。如果相差較大，也就是處理效應比試驗誤差大得多，說明試驗處理的變異在總變異中占有重要的位置，不同處理對結(jié)果的影響很大，不可忽視。處理效應試驗誤差F檢驗

從第三章我們已經(jīng)知道，從一正態(tài)總體（μ,σ2

）中隨機抽取兩個樣本，其樣本方差s12與s22的比值為F

：F＝s12

s22

其F

分布曲線隨著df1

和df2

的變化而變化。由于F

值表是一尾的（F值的區(qū)間〔0，+∞)

），一般將大方差作分子，小方差作分母，使F

值大于1，因此，表上df1的代表大方差自由度，df2

代表小方差自由度。用處理效應的方差（st2

）和實驗誤差的方差（se2

）比較時，我們所做的無效假設是假設處理效應的變量和實驗誤差的變量是來自同一正態(tài)總體的兩個樣本，因此處理效應的方差（st2

）和實驗誤差的方差（se2

）的比值就是F

值，即處理效應試驗誤差=方差分析F檢驗

在進行不同處理差異顯著性的F

檢驗時，一般是把處理間方差作為分子，稱為大方差，誤差方差作為分母，稱為小方差。

無效假設是把各個處理的變量假設來自同一總體，即處理間方差不存在處理效應，只有誤差的影響，因而處理間的樣本方差σt2與誤差的樣本方差σe2相等：Ho

：σt2

＝

σe2HA

：σt2

≠

σe2st2無論無效假設是否為真，se2均為總體方差σ2的估計。se2只有無效假設為真時，st2(=se2)才是總體方差σ2的估計；當無效假設不真時，將st2(＞se2

)是一個比σ2更大的估計值。F檢驗與t

檢驗相類似，F(xiàn)檢驗是把計算所得的F值與臨界Fα值比較，判斷由誤差造成的概率大小，最后作出統(tǒng)計推斷。無效假設是否成立，要看計算的F值在F分布中出現(xiàn)的概率。F＜F0.05P＞0.05

處理間差異不顯著F＞F0.05P＜0.05

處理間差異顯著F＞F0.01P＜0.01

處理間差異極顯著否定Ho否定Ho接受Ho

我們確定顯著標準水平α后，從F值表中查出在dft和dfe下的Fα值綜上所述，可歸納成方差分析表(analysisofvariancetable)se2k(n-1)SSe誤差或處理內(nèi)nk-1SST總和st2k-1SSt處理間F均方自由度平方和變異來源F＝st2se2F檢驗上例中，4個不同品種豬增重的F值為：F＝st2

se2

＝34.647

9.113＝3.802dft

＝3dfe

＝12，查F值表得F0.05＝3.49，F(xiàn)0.01＝5.95品種間豬的增重量差異是顯著的例F0.01>F>F0.050.01<P<0.05變異來源SSdfs2FF0.05F0.01品種間品種內(nèi)103.94109.3631234.6479.1133.802*3.495.95總變異213.3015不同品種豬4個月增重量的方差分析表例如果處理間差異顯著，在計算出的F值右上角標上“*”號；如果處理間差異極顯著，在F

值的右上角標上“**”號。

為了解燙傷后不同時期大鼠肝臟ATP的變化情況，將30只大鼠隨機分為三組，每組10只，A組在燙傷時，B組在燙傷后24小時（休克期），C組在燙傷后96小時（非休克期）測定其肝臟內(nèi)的ATP含量，結(jié)果如右表：A組B組C組7.7611.1410.857.7111.608.588.4311.427.198.4713.859.3610.3013.539.596.6714.168.8111.736.948.225.7813.019.956.6114.1811.266.9717.728.68n101010N=308.0412.769.25

=10.02∑x80.43127.5592.49T=300.47(∑x)26468.9816269.008554.40T2=90282.22∑x2676.321696.96868.93(1)平方和的計算：T2

knC＝＝300.472

30＝3009.4074SST＝∑x2-C＝676.32+1696.96+868.93-C＝232.8026SSt=∑Ti2-Cn1＝1/3×(80.432+127.552+92.492)-C＝119.8314SSe

＝SST-SSt=232.8026-119.8314=112.9712(2)自由度的計算：dfT＝nk-1=30-1=29dft=k-1=3-1=2dfe=k(n-1)=3×9=27變異來源SSdfs2FF0.05F0.01品種間品種內(nèi)119.8314112.971222759.9164.18414.32**3.355.49總變異232.802629大鼠燙傷后ATP含量的的方差分析表五多重比較多重比較（multiplecomparisons）

要明確不同處理平均數(shù)兩兩間差異的顯著性，每個處理的平均數(shù)都要與其他的處理進行比較，這種差異顯著性的檢驗就叫多重比較。統(tǒng)計上把多個平均數(shù)兩兩間的相互比較稱為多重比較。概念五、多重比較常用方法最小顯著差數(shù)法leastsignificantdifferenceLSD法最小顯著極差法leastsignificantrangesLSR法

LSD法的實質(zhì)是兩個平均數(shù)相比較的t檢驗法。

LSR法克服了LSD法的局限性，采用不同平均數(shù)間用不同的顯著差數(shù)標準進行比較，它可用于平均數(shù)間的所有相互比較。(一)最小顯著差數(shù)法（LSD法）1.檢驗的方法(1)先計算出達到差異顯著的最小差數(shù)，記為LSDα

(2)用兩個處理平均數(shù)的差值絕對值與LSDα比較：x1x2-(一)最小顯著差數(shù)法（LSD法）1.檢驗的方法(1)先計算出達到差異顯著的最小差數(shù)，記為LSDα

由t=得x1x2-x1x2-Sx1x2-x1x2-S＝t·LSD0.05=t0.05·x1x2-SLSD0.01=t0.01·x1x2-Sx1x2-S=√s12

n1s22n2+=√1

n11n2se2(+)當n1=

n2時：x1x2-S=√2se2

n平均數(shù)差數(shù)標準誤的計算公式：處理內(nèi)方差1.檢驗的方法(2)再用兩個處理平均數(shù)的差值絕對值與LSDα比較：x1x2-x1x2-＞LSDα

，即和在給定的α水平上差異不顯著

x1x2拒絕Ho接受Ho(一)最小顯著差數(shù)法（LSD法）x1x2即和在給定的α水平上差異顯著x1x2-＜LSDα

，變異來源SSdfs2FF0.05F0.01品種間品種內(nèi)103.94109.3631234.6479.1133.802*3.495.95總變異213.3015不同品種豬4個月增重量的方差分析表例x1x2-S=√2se2

n=√2×9.113

4＝2.1346查t值表，當誤差自由度dfe=12時，LSD0.05=t0.05·x1x2-S=2.179×2.1346=4.6513(kg)LSD0.01=t0.01·x1x2-S=3.056×2.1346=6.5233(kg)t0.05

＝2.179，t0.01

＝3.0562.結(jié)果表示方法(一)最小顯著差數(shù)法（LSD法）梯形法標記字母法標記字母法

首先將全部平均數(shù)從大到小依次排列。然后在最大的平均數(shù)上標字母a，將該平均數(shù)與以下各平均數(shù)相比，凡相差不顯著的（＜LSDα）都標上字母a，直至某個與之相差顯著的則標字母b。再以該標有b的平均數(shù)為標準，與各個比它大的平均數(shù)比較，凡差數(shù)差異不顯著的在字母a的右邊加標字母b。然后再以標b的最大平均數(shù)為標準與以下未曾標有字母的平均數(shù)比較，凡差數(shù)差異不顯著的繼續(xù)標以字母b，直至差異顯著的平均數(shù)標字母c，再與上面的平均數(shù)比較。如此重復進行，直至最小的平均數(shù)有了標記字母，并與上面的平均數(shù)比較后為止。(一)最小顯著差數(shù)法（LSD法）標記字母法品種平均數(shù)差異顯著性α＝0.05α＝0.01大白沈花沈白沈黑30.927.925.824.1aA例不同品種間4個月增重量差異顯著表abbbAABBBxi結(jié)果表明：大白和沈黑增重量差異達到了極顯著標準，大白與沈白之間的差異達到了顯著標準，其他品種間差異不顯著。LSD0.05=4.6513LSD0.01=6.5233標記字母法在各平均數(shù)間，凡有一個相同標記字母的即為差異不顯著，凡具不同標記字母的即為差異顯著。差異極顯著標記方法相同，但用大寫字母標記。(一)最小顯著差數(shù)法（LSD法）梯形比較法又叫三角形法，是將各處理的平均數(shù)差數(shù)按梯形列于表中，并將這些差數(shù)和LSDα值比較：差數(shù)＞LSD0.05差異顯著*差數(shù)＞LSD0.01差異極顯著**差數(shù)≤LSD0.05差異不顯著(一)最小顯著差數(shù)法（LSD法）例梯形比較法不同品種間4個月增重量差異顯著表品種平均數(shù)差異顯著性大白沈花沈白沈黑30.927.925.824.16.8**3.81.75.1*2.13.0xixi-24.1xi-25.8xi-27.9LSD0.05=4.6513LSD0.01=6.5233結(jié)果表明：大白和沈黑增重量差異達到了極顯著標準，大白與沈白之間的差異達到了顯著標準，其他品種間差異不顯著。LSD法應用的說明(一)最小顯著差數(shù)法（LSD法）1.進行LSD檢驗時，這一對平均數(shù)的比較是檢驗之前已經(jīng)指定的，且經(jīng)F檢驗證實平均數(shù)間的差異已達到顯著之后，才可以進行LSD檢驗。3.LSD

法適用于各處理組與對照組的比較，不適用于處理組間的比較。2.LSD

法實質(zhì)上是t檢驗，但LSD

法是利用F

檢驗中的誤差自由度dfe

查t

臨界值，利用誤差方差se2計算平均數(shù)差異標準誤，從一定程度上緩解了t檢驗過程中的三個弊病，但是LSD法仍然存在提高犯α錯誤的概率，所以進行LSD檢驗必須限制其應用范圍。(二)最小顯著極差法（LSR法）是指不同平均數(shù)間用不同的顯著差數(shù)標準進行比較，可用于平均數(shù)間的所有相互比較。新復極差法（Newmultiplerangmethod）

SSR法q

檢驗（q-test）新復極差法（SSR）SSR法又稱Duncan法。無效假設H0為：μA–μB=0(1)按相比較的樣本容量計算平均數(shù)標準誤:當n1

＝n2＝n時√xS=se2

n(2)根據(jù)誤差方差se2所具有自由度dfe和比較所含平均數(shù)個數(shù)M，查SSR值（附表8），然后算出最小顯著極差值（LSR值）。LSRα＝

SSRα·x1S(3)將各平均數(shù)按大小順序排列，用各個M值的LSRα值，檢驗各平均數(shù)間極差的顯著性。例例：n=4，se2=9.113，dfe＝12√xS=se2

n√=49.113

＝1.5094(kg)查附表8，當dfe

＝12，M＝2時，LSR0.05＝1.5094×3.08＝4.65LSR0.01＝1.5094×4.32＝6.52當M＝3，M＝4時，按同理計算，將結(jié)果列于下表：SSR0.05＝3.08，SSR0.01＝4.32不同品種4個月增重量試驗LSR值（新復極差法）M234SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.013.084.324.656.523.224.504.886.793.314.625.006.97品種平均數(shù)大白沈花沈白沈黑30.927.925.824.1大白與沈黑：M＝4，極差＝6.8＞5.00大白與沈白：M＝3，極差＝5.1＞4.88大白與沈花：M＝2，極差＝3.0＜4.65M=相隔數(shù)+2品種平均數(shù)差異顯著性α＝0.05α＝0.01大白沈花沈白沈黑30.927.925.824.1aabbbAAAA結(jié)論：豬的4個品種中只有大白與沈黑，大白與沈白4個月增重量差異達到顯著，其他品種間差異不顯著。豬品種間4個月增重量差異顯著性比較表（新復極差法）也稱Newman-keuls檢驗，方法與新復極差法相似，其區(qū)別僅在于計算最小顯著極差LSRα時不是查SSRα，而是查qα值（附表9）LSRα＝

qα·x1S還對上例作q檢驗：x1S＝1.5094,查q值表，dfe＝12,M=2時q0.05

＝3.08，q0.01＝4.32。同理可查M＝3，M=4時的qα值，算出最小顯著極差LSR。q-檢驗法q-檢驗M234q0.05q0.01LSR0.05LSR0.013.084.324.656.523.775.045.697.614.205.506.348.30不同品種4個月增重量試驗LSR值（q檢驗）品種平均數(shù)大白沈花沈白沈黑30.927.925.824.1大白與沈黑：M＝4，極差＝6.8＞6.34大白與沈白：M＝3，極差＝5.1＜5.69大白與沈花：M＝2，極差＝3.0＜4.65(二)最小顯著極差法（LSR法）不同品種間4個月增重量差異顯著性比較表（新復極差法）品種平均數(shù)差異顯著性α＝0.05α＝0.01大白沈花沈白沈黑30.927.925.824.1aababbAAAA結(jié)論：豬的4個品種中只有大白與沈黑4個月增重量差異達到顯著，其他品種間差異不顯著。LSD0.05=4.6513LSD0.01=6.5233LSD法M234q0.05q0.01LSR0.05LSR0.013.084.324.656.523.775.045.697.614.205.506.348.30M234SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.013.084.324.656.523.224.504.886.793.314.625.006.97新復極差法q檢驗當樣本數(shù)k=2時，LSD法、LSR法和q檢驗法的顯著性尺度是相同的。當M≥3時，三種檢驗的顯著尺度便不相同。因此，在實際計算中：對于精度要求高的試驗——q檢驗法一般試驗——SSR檢驗法試驗中各個處理均數(shù)皆與對照相比的試驗——LSD檢驗法方差分析的基本步驟（1）將樣本數(shù)據(jù)的總平方和與總自由度分解為各變異因素的平方和與自由度；（2）列方差分析表進行F檢驗，以弄清各變異因素在總變異中的重要程度；（3）對各處理平均數(shù)進行多重比較。

為了解燙傷后不同時期大鼠肝臟ATP的變化情況，將30只大鼠隨機分為三組，每組10只，A組在燙傷時，B組在燙傷后24小時（休克期），C組在燙傷后96小時（非休克期）測定其肝臟內(nèi)的ATP含量，結(jié)果如右表：A組B組C組7.7611.1410.857.7111.608.588.4311.427.198.4713.859.3610.3013.539.596.6714.168.8111.736.948.225.7813.019.956.6114.1811.266.9717.728.68n101010N=308.0412.769.25

=10.02∑x80.43127.5592.49T=300.47(∑x)26468.9816269.008554.40T2=90282.22∑x2676.321696.96868.93(1)平方和的計算：T2

knC＝＝300.472

30＝3009.4074SST＝∑x2-C＝676.32+1696.96+868.93-C＝232.8026SSt=∑Ti2-Cn1＝1/10×(80.432+127.552+92.492)-C＝119.8314SSe

＝SST-SSt=232.8026-119.8314=112.9712(2)自由度的計算：dfT

＝nk-1=30-1=29dft=k-1=3-1=2dfe=k(n-1)=3×9=27變異來源SSdfs2FF0.05F0.01品種間品種內(nèi)119.8314112.971222759.9164.18414.32**3.355.49總變異232.802629大鼠燙傷后ATP含量的的方差分析表組別平均數(shù)差異顯著性LSDqBCA12.769.258.04aabbabb第二節(jié)單因素方差分析單因素方差分析在試驗中所考慮的因素只有一個時，稱為單因素實驗。

單因素方差分析是最簡單的一種，它適用于只研究一個試驗因素的資料，目的在于正確判斷該試驗因素各處理的相對效果（各水平的優(yōu)劣）.單因素方差分析組內(nèi)觀測數(shù)目的不同組內(nèi)觀測次數(shù)相等方差分析組內(nèi)觀測次數(shù)不相等的方差分析組內(nèi)觀測次數(shù)相等的方差分析

是指在k組處理中，每一處理皆含有n個觀測值，其方差分析方法前面已做介紹，這里以方差分析表的形式給出有關(guān)計算公式：se2k(n-1)SSe誤差或處理內(nèi)nk-1SST總和st2k-1SSt處理間F均方自由度平方和變異來源F＝st2se2

測定東北、內(nèi)蒙古、河北、安徽、貴州5個地區(qū)黃鼬冬季針毛的長度，每個地區(qū)隨機抽取4個樣本，測定的結(jié)果如表，試比較各地區(qū)黃鼬針毛長度差異顯著性。地區(qū)東北內(nèi)蒙古河北安徽貴州合計132.029.225.223.322.3232.827.426.125.122.5331.226.325.825.122.9430.426.726.725.523.7126.4109.6104.199.091.4530.531.6027.4026.0324.7522.8526.533997.443007.992709.982453.162089.6414258.21在這里，k=5，n=4。（1）首先計算出，及，并列于表中。（2）計算出離均差平方和與自由度：＝186.7-173.71＝12.99＝20－1＝19＝5×(4－1)＝15（3）計算方差：＝5－1＝4（4）進行F檢驗：查F值表，得F0.05(4,15)＝3.06，F(xiàn)0.01(4,15)＝4.89，故F>F0.01，P<0.01，說明5個地區(qū)黃鼬冬季針毛長度差異極顯著。結(jié)果做成方差分析表：不同地區(qū)黃鼬冬季針毛長度方差分析表變異來源SSdfs2FF0.05F0.01地區(qū)間地區(qū)內(nèi)173.7112.9941543.430.8750.15**3.064.89總變異186.7019為了確定各個地區(qū)之間的差異是否顯著，需要進行多重比較。這里用最小顯著差數(shù)法（LSD）進行檢驗。查t值表，當dfe

=15時，t0.05＝2.131，t0.01＝2.947，于是有：LSD0.05=2.131×0.658=1.402LSD0.01=2.947×0.658=1.939本例中各組內(nèi)觀測數(shù)相等，而且組內(nèi)方差均為0.866，故任何兩組的比較均可用LSD0.05及LSD0.01。

在進行LSD0.05及LSD0.01比較時，各組間差數(shù)>LSD0.01，說明兩地間差異極顯著，標以不同的大寫字母；

LSD0.01>各組間差數(shù)>LSD0.05，說明兩地間差異顯著，標以不同的小寫字母；地區(qū)平均數(shù)差異顯著性α＝0.05α＝0.01東北內(nèi)蒙古河北安徽貴州31.6027.4026.0324.7522.85abbccdABBCCDD結(jié)果表明，東北與其它地區(qū)，內(nèi)蒙古與安徽、貴州，河北與貴州黃鼬冬季針毛長度差異均達到極顯著水平，安徽與貴州差異達到顯著水平，而內(nèi)蒙古與河北、河北與安徽差異不顯著。根據(jù)組內(nèi)觀測次數(shù)目不同組內(nèi)觀測次數(shù)相等的方差分析組內(nèi)觀測次數(shù)不相等的方差分析

有時由于試驗條件的限制，不同處理的觀測次數(shù)不同，k個處理的觀測次數(shù)依次是n1

、n2

、…、nk的單因素分組資料，前面介紹的方差分析方法仍然可用，但由于總觀測次數(shù)不是nk，而是次，在計算平方和時公式稍有改變。組內(nèi)觀測次數(shù)不相等的方差分析se2∑ni-1

SSe誤差或處理內(nèi)SST總和st2k-1處理間F方差自由度平方和變異來源F＝st2se2∑ni-k

在作多重比較時，首先應計算平均數(shù)的標準誤。由于各組內(nèi)觀測次數(shù)不等，因此應需先算得各ni的平均數(shù)n0：各個處理的樣本容量用于LSR檢驗用于LSD檢驗用某種小麥種子進行切胚乳試驗，實驗分為三種處理：整粒小麥（I），切去一半胚乳（II），切去全部胚乳（III），同期播種與條件較一致的花盆內(nèi)，出苗后每盆選留兩株，成熟后進行單株考種，每株粒重結(jié)果如表，試進行方差分析。處理株號合計平均數(shù)12345678910ⅠⅡIII21202429252224252822232525292130312627242626202120424414625.524.424.3小麥切胚乳試驗單株粒重（g）處理株號合計平均數(shù)12345678910ⅠⅡIII21202429252224252822232525292130312627242626202120424414625.524.424.3小麥切胚乳試驗單株粒重（g）n1

＝8，n2

＝10，n3

＝6，N＝24(1)平方和的計算SST＝∑x2–C=212+292+…+262-C=230.5SSe

＝SST-SSt

＝230.5-6.8＝223.7(2)自由度的計算(3)列方差分析表變異來源SSdfs2F處理間處理內(nèi)6.8233.72213.410.70.318總變異230.523由表中結(jié)果可知，F(xiàn)＜1，表明三種處理的每株粒重無顯著差異。

由于F檢驗不顯著，不需要再作多重比較。如果F檢驗顯著，則需要進一步計算n0

，并求得（用于LSR檢驗）或（用于LSD檢驗），即x1x2-SxS

需要指出的是，不等觀測次數(shù)的試驗要盡量避免，因為這樣的試驗數(shù)據(jù)不僅計算麻煩，而且也降低了分析的靈敏度。

需要指出的是，不等觀測次數(shù)的試驗要盡量避免，因為這樣的試驗數(shù)據(jù)不僅計算麻煩，而且也降低了分析的靈敏度。在實際工作中經(jīng)常會遇到兩種因素共同影響試驗結(jié)果的情況每一觀測值都是某一特定溫度與光照條件共同作用的結(jié)果。溫度光照B1B2…BcA1A1B1A1B2…A1

BcA2A2B1A2B2…A2

Bc……………ArAr

B1ArB2…ArBc第三節(jié)二因素方差分析試驗指標因素水平處理效應一、相關(guān)概念一、相關(guān)概念試驗指標：衡量試驗結(jié)果的標準豬的日增重小麥產(chǎn)量酶的活性試驗指標因素(factor)：也叫因子，是指對試驗指標有影響，在研究中加以（控制）考慮的試驗條件?？煽匾蜃樱涸谠囼炛锌梢匀藶榈丶右哉{(diào)控的因子濃度、溫度等非控因子：不能人為調(diào)控的因素（氣象、環(huán)境等）固定因素：指因素的水平是經(jīng)過特意選擇的隨機因素：指因素的水平是從該因素水平總體中隨機抽出的樣本因素一、相關(guān)概念不同離子對木聚糖酶活性的影響(mg/ml)0.000.250.500.751.001.250.000.060.120.180.240.300.000.400.801.201.602.000.000.400.600.801.001.20Na+K+

Cu2+

Mn2+實驗指標因素水平(level)：每個因素的不同狀態(tài)（從質(zhì)或量方面分成不同的等級）因素是一個抽象的概念，水平則是一個較為具體的概念水平一、相關(guān)概念不同離子對木聚糖酶活性的影響(mg/ml)0.000.250.500.751.001.250.000.060.120.180.240.300.000.400.801.201.602.000.000.400.600.801.001.20Na+K+

Cu2+

Mn2+水平處理處理：指對試驗對象施以不同的措施飼料種類魚增重（3個重復）ABCD31.927.931.824.825.726.822.123.627.327.030.829.0

對單因素試驗而言，水平和處理是一致的，一個水平就是一個處理4種不同配合飼料對魚的飼養(yǎng)效果一、相關(guān)概念處理飼料中能量與蛋白質(zhì)的水平組合protein能量高低高低高高低高高低低低對多因素試驗而言，處理就是指水平與水平的組合一、相關(guān)概念固定效應(fixedeffect)：由固定因素所引起的效應。隨機效應(randomeffect)：由隨機因素引起的效應。一、相關(guān)概念效應定義：是指對試驗指標同時受到兩個試驗因素作用的試驗資料的方差分析。固定模型二因素都是固定因素隨機模型二因素均為隨機因素混合模型一個因素是固定因素，一個因素是隨機因素二因素方差分析主效和互作主效應（maineffect）：各試驗因素的相對獨立作用互作（interaction）：某一因素在另一因素的不同水平上所產(chǎn)生的效應不同。因素間的交互作用顯著與否關(guān)系到主效應的利用價值二因素間是否存在交互作用有專門的統(tǒng)計判斷方法，有時也可根據(jù)專業(yè)知識判斷。如果交互作用顯著，則各因素的效應就不能累加，最優(yōu)處理組合的選定應根據(jù)各處理組合的直接表現(xiàn)選定。有時交互作用相當大，甚至可以忽略主效應。如果交互作用不顯著，則各因素的效應可以累加，各因素的最優(yōu)水平組合起來，即為最優(yōu)的處理組合。二因素方差分析無重復觀測值的二因素方差分析具有重復觀測值的二因素方差分析無重復觀測值的二因素方差分析依據(jù)經(jīng)驗或?qū)I(yè)知識，判斷二因素無交互作用時，每個處理可只設一個觀測值，即假定A因素有a各水平，B因素有b個水平，每個處理組合只有一個觀測值。無重復觀測值的二因素方差分析因素A因素B總和Ti.平均數(shù)B1B2…BbA1x11x12…x1bT1.A2x21x22…x2bT2.…………………Aaxa1xa2…xabTa.總和T.jT.1T.2…T.bT平均數(shù)…無重復觀測值的二因素分組資料模式二因素方差分析的線性模型因素間不存在交互作用，所以二因素方差分析觀測值的線性模型是xij

=μ+αi

+βj

+εij

αi

和βj是A因素和B因素的效應，可以是固定的，也可以是隨機的，且，εij是隨機誤差，彼此獨立且服從N(0，σ2)。i=1,2,…,a;

j=1,2,…,b（1）平方和的分解為：（2）與平方和相應的自由度的分解為（4）F值的計算：（3）各項的方差分別為

將一種生長激素配成M1，M2，M3，M4，M5五種濃度，并用H1，H2，H3三種時間浸漬某大豆品種的種子，出苗45天后的各處理每以植株的平均干物重（g）（下表）。試作方差分析與多重比較。濃度（A）時間（B）TiH1H2H3M11314144113.67M21212133712.33M333393.00M410910299.67M5254113.67T.j4043441278.08.68.88.47激素處理對大豆干物重的影響激素濃度和時間均為固定因素，適應于固定模型。（1）平均和的計算：（2）自由度的計算（3）列出方差分析表，進行F檢驗變異來源dfSSs2FF0.05F0.01濃度間4289.0672.27116.56**3.847.01時間間誤差281.734.940.870.621.404.468.65總變異14295.73

F檢驗結(jié)果表明，濃度間的F值大于F0.01，時間間的F值未達到顯著水平，表明不同激素濃度對大豆干物重有極顯著差異。（4）進行多重比較（用SSR檢驗）：由于只有濃度間的效應達到了極顯著差異，時間間的效應未達到顯著水平，只需對5種浸漬濃度進行多重比較，可計算出濃度間的平均數(shù)標準誤均為

b=3是每一濃度的觀測值數(shù)目，如果要比較時間間的效應，由于每一時間有a=5個觀測值，其平均數(shù)的標準誤應為M2345SSR0.053.263.403.483.52SSR0.014.754.945.065.14SSR0.051.481.551.581.60SSR0.012.162.252.302.34不同濃度大豆干物重多重比較SSR和LSR值查SSR值表，當dfe=8，M=2，3，4，5時的SSR值及由此計算的LSR值列于下表多重比較結(jié)果表明：5種生長激素濃度對大豆干物重的影響有著極顯著的差異，除M1與M2，M5與M3之外差異不顯著外，其它濃度之間的大豆干物重均達到極顯著差異。5種激素濃度中，以M1和M2的處理效果較好。濃度平均數(shù)差異顯著性α＝0.05α＝0.01M1M2M3M4M513.6712.339.673.673.00aabccAABCC無重復觀測值的二因素方差分析，所估計的誤差實際上是這兩個因素的相互作用，這是在兩個因素不存在互作，或互作很小的情況下進行估計的。但是，如果存在兩個因素的互作，方差分析中就不能用互作來估計誤差，必須在有重復觀測值的情況下對試驗誤差進行估計。

定義：是指對試驗指標同時受到兩個試驗因素作用的試驗資料的方差分析。二因素都是固定因素二因素均為隨機因素固定模型隨機模型混合模型一個因素是固定因素，一個因素是隨機因素二因素方差分析

三種模型在計算上類似，但在對待檢驗及結(jié)果解釋時有所不同。二因素方差分析無重復觀測值的二因素方差分析具有重復觀測值的二因素方差分析無重復觀測值的二因素方差分析依據(jù)經(jīng)驗或?qū)I(yè)知識，判斷二因素無交互作用時，每個處理可只設一個觀測值，即假定A因素有a個水平，B因素有b個水平，每個處理組合只有一個觀測值。無重復觀測值的二因素方差分析因素A因素B總和Ti.平均數(shù)B1B2…BbA1x11x12…x1bT1.A2x21x22…x2bT2.…………………Aaxa1xa2…xabTa.總和T.jT.1T.2…T.bT平均數(shù)…無重復觀測值的二因素分組資料模式二因素方差分析的線性模型因素間不存在交互作用，所以二因素方差分析觀測值的線性模型是xij

=μ+αi

+βj

+εij

αi

和βj是A因素和B因素的效應，可以是固定的，也可以是隨機的，且，εij是隨機誤差，彼此獨立且服從標準正態(tài)分布N(0，σ2)。i=1,2,…,a;

j=1,2,…,b二因素方差分析的線性模型因素間不存在交互作用，所以二因素方差分析觀測值的線性模型是xij

=μ+αi

+βj

+εij

αi

和βj是A因素和B因素的效應，可以是固定的，也可以是隨機的，且，εij是隨機誤差，彼此獨立且服從標準正態(tài)分布N(0，σ2)。i=1,2,…,a;

j=1,2,…,b（1）平方和的分解為：（2）與平方和相應的自由度的分解為（4）F值的計算：（3）各項的方差分別為無重復觀測值的二因素方差分析，所估計的誤差實際上是這兩個因素的相互作用，這是在兩個因素不存在互作，或互作很小的情況下進行估計的。但是，如果存在兩個因素的互作，方差分析中就不能用互作來估計誤差，必須在有重復觀測值的情況下對試驗誤差進行估計。二因素方差分析無重復觀測值的二因素方差分析具有重復觀測值的二因素方差分析具有重復觀測值的二因素方差分析具有重復觀測值的二因素方差分析具有重復觀測值的二因素試驗的典型設計是：假定A因素有a水平，B因素有b水平，則每一次重復都包括ab次實驗，設試驗重復n次，資料模式在P98。二因素具有重復觀測值的方差分析用下面線性模型來描述：xijk

=μ+αi+βj+(αβ)ij+εijkA因素第i水平，B因素第j水平和第k次重復的觀測值總平均值A因素第i水平的效應B因素第j水平的效應αi

和βj的交互作用隨機誤差模型中εijk彼此獨立且服從標準正態(tài)分布（0,σ2）因試驗共有n次重復，試驗的總次數(shù)為abn次。方差分析步驟和前面介紹的相類似，唯一不同的是F檢驗的方法。（1）平方和的分解為：A處理的樣本容量B處理的樣本容量A處理、B處理和A×B互作的平方和試驗重復數(shù)（3）各項的方差分別為（2）自由度的分解為（4）F檢驗：（ｂ）隨機模型：對于隨機模型，αi、βj、(αβ)ij

和εijk是相互獨立的隨機變量，都遵從正態(tài)分布。在F檢驗時，先檢驗A×B是否顯著：（a）固定模型：在固定模型中，αi

，βj及(αβ)ij

均為固定效應。在F檢驗時，A因素、B因素和A×B互作項均以Se2作為分母。檢驗A、B時，有：（ｃ）混合模型（以A為固定因素，Ｂ為隨機因素為例）：在混合模型中，A和B的效應為非可加性，αi

為固定效應，βj及(αβ)ij

為隨機效應。對A作檢驗時同隨機模型，對B和A×B作檢驗時同固定模型，即：在實際應用中，固定模型應用最多，隨機模型和混合模型相對較少。

為了研究某種昆蟲滯育期長短與環(huán)境的關(guān)系，在給定的溫度和光照條件下在實驗室培養(yǎng)，每一處理記錄4只昆蟲的滯育天數(shù)，結(jié)果列于表中，是對該材料進行方差分析。光照（A）溫度（B）250C300C350C5h·d-1143138120107101100808389931017610h·d-1961037891796183598076616715h·d-1798396986071786467587183不同溫度及光照條件下某種昆蟲滯育天數(shù)由于溫度和光照條件都是人為控制的，為固定因素，可依固定因素分析。將表中數(shù)字均減去80，整理得下表光照（Ａ）標本號溫度（B）250C300C350C5h·d-112346358402721200391321－4271188443910h·d-112341623－211－1－193－210－4－19－13－2648－38－3615h·d-11234－131618－20－9－2－16－13－22－93－5236－47－41272－41－38193（1）平方和的分解為：（2）自由度的分解為結(jié)果列入方差分析表變異來源dfSSs2FF0.05F0.01光照間25367.062683.5321.94**3.355.49溫度間25391.062695.5322.03**3.355.49光照×溫度誤差427464.943303.25116.24122.340.952.734.11總變異35295.73

F檢驗結(jié)果表明，濃度間和時間間的F值大于F0.01，它們的差異極顯著，即昆蟲滯育期長短主要決定于光照和溫度，而與兩者之間的互作關(guān)系不大。某昆蟲滯育天數(shù)方差分析表要了解各種光照時間及溫度對滯育期的影響，需進行不同光照間及不同溫度間的多重比較，其方法可參照前面例子進行，但平均數(shù)標準誤的計算為：光照（A）間平均數(shù)標準誤，溫度（B）間平均數(shù)標準誤A處理的樣本容量B處理的樣本容量在啤酒生產(chǎn)中，為了研究烘烤方式（A）與大麥水分（B）對糖化時間的影響，選了兩種烘烤方式，4種水分共8種處理，每一處理重復三次，結(jié)果如下表。烘烤方式(A)水分(B)B1B2B3B4A112.09.516.018.013.010.015.519.014.512.514.017.0A25.013.017.515.06.514.018.516.05.515.016.017.5大麥水分是不均勻的，又不易控制，所以因素B是隨機的，它的效應也是隨機的，因此本題是一個混合模型的方差分析。將上表中各觀測值都減去10，計算后得烘烤方式（A）標本號水分（B）B1B2B3B4A112.0-5.06.08.051.023.00.05.59.034.52.54.07.09.52.015.524.0A21-5.03.07.55.039.52-3.54.08.56.03-4.55.06.07.5-13.012.022.018.5-3.51437.542.590.5（1）平方和的分解為：（2）自由度的分解為結(jié)果列入方差分析表變異來源dfSSs2FF0.05F0.01烘烤方式A15.5105.5100.15410.1934.12水分B3228.86576.28855.482**3.245.29A×B誤差316107.61522.00035.8721.37526.089**3.245.29總變異23363.99糖化時間方差分析表表中F的計算為：

F檢驗結(jié)果表明，水分和的A×B的F值大于F0.01，大麥中的水分及水分與烘烤方式之間的互作對糖化時間的影響達到了極顯著水平，而烘烤方式對糖化時間的作用不顯著。在生產(chǎn)上應注意大麥的含水量及根據(jù)含水量來選擇合適的烘烤方式。變異來源dfSSs2FF0.05F0.01烘烤方式A15.5105.5100.15410.1934.12水分B3228.86576.28855.482**3.245.29A×B誤差316107.61522.00035.8721.37526.089**3.245.29總變異23363.99第四節(jié)多因素方差分析實際工作中，往往需要考察三個或多個因素的效應。這相當于把二因素方差分析擴展到一般情況。如在一個試驗中