云南省宣威市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期學(xué)業(yè)水平檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知滿(mǎn)足，其中為虛數(shù)單位，則（）A．1 B． C．2 D．2．若集合，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．153．已知函數(shù)，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．已知是第四象限角，且，則（）A． B． C． D．75．若圓與圓有且僅有2條公切線(xiàn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A． B．25 C． D．507．如圖，已知拋物線(xiàn)的方程為，一束光沿著直線(xiàn)照射在點(diǎn)，則反射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為（

）

A． B． C． D．8．若在上存在唯一的零點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．國(guó)家射擊運(yùn)動(dòng)員在某次訓(xùn)練中的8次射擊成績(jī)（單位：環(huán)）為10，7，8，10，x，10，8，6，其中為整數(shù)，若這8次射擊成績(jī)的中位數(shù)為9，則（

）A． B．極差為4 C．眾數(shù)為10 D．平均值為8.510．在中，，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，成等比數(shù)列，其公比為，則（

）A．，，成等比數(shù)列 B．C． D．11．已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)為，，左、右頂點(diǎn)分別為，．若在的右支上，，，且的縱坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與的左支交于，兩點(diǎn)，在第二象限，則（

）A．的離心率為2B．的兩條漸近線(xiàn)的夾角為C．過(guò)原點(diǎn)可以作的兩條切線(xiàn)D．直線(xiàn)與的交點(diǎn)在直線(xiàn)上三、填空題12．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則，的外接圓的面積為.13．已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，且與所在直線(xiàn)互相垂直，則該棱臺(tái)的體積為.14．已知函數(shù)在區(qū)間上有定義，且其圖象在區(qū)間上至少有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，則的取值范圍為.四、解答題15．已知首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求；(2)求的通項(xiàng)公式；(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．DeepSeekApp于2025年1月11日正式發(fā)布并上線(xiàn)，它憑借創(chuàng)新的功能和極富吸引力的用戶(hù)體驗(yàn)，在社交媒體上引發(fā)了廣泛的討論和分享，因而產(chǎn)生了強(qiáng)大的社會(huì)效應(yīng).公司新開(kāi)發(fā)了一款算法，為了測(cè)試該算法在青年人和中年人中的應(yīng)用效果，機(jī)構(gòu)進(jìn)行了一項(xiàng)調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表（單位：人）.效果用戶(hù)總計(jì)青年人用戶(hù)人數(shù)中年人用戶(hù)人數(shù)有效無(wú)效總計(jì)150150300(1)求出，的值；(2)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，請(qǐng)判斷算法的效果在兩組不同年齡段的用戶(hù)中是否存在差異？(3)先用分層抽樣在所有接受調(diào)查的用戶(hù)中抽取30人得到一個(gè)壓縮樣本，再在的青年人用戶(hù)中一次性隨機(jī)抽取3人，求恰有1人的體驗(yàn)效果為有效的概率.附：，.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817．如圖，在圓臺(tái)中，已知上、下底面半徑分別為1和2，體積為.為下底面圓周上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，連接.(1)在下底面以為圓心作一個(gè)半徑為的圓，求證：在圓上存在一點(diǎn)，使得；(2)求平面與平面夾角的余弦值.18．已知橢圓的長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)之比為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求的方程；(2)設(shè)橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，又與的離心率相等.①用一個(gè)正的參數(shù)寫(xiě)出的方程；②已知為的右端點(diǎn)，若，分別為、上的點(diǎn)，滿(mǎn)足：，，求的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍.19．已知函數(shù).(1)若，判斷的單調(diào)性；(2)已知有兩個(gè)零點(diǎn)，.（i）證明：；（ii）證明：.

題號(hào)12345678910答案DDACDAADABCAB題號(hào)11答案AB1．D設(shè)再結(jié)合題意即可求出，從而可求解.【詳解】設(shè)，代入得，所以.故D正確.故選:D.2．D分類(lèi)討論和時(shí)，的可能取值，得出集合，即可求出集合的真子集.【詳解】集合，集合，若，則或；若，則或1，∴，∴的真子集的個(gè)數(shù)為.故選：D.3．A求導(dǎo)可得函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性列式計(jì)算即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹愠闪ⅲ院瘮?shù)在上單調(diào)遞增，若，則，即的取值范圍為.故選：A4．C由已知利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系求得，進(jìn)而利用兩角和的正切公式可求值.【詳解】由可得，由于是第四象限角，則，故，故.故選：C.5．D根據(jù)兩圓的公切線(xiàn)數(shù)量得出兩點(diǎn)間距離范圍，再結(jié)合一元二次不等式求解即可.【詳解】因?yàn)閳A：與圓：有且僅有2條公切線(xiàn)，所以圓：與圓：相交，所以，所以或.故選:D.6．A利用的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，可求的系數(shù).【詳解】易得展開(kāi)式通項(xiàng)公式為，令可得的系數(shù)為，令可得的系數(shù)為，故原展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：A.7．A聯(lián)立拋物線(xiàn)和直線(xiàn)方程解得交點(diǎn)，根據(jù)拋物線(xiàn)解析式計(jì)算得到焦點(diǎn)，根據(jù)定義反射光線(xiàn)為直線(xiàn)，利用點(diǎn)斜式方程計(jì)算出直線(xiàn)方程.【詳解】聯(lián)立與得，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，由的光學(xué)性質(zhì)得，反射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)為，其方程為，即.故選:A.8．D分離變量可得，令，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，進(jìn)而可得，求解可得結(jié)論.【詳解】令，因?yàn)?，所以，令，所以，因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏臐M(mǎn)足：，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在、上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減，為極大值點(diǎn)，因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與的圖象有唯一的交點(diǎn)，即在上存在唯一的零點(diǎn)，所以或，所以或.結(jié)合選項(xiàng)，只有D符合題意，故選：D.9．ABC由這8次射擊成績(jī)的中位數(shù)為9可求出，然后利用極差、平均數(shù)、眾數(shù)知識(shí)即可逐項(xiàng)求解.【詳解】A:將成績(jī)（除了）從小到大排列為：6，7，8，8，10，10，10，當(dāng)時(shí)，這8次射擊成績(jī)的中位數(shù)，所以，故A正確；B:將8個(gè)成績(jī)從小到大排列為：6，7，8，8，10，10，10，10，極差為，故B正確；C:眾數(shù)為10，故C正確；D:平均值為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10．AB由已知易判斷A；利用余弦定理及已知可得可判斷B；利用，結(jié)合已知可判斷C；分類(lèi)討論求得公式判斷D.【詳解】對(duì)于A.由，，成等比數(shù)列得，由正弦定理可得，，所以，，成等比數(shù)列，故A正確；對(duì)于B.由余弦定理及，，成等比數(shù)列得，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，故B正確；對(duì)于C.因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D.因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以或，所以或，解得，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11．AB利用雙曲線(xiàn)的定義結(jié)合等面積法建立關(guān)于的等式求解即可判斷A；求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)即可得出夾角即可判斷B；將相切問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程有且只有一個(gè)解，即可判斷C；通過(guò)設(shè)的方程為，則，，得出與的交點(diǎn)即可判斷D．【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：由雙曲線(xiàn)的定義得，，因?yàn)椋?，因?yàn)?，且的縱坐標(biāo)為，所以，解得，所以的離心率為，故A正確；的漸近線(xiàn)方程為，傾斜角分別為，，所以的兩條漸近線(xiàn)的夾角為，故B正確；假設(shè)過(guò)原點(diǎn)存在一條直線(xiàn)與相切，則，有唯一一組解有唯一解，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，方程無(wú)解，不合題意；當(dāng)且僅當(dāng)，即一時(shí)，方程有兩解，不合題意，故C錯(cuò)誤；設(shè)的方程為，則，，所以的方程為，的方程為，聯(lián)立解得，的交點(diǎn)坐標(biāo)為，不在直線(xiàn)上，故D錯(cuò)誤．故選：AB．12．/利用正弦定理將角化邊計(jì)算可得，，利用余弦定理計(jì)算可得，再根據(jù)正弦定理求得的外接圓半徑為，即可得其面積.【詳解】根據(jù)正弦定理，由可得，又，所以，，根據(jù)余弦定理，，故.設(shè)的外接圓半徑為,又根據(jù)正弦定理，，則，所以的外接圓的面積為.故答案為：；.13．連接，過(guò)作平行線(xiàn)，交于點(diǎn)，設(shè)上、下底面的中心分別為、，則、分別為、的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，分析可知為正四棱臺(tái)的高，結(jié)合臺(tái)體體積公式求解即可.【詳解】如圖，連接，過(guò)作平行線(xiàn)，交于點(diǎn)，又，則四邊形為平行四邊形.又由題，，，則，.又，，則，.設(shè)上、下底面的中心分別為、，則、分別為、的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，如圖所示：由正棱臺(tái)的幾何性質(zhì)可得底面，故底面，故為正四棱臺(tái)的高，由于為等腰直角三角形，故，則由棱臺(tái)體積公式，棱臺(tái)體積為.故答案為：.14．利用整體代換法可求得，結(jié)合題意可求出及，又在區(qū)間上至少有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心則可得在區(qū)間上至少有兩解，從而可求解.【詳解】當(dāng)，，若函數(shù)（）在區(qū)間上有定義，則，解得，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心滿(mǎn)足，，整理得，，其圖象在區(qū)間上至少有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，則在區(qū)間上至少有兩解，整理得至少存在兩個(gè)值使，，故至少有兩個(gè)取值，所以，綜上，的取值范圍為.故答案為:.15．(1)4(2)(3)（1）賦值代入解方程即可；（2）由，發(fā)現(xiàn)數(shù)列是等差數(shù)列，可求的通項(xiàng)，再求即可；（3）根據(jù)題意，把通項(xiàng)代入得，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】（1），，，即，解得.（2）有（1）得，所以是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，，則.（3），故數(shù)列的前項(xiàng)和.16．(1)(2)算法的效果在兩組不同年齡段的用戶(hù)中存在差異(3)（1）根據(jù)題意列式求解即可；（2）由（1）可得列聯(lián)表，計(jì)算，并與臨界值比較可得結(jié)論.（3）利用分層抽樣的意義求得體驗(yàn)有效的有12個(gè)用戶(hù)，無(wú)效的有3個(gè)用戶(hù)，利用超幾何分布可求對(duì)應(yīng)的概率.【詳解】（1）由已知得，，所以.；（2）由（1）可得效果用戶(hù)總計(jì)青年人用戶(hù)人數(shù)中年人用戶(hù)人數(shù)有效200無(wú)效100總計(jì)150150300零假設(shè)為：算法的效果在兩組不同年齡段的用戶(hù)中不存在差異，由題意計(jì)算得，，所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即可以判斷：算法的效果在兩組不同年齡段的用戶(hù)中存在差異.（3）由已知得，分層抽樣比為，故在的青年人用戶(hù)中，體驗(yàn)有效的有12個(gè)用戶(hù)，無(wú)效的有3個(gè)用戶(hù)，所以一次性隨機(jī)抽取人3人，恰有1人的體驗(yàn)效果為有效的概率為.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)．（1）先根據(jù)圓臺(tái)體積計(jì)算圓臺(tái)的高度，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)就是要找的點(diǎn)，計(jì)算，證明?中四邊形為平行四邊形結(jié)合三角形中位線(xiàn)，平行的傳遞性證明結(jié)果；（2）以直線(xiàn)，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，利用公式計(jì)算平面與平面的夾角；【詳解】（1）設(shè)圓臺(tái)的高為，因?yàn)樯舷碌酌姘霃椒謩e為1和2，體積為，所以，所以.取的中點(diǎn)，連接，則的中點(diǎn)就是要找的點(diǎn).證明如下：因?yàn)闉橄碌酌鎴A周上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，所以.在三角形中，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所?（2）如圖，分別以直線(xiàn)，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則平面的一個(gè)法向量為，，，，，所以，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，則，，所以為平面的一個(gè)法向量，平面與平面夾角為，則所以平面與平面夾角的余弦值為．18．(1)(2)①;②.（1）根據(jù)題意得出關(guān)于的方程，解得答案即可得到橢圓方程.（2）①根據(jù)兩個(gè)橢圓的離心率相等設(shè)橢圓方程為，化簡(jiǎn)即可的答案;②根據(jù)條件可得且，，設(shè)，分別求得，，，，直線(xiàn)的方程為，代入計(jì)算結(jié)合，可解得，因?yàn)槲挥谏?，求，為上任一點(diǎn)，化簡(jiǎn)得，聯(lián)立有解，求得長(zhǎng)軸長(zhǎng)取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)之比為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，，所以的方程為.（2）①因?yàn)榈姆匠虨?，的中心在坐?biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，又與的離心率相等，所以可設(shè)的方程為，即的方程為.②因?yàn)?，，所以且，，設(shè)，所以，，設(shè)，所以，，直線(xiàn)的方程為，即，所以，代入得，，因?yàn)椋?，不妨設(shè)，代入的方程可解得，因?yàn)槲挥谏希裕瑸樯先我稽c(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)得，設(shè)，因?yàn)闉樯先我稽c(diǎn)，即有解，整理得，，解得，所以，所以的長(zhǎng)軸長(zhǎng).19．(1)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，易得的定義域?yàn)?，且，，時(shí)，，時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單