2024年2024高中數(shù)學(xué)知識點梳理概括

生活豈能百般如意，正因有了遺漏和缺憾，咱們才會有所追尋。功成莫自得，或許下一

步就是陷阱;敗后勿卑微，沒有誰一向緊鎖冬寒。哪怕再平凡平常平凡，都不能讓幻想之地荒蕪

無論是否能夠抵達(dá)終點，只要不停地走，就算錯過春華，亦可收獲秋實。接下來是我為大家整理

的2024中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)問點齷，希望大家喜愛！

2024中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)句點梳理一

教學(xué)內(nèi)容：1、事務(wù)間的關(guān)系及運算2、概率的基本性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)：

1、了解事務(wù)間各種關(guān)系的概念，會推斷事務(wù)間的關(guān)系；

2、了解兩個互斥事務(wù)的概率加法公式，知道對立事務(wù)的公式，會用公式進(jìn)行簡潔的概

率計算；

3、通過學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會概率思想方法應(yīng)用于實際問題的重要性。

教學(xué)的重點：事務(wù)間的關(guān)系，概率的加法公式。

教學(xué)的難點：互斥事務(wù)與對立事務(wù)的區(qū)分與聯(lián)系。

教學(xué)的詳細(xì)過程：

引入：上一次課我們學(xué)習(xí)了概率的意義，舉了生活中與概率學(xué)問有關(guān)的很多實例。今日

我們要來探討概率的基本性質(zhì)。在探討性質(zhì)之前，我們先天一起探討一下事務(wù)之間有什么關(guān)系。

事務(wù)的關(guān)系與運箕

老師做擲骰子的試驗，學(xué)生思索,回答該試驗包含了哪些事務(wù)（即可能出現(xiàn)的結(jié)果）

學(xué)生可能回答：｛出現(xiàn)的點數(shù)=1）記為C1,（出現(xiàn)的點數(shù)=2）記為C2,＜出現(xiàn)的點

數(shù)=3）記為C3,（出現(xiàn)的點數(shù):4）記為C4,＜出現(xiàn)的點數(shù)=5）記為C5,（出現(xiàn)的點數(shù)=6）

記為C6.

老師：是不是只有這6個事務(wù)呢?請大家思索，（出現(xiàn)的點數(shù)不大于1）（記為D1）是不

是該試驗的事務(wù)?（學(xué)生回答：是）類似的,<出現(xiàn)的點數(shù)大于3》記為D2,（出現(xiàn)的點數(shù)小于5）

記為D3,（出現(xiàn)的點數(shù)小于7）記為E,1出現(xiàn)的點數(shù)大于6）記為F,1出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)）

記為G,（出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)）記為H,等等都是該試驗的事務(wù)。那么大家思索一下這些事務(wù)之

間有什么樣的關(guān)系呢？

學(xué)生思索若事務(wù)C1發(fā)生（即出現(xiàn)點數(shù)為1）,那么事務(wù)H是否肯定也發(fā)生？

學(xué)生回答：是，因為1是奇數(shù)

我們把這種兩個事務(wù)中假如一事務(wù)發(fā)生，則另一事務(wù)肯定發(fā)生的關(guān)系，稱為包含關(guān)系。

詳細(xì)說：一般地，對于事務(wù)A和事務(wù)B，假如事務(wù)A發(fā)生，則事務(wù)B肯定發(fā)生，稱事務(wù)B包含

事務(wù)A（或事務(wù)A包含于事務(wù)B）,記作（或）

特別地，不行能事務(wù)記為，任｛可事務(wù)都包含。

練習(xí)：寫出D3與E的包含關(guān)系（D3E）

2、再來看一下C1和D1間的關(guān)系：先考慮一下它們之間有沒有包含關(guān)系?即若C1發(fā)

生，D1

是否發(fā)生?（是，跳C1D1）;又若D1發(fā)生,C1是否發(fā)生?（是，即D1C1）

兩個事務(wù)A,B中，若，那么稱事務(wù)A與事務(wù)B相等，記作A=Be所以C1和D1相

等。

"下面有同學(xué)已經(jīng)發(fā)覺了，事務(wù)的包含關(guān)系和相等關(guān)系與集合的這兩種關(guān)系很相像，很

好，下面我們就一起來考慮一下能不能把事務(wù)與集合做對比。”

試驗的可能結(jié)果的全體一~*全集

II

每一個事務(wù)—子集

這樣我們就把事務(wù)和集合對應(yīng)起來了，用已有的寞合間關(guān)系來分析事務(wù)間的關(guān)系。

3、集合之間除了有包含和相等的關(guān)系以外，還有集合的并，由此可以推出相應(yīng)的，事

務(wù)A和事務(wù)B的并事務(wù)，記作AUB,從運算的角度說，并事務(wù)也叫做和事務(wù)，可以記為A+B。

我們知道并集AUB中的任一個元素或者屬于集合A或者屬于集合B，類似的事務(wù)AUB發(fā)生等

價于或者事務(wù)A發(fā)生或者尋務(wù)B發(fā)生。

練習(xí)：GUD3=?G=（2,4,6],D3={1,2,3,4）,所以GUD3=<1,2,3,

4,6L若出現(xiàn)的點數(shù)為1,則D3發(fā)生，G不發(fā)生;若出現(xiàn)的點數(shù)為4,則D3和G均發(fā)生;若

出現(xiàn)的點數(shù)為6,則D3不發(fā)生，G發(fā)生。

由此我們可以推出事務(wù)A+B發(fā)生有三種狀況：A發(fā)生，B不發(fā)生;A不發(fā)生，B發(fā)生;A

和B都發(fā)生。

4、集合之間的交集AC1B,類似地有事務(wù)A和事務(wù)B的交事務(wù)，記為AAB,從運算的

角度說，交事務(wù)也叫做積事務(wù)，記作ABO我們知道交集AAB中的隨意元素屬于集合A且屬于

集合B,類似地，事務(wù)AA3發(fā)生等價于事務(wù)A發(fā)生且事務(wù)B發(fā)生。

練習(xí):D2AH=?（<大于3的奇數(shù)）=C5）

5、事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)的特別狀況，當(dāng)ADB=（不行能事務(wù)）時，稱事務(wù)A與事務(wù)

B互斥。（即兩事務(wù)不能同時發(fā)生）

6、在兩事務(wù)互斥的條件上，再加上事務(wù)AU事務(wù)B為必定事務(wù)，則稱事務(wù)A與事務(wù)B

為對立事務(wù).（即事務(wù)A和事務(wù)B有且只有一個發(fā)生）

練習(xí)：⑴請在擲骰子試驗的事務(wù)中，找到兩個事務(wù)互為對立事務(wù)。（GH）

⑵不行能事務(wù)的對立事務(wù)

7、集合間的關(guān)系可以用Venn圖來表示，類似事務(wù)間的關(guān)系我們也可以用圖形來表示。

:A=B:

AUB:AAB:

A、B互斥：A、B對立：

8、區(qū)分互斥事務(wù)與對立事務(wù)：從圖像上我們也可以看出對立事務(wù)是互斥事務(wù)的特例，

但互斥事務(wù)并非都是對立事務(wù)。

練習(xí)：⑴書P121練習(xí)題目4、5

⑵推斷下列事務(wù)是不是互斥事務(wù)?是不是對立事務(wù)？

某射手射擊一次，命中的環(huán)數(shù)大于8與命中的環(huán)數(shù)小于8;

統(tǒng)計一個班級數(shù)學(xué)期末考試成果，平均分不低于75分與平均分不高于75分；

從裝有3個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取2個球，至少有一個白球和都是紅球。

答案：①是互斥事務(wù)但不是對立事務(wù);②既不是互斥事務(wù)也不是對立事務(wù)

③既是互斥事務(wù)有是對立事務(wù)。

概率的基本性質(zhì)：

提問：頻率二頻數(shù)'試驗的次數(shù)。

我們知道當(dāng)試驗次數(shù)足夠大時，用頻率來估計概率，由于頻率在0~1之間，所以，可

以得到概率的基本性質(zhì)：

1、任何事務(wù)的概率P(A),OWP(A),1

2、那大家思索，什么事務(wù)發(fā)生的概率為1,對，記必定事務(wù)為E,P(E)=1

3、記不行能事務(wù)為F,P(F)=O

4、當(dāng)A與B互斥時，AUB發(fā)生的頻數(shù)等于A發(fā)生的頻數(shù)加上B發(fā)生的頻數(shù)，所以

二+,所以P(AUB)=P(A)+P(B)O

5、特殊地，若A與B為對立事務(wù)，則AUB為必定事務(wù)，

P(AUB)=1=P(A)+P(B)-*P(A)=1-P(B).

例題：教材P121例

練習(xí)：由閱歷得知，在某建設(shè)銀行營業(yè)窗口排隊等候存取款的人數(shù)及其概率如下：

排隊人數(shù)0~1。人11~20人21~3。人31~40人41人以上概率

0.120.270.300.230.08計算:(1)至多20人排隊的概率；

(2)至少11人排隊的概率。

三、課后思索：概率的基本性質(zhì)4,若把互斥條件去掉，即隨意事務(wù)A、B,則

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

提示：采納圖式分析。

以上就是學(xué)大教化專家對高二數(shù)學(xué)概率的基本性質(zhì)為大家做出的教學(xué)設(shè)計，希望能夠為

大家的教學(xué)帶來幫助，這是一個重要的章節(jié)，老師們要重點的進(jìn)行講解，幫助學(xué)生進(jìn)行有效的學(xué)

習(xí)。

2024中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)'可點梳理二

銳角三角函數(shù)定義

銳角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec),余割(esc)都叫做

角A的銳角三角函數(shù)。

正弦(sin)等于對邊比斜邊;sinA=a/c

余弦(cos)等于鄰邊比斜邊;cosA二b/c

正切(tan)等于對邊比令B邊;tanA=a/b

余切(cot)等于鄰邊比對邊;cotA二b/a

正割(sec)等于斜邊比鄰邊;secA=c/b

余割(esc)等于斜邊比對邊。cscA=c/a

互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系

sin(900-a)=cosafcos(900-a)=sina/

tan(90°-a)=cota,cot(90°-a)=tana.

平方關(guān)系：

sinA2(a)+cosA2(a)=l

tanA2(a)+1=secA2(a)

cotA2(a)+l=cscA2(a)

積的關(guān)系：

sina=tanacosa

cosa=cotasina

tana=sinaseca

cota=cosacsca

seca=tanacsca

csca=secacota

倒數(shù)關(guān)系：

tanacota=l

sinacsca=l

cosaseca=l

銳角三角函數(shù)公式

兩角和與差的三角函數(shù)：

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB?

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(l-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(l+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-l)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+l)/(cotB-cotA)

三角和的三角函數(shù)：

sin(a+p+Y)=sinacosPcosY+cosasinpcosY+cosacospsinY-sinasinPsiny

cos(a+p+y)=cosacospcosy-cosasinpsiny-snacospsiny-sinasinpcosy

tan(a+p+Y)=(tana+tanp+tanY-tanatanptanY)/(l-tanatanp-tanptany-tanytana)

協(xié)助角公式：

Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(l/2)sin(a+t),其中

sint=B/(AA2+BA2)A(l/2)

cost=A/(AA2+BA2)A(l/2)

tant=B/A

Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(l/2)cos(a-t),tant=A/B

倍角公式：

sin(2a)=2sinacosa=2/(tana+cota)

cos(2a)=cosA2(a)-sinA2(a)=2cosA2(a)-l=l-2sinA2(a)

tan(2a)=2tana/|l-tanA2(a)]

三倍角公式：

sin(3a)=3sina-4sinA3(a)

cos(3a)=4cosA3(a)-3cosa

半角公式：

sin(a/2)=±V((l-cosa)/2)

cos(a/2)=±V((l+cosa)/2)

tan(a/2)=±V((l-cosa)/(l+cosa))=sina/(l+cosa)=(l-cosa)/sina

降幕公式

sinA2(a)=(l-cos(2a))/2=versin(2a)/2

cosA2(a)=(l+ccs(2a))/2=covers(2a)/2

tanA2(a)=(l-cos(2a))/(l+cos(2a))

萬能公式：

sina=2tan(a/2)/[l+tanA2(a/2)]

cosa=[l-tanA2(a/2)]/[l+tanA2(a/2)]

tana=2tan(a/2)/[l-tanA2(a/2)]

積化和差公式：

sinacosp=(l/2)|sin(a+p)+sin(a-p)]

cosasinp=(l/2)|sin(a+p)-sin(a-p)]

cosacosp=(l/2)[cos(a+p)+cos(a-P)]

sina-sinp=-(l/2)[cos(a+p)-cos(a-p)]

和差化積公式：

sina+sinp=2sin[(a+p)/2]cos[(a-p)/2]

sina-sinp=2cos[(a+p)/2]sin[(a-p)/2]

cosa+cosp=2cos[(a+p)/2]cos[(a-p)/2]

cosa-cosP=-2sin[(a+p)/2]sin[(a-p)/2]

推導(dǎo)公式：

tana+cota=2/sin2a

tana-cota=-2cot2a

l+cos2a=2cosA2a

l-cos2a=2sinA2a

l+sina=(sina/2+cosa/2)A2

其他：

sina+sin(a+2n/n)+sin(a+2n_yn)+sin(a+2nJn)+....+sin[a+2n_n-l)/n]=0

cosa+cos(a+2n/n)+cos(a+2n_/n)+cos(a+2n_/n)++cos[a+2n_n-l)/n]=0以

及

sinA2(a)+sinA2(a-2n/3)+sinA2(a+2n/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=O

的數(shù)名正弦余弦正切余切正割余割

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，從點0引出一條射線0P,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為0,設(shè)0P=r,P點

的坐標(biāo)為(x,y)有

正弦函數(shù)sin9=y/r

余弦函數(shù)cos0=x/r

正切函數(shù)tan0=y/x

余切函數(shù)cot6=x/y

正割函數(shù)sec6=r/x

余割函數(shù)cscO=r/y

正弦(sin):角a的對邊比上斜邊

余弦(cos):角a的鄰邊比上斜邊

正切(tan)角a的對邊比上鄰邊

余切(cot):角a的鄰邊比上對邊

正割(sec):角a的斜邊比上鄰邊

余割(esc):角a的斜邊比上對邊

三角函數(shù)萬能公式

萬能公式

(l)(sina)A2+(cosa)A2=l

(2)1+(tana)A2=(seca)A2

(3)1+(cota)A2=(csca)A2

證明下面兩式，只需將一式，左右同除(sina”2,其次個除(cosa)人2即可

(4)對于隨意非直角三角形，總有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

證：

A+B=n-C

tan(A+B)=tan(n-C)

(tanA+tanB)/(l-tanAtanB)=(tanTi-tanC)/(l+tanntanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得證

同樣可以得證，當(dāng)x+y+z=niT(nwZ)時，該關(guān)系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA)A2+(cosB)A2+(cosC)A2=1-2COSACOSBCOSC

(8)(sinA)A2+(sinB)A2+(sinC)A2=2+2cosAcosBcosC

萬能公式為：

設(shè)tan(A/2)=t

sinA=2t/(l+tA2：i(A^2kn+n,kGZ)

tanA=2t/(l-tA2)(A^2kn+n,keZ)

cosA=(l-tA2)/(l+tA2)(A^2kn+n,且AHkii+(n/2)kwZ)

就是說sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)來表示，當(dāng)要求一串函數(shù)式最值的時候就可

以用萬能公式，推導(dǎo)成只含有一個變量的函數(shù)，最值就很好求了.

三角函數(shù)關(guān)系

倒數(shù)關(guān)系

tanacota=l

sinacsca=l

cosaseca=l

商的關(guān)系

sina/cosa=tana=seca/csca

cosa/sina=cota=cscaca

平方關(guān)系

sinA2(a)+cosA2(a)=l

l+tanA2(a)=secA2(a)

l+cotA2(a)=cscA2(a)

同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法

構(gòu)造以上弦、中切、下割;左正、右余、中間1的正六邊形為模型。

倒數(shù)關(guān)系

對角線上兩個函數(shù)互為倒數(shù)；

商數(shù)關(guān)系

六邊形隨意一頂點上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個頂點上函數(shù)值的乘積。(主要是兩條

虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積，下面4個也存在這種關(guān)系。)。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。

平方關(guān)系

在帶有陰影線的三角形中上面兩個頂點上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點上的三

角函數(shù)值的平方。

兩角和差公式

sin(a+p)=sinacosp+cosasinp

sin(a-p)=sinacosp-cosasinp

cos(a+p)=cosacosp-sinasinp

cos(a-p)=cosacosp+sinasinp

tan(a+p)=(tana+tanp)/(l-tanatanp)

tan(a-p)=(tana-tanp)/(l+tanatanp)

二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2a=2sinacosa

cos2a=cosA2(a)-sinA2(a)=2cosA2(a)-l=l-2sinA2(a)

tan2a=2tana/(l-tanA2(a)