第1講二次根式與勾股定理（12大核心考點(diǎn)）

內(nèi)容導(dǎo)航

串講知識(shí)：思維導(dǎo)圖串講知識(shí)點(diǎn)，有的放矢

重點(diǎn)速記：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺

舉一反三：核心考點(diǎn)能舉一反三，能力提升

復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專(zhuān)練，全面突破

知識(shí)點(diǎn)1二次根式的概念與性質(zhì)

1．二次根式的有關(guān)概念

1

一般地，我們把形如a（a>0）的式子叫做二次根式，“”稱(chēng)為二次根號(hào)．

注意：

（1）必須含有二次根號(hào)“，“”的根指數(shù)為2，即“2”，我們一般省略根指數(shù)2，寫(xiě)作“”．

（2）被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，如3和a23都不是二次根式．

（3）二次根式中的被開(kāi)方數(shù)既可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)含有字母的式子．

（4）式子a表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，因此a≥0，a≥0．二次根式具有雙重非負(fù)性．

2.二次根式的性質(zhì)：

（1）a0(a0)．

（2）(a)2a(a0)．一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)

a(a0)

（3）a2a0(a0)．一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值

a(a0)

（4）abab(a0,b0)．積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積

aa

（5）(a0,b0)．兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的商，等于這兩個(gè)數(shù)的商的算術(shù)平方根

bb

3．最簡(jiǎn)二次根式

被開(kāi)方數(shù)不含分母；被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿(mǎn)足上述兩個(gè)條件的二次根式，

叫做最簡(jiǎn)二次根式．

最簡(jiǎn)二次根式的條件：（1）被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含有可化

為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．

知識(shí)點(diǎn)2二次根式的有關(guān)計(jì)算

1.二次根式的乘法：

（1）abab(a0，b0)．

（2）逆用：abab(a0，b0)

（3）推廣：①abcabc(a0，b0，c0)

abcdabcd(a0，b0，c0，d0)

②abcdacbd(b0，d0)

a2a(a0)

2．二次根式的除法：

aa

（1）(a0，b0)

bb

2

aa

（2）逆用：(a0，b0)

bb

（3）推廣：①abcabc(a0，b0，c0)

②(ma)(nb)(mn)(ab)，其中a0，b0，n0．

3．二次根式的加減

（1）法則：二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)

行合并．

（2）步驟：

①將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式；

②找出化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式；

③合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式——將系數(shù)相加仍作為系數(shù)，根指數(shù)與被開(kāi)方數(shù)保持不變．

（3）注意：

①化成最簡(jiǎn)二次根式后被開(kāi)方數(shù)不相同的二次根式不能合并，但是不能丟棄，它們也是結(jié)果的一部分．

②整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律、去括號(hào)法則、添括號(hào)法則在二次根式運(yùn)算中仍然適用．

③根號(hào)外的因式就是這個(gè)根式的系數(shù)，二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要化為假分?jǐn)?shù)的形式．

4．二次根式的混合運(yùn)算

（1）二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先

算括號(hào)里面的（或先去掉括號(hào)）．

（2）在二次根式的運(yùn)算中，有理數(shù)的運(yùn)算律、多項(xiàng)式乘法法則及乘法公式（平方差公式、完全平方公

式）仍然適用．

（3）二次根式混合運(yùn)算的結(jié)果一定要化成最簡(jiǎn)二次根式或整式．

知識(shí)點(diǎn)3勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)

為c，那么a2b2c2.

注意：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線(xiàn)段長(zhǎng)可以建立方程求解，這

樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了解決問(wèn)題的目的.

22

222222

（3）理解勾股定理的一些變式：acb，bca，cab2ab.

知識(shí)點(diǎn)4勾股定理證明

方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

3

圖（1）中，所以.

方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

圖（2）中，所以.

方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.

，所以.

知識(shí)點(diǎn)5勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足a2b2c2，那么這個(gè)三角形

就是直角三角形．

說(shuō)明：

①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等．

②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿(mǎn)足

較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．

（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合

其他已知條件來(lái)解決問(wèn)題．

注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的

兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．

考點(diǎn)一：二次根式的有關(guān)定義

1

例1．（24-25八年級(jí)下·山東臨沂·期中）若二次根式有意義，則x的取值范圍是（）

23x

4

2322

A．xB．xC．xD．x

3233

【答案】D

【分析】本題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)

數(shù)，分式分母不等于0．根據(jù)二次根式和分式有意義的條件進(jìn)行解答即可．

【詳解】解：∵二次根式1有意義，

23x

1

0

∴23x，即23x0，

23x0

2

解得x．

3

故選：D．

【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)二：二次根式的性質(zhì)

2

例2．（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）若x2，則x2∣3x∣．

【答案】52x

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，絕對(duì)值，掌握二次根式的性質(zhì)即a2a是解題的關(guān)鍵；根據(jù)二次根

式的性質(zhì)及絕對(duì)值的意義即可求解．

【詳解】解：∵x2，

∴x20，3x0，

2

∴x23x

x23x

(x2)3x

52x；

故答案為：52x．

【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)三：二次根式的計(jì)算

例3．（2025八年級(jí)下·湖北·專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算：

1

(1)123+2-32+3；

3()()

1

(2)4831224．

2

5

【答案】(1)31

(2)46

【分析】本題主要考查了二次根式混合運(yùn)算，二次根式性質(zhì)，

（1）先根據(jù)二次根式乘法及性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)二次根式加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）根據(jù)二次根式乘法和除法進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)二次根式加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．

3

【詳解】（1）解：原式=23-3′+(2-3)

3

=23-3+2-3

31；

1

（2）原式4831226

2

4626

46．

【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)四：二次根式的求值

例4．（24-25八年級(jí)下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知：a25，b52．

(1)求a2b2ab的值；

m

(2)若m為a整數(shù)部分，n為b小數(shù)部分，求的值．

n

【答案】(1)17

458

(2)

3

【分析】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，分母有理化，無(wú)理數(shù)的估算，熟知二次根式的相關(guān)知識(shí)是

解題的關(guān)鍵．

2

（1）先求出a+b，ab的值，再根據(jù)a2b2abab3ab代值計(jì)算即可；

（2）根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算方法分別求出a、b的范圍，進(jìn)而求出m、n的值，最后代值計(jì)算即可得到答案．

【詳解】（1）解：∵a25，b52，

∴ab255225，ab25521，

∴a2b2ab

a2b22ab3ab

2

ab3ab

2

2531

6

203

17；

（2）解：∵459，

∴253，

∴4255，0521，

∵m為a整數(shù)部分，n為b小數(shù)部分，

∴m4，n52，

m4452458

∴．

n5252523

【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)五：二次根式的應(yīng)用

例5．（24-25八年級(jí)下·甘肅蘭州·期中）閱讀材料:

abab

若兩個(gè)正數(shù)a，b，則有下面不等式ab，當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)，我們把叫作正數(shù)a，b的算術(shù)平

22

均數(shù)，把a(bǔ)b叫作正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)，于是上述不等式可以表述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即

大于或等于)它們的幾何平均數(shù)．它在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，是解決最大(小)值問(wèn)題的有力工具．不等式

ab

ab可以變形為不等式ab2ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取到等號(hào)．(a，b均為正數(shù))

2

1

例：已知x>0，求x的最小值．

x

111

解：由ab2ab得x2x212，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x1時(shí)，有最小值，最小值為2．根

xxx

據(jù)上面材料回答下列問(wèn)題：

(1)56______256；66______266；(用“”“”“”填空)

9______

(2)當(dāng)x0，則x的最小值為，此時(shí)x______；

x

9

(3)當(dāng)x2，則x的最小值為_(kāi)_____；

x2

(4)用籬笆圍一個(gè)面積為100m2的長(zhǎng)方形花園，問(wèn)這個(gè)長(zhǎng)方形花園的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，

最短籬笆是多少？

【答案】(1)，

(2)6，3

(3)8

(4)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬為10m時(shí)：所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m

7

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，理解題意是解題的關(guān)鍵；

（1）根據(jù)ab2ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取到等號(hào)．(a，b均為正數(shù))即可求解．

（2）根據(jù)例題的方法，ab2ab，即可求解．

（3）將x2看成整理，即tx2，進(jìn)而根據(jù)ab2ab，代入即可求解；

100

（4）設(shè)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為x米，根據(jù)寬=面積÷長(zhǎng)，可得寬為米，則所用的籬笆長(zhǎng)等于長(zhǎng)加寬的和乘以2，

x

根據(jù)閱讀材料即可求解；

【詳解】（1）解：∵ab2ab，50,60，56

∴56256；

∵66

∴66266

故答案為：，．

（2）解：∵x0，

99

∴x2x6

xx

9

∴當(dāng)x，即x3時(shí)，有最小值，最小值為6

x

故答案為：6，3．

（3）解：∵x2

∴x20

設(shè)tx2

999

∴xt22t22328

x2tt

9

當(dāng)t時(shí)，即t3時(shí)，有最小值，最小值為8

t

故答案為：8．

（4）設(shè)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為xm，所用的籬笆總長(zhǎng)為y

m，

∵圍一個(gè)面積為100m2的長(zhǎng)方形花園，

100

∴寬為m，

x

200

∴y2x

x

∵x0，

200200

∴2x22x40，

xx

8

200

當(dāng)且僅當(dāng)2x時(shí)，即x10時(shí)y有最小值，最小值為40．

x

100

x10時(shí)，=10，

x

∴當(dāng)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬為10m時(shí)：所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m．

【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)六：勾股定理的有關(guān)計(jì)算

例6．（24-25八年級(jí)下·遼寧營(yíng)口·期中）在VABC中，ABAC10，BC16，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

點(diǎn)E是線(xiàn)段BD上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EFBD交AB于點(diǎn)F，連接AE，若AEFB．

(1)求證：AEAC；

(2)求DE的長(zhǎng)．

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)4.5

【分析】本題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BC，證明EAC90，根據(jù)垂直的定義即可得證；

（2）根據(jù)勾股定理可得AE2AC2CE2，再由三線(xiàn)合一定理得到ADBC，則可利用勾股定理求出AD的

長(zhǎng)，進(jìn)而得到AE2AD2DE262DE2，據(jù)此建立方程求解即可．

【詳解】（1）證明：ABAC，

BC，

EFBD，

AEFAED90，

AEFB，BC，

CAED90，

EAC90，

AEAC；

（2）解：EAC90，

AE2AC2CE2，

ABAC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

1

BDDC168，ADBC，

2

9

ADAC2CD2102826，

CECDDEDE8，

2

AE2CE2AC2DE8102，

在RtADE中，AE2AD2DE262DE2，

2

DE810262DE2，

解得：DE4.5．

【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)七：勾股定理與平方關(guān)系

例7．（23-24八年級(jí)下·安徽蚌埠·期中）如圖，在VABC中，ADBC．

(1)求證：AB2-AC2=BD2-CD2；

(2)當(dāng)AB8，BC6，AC213時(shí)，求AD的值．

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)AD43；

【分析】本題考查了勾股定理和平方差公式的相關(guān)證明和計(jì)算及解二元一次方程組，熟練掌握和運(yùn)用勾股

定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

（1）在Rt△ABD和RtADC中，分別運(yùn)用勾股定理可得AB2AD2BD2，AC2AD2CD2，利用AD邊

相等，聯(lián)立兩式移項(xiàng)即得證．

（2）根據(jù)第一問(wèn)的結(jié)論，可求出BD2-CD2的值，利用平方差公式，結(jié)合BCBDCD6，可求得BDCD，

而B(niǎo)DCD6，由此可求得BD、CD，由勾股定理即可求出AD．

【詳解】（1）證明：ADBC，

在Rt△ABD和RtADC中，根據(jù)勾股定理得，

AB2AD2BD2，AC2AD2CD2，

AB2BD2=AD2=AC2CD2，

移項(xiàng)得：AB2-AC2=BD2-CD2．

故AB2-AC2=BD2-CD2．

（2）解：AB2-AC2=BD2-CD2，AB8，AC213

BD2-CD2=AB2-AC2=82-(213)2=64-52=12，

10

BD2-CD2=(BD+CD（)BD-CD)=12，

BC6，即BDCD6，

BDCD2，

BDCD6BD4

，解得，

BDCD2CD2

AD2AB2BD28242641648，

AD43．

【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)八：勾股定理與翻折問(wèn)題

例8．8．（24-25八年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·期中）如圖，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD對(duì)折，點(diǎn)C落在

點(diǎn)E的位置，AD與BE相交于點(diǎn)F．

(1)求證：VBDF是等腰三角形；

(2)若AB8，AD10，求SVBFD．

【答案】(1)見(jiàn)解析

164

(2)

5

【分析】本題考查的是翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．

（1）證明EBDADB，得出BFDF，則結(jié)論得證；

（2）設(shè)BFx，則DFx，AF10x，在RtABF中，根據(jù)勾股定理有82(10x)2x2，解方程得出DF

41

的長(zhǎng)為，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式，即可得解．

5

【詳解】（1）證明：由折疊可知EBDCBD，

AD∥CB，

ADBCBD，

EBDADB，

BFDF，

BDF是等腰三角形．

（2）設(shè)BFx，則DFx，AF10x，

在RtABF中，根據(jù)勾股定理有82(10x)2x2．

11

41

解得：x，

5

41

DF的長(zhǎng)為，

5

1141164

∴SVDFAB8

BFD2255

【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)九：勾股定理的證明

例9．（24-25八年級(jí)下·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期中）直角三角形的三邊關(guān)系：如果直角三角形兩條直角

邊長(zhǎng)為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，則a2b2c2．

(1)圖1為美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請(qǐng)你利用圖1推導(dǎo)上面的關(guān)系式．利用以上所得的直

角三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行解答；

(2)如圖2，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A、B，其中ABAC，由于某種

原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在一條

直線(xiàn)上），并新修一條路CH，且CHAB．測(cè)得CH6千米，HB4千米，求新路CH比原路CA少多

少千米？

(3)在第（2）問(wèn)中若ABAC時(shí)，CHAB，AC8，BC10，AB12，設(shè)AHx，求x的值．

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)新路CH比原路CA少0.5千米

9

(3)x

2

【分析】本題考查的是勾股定理的證明方法以及勾股定理的應(yīng)用；

（1）梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也可利用三個(gè)直角三角形面積求出，兩次求出的面積相等列

出關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可得證；

（2）設(shè)CAx千米，則AHx4千米，根據(jù)勾股定理列方程，解方程即可得到結(jié)果；

（3）在RtACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2CA2AH2CB2BH2，列出方程求解即可得到結(jié)

果．

【詳解】（1）解：ABAD,BCAB,DECE，

12

11

∴梯形ABCD的面積為abab或e2ab，

22

11

ababc2ab，

22

111

abc2a2abb2，

222

即a2b2c2，

（2）解：設(shè)CAx千米，則AHx4千米，

在RtACH中，CA2CH2AH2，

2

即x262x4，解得：x6.5，即CA6.5，

CACH6.560.5（千米），

答：新路CH比原路CA少0.5千米，

（3）解：由題得，BH12x，

在RtACH中，CH2CA2AH2，

在Rt△BCH中，CH2CB2BH2，

CA2AH2CB2BH2，

29

即82x210212x，解得：x．

2

【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)十：勾股定理的應(yīng)用

例10．（24-25八年級(jí)下·河南三門(mén)峽·期中）八年級(jí)11班松松同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)

量如圖的風(fēng)箏的高度CE，測(cè)得如下數(shù)據(jù)：

①測(cè)得BD的長(zhǎng)度為8米：（注：BDCE）

②根據(jù)手中剩余線(xiàn)的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線(xiàn)BC的長(zhǎng)為17米；

③牽線(xiàn)放風(fēng)箏的松松身高1.6米．

(1)求風(fēng)箏的高度CE．

(2)若松松同學(xué)想風(fēng)箏沿CD方向下降9米，則他應(yīng)該往回收線(xiàn)多少米？

13

【答案】(1)16.6米

(2)7米

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉勾股定理，能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出勾股定理是解題的關(guān)鍵；

（1）利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)，再加上DE的長(zhǎng)度，即可求出CE的高度；

（2）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論∶

【詳解】（1）解：在Rt△CDB中，

由勾股定理得，CD2BC2BD217282225

所以，CD15（負(fù)值舍去），

所以，CECDDE151.616.6（米），

答：風(fēng)箏的高度CE為16.6米；

（2）如圖：由題意得，CM9米，∴DM6米，

∴BM2DM2BD28262100，

∴BM10米，

∴BCBM7（米），

∴他應(yīng)該往回收線(xiàn)7米．

【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)十一：勾股定理的逆定理

例11．（24-25八年級(jí)下·重慶長(zhǎng)壽·期中）如圖，長(zhǎng)壽某住宅小區(qū)在施工過(guò)程中留下了一塊空地（圖

中的四邊形ABCD），經(jīng)測(cè)量，在四邊形ABCD中，ACB90，AB15m，BC9m，AD5m，DC13m．

(1)ACD是直角三角形嗎？為什么？

(2)小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米80元，試問(wèn)鋪滿(mǎn)這塊空地共需花費(fèi)多少元？

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【答案】(1)ACD是直角三角形，理由見(jiàn)解析

(2)6720元．

【分析】本題考查勾股定理、勾股定理的逆定理的應(yīng)用、三角形的面積公式．判斷三角形是否為直角三角

形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．

（1）先在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC12cm，在ACD中，易求AC2AD212252132CD2，

再利用勾股定理的逆定理可知ACD是直角三角形，且DAC90；

（2）分別利用三角形的面積公式求出SABCSADC，即是四邊形ABCD的面積，再乘以80，即可求總花費(fèi)．

【詳解】（1）解：ACD是直角三角形，理由如下：

如圖，在Rt△ABC中，ACB90，AB15m，BC9m，

∴ACAB2BC21529212cm

在ACD中，AD5m，DC13m，AC12cm

∴AC2AD212252132CD2，

∴ACD是直角三角形，DAC90；

1111

（2）∵SSACBCACAD12912584cm2，，

ABCADC2222

2

∴S四邊形ABCD84cm，

費(fèi)用84806720（元）．

答：鋪滿(mǎn)這塊空地共需花費(fèi)6720元．

【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)十二：勾股定理與最值問(wèn)題

例12．（24-25八年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）綜合與實(shí)踐

背景介紹：勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿(mǎn)著魅力．千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之若鶩，其中有著名

的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法．

(1)把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長(zhǎng)分別為a、b、c．顯然，DABB90o，ACDE．用

含a、b、c的式子分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、EBC的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的

關(guān)系，可得到勾股定理．上述圖形的面積滿(mǎn)足的關(guān)系式為_(kāi)_______，經(jīng)化簡(jiǎn)，可得到勾股定理a2b2c2．

(2)如圖2，鐵路上A、B兩點(diǎn)（看作直線(xiàn)上的兩點(diǎn)）相距40千米，C、D為兩個(gè)村莊（看作兩個(gè)點(diǎn)），ADAB，

BCAB，垂足分別為A、B，AD24千米，BC16千米，則兩個(gè)村莊的距離為_(kāi)_______千米（直接填

15

空）；

(3)在（2）的條件下，要在AB上建造一個(gè)供應(yīng)站P，使得PCPD，求出AP的距離．

2

(4)借助上面的思考過(guò)程與幾何模型，求代數(shù)式x2916x81的最小值0x16．

111

【答案】(1)a2ababb2c2

222

(2)826

(3)16千米

(4)20

【分析】（1）根據(jù)DABB90可得四邊形ABCD為直角梯形，則

11

2=

S梯形ABCDADBCABaab，根據(jù)ABa，AEb可得BEABAEab，則

22

11211

SEBCBCBEabb，由ACDE，可得SADEDEAF，SCDEDECF，進(jìn)而可得

2222

112

S四邊形SSDEACc，再根據(jù)S梯形SEBCS四邊形可得

AECDADECDE22ABCDAECD

111

a2ababb2c2，據(jù)此即可得出答案；

222

（2）連接CD，過(guò)點(diǎn)C作CEAD于點(diǎn)E，根據(jù)ADAB，BCAB可得四邊形ABCE是矩形，進(jìn)而可得

AEBC16千米，CEAB40千米，于是可得DEADAE8千米，然后利用勾股定理即可求得C、

D兩個(gè)村莊之間的距離；

（3）由題意可知，點(diǎn)P在CD的垂直平分線(xiàn)上，連接CD，作CD的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為

所求；設(shè)APx千米，則BP40x千米，在RtAPD和Rt△BPC中，分別利用勾股定理表示出PD和PC，

然后通過(guò)PCPD建立方程，解方程即可求出AP的距離；

（4）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)—最短路線(xiàn)的求法即可求出：先作出點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連接DF，過(guò)點(diǎn)F作FEDA

2

交DA延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，則DF就是代數(shù)式x2916x81的最小值；然后利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、矩形的

判定與性質(zhì)及勾股定理求出DF的長(zhǎng)即可．

【詳解】（1）解：依題意得：ADABa，AEBCb，ACDEc，ADEBAC，

DABB90，

AD∥BC，

四邊形ABCD為直角梯形，

1112

S梯形ABCDADBCABabaaab，

222

ABa，AEb，

BEABAEab，

16

1112

SEBCBCBEbababb，

222

QACDE，

11

SDEAF，SDECF，

ADE2CDE2

111

SSDEAFCFDEACc2，

ADECD