第七節(jié)統(tǒng)計與概率的綜合問題重點解讀統(tǒng)計與概率的綜合問題是命制生活實踐情境類試題的最佳切入點，所考查內容涉及數(shù)據分析、數(shù)學建模、數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，是近幾年高考追逐的熱點之一，處理此類問題的關鍵是把握概率、統(tǒng)計的本質，合理構造模型，正確進行數(shù)學運算和必要的邏輯推理.統(tǒng)計圖表與概率的綜合問題（師生共研過關）（2025·青島一模）為促進全民閱讀，建設書香校園，某校在寒假面向全體學生發(fā)出“讀書好、讀好書、好讀書”的號召，并開展閱讀活動.開學后，學校統(tǒng)計了高一年級共1000名學生的假期日均閱讀時間（單位：分鐘），得到了如圖所示的頻率分布直方圖，若前兩個小矩形的高度分別為0.0075，0.0125，后三個小矩形的高度比為3∶2∶1.（1）根據頻率分布直方圖，估計高一年級1000名學生假期日均閱讀時間的平均值（同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值為代表）；（2）開學后，學校從高一日均閱讀時間不低于60分鐘的學生中，按照分層隨機抽樣的方式，抽取6名學生作為代表分兩周進行國旗下演講，假設第一周演講的3名學生日均閱讀時間處于[80，100）的人數(shù)記為ξ，求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學期望.解題技法統(tǒng)計圖表與概率綜合問題的求解策略（1）正確識讀統(tǒng)計圖表，從圖表中提取有效信息及樣本數(shù)據；（2）根據統(tǒng)計原理即用樣本數(shù)字特征估計總體的思想，結合樣本中各統(tǒng)計量之間的關系構造數(shù)學模型（函數(shù)模型、不等式模型、二項分布模型、超幾何分布模型或正態(tài)分布模型等）；（3）正確進行運算，求出樣本數(shù)據中能夠說明問題的特征值，從而用此數(shù)據估計總體或作出科學的決策與判斷.（2024·黃山模擬）某校高三年級1000名學生的高考適應性演練數(shù)學成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是[30，50），[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150].（1）求圖中a的值，并根據頻率分布直方圖，估計這1000名學生的這次考試數(shù)學成績的第85百分位數(shù)；（2）從這次數(shù)學成績位于[50，70），[70，90）的學生中采用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取9人，再從這9人中隨機抽取3人，該3人中成績在區(qū)間[70，90）的人數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學期望.回歸分析與概率的綜合問題（師生共研過關）（2025·鄭州名校聯(lián)盟）某高中數(shù)學興趣小組，在學習了統(tǒng)計案例后，準備利用所學知識研究成年男性的臂長y（cm）與身高x（cm）之間的關系，為此他們隨機統(tǒng)計了5名成年男性的身高與臂長，得到如下數(shù)據：x159165170176180y6771737678（1）根據上表數(shù)據，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用樣本相關系數(shù)加以說明；（2）建立y關于x的經驗回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（3）從5名樣本成年男性中任取2人，記這2人臂長差的絕對值為X，求E（X）.參考數(shù)據：∑i=15xiyi＝62194，∑i=15（yi－y參考公式：樣本相關系數(shù)r＝∑i經驗回歸方程y＝a＋bx中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b＝∑i=1n（xi－解題技法回歸分析與概率綜合問題的解題思路（1）此類問題的特點為：同一生活實踐情境下設計兩類問題，即：①求經驗回歸方程（預測）；②求某隨機變量的概率（范圍）、均值、方差等；（2）充分利用題目中提供的成對樣本數(shù)據（散點圖）做出判斷，確定是線性問題還是非線性問題.求解時要充分利用已知數(shù)據，合理利用變形公式，以達到快速準確運算的目的；（3）明確所求問題所屬事件的類型，準確構建概率模型.當下，大量的青少年沉迷于各種網絡游戲，極大地毒害了青少年的身心健康.為了引導青少年抵制不良游戲，適度參與益腦游戲，某游戲公司開發(fā)了一款益腦游戲，在內測時收集了玩家對每一關的平均過關時間，如下表：關卡x123456平均過關時間y（單位：秒）5078124121137352計算得到一些統(tǒng)計量的值為：∑i=16ui＝28.5，∑i=16xiui＝106.05，其中ui（1）若用模型y＝aebx擬合y與x的關系，根據提供的數(shù)據，求出y關于x的經驗回歸方程；（2）制定游戲規(guī)則如下：玩家在每關的平均過關時間內通過可獲得積分2分并進入下一關，否則獲得－1分且該輪游戲結束.甲通過練習，前3關都能在平均時間內過關，后面3關能在平均時間內通過的概率均為45，若甲玩一輪此款益腦游戲，求“甲獲得的積分X”的分布列和數(shù)學期望

獨立性檢驗與概率的綜合問題（師生共研過關）（2024·湖北七市州調研）某高中學校為了解學生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計了全校所有學生在一年內每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機抽取了60名同學在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據，結果如下表：一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計579111086460（1）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經常鍛煉”，其余的稱為“不經常鍛煉”.請列出2×2列聯(lián)表，并依據小概率值α＝0.1的獨立性檢驗，能否認為性別因素與學生體育鍛煉的經常性有關系；（2）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會導致肥胖等諸多健康問題.以樣本頻率估計概率，在全校抽取20名同學，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為X，求E（X）和D（X）；（3）若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學稱為“運動愛好者”，為進一步了解他們的生活習慣，在樣本的10名“運動愛好者”中，隨機抽取3人進行訪談，設抽取的3人中男生人數(shù)為Y，求Y的分布列和數(shù)學期望.附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋bα0.10.050.01xα2.7063.8416.635解題技法獨立性檢驗與概率綜合問題的解題思路本類題目以生活題材為背景，涉及獨立性檢驗及概率問題的綜合，解決該類問題首先收集數(shù)據列出2×2列聯(lián)表，并按照公式求得χ2的值后進行比較，其次再按照隨機變量滿足的概率模型求解.（2025·臨沂一模）“趕大集”出圈彰顯了傳統(tǒng)民俗的獨特魅力.為了解年輕人對“趕大集”的態(tài)度，隨機調查了200位年輕人，得到的統(tǒng)計數(shù)據如下面的不完整的2×2列聯(lián)表所示（單位：人）性別對“趕大集”的態(tài)度合計非常喜歡感覺一般男性3t100女性t合計60（1）求t的值，試根據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，能否認為年輕人對“趕大集”的態(tài)度與性別有關；（2）從樣本中篩選出5名男性和3名女性共8人作為代表，這8名代表中有2名男性和2名女性非常