第21講指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練習(xí)題講典例：教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法

練考點(diǎn)強(qiáng)知識(shí)：6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識(shí)點(diǎn)1指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

1.根式

(1)概念：式子na叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).

a,a0,

(2)性質(zhì)：(na)n＝a(a使na有意義)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，nan＝a，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，nan＝|a|＝

a,a0

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

m

(1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是an＝nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意

m

1

義是an＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.

nam

(2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

3.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù).

(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>10<a<1

圖象

定義域R

值域(0，＋∞)

性質(zhì)過定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1

當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，y>1；

當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1

在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)

4.常用結(jié)論

1

（1）畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，1，.

a

（2）在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大.

知識(shí)點(diǎn)2對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

1.對(duì)數(shù)的概念

x

如果a＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做

真數(shù).

2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)

logNb

(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①aa＝N；②logaa＝b(a>0，且a≠1).

(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

M

②loga＝logaM－logaN；

N

n

③logaM＝nlogaM(n∈R)；

nn

④logamM＝logaM(m，n∈R，且m≠0).

m

logaN

(3)換底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).

logab

3.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)概念：函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞).

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>10<a<1

圖象

定義域：(0，＋∞)

值域：R

性質(zhì)

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過定點(diǎn)(1，0)

當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)x>1時(shí)，y<0；

當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0

在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)

4.反函數(shù)

x

指數(shù)函數(shù)y＝a(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.

5.常用結(jié)論

①.換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論

1nn

(1)logab＝；(2)logamb＝logab.

logbam

其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.

②.在第一象限內(nèi)，不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.

1

③.對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(1，0)，且過點(diǎn)(a，1)，，1，函數(shù)圖象只在第一、四

a

象限.

知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的應(yīng)用

1．函數(shù)的零點(diǎn)

(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義

對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．

(2)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系

方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．

(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)?存在性定理)?

如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間

(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根．

2．二次函數(shù)圖象與零點(diǎn)的關(guān)系

Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0

二次函數(shù)y＝ax2＋bx

＋c(a>0)的圖象

與x軸的交點(diǎn)(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無

零點(diǎn)個(gè)數(shù)210

3．幾類函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)

二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)

指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)

對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)

冪函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)

a

“對(duì)勾”函數(shù)模型y＝x＋(a>0)

x

4.三種函數(shù)模型的性質(zhì)

函數(shù)

xn

y＝a(a>1)y＝logax(a>1)y＝x(n>0)

性質(zhì)

在(0，＋∞)

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

上的單調(diào)性

增長速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)

隨x的增大，逐漸表隨x的增大，逐漸表隨n值變化而各有不

圖象的變化

現(xiàn)為與y軸平行現(xiàn)為與x軸平行同

nx

值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)ogax<x<a

5.二分法

1、二分法的定義：對(duì)于區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷且f（a）·f（b）＜0的函數(shù)f（x）。通過不斷把它的零點(diǎn)

所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到近似值的方法。

2、二分法要點(diǎn)辨析：

（1）二分法的求解原理是函數(shù)零點(diǎn)存在定理；

（2）函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)不斷；

（3）用二分法只能求變號(hào)零點(diǎn)，即零點(diǎn)在左右兩側(cè)的函數(shù)值的符號(hào)相反，比如yx2，該函數(shù)有

零點(diǎn)0，但不能用二分法求解。

3、關(guān)于精確度

（1）“精確度”與“精確到”不是一回事，

這里的“精確度”是指區(qū)間的長度達(dá)到某個(gè)確定的數(shù)值ε，即ab＜；

“精確到”是指某區(qū)間數(shù)的數(shù)位達(dá)到某個(gè)規(guī)定的數(shù)位，

2

如計(jì)算1-，精確到0.01，即0.33。

3

（2）精確度ε表示當(dāng)區(qū)間的長度小于ε時(shí)停止二分，此時(shí)除可用區(qū)間的端點(diǎn)代替近似值外，還可選用該

區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)值作零點(diǎn)近似值。

解題方法

（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)ylog2x在0,上為增函數(shù)，

且3.48.5，所以，log23.4log28.5.

（2）解：因?yàn)楹瘮?shù)ylog0.3x在0,上為減函數(shù)，

教材習(xí)題01

且1.82.7，所以，log0.31.8log0.32.7.

比較下列各題中兩個(gè)值的大?。?/p>

（3）解：當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)ylogax在0,上為

(1)log23.4，log28.5；

減函數(shù)，

(2)log0.31.8，log0.32.7；

因?yàn)?.15.9，所以，loga5.1loga5.9；

(3)loga5.1，loga5.9.

當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)ylogax在0,上為增函數(shù)，

因?yàn)?.15.9，所以，loga5.1loga5.9.

綜上所述，當(dāng)0a1時(shí)，loga5.1loga5.9；當(dāng)a1時(shí)，

loga5.1loga5.9.

【答案】(1)log23.4log28.5

(2)log0.31.8log0.32.7

(3)答案見解析

解題方法

（1）lg10x1lgx113lgx，即2lgx2，即lgx1，

教材習(xí)題

02x10.

求下列各式中x的值：

（2）3lnx6lnx2lnx6lnx3，所以xe3.

lg10x13lgx；

(1)（3）

(2)3lnx6lnx；x1

lg22lgxlgx122lgx3lgx1lgx

x103

；1

(3)lg22lgx，所以

10x103.

1

(4)log2x．1lg2lgx11

x（4）logx2xlgxlg4lg，所以

22lgx24

1

x.

4

【答案】(1)10

(2)e3

1

(3)103

1

(4)

4

解題方法

設(shè)這種放射性物質(zhì)的最初質(zhì)量為1，經(jīng)過x年后，剩留量為y，則有

教材習(xí)題03

x，

一種放射性物質(zhì)不斷變化為其他y0.75

1

物質(zhì)，每經(jīng)過一年，剩余質(zhì)量約由題意得0.75x，

3

是原來的75%．經(jīng)過多少年，該

即

1

物質(zhì)的剩余質(zhì)量是原來的？1

3lg

1lg3lg30.4771

xlog33.820

（lg20.3010，lg30.4771，0.753lg0.75lg3lg42lg2lg320.30100.4771

，

結(jié)果精確到0.001）

1

所以大約經(jīng)過3.820年，該物質(zhì)的剩留量是原來的.

3

【答案】3.820

考點(diǎn)一指對(duì)運(yùn)算

1．[多選]下列運(yùn)算正確的是（）

1

A．(0.25)2(5π)0210

2

0.52

3

．27493101

B(0.008)(π1)

89259

C．23a2b(6a3b)36a6b51

1

11

xx1

D．若22，則．

xx6x2x223

1

2

131

2．求值：3.

log25log220

278

ln42

3．計(jì)算：elog525lg100lg2lg50(lg5)．

11

4．（1）已知2a5b1000，求的值；

ab

32

（2）已知32x43y126，求的值.

xy

5．計(jì)算：

7

(1)log352loglog7log1.8；

55355

(2)lg3535.

考點(diǎn)二最值問題

4xa

1．已知函數(shù)fx,gxx24x6.

2x

(1)當(dāng)a1時(shí)，求fx在區(qū)間2,上的最小值；

(2)若x11,4，總存在x21,4，使得fx2gx1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2．已知函數(shù)fx9xm3x1．

(1)若m1，求fx在區(qū)間2,1上的最小值；

x1

(2)設(shè)函數(shù)gx2，若對(duì)任意的x12,1，總存在x2R，使得fx1gx2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

2

xmx,0＜x113

3．已知函數(shù)fx的圖象過點(diǎn)(，)，其中mR.

＜24

log2xx1,1x2

(1)求m及f2的值；

(2)求證：x(0,2]，都有xfxx2；

(3)記函數(shù)g(x)f(x)(xa)aR在(0,2]上的最大值為M(a)，當(dāng)M(a)最小時(shí)，求a的值.

4x

4．已知函數(shù)fx．

4x

(1)用定義法證明fx在4,上的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)gxlogafx，且gx在區(qū)間1,2上的最小值為1，求a．

5．已知函數(shù)fxlogax（a0且a1）.

(1)若fx在區(qū)間a,2a上的最大值與最小值之差為1，求a的值；

2

(2)解關(guān)于x的不等式log1ax1log1ax.

33

6．已知函數(shù)fx32logax(a1)在2,4上的最大值與最小值之差為2．

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

2

(2)若對(duì)任意x1,4，都有fxfxklog2x，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

考點(diǎn)三不等式問題

1．當(dāng)0xy1時(shí)，下列不等式中正確的是（）

1y

xyxy

．y．．y．

A(1x)y(1x)B(1x)(1y)C(1x)(1x)2D(1x)(1y)

12

xx,x0,2

2

2．定義域?yàn)镽的函數(shù)fx滿足fx42fx，當(dāng)x0,4時(shí)，fxx3，若x8,4

1

,x2,4

3

m11

時(shí)，fx，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

4m

A．,20,2B．2,2

C．2,0U0,2D．2,02,

3．已知函數(shù)fx1lgx3.

(1)求不等式0fx1的解集；

(2)若函數(shù)g(x)f(x)f(xa1)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，求gx在x[0,1]的值域.

3x11x

4．設(shè)函數(shù)fxlog.

13x31x

(1)判斷函數(shù)yfx的奇偶性，并證明；

(2)判斷函數(shù)yfx的單調(diào)性，并利用定義加以證明；

(3)若ft2t0，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

考點(diǎn)四零點(diǎn)問題

1．方程lgx18x3的解所在的區(qū)間是（）

A．1.5,2B．2,2.5C．2.5,3D．3,3.5

2．已知函數(shù)fxx22xb在區(qū)間2,3內(nèi)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）

A．0,3B．,3C．0,D．3,0

ex，x0，11

3．已知函數(shù)fx，方程fxx的根的個(gè)數(shù)為（）

fx2，x082

A．2B．3C．4D．5

a3x1

4．已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù).

3x1

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)設(shè)函數(shù)gxfx1；求gx的零點(diǎn)；

(3)求當(dāng)x,1時(shí)，函數(shù)hxfx3x19x3x2的值域.

5．已知函數(shù)fxx22ax5a

(1)求關(guān)于x的不等式fxa5的解集；

1

(2)若函數(shù)fx在,2時(shí)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

2

考點(diǎn)五恒成立問題

1．要使函數(shù)fx12x4xa在x,1上，fx0恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）

3131

A．,B．,C．,D．,

4444

2．若不等式12x4xa0在(,1]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

3．已知函數(shù)fxx2a2x4，aR

(1)解關(guān)于x的不等式fx2a4；

(2)若關(guān)于x的方程fx0有兩個(gè)小于1的不等實(shí)根，求a的取值范圍：

(3)若對(duì)任意的x1,4，fxa10恒成立，求a的取值范圍．

2xa

4．已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù).

2x1

（1）求a的值；

（2）判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；

（3）若關(guān)于x的不等式f(f(x))f(t)0有解，求t的取值范圍.

5．已知函數(shù)fxe2xt1ext.

（1）當(dāng)te時(shí)，求不等式fx0的解集；

1

（2）若對(duì)任意xR，不等式fxexex14恒成立，求t的最大值；

ex1

（3）對(duì)于函數(shù)gx，若a,b,cR，ga，gb，gc為某一三角形的三邊長，則稱gx為“可構(gòu)造三

fx

角形函數(shù)”，已知函數(shù)gx=2是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

ex1

1

6．已知fxexk，gxln3aex1ln3a2x．

ex

（1）若函數(shù)fx在0,為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的值；

,

（2）若函數(shù)fx為偶函數(shù)，對(duì)于任意x10，任意x2R，使得gx1fx22成立，求a的取值

范圍.

2x13

7．已知fx，x0,.

2x1

（1）判斷并用定義證明函數(shù)fx在0,上的單調(diào)性；

（2）若fxk2x，k0在區(qū)間1,2上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（3）若存在實(shí)數(shù)ba0，使得函數(shù)fx在a,b上的值域是m2a,m2b，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

考點(diǎn)六函數(shù)模型的應(yīng)用

1．某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2019年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此

基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金超過200萬元的年份是（）

（參考數(shù)據(jù)：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30）

A．2019年B．2020年C．2023年D．2024年

2．血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù)，人體的血氧飽和度正常范圍是95%~100%，當(dāng)血氧飽和度低于

Kt

90%時(shí)，需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)模型StS0e描述血氧飽和度St

隨著給氧時(shí)間t（單位：小時(shí)）的變化而變化的規(guī)律，其中S0為初始血氧飽和度，K為參數(shù)．已知S060%，

給氧1小時(shí)后，血氧飽和度為80%．若使得血氧飽和度達(dá)到90%，則至少還需要的給氧時(shí)間為小時(shí)．（精

確到0.1，參考數(shù)據(jù)：ln20.69，ln31.10）

3．甲養(yǎng)殖戶去年購入100只羊崽，今年計(jì)劃增加羊崽的購入數(shù)量，有如下兩種購買方案可供選擇：方案一，

每只羊崽的進(jìn)價(jià)均為450元；方案二，前100只羊崽的單價(jià)為500元/只，若超過100只羊崽，則每多買1

只，超出部分每只羊崽的進(jìn)價(jià)降低1元.設(shè)甲今年比去年購入的羊崽多x0x120,xN只，甲按照方案

一購入羊崽的消費(fèi)額為fx元，按照方案二購入羊崽的消費(fèi)額為gx元.

(1)分別求函數(shù)fx，gx的解析式；

(2)判斷甲如何選擇方案更經(jīng)濟(jì)實(shí)惠，并說明理由.

4．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)水果資源豐富，積極打造水果生態(tài)小鎮(zhèn).經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，種植某種水果，當(dāng)施肥量x0,2(單位：

千克)時(shí)，單株產(chǎn)量W(單位：千克)滿足Wxk2x42x，此時(shí)全部交于收購商打理，無額外支出，

最后以12元/千克全部賣于收購商，已知施肥量為2千克時(shí)，單株產(chǎn)量為12千克；后來改進(jìn)措施，加大施

25x

肥量，當(dāng)施肥量x2,5時(shí)，單株產(chǎn)量Wx，模式變?yōu)樽晕夜芾?、改善水果品質(zhì)，單株額外增加了

1x

成本15x元(如肥料、人工、機(jī)器等)，最后以15元/千克全部賣出.

(1)寫出單株利潤fx(元)關(guān)于施肥量x(千克)的關(guān)系式；

(2)當(dāng)施肥量x為多少千克時(shí)，該水果單株利潤最大?最大是多少元?

5．室內(nèi)空氣消毒是為消滅污染室內(nèi)空氣的有害微生物而采取的有效措施.常用方法有自然通風(fēng)、紫外線燈

消毒、臭氧及其他化學(xué)消毒劑消毒和靜電等空氣凈化器消毒等.某公司新研發(fā)一款室內(nèi)空氣消毒劑，根據(jù)實(shí)

驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的空氣消毒劑，空氣中釋放的濃度y(單位:毫克/立方米)隨著時(shí)間

161

x(單位:天)變化的關(guān)系如下:當(dāng)0x4時(shí)，y1；當(dāng)4x10時(shí)，y5x.若多次噴灑，則某一時(shí)

8x2

刻空氣中的消毒劑濃度為每次噴灑的消毒劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和.由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中消毒劑的濃

度不低于4(毫克/立方米)時(shí)，它才能起到有效消毒空氣的作用.

(1)若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則消毒時(shí)間可達(dá)幾天?

(2)若第一次噴灑2個(gè)單位的消毒劑，6天后再噴灑a(0a3)個(gè)單位的消毒劑，要使接下來的4天中能夠

持續(xù)有效消毒，試求a的最小值.(精確到0.1，參考數(shù)據(jù):2≈1.4)

知識(shí)導(dǎo)圖記憶

知識(shí)目標(biāo)復(fù)核

1．指對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則

2．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

3．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

4.反函數(shù)的概念

5.二分法求方程近似解的過程

一、單選題

x

1

,x01

1．已知函數(shù)fx2，則ff（）

4

log2x,x0

11

A．B．C．2D．4

164

2．小敏在某次投籃中，球的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線y0.2x23.5的一部分（如圖所示），若命中籃環(huán)中心，則

他與籃底的距離t是（）

A．3.5mB．4m

C．4.5mD．4.6m

3．某新能源汽車公司設(shè)計(jì)充電樁布局，要求每個(gè)充電區(qū)的長度為a米，寬度為b米.根據(jù)城市規(guī)劃要求，

ab12米，且充電樁間隔距離需滿足a3b.為使充電區(qū)有效面積最大，應(yīng)選擇的尺寸是（）

A．a(chǎn)9米，b3米

B．a(chǎn)8米，b4米

C．a(chǎn)10米，b2米

D．a(chǎn)7.5米，b4.5米

4．直角坐標(biāo)系內(nèi)A,B兩點(diǎn)滿足：（1）點(diǎn)A,B都在f(x)的圖象上；（2）點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)(A,B)

x22x(x0)

是函數(shù)f(x)的一個(gè)“姊妹對(duì)點(diǎn)”，(A,B)與(B,A)可看作一個(gè)“姊妹對(duì)點(diǎn)”，已知函數(shù)f(x)2，

(x0)

ex

則f(x)的“姊妹對(duì)點(diǎn)”有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

5．已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，f21，f1x為奇函數(shù)，fx1為偶函數(shù).若

fx

23,0x10

gx，則g10g17的值為（）

log2fx8,x10

A．5B．6C．7D．8

x22ax2a2,x1

6．已知函數(shù)fx，存在實(shí)數(shù)b，使得方程fxb有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a

xa,x1

的取值范圍為（）．

1515

A．,B．,1

22

1515

C．1,D．,

22

7．已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)；且f(2x)f(2x)0，當(dāng)x[0,2]時(shí)，f(x)x22x，

xR,g(x)f(x)f(x1)，則下列結(jié)論不正確的是（）

48405

A．f()f()f()f(4)0B．函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于x對(duì)稱

1111112

1

C．g(x)的值域?yàn)?,2D．函數(shù)yg(x)x有9個(gè)零點(diǎn)

6

8．現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)模型如下，模型一：如果C0是碳14的初始質(zhì)量，那么經(jīng)過t年后，碳14的質(zhì)量為

t

5730

1；模型二：馬爾薩斯自然狀態(tài)下人口增長模型yyert，其中t表示經(jīng)過的時(shí)間，y表示t0

CtC000

2

時(shí)的人口數(shù)，r是常數(shù)（e是自然對(duì)數(shù)的底）.則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A．經(jīng)過5730年，碳14的質(zhì)量變?yōu)槌跏假|(zhì)量的一半

B．碳14的年衰減率與初始質(zhì)量有關(guān)

*23

C．設(shè)nN，碳14的第n年，第n1年，第n2年的衰減量分別為1，2，3，則

12

D．以上兩個(gè)模型都可以歸結(jié)為模型“yekxb”（其中x為自變量，k，b為常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底）

二、多選題

9．下列函數(shù)中，有零點(diǎn)且能用二分法求零點(diǎn)近似值的是（）

x1,x0

A．y3x22x5B．y

x1,x0

21

C．y1,x(,0)D．yx24x8

x2

10．已知a3a33，下列各式正確的是（）

A．a(chǎn)23a237B．a(chǎn)33a3324

332331

aa25

C．22D．

aa5a23a3

11．空曠的田野上兩根電線桿之間的電線有相似的曲線形態(tài)．這些曲線在數(shù)學(xué)上稱為懸鏈線，懸鏈線在工

程上有廣泛的應(yīng)用．在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，這類函數(shù)的表達(dá)式可以表示為fxaexbex（其中a，b為非零

常數(shù)），則對(duì)于函數(shù)yfx以下結(jié)論正確的是（）

A．若ab0，則yfx為奇函數(shù)

B．若a1，b4，則函數(shù)yfx的最大值為4

C．若ab1，則函數(shù)yfx的最小值為2