第17講指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練習(xí)題講典例：教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法

練考點(diǎn)強(qiáng)知識(shí)：6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識(shí)點(diǎn)1指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù).

(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>10<a<1

圖象

定義域R

值域(0，＋∞)

過(guò)定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1

當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，y>1；

性質(zhì)

當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1

在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)2常用結(jié)論

x1

（1）畫指數(shù)函數(shù)y＝a(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，1，.

a

（2）在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大.

（3）當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時(shí)，必須分“a1”和“0a1”兩種情形討論．

（4）當(dāng)0a1時(shí)，x,y0；當(dāng)a1時(shí)x,y0．

當(dāng)a1時(shí)，a的值越大，圖象越靠近y軸，遞增速度越快．

當(dāng)0a1時(shí)，a的值越小，圖象越靠近y軸，遞減的速度越快．

1

（5）指數(shù)函數(shù)yax與y（）x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．

a

函數(shù)①yax；②ybx；③ycx；④ydx的圖象如圖1-3-1所示，則0＜b＜a＜1＜d＜c；即

x(0，+∞)時(shí)，bx＜ax＜dx＜cx（底大冪大）；x(－∞，0)時(shí)，bx＞ax＞dx＞cx．

11

（6）特殊函數(shù)：函數(shù)y2x，y3x，y=（）x，y=（）x的圖象如圖1-3-2所示．

23

知識(shí)點(diǎn)3指數(shù)式大小比較方法

（1）單調(diào)性法：化為同底數(shù)指數(shù)式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．

（2）中間量法：當(dāng)指數(shù)式的底數(shù)和指數(shù)各不相同時(shí)，需要借助中間量“0”和“1”作比較．

（3）分類討論法：指數(shù)式的底數(shù)不定時(shí)，需要分類討論底數(shù)的情況，在利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．

（4）比較法：有作差比較與作商比較兩種，其原理分別為：

①若AB0AB；AB0AB；AB0AB；

AA

②當(dāng)兩個(gè)式子均為正值的情況下，可用作商法，判斷＞1，或＜1即可．

BB

解題方法

解：令t2x1,4，

教材習(xí)題012

2311

求函數(shù)xx在區(qū)間則原函數(shù)轉(zhuǎn)化為yt3t5t，

y43250,224

上的最大值和最小值．3311

當(dāng)t，即xlog時(shí)，函數(shù)取得最小值為；

2224

當(dāng)t4，即x2時(shí)，函數(shù)取得最大值為9.

11

【答案】最大值為9；最小值為.

4

解題方法

（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象知，指數(shù)

函數(shù)yax(a0,a1)的定義域?yàn)?/p>

R；值域?yàn)?0,)；圖象都過(guò)點(diǎn)

(0,1)；

教材習(xí)題02

當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)yax在R上單

（1）從圖中你能抽象出指數(shù)函數(shù)的哪些性質(zhì)？

調(diào)遞減，當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)yax在R

（2）有的同學(xué)認(rèn)為“理解了此圖就掌握了指數(shù)函數(shù)的

上單調(diào)遞增；

性質(zhì)”，談?wù)勀銓?duì)該觀點(diǎn)的看法．

當(dāng)0a1時(shí)，若x0，則y1，若

x0，則0y1；當(dāng)a1時(shí)，若

x0，則0y1，若x0，則y1；

底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)指數(shù)函數(shù)圖象

關(guān)于y軸對(duì)稱；

幾個(gè)指數(shù)函數(shù)圖象在y軸右側(cè)，具有

底數(shù)越大，圖象越高的特點(diǎn).

（2）因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的圖象直觀地反

映了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，所以理解了指

數(shù)函數(shù)的圖象就掌握了指數(shù)函數(shù)的

性質(zhì)..

【答案】見(jiàn)解析

教材習(xí)題03解題方法

已知0xy1，比較xx，xx，xy的大?。猓阂?yàn)?xy1，

所以1yx0xy1，

又因?yàn)?x1，

所以指數(shù)函數(shù)ftxt在R上遞減，

所以xyxxxx.

【答案】xyxxxx

考點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的概念

1．下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（）

A．yx3B．y(4)xC．y5x1D．y52x

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義即可判斷.

【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義形如yaxa0且a1為指數(shù)函數(shù)判斷：

對(duì)于A：yx3為冪函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：y(4)x中4不能作為底數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：y5x155x中系數(shù)不為1，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：y52x25x是指數(shù)函數(shù)，故D正確；

故選：D

1a

2．已知函數(shù)fxa是奇函數(shù)，則a的值為（）

ex1

11

A．1B．2C．D．

e2

【答案】A

【分析】方法一：根據(jù)fxfx，得到方程，求出a1；方法二：根據(jù)f1f1得到方程，

求出a1，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足fxfx，故a1.

x

1a1aae1aex1

【詳解】方法一：fxa，

ex1ex1ex1

令ex10，解得x0，故定義域?yàn)?00,，

a

x1xx

ae1xaeea

則fxe，

x1xx

e111ee1

ex

exaaex1

因?yàn)閒x是奇函數(shù)，所以fxfx，即，

ex1ex1

故exaaex1ex1a1a01aex10，因此a1；

1a1a

方法二：f1f1，故aa，

e11e1

e1a1a1ae1

即2a，故2aa1，解得a1，

1ee11e

2ex1

故fx1，

ex1ex1

令ex10，解得x0，故定義域?yàn)?00,，

1ex

ex1x1ex

所以fxefx，故fx為奇函數(shù).

ex11ex1ex

ex

故選：A.

3．若指數(shù)函數(shù)yaxa0,a1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,9，則a的值為.

【答案】3

【分析】將點(diǎn)代入函數(shù)解析式計(jì)算即可求解.

【詳解】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)yaxa0,a1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,9，

所以a29，解得a3.

故答案為：3

4．若函數(shù)ya25a5ax是指數(shù)函數(shù)，則a．

【答案】4

【分析】由指數(shù)函數(shù)定義可得答案.

a25a51

【詳解】因ya25a5ax為指數(shù)函數(shù)，則a0，

a1

由a25a51，可得a4或a1，

綜上，a4.

故答案為：4

35

5．（1）已知函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù)，且f，則f(3)．

225

（2）指數(shù)函數(shù)yf(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(π,e)，則f(x)，f(π)．

x1

【答案】125

ee

33

x353x

【詳解】（1）設(shè)f(x)a（a0且a1），且f，所以fa252，則a5，故f(x)5，

2252

所以f(3)53125．

x

xπ1

（）設(shè)（且），則，則，故π，

2f(x)aa0a1fπaeaeπfxe

1

所以fπ.

e

x

6．已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0,時(shí)，fx2，則f0f2．

【答案】4

【分析】結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】依題意，fx是定義在R上的奇函數(shù)，所以f00,f2f2224，

所以f0f2044.

故答案為：4

考點(diǎn)二指數(shù)型函數(shù)圖象恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

1．函數(shù)y3ax23（a0，且a1）的圖象恒過(guò)點(diǎn)（）

A．2,6B．2,4C．1,6D．1,4

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，利用a01，令x20，得x2，將x2代入函數(shù)中計(jì)算即可求得函數(shù)y3ax23的

圖象恒過(guò)點(diǎn)2,6.

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)y3ax23中，

令x20，得x2，

將x2代入函數(shù)可得y3a036，

即函數(shù)y3ax23的圖象恒過(guò)點(diǎn)2,6.

故選：A

mm

2．已知曲線yax11（a0且a1）過(guò)定點(diǎn)m,n，若pqn且p0，q0，則的最小值為

pq

（）

A．8B．6C．4D．2

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，求出指數(shù)型函數(shù)求出所過(guò)定點(diǎn)，再利用基本不等式求出最小值.

【詳解】當(dāng)x1時(shí)，恒有y2，因此曲線yax11過(guò)定點(diǎn)(1,2)，pq2,p0,q0，

mm11pq22

22

所以pqpqpqpqpq，當(dāng)且僅當(dāng)pq1時(shí)取等號(hào).

2

故選：D

3．已知冪函數(shù)fxa2a1xa在區(qū)間0,上單調(diào)遞減，則函數(shù)gxbxa1b1的圖象過(guò)定點(diǎn)（）

A．1,0B．(1,-1)C．2,0D．2,1

【答案】A

【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)求出a，再由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得.

【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)fxa2a1xa在區(qū)間0,上單調(diào)遞減，

a2a11,

則解得a1，

a0,

所以，gxbx11b1，則g1b010，即函數(shù)gx的圖象過(guò)定點(diǎn)1,0.

故選：A.

x1

4．已知函數(shù)fxa3（a0且a1）的圖象一定過(guò)點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是．

【答案】(1,4)

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)求解.

【詳解】當(dāng)x10，即x1時(shí)，f(x)a034恒成立，

所以函數(shù)f(x)ax13恒過(guò)點(diǎn)(1,4)．

故答案為：(1,4)

5．函數(shù)yax33（a0，且a1）的圖象過(guò)定點(diǎn)．

【答案】3,4

【分析】根據(jù)a01，可得指數(shù)型函數(shù)定點(diǎn).

【詳解】令x30得x3，此時(shí)y4，

故函數(shù)yax33（a0，且a1）的圖象過(guò)定點(diǎn)3,4．

故答案為：3,4.

考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用

22

1．函數(shù)yf(x)圖象上存在點(diǎn)P(x0,f(x0))，使得不等式x0f(x0)1成立，則稱函數(shù)yf(x)為“向心函

數(shù)”，下列四個(gè)選項(xiàng)中，是向心函數(shù)的為（）

1

A．yx2B．yexC．yx21.1D．yx

x

【答案】B

【分析】根據(jù)給定定義，逐項(xiàng)分析判斷即可.

2222

【詳解】對(duì)于A，由x0(x02)2x04x042(x01)22，得函數(shù)yx2不是向心函數(shù)，A不是；

對(duì)于B，點(diǎn)(0,1)在函數(shù)yex圖象上，且021211成立，函數(shù)yex是向心函數(shù)，B是；

對(duì)于，由2222，得函數(shù)2不是向心函數(shù)，不是；

Cx0(x01.1)2x01.11.1yx1.1C

212211

對(duì)于D，由x0(x0)2x0222，得函數(shù)yx不是向心函數(shù)，D不是.

x0x0x

故選：B

2．函數(shù)y2x與y2x的圖象關(guān)于（）

A．x軸對(duì)稱B．y軸對(duì)稱

C．直線yx對(duì)稱D．原點(diǎn)中心對(duì)稱

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用對(duì)稱性逐項(xiàng)判斷即得.

【詳解】令函數(shù)f(x)2x，g(x)2x，

1

對(duì)于A，f(1)2，g(1)，f(1)g(1)，A錯(cuò)誤；

2

對(duì)于B，f(1)2，g(1)2，f(1)g(1)，B錯(cuò)誤；

1

對(duì)于C，點(diǎn)(1,2)在y2x的圖象上，而g(2)，即點(diǎn)2,1不在y2x的圖象上，C錯(cuò)誤；

4

x0(x0)

對(duì)于D，x0R，f(x0)2[2]g(x0)，兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，D正確.

故選：D

ab

11

（多選題）3．已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式，則下列關(guān)系式可能成立的是（）

23

A．0baB．a(chǎn)b0C．0abD．a(chǎn)b

【答案】ABD

xxab

1111

【詳解】畫出函數(shù)y和y的圖象，借助圖象分析a,b滿足等式時(shí)a，b的大小關(guān)系，

2323

如圖所示．

ab

11

令c，若0c1，則ab0；若c1，則ab0；若c1，則ab0．

23

（多選題）4．已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式2023a2024b，則下列關(guān)系可以成立的是（）

A．a(chǎn)b0B．a(chǎn)b0C．0abD．0ba

【答案】ABD

【詳解】如圖，觀察易知，ab0或0ba或ab0，因此A，B，D均可成立

（多選題）5．下列函數(shù)，其圖象平移后可得到函數(shù)yex的圖象的有（）

x

e

A．yex1B．yex2C．ye2xD．y

2

【答案】ABD

【分析】利用函數(shù)圖象變換依次判斷可得出結(jié)論.

【詳解】對(duì)于A，函數(shù)yex1的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)yex的圖象，故A正確；

對(duì)于B，函數(shù)yex2的圖象向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)yex的圖象，故B正確；

對(duì)于C，函數(shù)ye2x的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍可得到函數(shù)yex的圖象，故C錯(cuò)誤；

exex

對(duì)于D，函數(shù)yexln2，其圖象向左平移ln2個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)yex的圖象，故D正確．

2eln2

故選：ABD

a,ab,

6．定義運(yùn)算：ab設(shè)函數(shù)f(x)12x，則下列真命題的序號(hào)是．

b,ab.

f(x)的值域?yàn)閇1,)；

①f(x)的值域?yàn)?0,1]；

②不等式f(x1)f(2x)的解集是(,0)；

③不等式f(x1)f(2x)的解集是(0,)．

④【答案】

①③1,12x,2x,x0,

【詳解】由函數(shù)x，得即作出函數(shù)的圖象如圖．根

f(x)12f(x)xxf(x)f(x)

2,12,1,x0.

據(jù)函數(shù)x0圖象知f(x)的值域?yàn)閇1,)．由函數(shù)圖象可知，當(dāng)2xx10，即x1時(shí)，不等式

2x0,

f(x1)f(2x)成立，當(dāng)即1x0時(shí)也成立，所以不等式f(x1)f(2x)的解集是(,0)．

x10,

考點(diǎn)四指數(shù)函數(shù)的定義域和值域

e2xxex1

1．函數(shù)fx的最大值和最小值之和為（）

e2x1

5

A．1B．2C．D．4

2

【答案】B

【分析】令gxfx1，利用定義判斷其為奇函數(shù)，再由奇函數(shù)的對(duì)稱性可得.

xex

【詳解】由題意，令gxfx1，

e2x1

xexxex

可知函數(shù)gx的定義域?yàn)镽，且gxgx，

e2x1e2x1

故函數(shù)gx為奇函數(shù)，

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)gx的最大值與最小值之和為0，

即g(x)maxg(x)minf(x)maxf(x)min20，

故f(x)maxf(x)min2．

故選：B．

2．函數(shù)y164x的定義域?yàn)?，值域是?/p>

【答案】,20,4

【詳解】由題意知164x0，解得x2，所以定義域?yàn)?,2]．因?yàn)?x0，所以0164x16，所以

164x[0,4)．

3．函數(shù)fx93x1的定義域是．

【答案】,1

【分析】解不等式93x10，可得出原函數(shù)的定義域.

【詳解】要使函數(shù)fx93x1有意義，則93x10，變形可得3x1932，

因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y3u在R上單調(diào)遞增，則x12，解得x1，

故函數(shù)fx的定義域是,1.

故答案為：,1.

4．已知函數(shù)f(x)m3xn的值域?yàn)?1,)，且f(0)2，則mn.

【答案】0

【分析】根據(jù)條件，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知3x0，

若m0，則f(x)n，為常數(shù)，不合題意；

若m0，則f(x)m3xnn，不合題意；

若m0，則f(x)m3xnn，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)m3xn的值域?yàn)?1,)，則n1，

又f(0)2，則mn2，解得m1,n1，

所以mn0.

故答案為：0.

5．求下列函數(shù)的定義域與值域

1

(1)y2x4；

x

2

(2)y．

3

【答案】(1)定義域?yàn)閤|xR且x4，值域?yàn)?,11,.

(2)定義域?yàn)镽，值域?yàn)?,

【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和分母不為0進(jìn)行求解即可.

（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義域和性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）由x40，得x4，

函數(shù)的定義域?yàn)閤|xR且x4．

1

0，

x4

11

．x4的值域?yàn)?,11,．

2x41y2

（2）函數(shù)的定義域?yàn)镽．

xx

23

y0．

32

x

2

故y的值域?yàn)?,．

3

6．已知fxax1axaxa0且a1是偶函數(shù)．

(1)求fx的解析式；

(2)求fx的值域；

(3)若fxm2x2x對(duì)x1,恒成立，求m的取值范圍．

【答案】(1)fx2x2x

(2)2,

5

(3),

3

【分析】（1）由fxfx，求解a2即可；

（2）結(jié)合基本不等式即可求解；

4x14x1

（3）通過(guò)參變分離得到m對(duì)x1,恒成立．令gxx1，分離常數(shù)，求最值即可.

4x14x1

【詳解】（1）fxa1axax．

因?yàn)閒x是偶函數(shù)，所以fxfx，

即a1axaxa1axax，整理得2aaxax0，

因?yàn)閍xax0不恒成立，所以2a0，即a2，

所以fx的解析式為fx2x2x．

（2）fx2x2x22x2x2，

當(dāng)且僅當(dāng)2x2x，即x0時(shí)，等號(hào)成立，

所以fx的值域?yàn)?,．

（3）由fxm2x2x對(duì)x1,恒成立，

4x1

得m對(duì)x1,恒成立．

4x1

4x14x122

設(shè)函數(shù)gxx1，則gx1x1．

4x14x14x1

11

因?yàn)閤1，所以4x13，所以0，

4x13

25

所以gx1，

max33

55

所以m，即m的取值范圍為,．

33

考點(diǎn)五指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及最值問(wèn)題

x22ax1,x1,

．已知函數(shù)fx在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

11xR

2,x1

x

3

A．,2B．1,C．1,2D．2,

2

【答案】B

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，可知每段函數(shù)的單調(diào)性，以及分界點(diǎn)處的函數(shù)的大小關(guān)系，即可列式求

解.

1

【詳解】因?yàn)閤1時(shí)，fx2x單調(diào)遞減，

x

又fx在R上單調(diào)遞減，

a1,3

所以x1時(shí)，fxx22ax1單調(diào)遞減，則只需滿足解得1a.

22a1,2

故選：B.

2．已知ya2xaR是單調(diào)遞增函數(shù)，則函數(shù)f(x)|x|(xa)的大致圖象為（）

A．B．

C．D．

【答案】B

x

【分析】由ya2aR在R上為增函數(shù)，可得a0，再求出函數(shù)f(x)|x|(xa)的正負(fù)即可判斷.

x

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y2x在R上為增函數(shù)，且ya2aR是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以a0，

又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)|x|(xa)定義域?yàn)镽，

且f(x)|x|(xa)0時(shí)，x10,x2a0，排除A；

當(dāng)xa時(shí)，f(x)|x|(xa)0；當(dāng)xa時(shí)，f(x)|x|(xa)0；

所以C，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：B

3x1

（多選題）3．已知函數(shù)fx，則下列結(jié)論正確的是（）

3x1

A．函數(shù)fx的定義域?yàn)镽

B．函數(shù)fx的值域?yàn)?,1

C．函數(shù)fx的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

D．函數(shù)fx在,上單調(diào)遞增

【答案】ABD

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱定義、單調(diào)性的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)A：由3x0恒成立，故函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，故A正確；

3x13x122

對(duì)B：fx1，由3x0，則3x11，

3x13x13x1

2

故0,2，則fx1,1，故B正確；

3x1

3x113x

對(duì)C：fxfx，故fx關(guān)于0,0對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；

3x113x

3x13x122

對(duì)D：fx1，由y3x11且為增函數(shù)，

3x13x13x1

22

則為減函數(shù)，則fx1在,上單調(diào)遞增，故D正確.

3x13x1

故選：ABD.

12x

4．已知函數(shù)fx（k為常數(shù)）是定義在R上的奇函數(shù).

2x1k

(1)求函數(shù)fx的解析式；

(2)若x2,2，求函數(shù)fx的值域；

(3)若gxfx11，且函數(shù)gx滿足對(duì)任意x1,3，都有g(shù)ax22g3x2成立，求實(shí)數(shù)a的

取值范圍.

12x

【答案】(1)fx；

2x12

33

(2),；

1010

(3),1.

【分析】（1）由奇函數(shù)定義公式fxfx計(jì)算即可求解；

122

（2）先將函數(shù)fx簡(jiǎn)化成fx1，再根據(jù)函數(shù)y的單調(diào)性即可求解；

22x12x1

（3）根據(jù)gxfx11和fx的關(guān)系結(jié)合對(duì)稱性定義公式得到g3x22g3x，接著將題設(shè)不

等式變形為gax22g3x2，在結(jié)合gx的單調(diào)性即可分析求解.

【詳解】（1）因?yàn)閒x是定義在R上的奇函數(shù)，所以對(duì)xR有fxfx，

xx

1212x

即，整理得k2210，

2x1k2x1k

12x

則由x的任意性得k2，所以fx.

2x12

12x2x112x

此時(shí)，fx的定義域?yàn)镽，且fxfx，

2x12222x2x12

12x

所以k2，fx.

2x12

12x12x112

（2）fxx1x1x，

22221221

233

Qy在R上單調(diào)遞減，\f(x)在R上單調(diào)遞減且f2,f2，

2x11010

33

函數(shù)fx在2,2上的值域?yàn)?.

1010

（3）gxfx11由fx向左移1個(gè)單位，向上移1個(gè)單位得到，

所以gx關(guān)于1,1對(duì)稱，所以g1xg1x2令x3x1，

則g3xg3x22，即：g3x22g3x，

由gax22g3x2得gax222g3xg3x2，

fx在R上單調(diào)遞減，gx在R上單調(diào)遞減，

ax223x2對(duì)任意x1,3恒成立，

3x434

即a對(duì)任意x1,3恒成立，

x2xx2

111

令t,1得：a3t4t2對(duì)任意t,1恒成立，

x33

31331

令ht3t4t2，其對(duì)稱軸為t,1，1，

83883

所以

htminh11

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是,1.

5．已知fxa3xb2x1，a，bR．

(1)若b0，gx3x，且函數(shù)yfxgx為奇函數(shù)，求a的值．

(2)若b1，且存在x1,1，使得fx1fx成立，求a的取值范圍．

【答案】(1)a1

1

(2),

6

【分析】（1）設(shè)hxfxgx，由hx為奇函數(shù)可得hxhx0，解方程求a即可，

12x12x

（）由條件化簡(jiǎn)可得存在x1,1，使得成立，故a，其中x1,1，結(jié)合指數(shù)函

2axx

4343min

x

12

數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)y的最小值，由此可得結(jié)論.

43

【詳解】（1）設(shè)hxfxgx，

因?yàn)閒xa3xb2x1，b0，gx3x，

所以hxa3x3x，因?yàn)楹瘮?shù)hxfxgx為奇函數(shù)，

所以hxhx0，即a3x3xa3x3x0，

xx

所以a1330，又3x3x0，

所以a1

（2）因?yàn)閎1，所以fxa3x2x1，

所以不等式fx1fx，可化為a3x12xa3x2x1，

12x

所以2a3x2x1，所以a，

43x

12x

由已知存在x1,1，使得a成立，

43x

12x

所以ax，其中x1,1，

43min

x

12

因?yàn)楹瘮?shù)y在1,1上單調(diào)遞減，

43

x

121

所以函數(shù)y在1,1的最小值為，

436

1

所以a，

6

1

所以a的取值范圍為,．

6

x

6．已知fxgxe，其中fx為奇函數(shù)，gx為偶函數(shù)．

(1)求fx的解析式并指出fx的單調(diào)性（無(wú)需證明）；

(2)若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x0，都有fx2mx3fm成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使得2成立，求實(shí)數(shù)n的

(3)x10,x21,34gx12fx1nx21

取值范圍．

exex

【答案】(1)fx，fx在R上單調(diào)遞增

2

(2)m2

11

(3)n

4

【分析】（1）利用函數(shù)的奇偶性，構(gòu)成方程組即可求解；

x23

（2）由已知，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x0，fx2mx3fm成立，即m，即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最

x1min

小值，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍；

xxxx

eeee21515

（3）由（1）知fx，gx，可得4gx12fx1，由存在x21,3，nx21，

2244

即可求得實(shí)數(shù)n的取值范圍．

【詳解】（1）因?yàn)閒xgxex①，fx為奇函數(shù)，gx為偶函數(shù)，

則fxgxex，即fxgxex②，

exexexex

聯(lián)立①②，得fx，gx，

22

exex

因?yàn)楹瘮?shù)y、y在R上均為增函數(shù)，故函數(shù)fx在R上單調(diào)遞增.

22

（2）由（1）得fx單調(diào)遞增，

2

因?yàn)閒xmx3fm，所以x2mx3m，

x23x23

整理得m對(duì)于任意的x0成立，則m，

x1x1min

x23t22t444

令tx11,，則t22t22，

x1ttt

4

當(dāng)且僅當(dāng)t時(shí)，即t2時(shí)取等號(hào)，所以m2.

t

exexexex

（3）由（1）知，fx，gx，

22

22

則x1x1x1x12x12x1x1x1

4gx12fx1eeeeeeee2

2

ex1ex12ex1ex14，

2

xx211515

令ae1e10,，則2，

4gx12fx1aa4a

244

11

則原題目轉(zhuǎn)化為存在x1,3，使得nx成立，

224

11

當(dāng)n0，成立，當(dāng)n0時(shí)，0n，

4

11

綜上，n.

4

考點(diǎn)六比較大小

1．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足4xy2x3y，則（）

A．xy0B．xy0C．x1xy0D．x1xy0

【答案】D

【分析】令ft3t4Xt2X，分類討論進(jìn)行求解即可.

tXtX

【詳解】設(shè)ft342，其中X為參數(shù)

依題意ft有零點(diǎn)Y

易知ft為單調(diào)遞增函數(shù).

大致圖象如下所示：

當(dāng)XY時(shí)，

有fX3X12X0,

XX

12

即10

33

即X1.

當(dāng)XY時(shí)，

有fX3X12X0,

XX

12

即10

33

即X1.

綜上可知，X1XY0.

故選：D.

2．已知2025m2024,x2024m2023,y2026m2025，則（）

A．yx0B．0xy

C．y0xD．x0y

【答案】C

【分析】由已知可得0m1,然后結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性和分式不等式性質(zhì)可以判定x,y的正負(fù)，進(jìn)而做出判

定.

mm

m2025202520252024

【詳解】∵20252024，∴0m1，∴，