第九章不等式與不等式組9.1不等式1．不等式的概念像3>2，2x<3這樣用符號“<”或“>”表示__________的式子，叫做不等式．像a+2≠a-2這樣用符號“≠”表示不等關系的式子也是不等式.用不等號（“<”，“>”,“≥”，“≤”，“≠”）連接的式子，叫做不等式．常見的不等號符號名稱實際意義讀法舉例<小于號小于、不足小于1+2<4>大于號大于、高出大于2+1>1≤小于等于號不大于、不超過、至多小于或等于x≤3≥大于等于號不小于、不低于、至少大于或等于x≥5≠不等于號不相等不等于2≠3判斷一個式子是不是不等式，主要看它是否含有常用的五種不等號中的一種或幾種，若有，則是；否則不是．2．不等式的解及不等式的解集1．不等式的解：使不等式成立的__________叫做不等式的解．2．不等式的解集：一般地，一個含有未知數的不等式的所有的解，組成這個不等式的__________．求__________的過程叫做解不等式．3．用數軸表示不等式的解集：不等式的解集表示的是未知數的取值范圍，所以不等式的解集可以在數軸上直觀地表示出來．一般來說，一元一次不等式的解集用數軸表示有以下四種情況（設a<0）．不等式的解集x>ax<ax≥ax≤a數軸表示不等式的解集必須符合兩個條件：（1）解集中的每一個數值都能使不等式成立；（2）能夠使不等式成立的所有的數值都在該解集中．3．不等式的性質1．不等式的性質不等式的性質1：不等式兩邊加上（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向__________．不等式的性質2：不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向__________．不等式的性質3：不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向__________．2．不等式的性質與等式的性質的不同點和相同點類別不同點相同點不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號要改變方向（1）兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等式和等式仍然成立；（2）兩邊乘（或除以）同一個正數（或正的式子），不等式和等式仍然成立等式兩邊乘（或除以）同一個負數，等式仍然成立K知識參考答案：1．大小關系2．未知數的值，解集，不等式的解集3．不變，不變，改變K—重點了解不等式及相關概念K—難點掌握不等式的性質，能利用不等式的性質解簡單的不等式，并會用數軸表示不等式的解集，體會數形結合的數學思想K—易錯對表述不等關系的語言理解不透；不能正確運用不等式的性質3而導致錯誤一、不等式的定義要注意方程與不等式的區(qū)別：方程表示相等關系，不等式表示不等關系．【例1】下列各式中，不是不等式的是A．2x≠1 B．3x2–2x+1 C．–3<0 D．3x–2≥1【答案】B【解析】A、2x≠1是不等式，故A不符合題意；B、3x2–2x+1是代數式，不是不等式，故B符合題意；C、–3<0是不等式，故C不符合題意；D、3x–2≥1是不等式，故D不符合題意；故選B．二、不等式的解我們把能使不等式成立的未知數的值，叫做這個不等式的解．一個不等式的解可以有多個，它是指在某一范圍內的數，用它代替不等式中的未知數，不等式成立．【例2】x=–1不是下列哪一個不等式的解A．2x+1≤–3 B．2x–1≥–3 C．–2x+1≥3 D．–2x–1≤3【答案】A【解析】A、把x=–1代入2x+1＝–１>–3，顯然不成立．B、把x=–1代入2x–1＝–3，顯然成立．C、把x=–1代入–2x+1=3，顯然成立．D、把x=–1代入–2x–1=1<3顯然成立．故選A．三、不等式的解集在數軸上的表示步驟：第一步，畫數軸；第二步，定界點；第三步，定方向．規(guī)律：用數軸表示不等式的解集，應記住下面的規(guī)律：大于向右畫，小于向左畫.【例3】不等式__________的解集在數軸上的表示如圖所示．A．x–3<0 B．x–3≤0 C．x–3>0 D．x–3≥0【答案】C【解析】如圖所示：

A、x–3<0，解得：x<3，不合題意；

B、x–3≤0，解得：x≤3，不合題意；

C、x–3>0，解得：x>3，符合題意；

D、x–3≥0，解得：x≥3，不合題意；

故選C．四、不等式的性質不等式的三個性質是不等式變形的重要依據．不等式的性質和等式的性質基本類似，其中性質3是不等式特有的性質，容易出錯.當不等式兩邊同乘或除以一個負數時，不等號的方向要改變.反過來，若一個不等式在乘（或除以）一個數之后，不等號的方向改變了，則這個數是負數；若不等號的方向未改變，則這個數是正數．【例4】已知3a>–6b，則下列不等式一定成立的是A．a+1>–2b–1 B．–a<b C．3a+6b<0 D．>–2【答案】A【解析】∵3a>–6b，∴a>–2b，∴a+1>–2b+1，又–2b+1>–2b–1，∴a+1>–2b–1，故選A．1．不等式x≥–1的解在數軸上表示為A． B．C． D．2．“x的2倍與3的差不大于8”列出的不等式是A． B． C． D．3．下列不等式中是一元一次不等式的是①2x–1＞1；②3+x<0；③x≤2.4；④<5；⑤1＞–2；⑥–1<0.A．2個 B．3個 C．4個 D．5個4．用不等式表示“x的2倍與3的和大于10”是___________．5．若，則x___________.6．一個長方形的長為x米，寬為50米，如果它的周長不小于280米，那么x應滿足的不等式為____________．7．用適當的不等式表示下列不等關系：（1）x減去6大于12；（2）x的2倍與5的差是負數；（3）x的3倍與4的和是非負數；（4）y的5倍與9的差不大于；8．用“>”或“<”填空：（1）如果a–b<c–b，那么a________c；（2）如果3a>3b，那么a________b；（3）如果–a<–b，那么a________b；（4）如果2a＋1<2b＋1，那么a________b.9．把下列不等式化為“x＞a”或“x<a”的形式：（1）x＋6＞5；（2）3x＞2x＋2；（3）–2x＋1<x＋7；（4）–<.10．下列說法中，正確的是A．x=2是不等式3x>5的一個解 B．x=2是不等式3x>5的唯一解C．x=2是不等式3x>5的解集 D．x=2不是不等式3x>5的解11．用不等式表示圖中的解集，其中正確的是A．x＞–3 B．x<–3C．x≥–3 D．x≤–312．已知ax<2a(a≠0)是關于x的不等式，那么它的解集是A．x<2 B．x＞–2 C．當a＞0時，x<2 D．當a＞0時，x<2；當a<0時，x＞213．不等式y+3>4變形為y>1，這是根據不等式的性質__________，不等式兩邊同時加上__________．14．若a<b，則a+c__________b+c；，若mx＞my，且x＞y成立，則m__________0；若5m–7b＞5n–7b，則m__________n．15．如果不等式(a–3)x<b的解集是x<，那么a的取值范圍是________.16．閱讀下面解題過程，再解題．已知a＞b，試比較–2019a＋1與–2019b＋1的大?。猓阂驗閍＞b，①所以–2019a＞–2019b，②故–2019a＋1＞–2019b＋1.③問：（1）上述解題過程中，從第______步開始出現錯誤；（2）錯誤的原因是什么？（3）請寫出正確的解題過程．17．不等式的解集中是否一定有無限多個數？不等式|x|≤0、x2<0的解集是什么？不等式x2＞0和x2+4＞0的解集分別又是什么？18．（2018·廣西）若m＞n，則下列不等式正確的是A．m–2<n–2 B．＞ C．6m<6n D．–8m＞–8n19．（2018·宿遷）若a<b，則下列結論不一定成立的是A．a–1<b–1 B．2a<2b C．–＞– D．a2<b21．【答案】A【解析】不等式x≥–1的解在數軸上表示為，故選A．2．【答案】A【解析】根據題意，得2x–3≤8．故選A．3．【答案】C【解析】①符合一元一次不等式的定義，故①正確；②符合一元一次不等式的定義，故②正確；③符合一元一次不等式的定義，故③正確；④是分式，故此不等式不是一元一次不等式，故④錯誤；⑤此不等式不含未知數，不是一元一次不等式，故⑤錯誤；⑥符合一元一次不等式的定義，故⑥正確；故選C.4．【答案】2x+3＞10【解析】∵x的2倍為2x，∴x的2倍與3的和大于10可表示為：2x+3＞10．故答案為：2x+3＞10．5．【答案】【解析】x>兩邊都乘以?2得：x<.故答案為：<.6．【答案】2(x＋50)≥280【解析】∵一個長方形的長為x米，寬為50米，∴周長為2(x＋50)米，∴周長不小于280米可表示為2(x＋50)≥280，故答案為2(x＋50)≥280.7．【解析】（1）由題意可得：x–6＞12；（2）由題意可得：2x–5<0；（3）由題意可得：3x+4≥0；（4）由題意可得：5y–9≤–1．8．【解析】（1）由a–b<c–b得，a<c；（2）由3a＞3b，得a＞b；（3）由–a<–b，得a＞b；（4）由2a＋1<2b＋1，得2a<2b，∴a<b.故答案為：（1）<；（2）＞；（3）＞；（4）<.9．【解析】（1）不等式兩邊同時減去6，得x＋6–6＞5–6，解得x＞–1.（2）不等式兩邊同時減去2x，得3x–2x＞2x＋2–2x，解得x＞2.（3）不等式兩邊同時減去(x＋1)，得–2x＋1–(x＋1)<x＋7–(x＋1)，–3x<6，不等式兩邊同時除以–3，得x＞–2.（4）不等式兩邊同時乘4，得–2(x–2)<x＋1，整理得–2x＋4<x＋1，不等式兩邊同時減去(x＋4)，得–2x＋4–(x＋4)<x＋1–(x＋4)，整理得–3x<–3，不等式兩邊同時除以–3，得x＞1.10．【答案】A【解析】A.x=2是不等式3x＞5的一個解，正確；B.不等式3x＞5的解有無數個，則B錯誤；C.x=2是不等式3x＞5的解，則C錯誤；D.x=2是不等式3x＞5的解，則D錯誤，故選A.11．【答案】C【解析】由數軸知不等式的解集為x≥–3，故選C.12．【答案】D【解析】因為a的符號不確定，所以要分類討論，當a＞0時，x<2；當a<0時，x＞2，故選D.13．【答案】1；–3【解析】不等式y+3＞4變形為y＞1，這是根據不等式的性質1，不等式兩邊同時減去3，即加上–3，不等號的方向不變．故答案是：1；–3.14．【答案】<；＞；＞【解析】（1）若a<b，則a+c<b+c；（2）若mx＞my，且x＞y成立，則m＞0；（3）若5m–7b＞5n–7b，則m＞n．故答案是：<；>；>.15．【答案】a＞3【解析】因為不等號沒有改變方向，所以a–3＞0，則a＞3，故答案為a＞3.16．【解析】（2）②；（2）錯誤地運用了不等式的基本性質3，即不等式兩邊都乘以同一個負數，不等號的方向沒有改變；（3）因為a＞b，所以–2019a<–2019b，故–2019a＋1<–2019b＋1.17．【解析】不等式的解集中不一定有無數多個數.|x|≤0的解集是x=0，x2<0無解.x2＞0的解集為x＞0或x<0，x2+4＞0的解集為一切實數.18．【答案】B【解析】A、將m＞n兩邊都減2得：m–2＞n–2，此選項錯誤；B、將m＞n兩邊都除以4得：