2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何模擬試卷（正四面體與正方體的性質(zhì)應(yīng)用）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.正四面體的棱長為2，那么它的高是多少呢？別急，同學(xué)們，想象一下，把正四面體想象成一個(gè)倒扣的扣子，從頂點(diǎn)到底面的距離，就是我們想要的高。我們可以通過勾股定理來求解，也可以通過體積公式來求解。這里，我更傾向于讓大家用勾股定理來求解，因?yàn)檫@樣更能體現(xiàn)空間想象能力和計(jì)算能力。大家可以先求出底面三角形的高，再求出四面體的高。記住，底面三角形的高可以通過勾股定理求解，而四面體的高則需要用到底面三角形的高和頂點(diǎn)到底面中心的距離。大家算一算，看看能得出什么結(jié)論。2.正方體的棱長為3，那么它的外接球的表面積是多少呢？這個(gè)問題其實(shí)和正四面體的高有點(diǎn)關(guān)系。我們知道，正方體的外接球的球心就是正方體的中心，球的半徑就是正方體對角線的一半。所以，我們只需要求出正方體的對角線長度，再除以2，就可以得到球的半徑了。而正方體的對角線長度，可以通過勾股定理求解。大家算一算，看看能得出什么結(jié)論。3.正四面體的棱長為4，那么它內(nèi)切球的半徑是多少呢？這個(gè)問題其實(shí)和正方體的內(nèi)切球半徑有點(diǎn)關(guān)系。我們知道，正四面體的內(nèi)切球的球心就是正四面體的重心，球的半徑可以通過正四面體的體積和表面積來求解。而正四面體的體積，可以通過底面面積和高來求解；表面積，可以通過底面面積的4倍來求解。大家算一算，看看能得出什么結(jié)論。4.正方體的棱長為2，那么它內(nèi)切球的表面積是多少呢？這個(gè)問題其實(shí)和正四面體的內(nèi)切球半徑有點(diǎn)關(guān)系。我們知道，正方體的內(nèi)切球的球心就是正方體的中心，球的半徑就是正方體的棱長。所以，我們只需要求出正方體的棱長，就可以得到球的半徑了。而正方體的棱長已經(jīng)給出，是2。所以，球的半徑就是2。那么，球的表面積，就可以通過公式4πr^2來求解了。大家算一算，看看能得出什么結(jié)論。5.正四面體的棱長為3，那么它外接球的半徑是多少呢？這個(gè)問題其實(shí)和正方體的外接球半徑有點(diǎn)關(guān)系。我們知道，正四面體的外接球的球心就是正四面體的重心，球的半徑可以通過正四面體的體積和表面積來求解。而正四面體的體積，可以通過底面面積和高來求解；表面積，可以通過底面面積的4倍來求解。大家算一算，看看能得出什么結(jié)論。6.正方體的棱長為4，那么它內(nèi)切球的半徑是多少呢？這個(gè)問題其實(shí)和正四面體的內(nèi)切球半徑有點(diǎn)關(guān)系。我們知道，正方體的內(nèi)切球的球心就是正方體的中心，球的半徑就是正方體的棱長。所以，我們只需要求出正方體的棱長，就可以得到球的半徑了。而正方體的棱長已經(jīng)給出，是4。所以，球的半徑就是4。那么，球的表面積，就可以通過公式4πr^2來求解了。大家算一算，看看能得出什么結(jié)論。7.正四面體的棱長為2，那么它內(nèi)切球的表面積是多少呢？這個(gè)問題其實(shí)和正方體的內(nèi)切球半徑有點(diǎn)關(guān)系。我們知道，正四面體的內(nèi)切球的球心就是正四面體的重心，球的半徑可以通過正四面體的體積和表面積來求解。而正四面體的體積，可以通過底面面積和高來求解；表面積，可以通過底面面積的4倍來求解。大家算一算，看看能得出什么結(jié)論。8.正方體的棱長為3，那么它外接球的半徑是多少呢？這個(gè)問題其實(shí)和正四面體的外接球半徑有點(diǎn)關(guān)系。我們知道，正方體的外接球的球心就是正方體的中心，球的半徑就是正方體對角線的一半。所以，我們只需要求出正方體的對角線長度，再除以2，就可以得到球的半徑了。而正方體的對角線長度，可以通過勾股定理求解。大家算一算，看看能得出什么結(jié)論。9.正四面體的棱長為4，那么它外接球的表面積是多少呢？這個(gè)問題其實(shí)和正方體的外接球半徑有點(diǎn)關(guān)系。我們知道，正四面體的外接球的球心就是正四面體的重心，球的半徑可以通過正四面體的體積和表面積來求解。而正四面體的體積，可以通過底面面積和高來求解；表面積，可以通過底面面積的4倍來求解。大家算一算，看看能得出什么結(jié)論。10.正方體的棱長為2，那么它內(nèi)切球的半徑是多少呢？這個(gè)問題其實(shí)和正四面體的內(nèi)切球半徑有點(diǎn)關(guān)系。我們知道，正方體的內(nèi)切球的球心就是正方體的中心，球的半徑就是正方體的棱長。所以，我們只需要求出正方體的棱長，就可以得到球的半徑了。而正方體的棱長已經(jīng)給出，是2。所以，球的半徑就是2。那么，球的表面積，就可以通過公式4πr^2來求解了。大家算一算，看看能得出什么結(jié)論。二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）1.正四面體的棱長為3，那么它的高是多少呢？同學(xué)們，還記得我剛才講過的嗎？我們可以通過勾股定理來求解，也可以通過體積公式來求解。這里，我更傾向于讓大家用勾股定理來求解，因?yàn)檫@樣更能體現(xiàn)空間想象能力和計(jì)算能力。大家可以先求出底面三角形的高，再求出四面體的高。記住，底面三角形的高可以通過勾股定理求解，而四面體的高則需要用到底面三角形的高和頂點(diǎn)到底面中心的距離。大家算一算，看看能得出什么結(jié)論。2.正方體的棱長為4，那么它外接球的表面積是多少呢？這個(gè)問題其實(shí)和正四面體的高有點(diǎn)關(guān)系。我們知道，正方體的外接球的球心就是正方體的中心，球的半徑就是正方體對角線的一半。所以，我們只需要求出正方體的對角線長度，再除以2，就可以得到球的半徑了。而正方體的對角線長度，可以通過勾股定理求解。大家算一算，看看能得出什么結(jié)論。3.正四面體的棱長為2，那么它內(nèi)切球的半徑是多少呢？這個(gè)問題其實(shí)和正方體的內(nèi)切球半徑有點(diǎn)關(guān)系。我們知道，正四面體的內(nèi)切球的球心就是正四面體的重心，球的半徑可以通過正四面體的體積和表面積來求解。而正四面體的體積，可以通過底面面積和高來求解；表面積，可以通過底面面積的4倍來求解。大家算一算，看看能得出什么結(jié)論。4.正方體的棱長為3，那么它內(nèi)切球的表面積是多少呢？這個(gè)問題其實(shí)和正四面體的內(nèi)切球半徑有點(diǎn)關(guān)系。我們知道，正方體的內(nèi)切球的球心就是正方體的中心，球的半徑就是正方體的棱長。所以，我們只需要求出正方體的棱長，就可以得到球的半徑了。而正方體的棱長已經(jīng)給出，是3。所以，球的半徑就是3。那么，球的表面積，就可以通過公式4πr^2來求解了。大家算一算，看看能得出什么結(jié)論。5.正四面體的棱長為4，那么它外接球的半徑是多少呢？這個(gè)問題其實(shí)和正方體的外接球半徑有點(diǎn)關(guān)系。我們知道，正四面體的外接球的球心就是正四面體的重心，球的半徑可以通過正四面體的體積和表面積來求解。而正四面體的體積，可以通過底面面積和高來求解；表面積，可以通過底面面積的4倍來求解。大家算一算，看看能得出什么結(jié)論。三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）1.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是A1D1的中點(diǎn)。求證：B1E⊥平面A1BFD。要求：同學(xué)們，你們可以先找一找B1E和哪個(gè)平面垂直呢？其實(shí)，B1E就是連接B1點(diǎn)和E點(diǎn)的線段。我們可以先找到B1E與A1B1的交點(diǎn)，然后看看這個(gè)交點(diǎn)和A1D1的位置關(guān)系。如果B1E與A1D1垂直，那么B1E就垂直于平面A1BFD。大家試試看，用向量法或者幾何法都可以，關(guān)鍵是要找到B1E與A1D1的垂直關(guān)系。2.在正四面體P-ABC中，棱長為a，求點(diǎn)P到平面ABC的距離。要求：這個(gè)問題其實(shí)和正方體的高有點(diǎn)關(guān)系，但是這里我們需要用到正四面體的性質(zhì)。同學(xué)們，你們知道正四面體的重心、外心、內(nèi)心和垂心都是同一點(diǎn)嗎？這個(gè)性質(zhì)很重要。我們可以先找到平面ABC的重心，然后求出點(diǎn)P到這個(gè)重心的距離，這個(gè)距離就是點(diǎn)P到平面ABC的距離。大家可以試試用向量法來求解，這樣更直觀。3.正四面體P-ABC的棱長為2，求它的體積。要求：這個(gè)問題其實(shí)和正方體的體積公式有點(diǎn)關(guān)系，但是正四面體的體積公式是底面積乘以高再除以3。同學(xué)們，你們可以先求出底面三角形ABC的面積，然后求出點(diǎn)P到平面ABC的距離，這個(gè)距離就是四面體的高。底面三角形的面積可以用海倫公式來求解，也可以用勾股定理來求解。大家算一算，看看能得出什么結(jié)論。4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱BB1的中點(diǎn)，N是棱CC1的中點(diǎn)。求證：平面DMN⊥平面DCC1D1。要求：同學(xué)們，你們可以先找一找平面DMN和平面DCC1D1的公共點(diǎn)，然后看看這個(gè)公共點(diǎn)和BC的位置關(guān)系。如果平面DMN與BC垂直，那么平面DMN就垂直于平面DCC1D1。大家試試看，用向量法或者幾何法都可以，關(guān)鍵是要找到平面DMN與BC的垂直關(guān)系。5.正四面體P-ABC的棱長為3，求它的外接球半徑。要求：這個(gè)問題其實(shí)和正方體的外接球半徑有點(diǎn)關(guān)系，但是正四面體的外接球半徑公式是棱長乘以根號3除以4。同學(xué)們，你們可以先求出正四面體的高，然后求出正四面體的重心到頂點(diǎn)的距離，這個(gè)距離就是外接球半徑。大家算一算，看看能得出什么結(jié)論。四、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）1.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是B1C1的中點(diǎn)。求證：A1E⊥平面B1FCD。要求：同學(xué)們，你們可以先找一找A1E和哪個(gè)平面垂直呢？其實(shí)，A1E就是連接A1點(diǎn)和E點(diǎn)的線段。我們可以先找到A1E與A1B1的交點(diǎn)，然后看看這個(gè)交點(diǎn)和B1F的位置關(guān)系。如果A1E與B1F垂直，那么A1E就垂直于平面B1FCD。大家試試看，用向量法或者幾何法都可以，關(guān)鍵是要找到A1E與B1F的垂直關(guān)系。2.在正四面體P-ABC中，棱長為a，求點(diǎn)P到平面ABC的距離。要求：這個(gè)問題其實(shí)和正方體的高有點(diǎn)關(guān)系，但是這里我們需要用到正四面體的性質(zhì)。同學(xué)們，你們知道正四面體的重心、外心、內(nèi)心和垂心都是同一點(diǎn)嗎？這個(gè)性質(zhì)很重要。我們可以先找到平面ABC的重心，然后求出點(diǎn)P到這個(gè)重心的距離，這個(gè)距離就是點(diǎn)P到平面ABC的距離。大家可以試試用向量法來求解，這樣更直觀。3.正四面體P-ABC的棱長為2，求它的體積。要求：這個(gè)問題其實(shí)和正方體的體積公式有點(diǎn)關(guān)系，但是正四面體的體積公式是底面積乘以高再除以3。同學(xué)們，你們可以先求出底面三角形ABC的面積，然后求出點(diǎn)P到平面ABC的距離，這個(gè)距離就是四面體的高。底面三角形的面積可以用海倫公式來求解，也可以用勾股定理來求解。大家算一算，看看能得出什么結(jié)論。4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點(diǎn)，N是棱BB1的中點(diǎn)。求證：平面DMN⊥平面DCC1D1。要求：同學(xué)們，你們可以先找一找平面DMN和平面DCC1D1的公共點(diǎn)，然后看看這個(gè)公共點(diǎn)和BC的位置關(guān)系。如果平面DMN與BC垂直，那么平面DMN就垂直于平面DCC1D1。大家試試看，用向量法或者幾何法都可以，關(guān)鍵是要找到平面DMN與BC的垂直關(guān)系。5.正四面體P-ABC的棱長為3，求它的外接球半徑。要求：這個(gè)問題其實(shí)和正方體的外接球半徑有點(diǎn)關(guān)系，但是正四面體的外接球半徑公式是棱長乘以根號3除以4。同學(xué)們，你們可以先求出正四面體的高，然后求出正四面體的重心到頂點(diǎn)的距離，這個(gè)距離就是外接球半徑。大家算一算，看看能得出什么結(jié)論。五、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）1.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)是A1B1的中點(diǎn)。求證：B1F⊥平面A1EDC。要求：同學(xué)們，你們可以先找一找B1F和哪個(gè)平面垂直呢？其實(shí)，B1F就是連接B1點(diǎn)和F點(diǎn)的線段。我們可以先找到B1F與B1C1的交點(diǎn)，然后看看這個(gè)交點(diǎn)和A1E的位置關(guān)系。如果B1F與A1E垂直，那么B1F就垂直于平面A1EDC。大家試試看，用向量法或者幾何法都可以，關(guān)鍵是要找到B1F與A1E的垂直關(guān)系。2.在正四面體P-ABC中，棱長為a，求點(diǎn)P到平面ABC的距離。要求：這個(gè)問題其實(shí)和正方體的高有點(diǎn)關(guān)系，但是這里我們需要用到正四面體的性質(zhì)。同學(xué)們，你們知道正四面體的重心、外心、內(nèi)心和垂心都是同一點(diǎn)嗎？這個(gè)性質(zhì)很重要。我們可以先找到平面ABC的重心，然后求出點(diǎn)P到這個(gè)重心的距離，這個(gè)距離就是點(diǎn)P到平面ABC的距離。大家可以試試用向量法來求解，這樣更直觀。3.正四面體P-ABC的棱長為2，求它的體積。要求：這個(gè)問題其實(shí)和正方體的體積公式有點(diǎn)關(guān)系，但是正四面體的體積公式是底面積乘以高再除以3。同學(xué)們，你們可以先求出底面三角形ABC的面積，然后求出點(diǎn)P到平面ABC的距離，這個(gè)距離就是四面體的高。底面三角形的面積可以用海倫公式來求解，也可以用勾股定理來求解。大家算一算，看看能得出什么結(jié)論。4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱BB1的中點(diǎn)，N是棱CC1的中點(diǎn)。求證：平面DMN⊥平面DCC1D1。要求：同學(xué)們，你們可以先找一找平面DMN和平面DCC1D1的公共點(diǎn)，然后看看這個(gè)公共點(diǎn)和BC的位置關(guān)系。如果平面DMN與BC垂直，那么平面DMN就垂直于平面DCC1D1。大家試試看，用向量法或者幾何法都可以，關(guān)鍵是要找到平面DMN與BC的垂直關(guān)系。5.正四面體P-ABC的棱長為3，求它的外接球半徑。要求：這個(gè)問題其實(shí)和正方體的外接球半徑有點(diǎn)關(guān)系，但是正四面體的外接球半徑公式是棱長乘以根號3除以4。同學(xué)們，你們可以先求出正四面體的高，然后求出正四面體的重心到頂點(diǎn)的距離，這個(gè)距離就是外接球半徑。大家算一算，看看能得出什么結(jié)論。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.正四面體的棱長為2，那么它的高是多少呢？答案是：根號3/2。解析思路：我們可以將正四面體想象成一個(gè)倒扣的扣子，從頂點(diǎn)到底面的距離，就是我們想要的高。我們可以通過底面等邊三角形的高來求解。底面等邊三角形的高可以通過勾股定理求解，為根號3/2。然后，我們再通過頂點(diǎn)到底面中心的距離（即正四面體的高），再次使用勾股定理，最終得到正四面體的高為根號3/2。2.正方體的棱長為3，那么它的外接球的表面積是多少呢？答案是：36π。解析思路：正方體的外接球的球心就是正方體的中心，球的半徑就是正方體對角線的一半。正方體的對角線長度為3根號2，所以球的半徑為3根號2/2。球的表面積公式為4πr^2，將半徑代入公式，得到表面積為36π。3.正四面體的棱長為4，那么它內(nèi)切球的半徑是多少呢？答案是：2根號6/3。解析思路：正四面體的內(nèi)切球的球心就是正四面體的重心，球的半徑可以通過正四面體的體積和表面積來求解。正四面體的體積為根號2/12乘以棱長的立方，表面積為4乘以底面等邊三角形的面積。通過計(jì)算得到內(nèi)切球半徑為2根號6/3。4.正方體的棱長為2，那么它內(nèi)切球的表面積是多少呢？答案是：16π。解析思路：正方體的內(nèi)切球的球心就是正方體的中心，球的半徑就是正方體的棱長。所以，球的半徑就是2。球的表面積，就可以通過公式4πr^2來求解了。代入半徑2，得到表面積為16π。5.正四面體的棱長為3，那么它外接球的半徑是多少呢？答案是：3根號2/2。解析思路：正四面體的外接球的球心就是正四面體的重心，球的半徑可以通過正四面體的體積和表面積來求解。正四面體的體積為根號2/12乘以棱長的立方，表面積為4乘以底面等邊三角形的面積。通過計(jì)算得到外接球半徑為3根號2/2。6.正方體的棱長為4，那么它內(nèi)切球的半徑是多少呢？答案是：4。解析思路：正方體的內(nèi)切球的球心就是正方體的中心，球的半徑就是正方體的棱長。所以，球的半徑就是4。那么，球的表面積，就可以通過公式4πr^2來求解了。代入半徑4，得到表面積為64π。7.正四面體的棱長為2，那么它內(nèi)切球的表面積是多少呢？答案是：16π/3。解析思路：正四面體的內(nèi)切球的球心就是正四面體的重心，球的半徑可以通過正四面體的體積和表面積來求解。正四面體的體積為根號2/12乘以棱長的立方，表面積為4乘以底面等邊三角形的面積。通過計(jì)算得到內(nèi)切球半徑為根號6/3，進(jìn)而得到表面積為16π/3。8.正方體的棱長為3，那么它外接球的半徑是多少呢？答案是：3根號3/2。解析思路：正方體的外接球的球心就是正方體的中心，球的半徑就是正方體對角線的一半。正方體的對角線長度為3根號3，所以球的半徑為3根號3/2。9.正四面體的棱長為4，那么它外接球的表面積是多