專題15圖形的初步認(rèn)識(shí)

【專題目錄】

技巧1:活用判定兩直線平行的六種方法

技巧2：與相交線、平行線相關(guān)的四類角的計(jì)算

技巧3：應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)的幾種常用作輔助線的方法

【題型】一、線段的中點(diǎn)

【題型】二、角的計(jì)算

【題型】三、與角平分線有關(guān)的相關(guān)計(jì)算

【題型】四、余角與補(bǔ)角的相關(guān)計(jì)算

【題型】五、對(duì)頂角相等進(jìn)行相關(guān)計(jì)算

【題型】六、鄰補(bǔ)角相等求角的度數(shù)

【題型】七、平行線的判定

【題型】八、平行線的應(yīng)用

【題型】九、求平行線間的距離

【考綱要求】

1、了解直線、線段、射線的相關(guān)性質(zhì)以及線段中點(diǎn)和兩點(diǎn)間距離的意義.

2、理解角的有關(guān)概念，熟練進(jìn)行角的運(yùn)算.

3、掌握相交線與平行線的定義，熟練運(yùn)用垂線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定.

【考點(diǎn)總結(jié)】一、直線、射線、線段與角

直線公理經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線.直線是向兩方無限延伸的，直線沒有端點(diǎn).

直線上一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線，這點(diǎn)叫做射線的端點(diǎn),射線向一方無限延伸，射

射線

線只有一個(gè)端點(diǎn).

直線上兩個(gè)點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段.線段有兩個(gè)端點(diǎn)，有長短之分，將某一線段

線段分成兩條相等的線段的點(diǎn)叫做該線段的中點(diǎn).

兩點(diǎn)確定一條直線，兩點(diǎn)之間線段最短，兩點(diǎn)之間線段的長度叫做兩點(diǎn)之間的距離.

直線1°=60',1'=60".

1周角=2平角=4直角=360。.

射線

余角、補(bǔ)角:如果兩個(gè)角的和等于90。,就說這兩個(gè)角互為余角,同角或等角的余角相

角

線段

等；如果兩個(gè)角的和等于180。,就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，同角或等角補(bǔ)角相等.

與角對(duì)頂角：一個(gè)角的兩邊是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線，則稱這兩個(gè)角是對(duì)頂角，對(duì)頂

角相等.

角平分線角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上.

垂線段公理直線外一點(diǎn)與已知線段連接的所有線段中，垂線段最短.

(1)線段垂直平分線的定義:垂直平分一條線段的直線叫做線段的垂直平分線.

線段垂直平分

(2)線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，到線段兩端距離相

線

等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.

(1)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.

(2)平行線的性質(zhì)：

①兩條直線平行，同位角相等；

②兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

平行線③兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

(3)平行線的判定：

①同位角相等，兩條直線平行；

②內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行；

③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩條直線平行.

【技巧歸納】

技巧1:活用判定兩直線平行的六種方法

【類型】一、利用平行線的定義

1.下面的說法中，正確的是()

A.同一平面內(nèi)不相交的兩條線段平行B.同一平面內(nèi)不相交的兩條射線平行

C.同一平面內(nèi)不相交的兩條直線平行D.以上三種說法都不正確

【類型】二、利用“同位角相等，兩直線平行”

2.如圖，已知/ABC=/ACB,Z1=Z2,Z3=ZF,試判斷EC與DF是否平行，并說明理由.

【類型】三、利用“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”

3.如圖，已知NABC=NBCD,Z1=Z2,試說，明BE〃CF.

【類型】四、利用“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”

4.如圖，ZBEC=95°,ZABE=120°,ZDCE=35°,則AB與CD平行嗎？請(qǐng)說明理由.

【類型】五'利用"平行于同一條直線的兩條直線平行.

5.如圖，已知NB=/CDF,NE+NECD=180。.試說明AB〃EF.

【類型】六'利用"垂直于同一條直線的兩條直線平行(在同一平面內(nèi))”

6.如圖，AB_LEF于B,CD_LEF于D,Z1=Z2.

⑴試說明：AB/7CD；

(2)試問BM與DN是否平行？為什么？

EBDF

技巧2：與相交線、平行線相關(guān)的四類角的計(jì)算

【類型】一、利用平角、對(duì)頂角轉(zhuǎn)換求角

1.如圖，已知直線AB,CD相交于點(diǎn)O,OA平分/EOC,若/EOC：/EOD=2：3,求/BOD的度數(shù).

解：由NEOC:ZE0D.=2：3,

設(shè)/EOC=2x°,則/EOD=3x°.

因?yàn)镹E0C+Z_______=180°()，

所以2x+3x=180,解得x=，36.

所以/EOC=72。.

因?yàn)?A平分NEOC(已知)，

所以ZAOC=|ZEOC=36°.

因?yàn)?BOD=NAOC(),

所以NBOD=.

【類型】二'利用垂線求角

2.如圖，已知FELAB于點(diǎn)E,CD是過點(diǎn)E的直線，且/AEC=120。，則NDEF=

3.如圖，MO_LNO于點(diǎn)O,OG平分/MOP,ZPON=3ZMOG,則/GOP的度數(shù)為

4.如圖，兩直線AB,CD相交于點(diǎn)O,0E平分NBOD,ZAOC：ZA0D=7：11.

(1)求/COE的度數(shù)；

(2)若OFLOE,求NCOF的度數(shù).

F

【類型】三、直接利用平行線的性質(zhì)求角

5.如圖，已知AB〃CD,ZAMP=150°,/PND=60。.試說明：MP±PN.

【類型】四、綜合應(yīng)用平行線的性質(zhì)與判定求角

6.如圖，/.I與/2互補(bǔ)，Z3=135°,則/4的度數(shù)是（）

A.45°B.55°C.65°D.75°

7.如圖，Zl=72°,Z2=72°,Z3=60°,求N.4的度數(shù).

技巧3：應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)的幾種常用作輔助線的方法

【類型】一、加截線（連接兩點(diǎn)或延長線段相交）

1.如圖，AB〃EF,CD_LEF,ZBAC=50°,則NACD=()

A.120°B.130°C.140°D.150°

【類型】二'過“拐點(diǎn)”作平行線

a."M”形圖

2.如圖，AB〃CD,P為AB,CD之間的一點(diǎn)，已知/2=28。，NBPC=58。,求N1的度數(shù).

從“U”形圖

3.(1)如圖①，若AB〃DE,ZB=135°,/D=145。.求/BCD的度數(shù).

(2)如圖①，在AB〃DE的條件下，你能得出NB,ZBCD,ND之間的數(shù)量關(guān)系嗎？請(qǐng)說明理由.

(3)如圖②，AB〃EF,根據(jù)(2)中的猜想，直接寫出/B+/C+/D+/E的度數(shù).

c.“弄”形圖

4.如圖，AB〃DE,貝Ij/BCD,ZB,ND有何關(guān)系？為什么？

d.形圖

5.如圖，已知AB〃DE,ZBCD=30°,ZCDE=138°,求/ABC的度數(shù).

e.形圖

6.(1)如圖，AB/7CD,若NB=130。，ZC=30°,求/BEC的度數(shù)；

(2)如圖，AB〃CD,探究/B,ZC,/BEC三者之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說明理由.

【類型】三、平行線間多折點(diǎn)角度問題探究

7.(1)在圖①中，AB//CD,則/E+/G與/B+/F+/D有何關(guān)系？

(2)在圖②中，若AB〃CD,又能得到什么結(jié)論？

①②

【題型講解】

【題型】一、線段的中點(diǎn)

例1、如圖，已知AB=8cm,BD=3cm,C為AB的中點(diǎn)，則線段CD的長為cm.

I__________________??_____________I

ACDB

【題型】二、角的計(jì)算

例2、如圖，直線m〃n,直角三角板ABC的頂點(diǎn)A在直線m上，則/a的余角等于（）

A.19°B,38°C.42°D.52°

【題型】三、與角平分線有關(guān)的相關(guān)計(jì)算

例3、如圖，AB//CD,ZEFD=64°,NEEB的角平分線EG交CD于點(diǎn)G,則NGEB的度數(shù)為（）

A.66°B.56°C.68°D.58°

【題型】四、余角與補(bǔ)角的相關(guān)計(jì)算

例4、如圖，E是直線C4上一點(diǎn)，NEE4=40。，射線EB平分NCEF,GELEF.則NG￡B=（

B

G\

40°

E

A.10°B.20°C.30°D.40°

【題型】五、對(duì)頂角相等進(jìn)行相關(guān)計(jì)算

例5、如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O,則下列結(jié)論正確的是（）

A.Z1=Z2B.Z2=Z3C.Z1>Z4+Z5D.Z2<Z5

【題型】六、鄰補(bǔ)角相等求角的度數(shù)

例6、如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)。，OELCD,垂足為點(diǎn)。.若N3OE=40。，則NAOC的度數(shù)

為（）

A.40°B.50°C.60°D.140°

【題型】七、平行線的判定

例7、如圖，工人師傅用角尺畫出工件邊緣的垂線。和b,得到a〃瓦理由是（）

A.連結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短

B.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行

C.在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線

D.經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行

【題型】八、平行線的應(yīng)用

例8、如圖，AB//CD,直線政分別交A3,CD于點(diǎn)E,F,EG平分ZBEF,若NEFG=亂。，則NEGD

的大小是（）

C.122°D.112°

【題型】九、求平行線間的距離

例9、設(shè)AB,CD,EF是同一平面內(nèi)三條互相平行的直線，已知AB與CD的距離是12cm,EF與CD的距

離是5cm,則AB與EF的距離等于cm.

圖形的初步認(rèn)識(shí)（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）

一、單選題

1.如圖所示，下列條件中能說明?！?的是（）

A.Z1=Z2B.N3=/4C.Z2+Z4=180°D.Zl+Z4=180°

2.如圖，a//b,Zl=43°,則N2的度數(shù)是（）

A.137°B.53°C.47°D.43°

3.如圖，AB//CD,CD//EF,那么()

A.18O°-Z2+Z1B.18O°-Z1-Z2

C.Z2=2Z1D.Z1+Z2

4.如圖，AB//CD,G”平分ZAG凡Zl=66°,則N2的度數(shù)為（）

5.如圖，AB||CD,ZCr>E=140°,則NA的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.60°D.140°

6.將一副三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上，則N1的度數(shù)為（）

二、填空題

7.如圖，直線則N1的度數(shù)為

8.如圖，AB//CD,點(diǎn)E在CA的延長線上.若/BAE=50。，則/AC。的大小為

DC

三、解答題

9.已知，NABC和/DE產(chǎn)中，AB//DE,BC//EF.試探究:

A

D

B

F

圖2

(D如圖1,E>8與NE的關(guān)系是.,并說明理由;

(2)如圖2,寫出以J與/E的關(guān)系，并說明理由;

(3)根據(jù)上述探究，請(qǐng)歸納得到一個(gè)真命題.

圖形的初步認(rèn)識(shí)(提升測(cè)評(píng))

一、單選題

1.如圖，直線等腰直角AABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、3分別落在直線4、，2上，ZACB=90°,若/1=18。,

則N2的度數(shù)是()

A.35°B.30°C.27°D.20°

2.如圖，ZA3D為AABC的外角，3E平分ZABD,EB//AC,ZA=65°,則NEfiD的度數(shù)為（）

A.50°B.65°C.115°D.130°

3.如圖，AB//CD,EF交AB、CD于點(diǎn)E、F,FG平■分NEFD,若NAEb=70。，則NEGE的度數(shù)為

()

c

A.70°B.35°C.50°D.55°

4.將一副直角三角尺按如圖所示放置（其中/GE/=NGFE=45。，ZH=60°,Z￡FH=30°）,滿足點(diǎn)E在

AB上，點(diǎn)P在CD上，AB//CD,NAEG=20。，則NHFD的大小是（）

A.70°B.40°C.35D.65°

5.如圖，已知直線。，b,c,d中，c_La,c_L。，直線6,c,d交于一點(diǎn)，若N2=36。，則/I等于（）

A.34°B.36°C.56°D.54°

二、填空題

6.已知一個(gè)含有30。角的三角尺按照如圖所示的位置擺放，若0=65。,則/2=度.

7.如圖所示，A3〃CO,點(diǎn)E在。上，垂足為8,已知/BED=34。，則尸的度數(shù)為

AB

三、解答題

8.(1)課題研究：“尺規(guī)作圖：過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”.

?C

AB

做法一:

①以3為圓心，任意長為半徑作弧，分別交48,于點(diǎn)E,F；

②以C為圓心，BE長為半徑作弧，交BC的延長線于點(diǎn)/；

③再以M為圓心，E尸長為半徑作弧，與前弧交于點(diǎn)N；

④連接CN,則CN〃A3.

做法二：

DC

\X

A-------------------------------------------B

①以A為圓心，BC長為半徑作?。?/p>

②以C為圓心，48長為半徑作弧；兩弧交于點(diǎn)。，連接8；則CD〃AB.

請(qǐng)根據(jù)以上作法，寫出這兩種方法用到的數(shù)學(xué)定理或基本事實(shí)：(各寫出一個(gè)即可)

做法一：_____________________________________

做法二：_____________________________________

(2)如圖，口ABCD中，DE=BF,請(qǐng)你再加一個(gè)條件，使四邊形AEC尸為菱形，并證明.

專題15圖形的初步認(rèn)識(shí)

【專題目錄】

技巧1:活用判定兩直線平行的六種方法

技巧2：與相交線、平行線相關(guān)的四類角的計(jì)算

技巧3：應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)的幾種常用作輔助線的方法

【題型】一、線段的中點(diǎn)

【題型】二、角的計(jì)算

【題型】三、與角平分線有關(guān)的相關(guān)計(jì)算

【題型】四、余角與補(bǔ)角的相關(guān)計(jì)算

【題型】五、對(duì)頂角相等進(jìn)行相關(guān)計(jì)算

【題型】六、鄰補(bǔ)角相等求角的度數(shù)

【題型】七、平行線的判定

【題型】八、平行線的應(yīng)用

【題型】九、求平行線間的距離

【考綱要求】

1、了解直線、線段、射線的相關(guān)性質(zhì)以及線段中點(diǎn)和兩點(diǎn)間距離的意義.

2、理解角的有關(guān)概念，熟練進(jìn)行角的運(yùn)算.

3、掌握相交線與平行線的定義，熟練運(yùn)用垂線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定.

【考點(diǎn)總結(jié)】一、直線、射線、線段與角

直線公理經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線.直線是向兩方無限延伸的，直線沒有端點(diǎn).

直線上一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線，這點(diǎn)叫做射線的端點(diǎn),射線向一方無限延伸，射

射線

線只有一個(gè)端點(diǎn).

直線上兩個(gè)點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段.線段有兩個(gè)端點(diǎn)，有長短之分，將某一線段

線段分成兩條相等的線段的點(diǎn)叫做該線段的中點(diǎn).

兩點(diǎn)確定一條直線，兩點(diǎn)之間線段最短，兩點(diǎn)之間線段的長度叫做兩點(diǎn)之間的距離.

直線

1°=60',1'=60".

射線

角1周角=2平角=4直角=360。.

線段

余角、補(bǔ)角:如果兩個(gè)角的和等于90。,就說這兩個(gè)角互為余角,同角或等角的余角相

15/42

與角等；如果兩個(gè)角的和等于180。,就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，同角或等角補(bǔ)角相等.

對(duì)頂角：一個(gè)角的兩邊是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線，則稱這兩個(gè)角是對(duì)頂角，對(duì)頂

角相等.

角平分線角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上.

垂線段公理直線外一點(diǎn)與已知線段連接的所有線段中，垂線段最短.

(1)線段垂直平分線的定義:垂直平分一條線段的直線叫做線段的垂直平分線.

線段垂直平分

(2)線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，到線段兩端距離相

線

等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.

(1)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.

(2)平行線的性質(zhì)：

①兩條直線平行，同位角相等；

②兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

③兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

平行線

(3)平行線的判定：

①同位角相等，兩條直線平行；

②內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行；

③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩條直線平行.

【技巧歸納】

技巧1:活用判定兩直線平行的六種方法

【類型】一'利用平行線的定義

1.下面的說法中，正確的是()

A.同一平面內(nèi)不相交的兩條線段平行B.同一平面內(nèi)不相交的兩條射線平行

C.同一平面內(nèi)不相交的兩條直線平行D.以上三種說法都不正確

【類型】二'利用“同位角相等，兩直線平行”

2.如圖，已知NABC=/ACB,Z1=Z2,Z3=ZF,試判斷EC與DF是否平行，并說

明理由.

【類型】三、利用“內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行”

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3.如圖，已知/ABC=/BCD,Z1=Z2,試說，明BE〃CF.

【類型】四、利用“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”

4.如圖，ZBEC=95°,ZABE=120°,NDCE=35。，則AB與CD平行嗎？請(qǐng)說明理由.

【類型】五、利用“平行于同一條直線的兩條直線平行'

5.如圖，已知/B=/CDF,/E+/ECD=180。.試說明AB〃EF.

【類型】六、利用“垂直于同一條直線的兩條直線平行（在同一平面內(nèi)）”

6.如圖，AB_LEF于B,CDJ_EF于D,Z1=Z2.

（1）試說明：AB〃CD；

（2）試問BM與DN是否平行？為什么？

MANC

EBDF

參考答案

1.c點(diǎn)撥：根據(jù)定義判定兩直線平行，一定要注意前提條件：“同一平面內(nèi)”，同時(shí)要注

意在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段或兩條射線不能判定其平行.

2.解：EC〃DF,理由如下：VZABC=ZACB,

Z1=Z2,.\Z3=ZECB.

又..Z—F,；./ECB=NF.

；.EC〃DF（同位角相等，兩直線平行）.

3.解：因?yàn)?ABC=NBCD,/1=/2,

所以NABC-/l=NBCD-/2,即/EBC=NFCB,

所以BE〃CF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

4.解：AB〃CD,理由如下：延長BE,交CD于點(diǎn)F,則直線CD,AB被直線BF所截.

因?yàn)镹BEC=95°,所以NCEF=180°—,95°=85°.

又因?yàn)镹DCE=35。，

17/42

所以/BFC.=180°-NDCE-NCEF=180°-35°—85°=60°.

又因?yàn)?ABE=120。，

所以NABE+NBFC=180。.

所以AB〃CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.

.點(diǎn)撥：.本題利用現(xiàn)有條件無法直接判斷AB與CD是否平行，我們可考慮作一條.輔助

線，架起AB與CD之間的橋梁.

5.解：因?yàn)?B=NCDF,所以AB〃CD（同位角相等，兩直線平行）.

因?yàn)镹E+NECD=180。，

所以CD〃EF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.

所以AB〃EF（.平行于同一條直線的兩直線平行）.

6.解：（1）VAB±EF,CD_LEF,

AB〃CD（在同一平面內(nèi),垂直于同一條直線的兩直線平行）.

（2）BM〃DN.理由如下：

VABXEF,CD±EF,ZABE=ZCDE=90°.

又=

ZABE-Z1=ZCDE-Z2.

即/MBE.=/NDE,；.BM〃DN（同位角相等，兩直線平行）.

點(diǎn)撥：/I和/2不是同位角，不能誤認(rèn)為/I和N2是同位角，直接得出BM〃DN,

要得到BM〃DN,可說明NMBE=NNDE.

技巧2：與相交線、平行線相關(guān)的四類角的計(jì)算

【類型】一'利用平角、對(duì)頂角轉(zhuǎn)換求角

1.如圖，已知直線AB,CD相交于點(diǎn)O,0A平分NE0C,若/E0C：NE0D=2：3,求

ZB0D的度數(shù).

解：由/EOC：ZEOD.=2:3,

設(shè)NE0C=2x°,.則NE0D=3x°.

因?yàn)閆E0C+Z_______=180°（）,

一

所以2x+3x=180,解得x=.36.

所以/EOC=72。.

因?yàn)?A平分/EOC（已知），

所以NAOC=gNEOC=36。.

因?yàn)閆B0D=ZA0C（）,

18/42

所以NBOD=.

【類型】二、利用垂線求角

2.如圖，已知FE±AB于點(diǎn)E,CD是過點(diǎn)E的直線，且NAEC=120。，則/DEF=

3.如圖,MO_LNO于點(diǎn)O,OG平分/MOP,ZPON=3ZMOG，則/GOP的度數(shù)為

4.如圖，兩直線AB,CD相交于點(diǎn)O,OE平分/BOD,ZAOC：ZAOD=7：11.

(1)求/COE的度數(shù)；

(2)若OFLOE,求/COF的度數(shù).

F

【類型】三、直接利用平行線的性質(zhì)求角

5.如圖，已知AB〃CD,ZAMP=150°,NPND=60。.試說明：MP_LPN.

【類型】四、綜合應(yīng)用平行線的性質(zhì)與判定求角

6.如圖，/.I與/2互補(bǔ)，Z3=135°,則/4的度數(shù)是()

A.45°B.55°C.65°D.75°

7.如圖，Zl=72°,Z2=72°,Z3=60°,求N.4的度數(shù).

19/42

4

3

/\2A

ha

參考答案

1.EOD；平角的定義；對(duì)頂角相等；36°2.30

3.54°點(diǎn)撥：設(shè)NGOP=x。，則/MOG=x。，ZPON=3x°,由題意得x+x+3x=360—

90,解得x=54.；.ZGOP=54°.

4.解：(l)VZAOCZAOD=711,ZAOC+ZAOD=180°,

ZAOC=70°,ZAOD=110°.

XVOE平分NBOD,ZDOE=|ZDOB=|zAOC=1x70°=35°.Z.ZCOE=180°-

ZDOE=180°-35°=145°.

(2)VOF±OE,AZFOE=90°.

又?.?/DOE=35°,.,.ZFOD=90o-ZDOE=90°-3.5°=55o.

ZCOF=180°-ZFOD=180°-55°=125°.

5.解：如圖，過點(diǎn)P向左側(cè)作PE〃AB,

則ZAMP+ZMPE=180°.

/.ZMPE=180°-ZAMP=180°-150°=30°.

VAB/7CD,PE〃AB,APE//CD,

ZEPN=ZPND=60°.

ZMPN=ZMPE+ZEPN=30°+60°=90°,[來源浮，科，網(wǎng)Z,X,X,K]

即MPXPN.

6.A

7.解：：/l=72。，42=72。,/.Z1=Z2.

；.a〃b"./3+N4=180。.

又?.?/3=60°,.\Z4=120o.

技巧3：應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)的幾種常用作輔助線的方法

【類型】一'加截線(連接兩點(diǎn)或延長線段相交)

20/42

AB

EDF

1.如圖，AB〃EF,CDXEF,ZBAC=50°,則NACD=()

A.120°B.130°C.140°D.150°

【類型】二、過“拐點(diǎn)祚平行線

a.形圖

2.如圖，AB/7CD,P為AB,CD之間的一點(diǎn)，已知/2=28。，ZBPC=58°,求/I的度

數(shù).

從“U”形圖

3.⑴如圖①，若AB〃DE,ZB=135°,3D=145。.求/BCD的度數(shù).

(2)如圖①，在AB〃DE的條件下，你能得出/B,ZBCD,/D之間的數(shù)量關(guān)系嗎？請(qǐng)說

明理由.

(3)如圖②，AB〃EF,根據(jù)(2)中的猜想，直接寫出/B+NC+ND+NE的度數(shù).

c.形圖

4.如圖，AB〃DE,則/BCD,ZB,/D有何關(guān)系？為什么？

5.如圖，已知AB〃DE,ZBCD=30°,ZCDE=138°,求NABC的度數(shù).

e.形圖

6.(1)如圖,AB〃CD,若NB=130。,ZC=30°,求NBEC的度數(shù);

(2)如圖，AB〃CD,探究/B,ZC,/BEC三者之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說明理由.

21/42

AB

【類型】三、平行線間多折點(diǎn)角度問題探究

7.(1)在圖①中，AB〃CD,則NE+NG與NB+/F+ND有何關(guān)系？

(2)在圖②中，若AB〃CD,又能得到什么.結(jié)論?

參考答案

1.C

2.解：方法一：過點(diǎn)P作射線PN〃AB,如圖①.

VPN/7AB,AB〃CD,；.PN〃CD.N4=N2=28。.

VP.N//AB,.\Z3=Z1.

XZ3=ZBPC-Z4=580-28°=30°./.Z1=.30°.

方法二：過點(diǎn)P作射線PM〃AB,如圖②.

：PM〃AB,AB〃CD,.,.PM/7C.D.

Z4=180°-/2=180°—28°=152°.

?/Z4+ZBP.C+Z3=360°,

.".Z3=360°-ZBPC-Z4=360o-58o-152o=150°.

：AB〃PM,/1=180°—/3=180°—150°=30°.

3.解：(1)過點(diǎn)C向左作CF〃AB,，/B+NBCF=180。.又：AB〃DE,；.CF.〃DE,；./FCD

+ZD=180°,AZB+ZBCF+ZFCD+ZD=180°+180°,即NB+/BCD+ND=360°,

/./BCD=360°—ZB-ZD=360°-135°-145°=80°.

(2)/B+NBCD+/D=360。.理由如下：過點(diǎn)C向左作CF〃AB,.?.NB+NBCF=180。.

又：AB〃DE,；.CF〃DE,AZFCD+ZD=180°,ZB+ZBCF+ZFCD+ZD=180°

+180°,即/B+/BCD+/D=360°.

(3)ZB+ZC+ZD+ZE=540°..

22/42

AB

J--N----"------F

C

4.解：ZBCD=/B—ND.理由如下:如圖，過點(diǎn)C作CF〃AB.：CF/7AB,：.ZB=/BCF（兩

直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.；AB〃DE,CF〃AB,；.CF〃DE（平行于同一條直線的兩條直線

平行）.；.NDCF=/D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.二/B—/D=/BCF—/DCF.：/BCD

=ZBCF-ZDCF,?,.ZBCD=ZB-ZD.

點(diǎn)撥：已知圖形中有平行線和折線或拐角時(shí),常過折點(diǎn)或拐點(diǎn)作平行線,構(gòu)造出同位角、

內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，這樣就可利用角之間的關(guān)系求解了.

5.解：如圖，過點(diǎn)C作CF〃AB.：AB〃DE,CFAB,Z.DE//CF.ZDCF=180°-ZCDE

=180°-138°=42°.，NBCF=NBCD+NDCF=300+42°=72°.又：AB〃CF,.\ZABC=

ZBCF=72°.

AB

/DE

LF

6.解：（1）過點(diǎn)E向左側(cè)作EF〃AB,ZB+ZBEF=180°,

AZBEF=180°-ZB=50°,XVAB/7CD,且EF〃AB,

，EF〃CD,.,.ZFEC=ZC=30°,

ZBEC=ZBEF+ZFEC=50°+30°=80°.

（2）NB+NBEC—NC=180。.理由如下：過點(diǎn)E向左側(cè)作EF〃AB,又：AB〃CD,

；.EF〃CD,AZFEC=ZC,

又ZBEF=ZBEC-ZFEC,ZBEF=/BEC-NC.

VAB/7EF,.,.ZB+ZBEF=180°,ZB+ZBEC-ZC=180°.

7.解：（1）/E+/G=/B+/F+/D.理由：過折點(diǎn)E,F,G分別作EM〃AB,FN/7AB,

GH//AB,如圖所示，由A.B/7CD,得AB〃EM〃:FN〃GH〃CD,這樣/1=NB,Z2=Z3,

Z4=Z5,/6=ND.因此/BEF+NFGD=N1+N2+N5+/6=NB+N3+N4+ND=

ZB+ZEFG+ZD.

（2）NEi+NE2+/E3+...+NEn=NB+NFi+NF2+...+/Fn-1+ND.

【題型講解】

【題型】一、線段的中點(diǎn)

例1、如圖，已知AB=8cm,BD=3cm,C為AB的中點(diǎn)，則線段CD的長為cm.

23/42

ACDB

【答案】1

【提示】

先根據(jù)中點(diǎn)定義求BC的長，再利用線段的差求CD的長.

【詳解】

解：：C為AB的中點(diǎn)，AB=8cm,

11

.?.BC=—AB=—x8=4(cm),

22

VBD=3cm,

.*.CD=BC-BD=4-3=1(cm),

則CD的長為1cm；

故答案為：1.

【題型】二、角的計(jì)算

例2、如圖，直線m〃n,直角三角板ABC的頂點(diǎn)A在直線m上，則Na的余角等于()

A.19°B.38°C.42°D.52°

【答案】D

【解析】

試題分析:過C作CD〃直線m,：m〃n,；.CD〃m〃n,ZDCA=ZFAC=52°,Za=ZDCB,

VZACB=90°,AZa=90°-52°=38°,則/a的余角是52。.故選D.

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)；余角和補(bǔ)角.

【題型】三、與角平分線有關(guān)的相關(guān)計(jì)算

24/42

例3、如圖，AB//CD,NEFD=64°,/FEB的角平分線EG交CD于點(diǎn)G,則/GEB的度

數(shù)為()

A.66°B.56°C.68°D.58°

【答案】D

【提示】

根據(jù)平行線的性質(zhì)求得NBEE再根據(jù)角平分線的定義求得/GE8.

【詳解】

解：：AB〃CD,

.,.ZBEF+ZEFD=180°,

/.ZBEF=180o-64°=116°；

：EG平分/BEF,

；.NGEB=58。.

故選：D.

【題型】四、余角與補(bǔ)角的相關(guān)計(jì)算

例4、如圖，E是直線C4上一點(diǎn)，NEE4=40。，射線EB平分NCER,GE±EF.則

NGEB=()

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】B

【提示】

先根據(jù)射線平分NCEb,得出/CEB=/BEF=70°,再根據(jù)GE_LEF,可得

ZGEB=ZGEF-ZBEF即可得出答案.

【詳解】

,：ZFEA=40°,

25/42

.?.ZCEF=140°,

;射線￡B平分NCEF,

ZCEB=ZBEF=70°,

GE^EF,

：.ZGEB=ZGEF-ZBEF=90°-70°=20°,

故選：B.

【題型】五、對(duì)頂角相等進(jìn)行相關(guān)計(jì)算

例5、如圖，AB和CD相交于點(diǎn)0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.Z1=Z2B.Z2=Z3C.Z1>Z4+Z5D.Z2<Z5

【答案】A

【提示】根據(jù)對(duì)頂角性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)分別進(jìn)行判斷，即可得到答案.

【詳解】解：由兩直線相交，對(duì)頂角相等可知A正確；

由三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可知

B選項(xiàng)為N2>/3,

C選項(xiàng)為/1=/4+/5,

D選項(xiàng)為/2>N5.

故選：A.

【題型】六、鄰補(bǔ)角相等求角的度數(shù)

例6、如圖，直線A3,CD相交于點(diǎn)。，OE工CD,垂足為點(diǎn)。.若N3OE=40。，則

C.60°D.140°

【答案】B

【提示】

26/42

已知OE，CE）,ZB<9E=40°,根據(jù)鄰補(bǔ)角定義即可求出NAOC的度數(shù).

【詳解】

,/OEA.CD

；?NCOE=90。

,：ZBOE=40°

???ZAOC=180?-ZCOE-ZEOB=180°-90°-40°=50°

故選：B

【題型】七、平行線的判定

例7、如圖，工人師傅用角尺畫出工件邊緣的垂線a和乩得到a〃瓦理由是（）

A.連結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短

B.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行

C.在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線

D.經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行

【答案】B

【提示】根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行判斷即可.

【詳解】解：

；由題意a_LAB,b_LAB,

：.Z1=Z2

.,.a//b

所以本題利用的是：同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，

故選：B.

【題型】八、平行線的應(yīng)用

例8、如圖，AB//CD,直線政分別交A3,CD于點(diǎn)E,F,EG平分NBEF,若

ZEFG=64°,則NEGD的大小是（）

27/42

A,E,B

C/FGD

A.132°B.128°C.122°D.112°

【答案】C

【提示】利用平行線的性質(zhì)求解NFEB，利用角平分線求解/BEG,再利用平行線的性質(zhì)

可得答案.

【詳解】解：?.?AB//CD,

:.NEFG+NFEB=180。,

ZEFG=64°,

/FEB=180°-64°=116°,

?:EG平分ZBEF,

:2FEG=/BEG=5^,

ABIICD

ZBEG+ZEGD=180°,

ZEGD=180°-58°=122°.

故選C.

【題型】九、求平行線間的距離

例9、設(shè)AB,CD,EF是同一平面內(nèi)三條互相平行的直線，已知AB與CD的距離是12cm,

EF與CD的距離是5cm,則AB與EF的距離等于cm.

【答案】7或17.

【提示】

分兩種情況討論，EF在AB,CD之間或EF在AB,CO同側(cè)，進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】

解：分兩種情況：

①當(dāng)EF在AB,CD之間時(shí)，如圖：

A-----------------------------------B

E-----------------------------------F

C-----------------------------------D

VAB與CD的距離是12cm,EF與CD的距離是5cm,

.'.EF與AB的距離為12-5=7(cm).

28/42

②當(dāng)EF在AB,CD同側(cè)時(shí)，如圖：

A---------------------------------B

C---------------------------------D

E--------------------------------F

VAB與CD的距離是12cm,EF與CD的距離是5cm,

；.EF與AB的距離為12+5=17（cm）.

綜上所述，EF與AB的距離為7cm或17cm.

故答案為：7或17.

圖形的初步認(rèn)識(shí)（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）

一、單選題

1.如圖所示，下列條件中能說明的是（）

A.N1=N2B.Z3=Z4C.Z2+Z4=180°D.Zl+Z4=180°

【答案】B

【分析】利用平行線的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：A.當(dāng)/1=/2時(shí)，不能判定?！?,故選項(xiàng)不符合題意；

B.當(dāng)N3=N4時(shí)，/3與/4屬于同位角，能判定故選項(xiàng)符合題意；

C.當(dāng)/2+/4=180。時(shí)，/2與/4屬于同旁內(nèi)角，能判定c〃%故選項(xiàng)不符合題意；

D.當(dāng)/1+/4=180。時(shí)，不能判定?！ㄘ?，故選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查平行線的判定，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的判定條件并靈活運(yùn)用.

2.如圖，a//b,Nl=43°,則N2的度數(shù)是（）

29/42

A.137°B.53°C.47°D.43°

【答案】D

【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等即可得.

【詳解】解：?.?。||瓦/1=43。，

.-.Z2=Z1=43°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.如圖，若AB"CD,CD//EF,那么()

A.18O°-Z2+Z1B.18O°-Z1-Z2

C.Z2=2Z1D.Z1+Z2

【答案】A

【分析】先利用平行線的性質(zhì)說明/3、ZK/4、/2間關(guān)系，再利用角的和差關(guān)系求出

ZBCE.

'：AB//CD,CD//EF,

AZ1=Z3,Z2+Z4=180°,

N4=180。一N2,

AZBC￡=Z4+Z3=180°-Z2+Z1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等“、“兩直線平行,

同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是解決本題的關(guān)鍵.

4.如圖，AB//CD,GH平分ZAGF,21=66。，則N2的度數(shù)為()

30/42

E

4\G5

C\D

Fx

A.114°B.66°C.75°D.57°

【答案】D

【分析】根據(jù)平行的性質(zhì)可得/1=/3GF,則可求出/AGR再根據(jù)HG平分/4GF,即可求

出/2.

【詳解】?/AB//CD,Zl=66°,

：.Z}=ZBGF=66°,

：.ZAGF=180°-ZBGF=180°-66°=114°,

平分NAGR

???/2//AGF=114°x:57。，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N1=/BGF

是解答本題的關(guān)鍵.

5.如圖，AB\\CD,ZCL>E=140°,則ZA的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.60°D.140°

【答案】A

【分析】根據(jù)補(bǔ)角的定義，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，計(jì)算求值即可；

【詳解】SAB//CD,

ZA^ZCDA,

'：ZCDA=180°-ZCr>E=180°-140°=40°,

NA=40°,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了相交線和平行線，掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

6.將一副三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上，則N1的度數(shù)為（）

31/42

A.75°B.105°C.120°D.135°

【答案】B

【分析】利用直角三角形的兩銳角互余先求出N2和Z3的度數(shù),再根據(jù)平角的定義求出Z4的

度數(shù)，最后由平行線的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】解：如圖，

,//2=90°-60°=30°,

Z3=90°-45°=45°,

/4=180°-30°-45°=105°