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2017年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模A題

CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定及成像

摘要

二十世紀(jì)中期，CT理論的提出給科學(xué)界帶來(lái)了重大影響，而伴隨著科技的發(fā)展與進(jìn)

步，作為處理斷層成像問(wèn)題的CT系統(tǒng)也越來(lái)越完善。本文通過(guò)研究典型的二維平行束

CT成像系統(tǒng)，標(biāo)定出了具體的參數(shù)信息，并對(duì)未知樣品進(jìn)行了成像處理。

針對(duì)問(wèn)題一，首先對(duì)附件2中的數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選，發(fā)現(xiàn)部分?jǐn)?shù)據(jù)只與小圓有關(guān)，因此

利用Excel對(duì)此部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行填色處理，并且得出每列填色數(shù)據(jù)所占的表格數(shù)都為29,

繼而依據(jù)圓的特性，可得出探測(cè)器單元之間的距離。然后，根據(jù)橢圓長(zhǎng)軸和短軸旋轉(zhuǎn)90°

時(shí)的數(shù)據(jù)組的個(gè)數(shù)來(lái)查找中間的旋轉(zhuǎn)次數(shù)，再計(jì)算出每次旋轉(zhuǎn)的角度，并且據(jù)此找到終

止位置，從而可得起始位置。接下來(lái)，應(yīng)用Matlab對(duì)附件2中的數(shù)據(jù)進(jìn)行灰度處理整

合，作出相關(guān)的投影分布圖像，明顯可看出灰度處理過(guò)的圖像中圓的圖像為正弦線。根

據(jù)投影圖找到橢圓中心對(duì)應(yīng)于探測(cè)器的位置，運(yùn)用Matlab程序運(yùn)算得到此發(fā)射-接收裝

置的旋轉(zhuǎn)中心。最終得到CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心在正方形托盤(pán)中的位置為（-9.2734,5.5363）；

探測(cè)器單元之間的距離為0.2857mm；起始位置與水平方向x軸方向呈-61°或119°,

且逆時(shí)針每次旋轉(zhuǎn)1°,共旋轉(zhuǎn)了180次。

針對(duì)問(wèn)題二，通過(guò)Matlab整合附件3的數(shù)據(jù)得出未知介質(zhì)的灰度圖像，再與附件2

中的數(shù)據(jù)得出來(lái)的圖像進(jìn)行比較，初步判斷未知介質(zhì)的幾何特征，然后根據(jù)傅里葉切片

定理以及濾波反投影CT圖像重建的方法，利用Matlab軟件中的濾波反投影函數(shù)進(jìn)一步

精確地求出該介質(zhì)的位置信息以及幾何形狀信息。依據(jù)附件1的吸收率與附件2的接收

信息數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，由復(fù)檢3利用Matlab軟件編程求出該介質(zhì)對(duì)應(yīng)的吸收率。進(jìn)而

根據(jù)卜個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，求出各點(diǎn)的吸收率。

針對(duì)問(wèn)題三，與問(wèn)題二的運(yùn)算步驟類(lèi)似，只是比問(wèn)題二稍微復(fù)雜了一些。將附件5

的數(shù)據(jù)用Matlab整合出灰度圖像，初步判斷介質(zhì)的幾何形狀。接著再利用Matlab軟件

中的濾波反投影函數(shù)擬合成像從而進(jìn)一步精確地求出該介質(zhì)的位置信息以及幾何形狀

信息。與問(wèn)題二相似的方法得出十個(gè)點(diǎn)的吸收率。

針對(duì)問(wèn)題四，選取旋轉(zhuǎn)中心的橫縱坐標(biāo)作為參數(shù)標(biāo)定。因?yàn)閱?wèn)題（1）計(jì)算時(shí)只用

了特殊數(shù)據(jù)求解，所以換?個(gè)角度出發(fā)，采用幾何算法，利用其它數(shù)據(jù)求出新的旋轉(zhuǎn)中

心坐標(biāo)。根據(jù)前后兩次坐標(biāo)的不同值可以求出橫縱坐標(biāo)的誤差率，發(fā)現(xiàn)縱坐標(biāo)的誤差率

達(dá)到了8.37%?？梢园l(fā)現(xiàn)現(xiàn)有的模板精度和穩(wěn)定性都有待提高。可采取三角形的模板，

擴(kuò)大了射線的照射范圍從而達(dá)到提高穩(wěn)定性的作用。

關(guān)鍵詞：CT系統(tǒng)傅里葉切片定理濾波反投影圖像重建法Matlab

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一、問(wèn)題重述

CT是計(jì)算機(jī)斷層成像技術(shù)的簡(jiǎn)稱(chēng)，是指在不破壞樣品的情況下，可以利用樣品對(duì)射

線能量的吸收特性對(duì)生物組織以及工程材料的樣品進(jìn)行斷層成像，以此來(lái)得到樣品內(nèi)部

具體的結(jié)構(gòu)信息?，F(xiàn)有一種二維CT系統(tǒng)如下文中圖1所示，平行入射的X射線垂直于

探測(cè)器平面，等距排列的每個(gè)探測(cè)器單元可以看成是?個(gè)接收點(diǎn)。在X射線的發(fā)射器和

探測(cè)器相對(duì)位置固定不變的條件下，整個(gè)發(fā)射-接收系統(tǒng)繞某一固定的旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)180次。對(duì)每一個(gè)發(fā)射器發(fā)射的X射線方向，在具有512個(gè)等距單元的探測(cè)器上測(cè)

量經(jīng)過(guò)位置.固定不動(dòng)的二維待檢測(cè)介質(zhì)吸收衰減后的射線能量，并經(jīng)過(guò)增益等處理后會(huì)

得到180組不同的接收信息。

安裝CT系統(tǒng)時(shí)通常會(huì)存在誤差，進(jìn)而影響成像的質(zhì)量，所以需要對(duì)安裝好的CT系

統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)標(biāo)定，也就是借助于已經(jīng)知道結(jié)構(gòu)的模板來(lái)標(biāo)定CT系統(tǒng)的具體參數(shù)，并據(jù)

此對(duì)未知結(jié)構(gòu)的樣品進(jìn)行處理成像。

請(qǐng)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型和算法，解決以下問(wèn)題：

(1)在正方形托盤(pán)上放置兩個(gè)均勻固體介質(zhì)組成的標(biāo)定模板，模板的幾何信息如圖

2所示，相應(yīng)的數(shù)據(jù)文件見(jiàn)附件1,其中每一點(diǎn)的數(shù)值反映了該點(diǎn)的吸收強(qiáng)度，這里稱(chēng)

為，，吸收率”。對(duì)應(yīng)于該模板的接收信息見(jiàn)附件2。清根據(jù)這一模板及其接收信息，確

定CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心在正方形托盤(pán)中的位置,、探測(cè)器單元之間的距離以及該CT系統(tǒng)使用

的X射線的180個(gè)方向。

(2)附件3是利用上述CT系統(tǒng)得到的某未知介質(zhì)的接收信息。利用(1)中得到的標(biāo)

定參數(shù)，確定該未知介質(zhì)在正方形托盤(pán)中的位置、幾何形狀和吸收率等信息。另外，請(qǐng)

具體給出圖3所給的10個(gè)位置處的吸收率，相應(yīng)的數(shù)據(jù)文件見(jiàn)附件4。

(3)附件5是利用上述CT系統(tǒng)得到的另一個(gè)未知介質(zhì)的接收信息。利用(1)中得到

的標(biāo)定參數(shù)，給出該未知介質(zhì)的相關(guān)信息。另外，請(qǐng)具體給出圖3所給的10個(gè)位置處

的吸收率。

(4)分析(1)中參數(shù)標(biāo)定的精度和穩(wěn)定性。在此基礎(chǔ)上自行設(shè)計(jì)新模板、建立對(duì)應(yīng)

的標(biāo)定模型，以改進(jìn)標(biāo)定精度和穩(wěn)定性，并說(shuō)明理由。

二、問(wèn)題分析

問(wèn)題一：要求標(biāo)定CT系統(tǒng)的具體參數(shù)，考慮到模板中圓這個(gè)較特殊的存在，即無(wú)

論旋轉(zhuǎn)時(shí)旋轉(zhuǎn)中心在哪個(gè)位置他的圖像都為圓弧，并且其投影圖像為正弦線，可以以此

作為解題的突破口。用Excel將附件2中的180組數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，找到這個(gè)圓的信息接

收情況，由于圓的直徑不變，可以根據(jù)數(shù)據(jù)找出所占的表格數(shù)來(lái)得出探測(cè)器單元之間的

距離。然后鑒于橢圓長(zhǎng)軸和短軸的特殊性即旋轉(zhuǎn)90。時(shí)數(shù)據(jù)會(huì)出現(xiàn)最大值跟最小值，找

出中間的數(shù)據(jù)組就可以查找到中間的旋轉(zhuǎn)次數(shù)再計(jì)算每次旋轉(zhuǎn)的角度，并可得到終止位

置接著就可以得出起始位置。通過(guò)Matlab將附件2數(shù)據(jù)整合作出相關(guān)的投影分布圖像。

可以看出圖像中的正弦圖，即介質(zhì)圓的旋轉(zhuǎn)圖像為正弦圖，最后可以根據(jù)圖像中的正弦

圖像對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)找出對(duì)稱(chēng)中心即旋轉(zhuǎn)中心。

問(wèn)題二：可以在問(wèn)題一中已標(biāo)定的參考信息的基礎(chǔ)上，通過(guò)Matlab整合數(shù)據(jù)擬合

出來(lái)未知介質(zhì)的圖像，與附件2中的數(shù)據(jù)擬合出來(lái)的圖像進(jìn)行比較，得出大體形狀、位

置等特征信息，再考慮相應(yīng)的傅里葉切片定理以及濾波反投影CT圖像重建的方法，利

用Matlab軟件中的濾波反投影函數(shù)從而進(jìn)一步精確地求出該介質(zhì)的位置信息以及幾何

形狀信息。

問(wèn)題三：方法大體與問(wèn)題二類(lèi)似，都是在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上先通過(guò)Matlab對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)

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行擬合成圖并跟附件2圖像比較，再經(jīng)過(guò)Matlab軟件中的濾波反投影函數(shù)從而進(jìn)一步

精確的求出該介質(zhì)的位置信息以及幾何形狀信息。

問(wèn)題四：要選取問(wèn)題一中的標(biāo)定參數(shù)分析其穩(wěn)定性。可以利用其他方法求旋轉(zhuǎn)中心

坐標(biāo)，然后與問(wèn)題一中求得的作比較求誤差，從而分析其精度與穩(wěn)定性。

三、模型假設(shè)

1.假設(shè)固體介質(zhì)分布較均勻。

2.假設(shè)X射線穩(wěn)定不會(huì)出現(xiàn)衍射等現(xiàn)象。

3.假設(shè)探測(cè)器每個(gè)單元都能接收到信息。

4.假設(shè)接受到的信息都能真實(shí)反映實(shí)際物體的特征信息、。

四、符號(hào)說(shuō)明

a橢圓長(zhǎng)軸

b橢圓短軸

(P介質(zhì)對(duì)射線的吸收系數(shù)

0射線旋轉(zhuǎn)角度

，oX射線入射光的強(qiáng)度

/衰減后的出射光的強(qiáng)度

4衰減系數(shù)

最大寬度

dmm最小寬度

橫坐標(biāo)誤差

%縱坐標(biāo)誤差

X。旋轉(zhuǎn)中心的橫坐標(biāo)

%旋轉(zhuǎn)中心的縱坐標(biāo)

五、模型的建立與求解

5.1問(wèn)題一

5.1.1題目圖示簡(jiǎn)述

本文所述CT系統(tǒng)即為如下圖1,問(wèn)題1中的模板幾何信息如下圖2所示。

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操潮容

IIiIIHiPiiiin50

圖LCT系統(tǒng)示意圖圖2.模板示意圖（單位：mm）

5.1.2吸收率

附件1給出了大小為256x256的數(shù)據(jù)表，其實(shí)際對(duì)應(yīng)就是大小為lOOmmx100mm模

板的大小，也就是在模板上放置題目所給的介質(zhì)后，將模板分割成256x256小塊，附件

1給出每一小塊的吸收率。我們利用Matlab軟件將各處相同的吸收率用同一種顏色表示,

其結(jié)果如圖3所示：

圖3.模板吸收率

從圖3中可以發(fā)現(xiàn)無(wú)介質(zhì)的托盤(pán)吸收率為0（圖中黑色部分），該介質(zhì)的吸收率為I

（圖中白色的橢圓和小圓部分）。

5.1.3探測(cè)器單元之間的距離

利用Matlab軟件處理附件2中的接收數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)相近程度，做成灰度圖如F

圖4所示：

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圖4.接收數(shù)據(jù)灰度圖

從圖4的圖像可以發(fā)現(xiàn)小圓的投影帶是可以清晰找得到的。經(jīng)過(guò)分析可知圖中細(xì)長(zhǎng)

曲線部分即為在一定角度的射線只經(jīng)過(guò)小圓探測(cè)器接收的情況。這部分?jǐn)?shù)據(jù)的特征為通

過(guò)小圓的射線在探測(cè)器上接收的數(shù)據(jù)呈開(kāi)口朝下的拋物線分布，而沒(méi)有經(jīng)過(guò)小圓的射線

在探測(cè)器上的接收信息均為0,因此利用Excel軟件將此部分所有非0的數(shù)據(jù)進(jìn)行涂色

填充，圖5給出了只經(jīng)過(guò)小圓的探測(cè)器接收情況局部圖。

圖5.探測(cè)器接收情況局部圖

從圖5可以發(fā)現(xiàn)只經(jīng)過(guò)小圓的射線有29組單元接收，所以有28個(gè)單元距離，而從

題目中得知小圓的直徑"=8〃”〃，因此探測(cè)器單元之間的距離為：

s=d+28=8+28=0.2857(mm).

5.1.4CT系統(tǒng)X射線的180個(gè)方向

觀察圖4發(fā)現(xiàn)，接收情況圖像的輪廓都是光滑連續(xù)的，因此可以認(rèn)為CT系統(tǒng)每次

旋轉(zhuǎn)的角度都是相同的。接下來(lái)需要求CT系統(tǒng)每次轉(zhuǎn)過(guò)的角度。同樣的，從觀察圖像

出發(fā)求解。橢圓的長(zhǎng)軸與短軸之間的夾角為90°,經(jīng)過(guò)長(zhǎng)軸的射線旋轉(zhuǎn)90°會(huì)經(jīng)過(guò)短

軸，再數(shù)出它們之間旋轉(zhuǎn)的次數(shù)就可以求出每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)初始位置探測(cè)器

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接收情況的數(shù)據(jù)求出初始位置X射線的方向。

附件2給出的數(shù)據(jù)并不是X射線衰減后的強(qiáng)度，通過(guò)觀察分析數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，射線穿過(guò)

的介質(zhì)越長(zhǎng)，接收信息數(shù)據(jù)越大，因此假設(shè)射線穿過(guò)介質(zhì)長(zhǎng)度與接收信息之間存在正比

例關(guān)系，從數(shù)據(jù)中最容易找到的是橢圓長(zhǎng)軸與小圓直徑對(duì)應(yīng)的接收信息。利用Matlab

軟件可以求出附件2中的最大數(shù)據(jù)位置為(EU,223),其值是141.7794,此數(shù)據(jù)就是射

線經(jīng)過(guò)長(zhǎng)軸探測(cè)器接收的信息，而小圓直徑所對(duì)應(yīng)的接收信息在上一問(wèn)題的分析中已經(jīng)

知道為14.1796。根據(jù)圖2的數(shù)據(jù)可以得到橢圓的長(zhǎng)軸a=80mm,b=30mm,a:d=l:l,又發(fā)現(xiàn)

兩者對(duì)應(yīng)的接收信息比十分接近于1:1,因此可以近似的求出射線穿過(guò)介質(zhì)的接收信息r

與穿過(guò)介質(zhì)長(zhǎng)度Ar之間的關(guān)系式為：

1=1.7722—(1)

橢圓的中心和小圓的中心是在同一直線上的，所以通過(guò)短軸的射線必定會(huì)經(jīng)過(guò)小圓

的直徑，根據(jù)公式(1)橢圓短軸的長(zhǎng)度、直徑可以求出通過(guò)短軸的接收信息：

r=1.7722x38=67.3436

另一方面，經(jīng)過(guò)橢圓與小圓短軸-直徑線附近的接收信息十分對(duì)稱(chēng)，這樣就可以找

到射向橢圓短軸的數(shù)據(jù)位置是(CN,235),射線從長(zhǎng)軸轉(zhuǎn)到短軸必定旋轉(zhuǎn)了90、EU表示

151,CN表示61,因此CT系統(tǒng)一共轉(zhuǎn)了90次。從而每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為：

90+90=1.

射過(guò)長(zhǎng)軸的接收信息坐標(biāo)(EU,223),最后停止接收信息的坐標(biāo)為(FX,223),EU

代表的數(shù)據(jù)是151,FX代表的數(shù)據(jù)是180,兩者之間相差29次的旋轉(zhuǎn)，也就是說(shuō)經(jīng)過(guò)長(zhǎng)

軸的射線又旋轉(zhuǎn)了29最終停下。通過(guò)觀察第223行的數(shù)據(jù)，考慮小圓對(duì)數(shù)據(jù)的影響，

最終得出了CT系統(tǒng)平行束射線的初始方向在與水平方向x軸方向呈-61°或119°,此后圍

繞旋轉(zhuǎn)中心每次旋轉(zhuǎn)1。

5.1.5旋轉(zhuǎn)中心的確定

由題意可知，平行束CT系統(tǒng)掃描過(guò)程中，整個(gè)發(fā)射-接收系統(tǒng)繞某固定的旋轉(zhuǎn)中心

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180次。圖中線段AB為探測(cè)器，假設(shè)旋轉(zhuǎn)中心0,以旋轉(zhuǎn)中心0為原點(diǎn)，圖

中所示垂直于X射線并且平行于探測(cè)器的方向?yàn)閤軸方向，X射線方向?yàn)閥軸方向，建

立坐標(biāo)軸。在發(fā)射-接收裝置繞旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，刻于圖中介質(zhì)上任一點(diǎn)

p(x,y),p與x軸的夾角為。，旋轉(zhuǎn)中心與p的距離為r,則點(diǎn)〃可用極坐標(biāo)表示為

P=(r,^)o在初始位置時(shí)x=cos。，在掃描過(guò)程中，發(fā)射-接收系統(tǒng)移動(dòng)的位置等于點(diǎn)

P在x軸上的投影，設(shè)裝置旋轉(zhuǎn)角度為a，點(diǎn)p在探測(cè)器上移動(dòng)的位置為：

x=cos(6+a).

當(dāng)整個(gè)掃描過(guò)程完成時(shí)，點(diǎn)P在探測(cè)器上的投影軌跡為一條余弦曲線，也可稱(chēng)為正

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弦曲線。因此，在CT系統(tǒng)1：作時(shí)，介質(zhì)中的每一點(diǎn)在探測(cè)器上的投影對(duì)應(yīng)一條正弦曲

線，全部圖像的投影數(shù)據(jù)分布圖為正弦圖。

y軸

圖6.投影數(shù)據(jù)分布原理圖

根據(jù)以上分析，可知模板中介質(zhì)圓的圓心在探測(cè)器上的投影數(shù)據(jù)分布圖也應(yīng)為一條

正弦曲線。根據(jù)正弦投影圖關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心對(duì)稱(chēng)這?原理'，圓心正弦投影圖的對(duì)稱(chēng)中心

即為發(fā)射-接收裝置的旋轉(zhuǎn)中心。

附件2中模板的接受信息數(shù)據(jù)是由射線遇到障礙介質(zhì)衰減得到的，而于題H所給的

均勻介質(zhì)，認(rèn)為它的衰減系數(shù)是不變的。X射線與物質(zhì)碰撞會(huì)發(fā)生衰減現(xiàn)象，此現(xiàn)象服

從比爾定律，其公式為？

/=/“"心，(1)

其中，/。為X射線入射光的強(qiáng)度，/為接收器上所得到的衰減后的出射光的強(qiáng)度，Ar為

射線穿過(guò)測(cè)試介質(zhì)的厚度，〃為該介質(zhì)的衰減系數(shù)。

根據(jù)均勻物質(zhì)對(duì)X-射線的吸收規(guī)律可知，當(dāng)X-射線穿過(guò)介質(zhì)的長(zhǎng)度越長(zhǎng)時(shí)，探測(cè)

器對(duì)應(yīng)的接收數(shù)據(jù)就越大。運(yùn)用Matlab軟件對(duì)附件2的投影數(shù)據(jù)成像，由Matlab求出

橢圓對(duì)應(yīng)的投影圖的最大寬度人”和最小寬度41M。

圖7.投影圖的橢圓投影的最大寬度與最小寬度

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根據(jù)衰減規(guī)律，投影圖7中最大寬度對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)為射線平行于橢圓長(zhǎng)軸時(shí)穿過(guò)長(zhǎng)軸

的接收數(shù)據(jù)，同理，投影圖最小寬度對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)為射線平行于橢圓短軸時(shí)穿過(guò)短軸的接

收數(shù)據(jù)。以橢圓中心為原點(diǎn)，橢圓短軸為x方向，長(zhǎng)軸為y方向，建立坐標(biāo)軸xoy,用

Matlab求出41ax時(shí)對(duì)應(yīng)的探測(cè)器的位置分別為最大位置，max、最小位置襦，此時(shí)，原點(diǎn)

投射到探測(cè)器上的對(duì)應(yīng)位置。,為：

同理4.n時(shí)對(duì)應(yīng)的探測(cè)器的位置分別為最大位置以“、最小位置了““，此時(shí)原點(diǎn)投

射到探測(cè)器上的對(duì)應(yīng)位置0'為：

Q'_jmax+jmin

(3)

-2'

介質(zhì)對(duì)射線的吸收系數(shù)：

80

*=而----，(4)

Yt.dmax

tJmM為dmax對(duì)應(yīng)的附件2中的接收數(shù)據(jù)。

%=(256」嗎；皿”..(5)

得到旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)(%%)為：

通過(guò)Matlab上機(jī)編程調(diào)試得到：

y0=5.5363,

x()=-9.2734,

8

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圖8.旋轉(zhuǎn)中心

得到的旋轉(zhuǎn)中心在探測(cè)器投影分布圖中的位置正好位于正弦曲線的對(duì)稱(chēng)中心，與已知原

理相對(duì)應(yīng)，印證了此方法結(jié)論的正確性。

5.2問(wèn)題二

問(wèn)題二要求利用附件3中的山CT系統(tǒng)得到的某未知介質(zhì)的接收信息，在問(wèn)題一得

到的標(biāo)定參數(shù)的基礎(chǔ)上，來(lái)確定該介質(zhì)在托盤(pán)中的位置、幾何形狀和吸收率等信息?？?/p>

以利用反濾波函數(shù)CT圖像重.建的方法確定該介質(zhì)的幾何形狀、位置信息。

5.2.1該介質(zhì)接收信息

需要利用附件3所給的該介質(zhì)的接收信息來(lái)分析，去求得介質(zhì)的位置及形狀等特征

信息，所以同附件2的數(shù)據(jù)處理方式一樣，先利用Matlab軟件做出接收信息的灰度圖

像，如圖9所示：

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

20406080100120140160180

圖9.附件3接收信息灰度圖

根據(jù)圖9的灰度圖，從圖中可以觀察到圖中有4個(gè)主要的顏色區(qū)域，據(jù)此可以初步

得出該介質(zhì)的幾何形狀信息。從最大邊框區(qū)城結(jié)合附件2的接收信息灰度圖，可以推測(cè)

介質(zhì)的輪廓大致呈橢圓；從中間的顏色區(qū)域我們可以推測(cè)中間有一個(gè)區(qū)域大致呈橢圓形,

但是該處的介質(zhì)與其他部分的密度有很大的區(qū)別；其他對(duì)稱(chēng)的顏色區(qū)域表明該介質(zhì)中應(yīng)

9

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該有兩處空洞。接下來(lái)需要運(yùn)用傅里葉切片定理以及濾波反投影CT圖像重建的方法，

再利用Matlab軟件濾波反投影函數(shù)進(jìn)一步更加精確地求出該介質(zhì)的位置信息以及幾何

形狀信息。

5.2.2傅里葉切片定理

CT中獲得的測(cè)量數(shù)據(jù)一般需要計(jì)算介質(zhì)內(nèi)部分布的線積分。圖像的重建的基本原理

根據(jù)不同角度的接收信息，可以得到介質(zhì)內(nèi)部不同區(qū)域的密度分布。物體的傅里葉變換

為⑶：

F(w,v)=]]f(x,y)e-f2r(ux+iy>dxdy.(6)

定義CT系統(tǒng)裝置1時(shí)刻旋轉(zhuǎn)的角度為e,它的探測(cè)器接收信息為今()它的傅里葉變換

是：

j2m

^(w)=fPo(t)e-'di.(7)

-00

射線的光束是平行的，根據(jù)平行束的特征，得到J'垂直映射與介質(zhì)函數(shù)之間的二維變換

關(guān)系7

F(M,0)=Sfl=0(w).(8)

待照射的介質(zhì)與CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)裝置是相互獨(dú)立的，可以把介質(zhì)固定的坐標(biāo)系看作是

xoy,而平行束射線移動(dòng)的坐標(biāo)看作為xoy。X射線平行且等間距的照射，介質(zhì)靜止不

動(dòng)，平行射線束掃描180探測(cè)器就可以收集到介質(zhì)全部的數(shù)據(jù)信息。

傅里葉切片定理可以敘述為介質(zhì)在一定角度下平行射線映射的傅里葉變換，等于在

該角度時(shí)二維傅里葉變換的一條直線該定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

S,)(w)=F(w,0)=F(wcos0,wsin。)

=JJ/(x,y)e-f2^'m^yM)dxdy.(9)

-009

圖10給出了傅里葉切片定理的示意圖。

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圖10.傅里葉切片定理示意圖

實(shí)際上，CT系統(tǒng)射線照射成像的原理就是傅里葉變換。而上述定理準(zhǔn)確地給出了一

維傅里葉變換與二維變換之間的關(guān)系。

5.2.3平行束濾波反投影圖像重建

CT濾波反投影圖像南建是順著投影成像的反方向，把探測(cè)器接收的信息反投回成像

的各個(gè)介質(zhì)體系中，再通過(guò)計(jì)算機(jī)編程運(yùn)算，求出介質(zhì)各個(gè)部分的衰減系數(shù)，從而達(dá)到

圖像重建的目的口。濾波反投影重建的具體過(guò)程為：把CT系統(tǒng)探測(cè)器得到的接收信息

與濾波函數(shù)進(jìn)行卷積運(yùn)算，從而求得各個(gè)角度對(duì)應(yīng)的卷積濾波處理后的接收數(shù)據(jù)，然后

將它們沿反方向進(jìn)行投影，按照它的原路徑均勻的分到每一個(gè)接收單元內(nèi)，經(jīng)過(guò)累加后

得到了每一探測(cè)單元原始的數(shù)據(jù)，最后經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)適當(dāng)?shù)奶幚淼玫奖徽丈涞慕橘|(zhì)的斷層

圖像。根據(jù)傅里葉切片定理，被照射的介質(zhì)固定不動(dòng)，因此設(shè)需要重建的介質(zhì)圖像為

f(x,y),平行束X射線圍繞托盤(pán)旋轉(zhuǎn)，因此我們可以設(shè)旋轉(zhuǎn)射線的坐標(biāo)系為(x,yj。因

為CT系統(tǒng)還是問(wèn)題一的系統(tǒng)，因而問(wèn)題二中射線的旋轉(zhuǎn)中心并沒(méi)有發(fā)生變化，在問(wèn)題

一中得出系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心為(%,治),故我們可以得出兩坐標(biāo)系之間的關(guān)系為巴

x=(y-%)sine+(x-Xo)cos。，

'.",(IO)

y=-(xsin6+(y-y0)cos0.

基于以上步驟的描述，利用Matlab軟件的濾波反投影函數(shù)對(duì)附件3進(jìn)行處理，得

到了附件3數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的重建圖像，如圖11所示：

圖11.附件3重建圖形

圖11就是所要求的該介質(zhì)的幾何形狀以及在正方形托盤(pán)中的位置信息。從圖中可

以發(fā)現(xiàn)，它的主體為一個(gè)近似的橢圓，中間有兩塊密度不均勻的小橢圓區(qū)域，并且在該

11

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介質(zhì)的右側(cè)有兩個(gè)空洞，這與之前分析的接收信息灰度圖基本吻合，有力的證明了濾波

反投影法在平行束CT圖像電建中的應(yīng)用的合理性。

5.2.4求幾何形狀的吸收率

通過(guò)Matlab軟件作出附件1的二維圖像如圖所示，圖中線條的長(zhǎng)度代表吸收率的

大小。

圖12.附件1吸收率的二維圖像

根據(jù)附件1的已知信息，模板介質(zhì)的吸收率為1.無(wú)介質(zhì)的其他位置吸收率為0。

運(yùn)用Matlab函數(shù)庫(kù)中的iradon函數(shù)，基于R-L濾波器的濾波反投影法實(shí)現(xiàn)圖像的重建,

得到180組圖像重建數(shù)據(jù)，畫(huà)出此數(shù)據(jù)的二維圖像，如下圖：

圖13.附件2重建圖像的數(shù)據(jù)分布圖

由圖可知，重建圖像的數(shù)據(jù)大致分為兩組數(shù)據(jù)。和0.5,為0的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)于模板中無(wú)

介質(zhì)位置的射線吸收情況，即吸收率為0的情況；等于0.5的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)于模板中吸收率

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為1的情況。由此我們可得重組圖像的數(shù)據(jù)大小與吸收率的比例關(guān)系:

(11)

1

用Matlab得到附件3的事建圖像數(shù)據(jù)分布圖如下表:

圖14.附件3重建圖像的數(shù)據(jù)分布圖

通過(guò)Matlab軟件得到各分組數(shù)據(jù)的大小，根據(jù)公式(11)得到各組數(shù)據(jù)相應(yīng)的吸

收率。因此在重建圖像圖中各部分的吸收率為：

圖15.附件3重建圖像的吸收率情況圖

由Matlab在附件3還原重建圖上做出題中所述十個(gè)點(diǎn)的位置，如下圖:

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-60

-40

■20

0

20

40

60

-60-40-200204060

圖16.附件3還原重建圖上卜個(gè)點(diǎn)的位置圖

表1.附件3中的10個(gè)位置處的吸收率

X軸坐標(biāo)Y軸坐標(biāo)吸收率

10.000018.00000.0000

34.500025.00001.0000

43.500033.00001.3000

45.000075.50000.0000

48.500055.50001.0000

50.000075.50000.0000

56.000076.50000.0000

65.500037.00001.0000

79.500018.00000.0000

98.500043.50000.0000

5.3問(wèn)題三

問(wèn)題三和問(wèn)題二所要求的均為某種未知介質(zhì)的相關(guān)信息，只是問(wèn)題三中給出的接收

信息數(shù)據(jù)更為復(fù)雜，因此可以采用類(lèi)似的分析方法對(duì)問(wèn)題三進(jìn)行求解.。

5.3.1該介質(zhì)接收信息

根據(jù)附件5中該未知介質(zhì)的接收信息數(shù)據(jù)，利用Matlab軟件求出接收信息的灰度

圖，如下圖所示：

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圖17.附件3接收信息灰度圖

從圖中觀察到有很多不連續(xù)的色圖區(qū)，說(shuō)明待求介質(zhì)的幾何形狀、密度分布情況很

復(fù)雜。進(jìn)一步通過(guò)濾波反投影圖像重建的方法對(duì)介質(zhì)信息求解，從而得到更為準(zhǔn)確的介

質(zhì)的位置以及幾何信息。

5.3.2濾波反投影重建圖像

通過(guò)對(duì)問(wèn)題二進(jìn)行分析，利用Matlab得到了附件5對(duì)應(yīng)的重建圖像,如圖18所示：

圖18.附件5數(shù)據(jù)重建圖像

上圖給出了該未知介質(zhì)的位置以及幾何形狀信息，從中可以看出，該介質(zhì)的形狀以

及組成是相當(dāng)復(fù)雜的。

5.3.3求幾何形狀的吸收率

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根據(jù)我們得到的附件5的成像圖像，與問(wèn)題二相比此圖像的形狀更加復(fù)雜，且分布

也不具有規(guī)律性。用Matlab作出附件5的三維等值線圖：

圖19.附件5二維等值線圖

可以發(fā)現(xiàn)從圖中得到吸收率的方法是很難實(shí)現(xiàn)且誤差較大的。我們通過(guò)Matlab編

程得到附件5的介質(zhì)吸收率數(shù)據(jù)文件（大小為256X256）,將此文件與正方形模板對(duì)應(yīng)，

如圖20所示，

-60-40-200204060

圖20.附件5還原重建圖上十個(gè)點(diǎn)的位置圖

得到題中十個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的吸收率如表2所示，

表2.附件5中的10個(gè)位置切b的吸收率

X軸坐標(biāo)Y軸坐標(biāo)吸收率

10.000018.00000.0004

34.500025.00000.5424

43.500033.00000.4221

45.000075.50000.0012

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48.500055.50000.5351

50.000075.50000.3771

56.000076.50000.6626

65.500037.00000.6895

79.500018.00000.0034

98.500043.5000-0.0256

5.4問(wèn)題四

問(wèn)題四要求分析問(wèn)題一參數(shù)標(biāo)定的精度和穩(wěn)定性并旦提出改進(jìn)方案，主要判斷旋轉(zhuǎn)

中心橫縱坐標(biāo)的精度即可，然后對(duì)此提出優(yōu)化方案，從而在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)出更為合理的

模板。

5.4.1問(wèn)題一參數(shù)標(biāo)定的精度與穩(wěn)定性

在問(wèn)題一中，我們?cè)谇驝T系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心、初始位置的時(shí)候只是選取特殊位置的點(diǎn)

去進(jìn)行求解，這樣，問(wèn)題給出的很多數(shù)據(jù)我們都沒(méi)有用上，會(huì)造成一定的誤差。因此,

我們可以采用幾何方法對(duì)問(wèn)題一中標(biāo)定的參數(shù)再次求解。

根據(jù)題意以及經(jīng)驗(yàn)探測(cè)器最中心的單元（256號(hào)）應(yīng)該正好對(duì)應(yīng)著橢圓的中心，而

經(jīng)過(guò)橢圓長(zhǎng)軸的射線由第223個(gè)探測(cè)單元接受到的信息，射線水平經(jīng)過(guò)小圓的直徑與橢

圓的短軸時(shí)是第235號(hào)探測(cè)器單元接收到的信息。因此，根據(jù)幾何關(guān)系我們可以求旋轉(zhuǎn)

中心的橫縱坐標(biāo)：

x（,=-（256-223）xd=-33x0.2857=-9.428bum.

.%=(256-235)xd=2lx0.2857=5.9997〃”〃.

在問(wèn)題一中我們已經(jīng)求得旋轉(zhuǎn)的中心為(-9.2734,5.5363).

橫坐標(biāo)誤差：7.=1'9'4281-9-27341x100%=1.67%.

11-9.277341

至15.9997-5.53631__

縱坐標(biāo)誤差：小--------------xilnnOoO/%=o8.307/%.

5.5363

從以上的誤差中可以發(fā)現(xiàn)，在標(biāo)定參數(shù)中縱坐標(biāo)的誤差較大，為&37%。對(duì)于這種

精密的儀器，如果只利用其中一組數(shù)據(jù)，會(huì)造成較大誤差。

5.4.2模板的優(yōu)化

在設(shè)計(jì)掃描系統(tǒng)的時(shí)候，要求射線源、旋轉(zhuǎn)軸和探測(cè)器的中心在同一直線上，然而在

加工安裝掃描系統(tǒng)的過(guò)程中，并不能保證旋轉(zhuǎn)軸的投影正好在探測(cè)器的中心位置，總會(huì)

存在一定的誤差團(tuán)。

可以采用三角形的模板來(lái)提高標(biāo)定參數(shù)的精確度與穩(wěn)定性，因?yàn)槿切握丈渖渚€的

范圍比較廣且具有穩(wěn)定性。

六、模型評(píng)價(jià)與推廣

6.1模型的優(yōu)點(diǎn)

1.采用以點(diǎn)破面的思想，以圓為基礎(chǔ)，尋找解決辦法，更為快捷準(zhǔn)確地找出解決

方案，標(biāo)定參數(shù)信息。

17

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2.通過(guò)運(yùn)用傅里葉切片定理以及濾波反投影CT圖像重建的方法，可以得到清晰精

確得圖像。

3.通過(guò)運(yùn)用相關(guān)軟件，簡(jiǎn)單方便的得出結(jié)果。

6.2模型的缺點(diǎn)

1.平行束掃描時(shí)間會(huì)較長(zhǎng)。

2.計(jì)算時(shí)挑選特殊數(shù)據(jù)，未用到全部數(shù)據(jù)，可能會(huì)存在誤差。

6.3模型的推廣

隨著科技的發(fā)展，CT系統(tǒng)三代二代都相繼一代機(jī)問(wèn)世，但都是基于一代機(jī)的理論，

可以在此模型的基礎(chǔ)上，對(duì)三代二代進(jìn)行分析研究。

七、參考文獻(xiàn)

[1]張蔚，羅守華，陳功，Micro-CT系統(tǒng)中對(duì)投影圖像旋轉(zhuǎn)中心的校正[J]

[2]孟凡男，李傳忠，基于投影原始數(shù)據(jù)的CT旋轉(zhuǎn)中心精確確定的方法會(huì)議論文，北京

航空航天大學(xué)會(huì)議論文

[3]寧寰宇，CT圖像重建中解析算法的改進(jìn)及加速研究，蘭州交通大學(xué)碩士學(xué)位論文，

2014年

[4]毛小淵，敖波，二維CT圖像重建算法研究，南昌航空大學(xué)碩士學(xué)位論文，2016年

[5]Tong-Tong.Hong-YF,TheFourierslicetransformationofthewigneroperator

andthequantui'ntomogramofthedensityoperator,中國(guó)物理B,2012

[6]莊天戈，計(jì)算機(jī)在生物醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用[M],北京，科學(xué)出版社，2000年，141T49

[7]王召巴，旋轉(zhuǎn)中心偏移對(duì)CT重建圖像質(zhì)量的影響[J],兵工學(xué)報(bào)，2001年，第22

卷第3期

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附錄

問(wèn)題一

附錄二彩色圖的最大寬度、最小寬度

d=sum(x2>0);

[dmax,kmax]=max(d);

[dmin,kmin]=min(d);

imagesc(x2)

holdon

plot([kmax,kmin;kmaxkmin],[00;512512],,w')

旋轉(zhuǎn)中心的確定

set(gca/xtick',kmin-180:30:kmin:30:180)

set(gca,,xticklaber,[kmin-180:30:kmin:30:180]-kmin)

w=80/sum(x2(:zkmax)>0)

z=80/sum(x2(:,kmax)>0);

m=find(x2(:,kmin)>0);

m=m(m>100);

xO="(256-(min(m)+