陜西省西安市部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期二?？荚?/p>

數(shù)學(xué)試題(理)

第I卷

一、選擇題

1.復(fù)數(shù)z=Q—2i)Q+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】由題得z=(l—2i)(l+i)=l+i-2i-2i2=l+i-2i+2=3-i,則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,-1),所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.

故選：D.

2.已知集合4={戈|1一3x—10<0},8={x|l—%<0},則AB=()

A{x[l<x<5}B.|x|-2<x<lj

C.{x[l<x<2}D.1%|-5<x<lj

【答案】A

【解析】解不等式％2—3x—10<0得—2<X<5,解不等式1—x<0得x>l,

所以AB={x|l<%<5}.

故選：A.

3.已知。=logo.91.l,/?=0,812，貝1J()

A.c>a>bB.a>c>bC.c>b>aD.b>c>a

【答案】C

【解析】因?yàn)閥=logo_9X在(0,+oo)單調(diào)遞增，所以a=logo_9Ll<logo_91=0.

因?yàn)閥=0.8'是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以0<人=0,812<0.8°=1.

因?yàn)閥=L2,是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以1=1.2°<1.2°」=c.

所以

故選：C.

4.四羊方尊（又稱四羊尊）為中國商代晚期青銅器，其盛酒部分可近似視為一個(gè)正四棱臺(tái)

（上、下底面的邊長分別為40cm,20cm,高為24cm）,則四羊方尊的容積約為

（）（參考公式：棱臺(tái)的體積V=g/?（S'+JW+S）,其中S',S分別為棱臺(tái)的上、

下底面面積，力為棱臺(tái)的高）

A.22400cm3B.32400cm3C.44800cm3D.67200cm3

【答案】A

【解析】由已知得：S,=40x40=1600(cm2),

S=20x20=400(cm2),/i=24(cm),

代入公式得：V=1x24x(1600+71600x400+400)=22400(cm3).

故選：A.

5.已知拋物線C：V=8%的焦點(diǎn)為尸，尸是拋物線。上的一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn),

\OP\=IP尸1二()

A.4B.6C.8D.10

【答案】B

【解析】拋物線C：V=8%的焦點(diǎn)為尸（2,0）,準(zhǔn)線方程為x=—2,

設(shè)尸（九九）（加之0）,（舍去）,

貝|）］尸尸］=m+2=6.故選：B.

6.在.ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是。，b,c,且.ABC的面積S=

b2+(72—〃2b2

sinC=()

64sin5

A-TB-V

【答案】C

【解析】由余弦定理可得/=〃2+02—2b℃osA，所以Z?2+—/=2Z?CCOSA，

貝"小衿=23

又因?yàn)镾=^Z?csinA,BP—bcsinA=—bccosA,所以3sinA=2cosA,顯然cosA>0,

223

31

又sin2A+cos2A=1,所以0°04=7百（負(fù)值舍去）.所以

b21b2b_4_c

又因?yàn)镾=所以「6。=：一,所以

4sinBA/134sinBsinBy/13sinC

所以sinC=@3.故選：C.

4

7.已知COS￡=L,則COS36=()

4

【答案】A

1,7,15

【解析】因?yàn)閏os￡=—,可得cos2,=2cos~，一1=——,sin~，=l-cos~e=—，

4816

則cos3。=cos(26+6)=cos20cos6-sin2。sin，=(2cos?。-1)cos。一2sin?6cos6,

151

——x—=----.故選:A.

16416

8.老師有6本不同的課外書要分給甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分

得一本，則不同的分法有（）

A.248種B.168種C.360種D.210種

【答案】D

【解析】根據(jù)題意進(jìn)行分類：

第一類：甲、乙、丙每人分得2本，M=C；C；C；=15x6x1=90（種）；

第二類：甲分得2本，乙、丙兩人中一人分得1本另一人分得3本，

N2=C；C；C；A；=15x4x1x2=120(種).

所以由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有N=乂+小=90+120=210種不同的分法.

故選：D.

9.己知函數(shù)/(x)=gx2—2x+lnx.若/(a+l)N/(2a—1),則。的取值范圍是()

A.(—°°,—1]B.(—1,2]C.[2,+co)D.,2

【答案】D

【解析】因?yàn)?2x+lnx,xe(O,4w),

所以_f(x)=x—2+工=士生b=七"20，

所以/(%)是(0,+8)上的增函數(shù)，所以若f(a+1)>/(2a-1)

則Q+122〃—1>0,解得,<2.故選：D.

2

10.己知函數(shù)/(X)=4cos］0》一；,0〉0)的圖像與直線>=245的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)是

A,B,若恒回=e，則。=()

A.1B.1或7C.2D.2或6

【答案】D

【解析】法一：令4cos,x-：］=2點(diǎn)，得cos,x—：)=等，

則公r-'=24兀一四或公r-2=24兀+女，左$Z,解得冗=勁￡或％=迎￡+」_,keZ.

4444coO)2(D

因?yàn)槭呛瘮?shù)/(x)的圖像與直線y=2五的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)，由|人回=￡,且@>0,

…2左兀712kn

貝IJ——+--—

co2coCD

解得g=2或口=6.

法二：令4cos［①X-：)=2逝，得cos兀=也

cox——

4一丁

因?yàn)锳,3是函數(shù)八力的圖像與直線>=20的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)，設(shè)4為0),3(%,0),

則［。菁一：71］兀、3

CDXy---=一或一兀，且G〉0,

4j22

如圖可知，|AB|=|X一引=三或普?

2a)2。

1ijr§-jr

（設(shè)〃x）的最小正周期為T，也即|鉆|=47=1或|A^=wT=I）

■JiTTtTTTT

即，_=」或H=±，解得0=2或0=6.故選：D.

2。42a>4

11.如圖,在矩形ABC。中,AB=4,AD=3I,G分別在線段上，BF=BG=1

將_BFG沿FG折起，使B到達(dá)M的位置，且平面FGM±平面ADCG/，則四面體ADFM

的外接球的表面積為（）

【答案】A

【解析】設(shè)尸G的中點(diǎn)為。，連接MO,由題可知MRG為等腰直角三角形，

■.MOLFG,又平面FG0,平面ADCG/，G77=平面/Q0c平面ADCG產(chǎn),

跖9匚平面尸。0,所以欣9,平面ADCG尸,

根據(jù)題意，AF=AD=3,所以△"）咒的外心為止的中點(diǎn)N,

設(shè)四面體AD/小！的外接球的球心為Q,

則QNL平面AD/L

作OL，AB分別交AB,CD于L,K,

...OD=[DK?+OK?=—g1+[3一3]=后,又DF=36,OF,

i37

則2+。/2=18+—=—=。。2,所以DbJLQb,

22

所以NF，0N=jM+o尸=6

由。尸=QM,得QN?+NF?=ON。+(QN-OM》,

解得QN=T，

.-.QM=45,所以四面體ADFM外接球的表面積為4兀x(6『=20兀.故選：A.

22

12.如圖，已知雙曲線2=l(a>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳(-。,0),凡(c,0),

ab

點(diǎn)A在。上，點(diǎn)3在y軸上，A,F2,3三點(diǎn)共線，若直線3耳的斜率為直線M

A.@B.-C.J5D.3

22

【答案】B

【解析】由題意，直線用;的斜率為也，期月=三，又忸耳|=忸閭，

所以△地心為等邊三角形，故忸周=忸閭=|耳閭=2c,

712兀

在居中，tan/瑪耳4=挈〉0，則/工片4為銳角,

則sin/KEA=苦,COSNE^A=￡，sinA=sing+N鳥片A3A/3

R

由正2著=

上=四=四

A=14c10c

3A/3也543>■■|^ly，lM|=y，

14214

4r3

由|四|—|A閶=2a,得§c=2a,入=9二］.故答案選：B.

第n卷

二、填空題

13.已知向量同=2忖=4,且卜+可=2，7,則向量。，］的夾角是____.

7T

【答案】-

3

【解析】因?yàn)椴?可=26，所以42+2°4+/=28,

所以a?=4.因?yàn)閍^=^Wcos（a/）,所以cos（a,?！?帚|=!■，又,力）?0,可,

所以上力）=巴，即向量小匕的夾角是四.故答案為：-

\/333

x-y-1<0

14.設(shè)實(shí)數(shù)％,y滿足不等式組（%+2y+22。，則2=%+丁的最大值是.

yWl

【答案】3

x-y-l<0

【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù)X,y滿足不等式組（x+2y+2?0,作出可行域如下所示：

x—y—1—0x—2/、

由＜:，解得《「所以A（2,l）,由2=芯+九可得丁二一x+z,平移直線

[y=l[y=l

y=-x+z,由圖可知，當(dāng)直線y=—x+z經(jīng)過A（2,l）時(shí)直線y=—x+z在y軸上的截距

取得最大值，即z取得最大值，所以%歐=2+1=3.故答案為：3

15.若一組數(shù)據(jù)4,a2,a3,%，%的平均數(shù)為3,方差為不，則%,a2,%，%，%

9這6個(gè)數(shù)的平均數(shù)為,方差為.

【答案】48

5x3+9

【解析】依題意，知這6個(gè)數(shù)的平均數(shù)為-------=4,

6

1r5Aio5

又一￡@2—5x32=—,得fa；=63,

53=i）5?=i

1(5)

=1(63+92-6X42)=8.

所以這6個(gè)數(shù)的方差為7Zd+9?-6x4?

63=i)

故答案為：4；8.

16.已知函數(shù)/a)滿足/(x+y)=/(x)+/(y)+2u，/仁]=:4/(1。0)=.

【答案】10100.

(解析]由函數(shù)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,

取x=9，y=9,可得/■⑴=/(3+/§)+。=；+；+：=2,

令x=〃,y=l,可得f(n+1)=/(〃)+/(I)+2n—f(〃)+2〃+2,

即/(〃+1)-/(〃)=2〃+2

則了(100)="(100)—/(99)]+"(99)—/(98)]++[/(2)-/(1)]+/(1)

=(2x99+2)+(2x98+2)++(2xl+2)+2

=2x(99+98++2+l)+198+2=2x"(-1+")+198+2=10100.

故答案為：10100.

三、解答題

(-)必考題

17.某校組織學(xué)生進(jìn)行跳繩比賽，以每分鐘跳繩個(gè)數(shù)作為比賽成績(單位：個(gè)).為了解參

賽學(xué)生的比賽成績，從參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的比賽成績作為樣本，整理數(shù)據(jù)并按

比賽成績分成[60,80),[80,100),[100,120),[120,140),[140,160),[160,180]這6

組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)估計(jì)該校學(xué)生跳繩比賽成績的中位數(shù)；

(2)若跳繩比賽成績不低于140分的為優(yōu)秀，以這50名學(xué)生跳繩比賽成績的頻率作為概

率，現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記被抽取的比賽成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為X,求X的

分布列與期望.

解：⑴因?yàn)?0.004+0.012)x20=0.32<0.5,0.32+0.016x20=0,64>0,5,

所以該校學(xué)生比賽成績的中位數(shù)在［100,120)內(nèi)，

設(shè)該校學(xué)生比賽成績的中位數(shù)為加，貝乂加―100)x0.016+0.32=0.5,

解得7?=111.25,即該校學(xué)生比賽成績的中位數(shù)為111.25.

(2)由頻率分布直方圖可知比賽成績優(yōu)秀的頻率為(0.002+0.008)><20=0.2,

則從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，被抽取學(xué)生比賽成績優(yōu)秀的概率是0.2.

由題意可知X5(3,0.2),

貝UP(X=左)=C：*0.2方x(1—0.2產(chǎn)&=C：*0.2^xOU-1左=03),

即P(X=0)=C；*0.2°x0.83=0.512,P(X=1)=C；x0.21x0.82=0.384,

p(X=2)=C；x0.22xO.81=0.096,P(X=3)=C^x0.23x0.8°=0.008

所以X的分布列為

X0123

p0.5120.3840.0960.008

故E(X)=3x0.2=0.6.

18.已知數(shù)列｛?！埃凉M足a1+2%++次?"=(〃—+2.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

a2an1

⑵證明.(。1+1)(。2+1)(。2+1)(%+1)(。〃+1)(%+1)3,

(1)解：當(dāng)〃=1時(shí)，由%+2%+=(〃-1),2，田+2,得。［=2,

當(dāng)"22時(shí)，4+2%++(〃-1)%T=(〃一2>2,+2,

貝IJ加〃=(〃-1)?2/i—(〃一2)?2〃=〃.2〃,.??為=2〃(〃22),0=2也適合該式，故4=2〃；

%=2〃=1_______

⑵證明：+1)(%+1)—(2"+1)(2例+1)—2'+12如+1'

.,?^2_|%

(。1+1)(%+1)(。2+1)(。3+1)(。八+1)(。鹿+1+1)

17+_1__22O+1)J(2-?+_123-+lJV4(-2”+_1_2,,+1+1；32,,+1+1'

由于〃eN*，故2」+1則：一°”+［上1

乙十1nz十JLD

a,&a1

以/_______i____________|_____________￡_____________|_____________________￡￡___________<__

(q+l)(%+l)(%+1)(4+1)(tz?+l)(tz?+1+1)3-

19.如圖，在三棱錐P—ABC中，平面B4CJ_平面ABC,且E4=PC,PA±AB.

(1)證明：A3,平面PAC；

(2)若？A=A5=AC=2,點(diǎn)Af滿足=，求二面角？一AC—”的大小.

(1)證明：過P作P￡)_LAC于點(diǎn)￡>,平面K4CL平面ABC,且平面PAC

平面ABC=AC,PDu平面APC,故PD_L平面ABC.又ABu平面PAC,

:.PDA.AB.又R4LAB,PAPD=P,PDu平面PAC,ABu平面PAC,

所以AB，平面？AC,

（2）解：由（1）AB_L平面PAC，ACu平面QAC,故AB_LAC,

以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

則4(0,0,0),5(2,0,0),尸(0,1,0)，C(0,2,0),

故尸8=(2,-1,一指)，9=,網(wǎng)=(2,一乙一且),所以“(2,2,

333333

AC=(0,2,0),AM=(|,*￥)

設(shè)平面ACM的法向量/=（x,y,z）,

m-AC=2y=0

令z=l有,故玩=（一石,0,1）,

222

m-AM=—x+—y+—，r3z=0

333

26_6

,|/4八\|m-AB

平面PAC的法向量AB=（2,0,0）則cos(m,AB〉二?

|m|AB2^2

又二面角F—AC—〃所成角為銳角,

二面角F-AC-〃所成角的余弦值為且，角的大小為四.

26

20.已知橢圓。：=+與=1（?！?〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為《，F(xiàn)2,上頂點(diǎn)為A,右頂

ab

jr

點(diǎn)為B,ABG的面積為2J5+2，ZfJAf；=—.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)《且斜率大于0的直線/交橢圓。于M,N兩點(diǎn)，線段"N的中點(diǎn)為。，若

,求直線尸。與直線/的斜率之積的最小值.

解：（1）設(shè)橢圓。的焦距為2c,

jrjr

因?yàn)镹《A月=5,則NOA￡=N4AO=w，所以a=?c=?，

因?yàn)锳3片的面積為2亞+2,所以5b(a+c)=2近+2,

即gc(0c+c)=20+2,解得c=2(負(fù)值舍去)，所以a=2血力=2,

22

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+二=1.

84

(2)設(shè)直線/的方程為x=/^y—2(m>0),M(xl,y1),A^(x2,y2),

x=my-2,

聯(lián)立行,2整理得(后+2)/_4沖_4=o,

顯然A>0,

---1----1,

[84

4m

所以％+%=

m2+2

從而胄2mx1+x2-2=-；

加2+2'2

2m

故點(diǎn)。的坐標(biāo)為

m2+2

2m5A/2

加2+22_542m2-4m+loV2

-4-8-

m2+2

5"時(shí)4+"

因?yàn)橹本€/的斜率左=工，所以，

mk----------------------------------JN2'

PQ8

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=后時(shí)，等號(hào)成立，即直線八2與直線/斜率之積的最小值為2.

13

21.已知函數(shù)/(%)=—ax+xsinx+2cosx.

6

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(兀,/(兀))處的切線方程；

(2)若。(。+1)?0,且/(x)在R上單調(diào)遞減，求。的取值范圍.

解：(1)當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=xsinx+2cosx,/'(x)=xcosx-sinx,

則/(兀)=一2,廣⑺=一兀，

故所求切線方程為y—(―2)=—?？讪D兀)，即y=-7LX+712-2.

(2)若/(x)在R上單調(diào)遞減，則/'(x)=g?x2+xcosx-sin%<0對(duì)xeR恒成立.

設(shè)0(x)=r(x),則d(x)=x(a-sinx),

令"z(x)=。(x)=x(a—sinx),貝U"/(x)=a—siar-xcosx,

所以加(0)=a,

由a(a+l)?0,解得a20或aW-l.

當(dāng)a>0時(shí)，必存在加>0,使得當(dāng)xe(O，M時(shí)，m(x)>0,

則°,⑺在(0,m)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)xe(O,m)時(shí)，d(x)>d(O)=O,

則姒尤)在(0,m)上單調(diào)遞增，

同理得，當(dāng)無e(0,"。時(shí)，0(x)=/'(x)>O,則/(X)在R上單調(diào)遞增，

這與/(X)在R上單調(diào)遞減矛盾，所以a>0不合題意.

當(dāng)a=0時(shí)，^(x)=xcosx-sinx,夕［與］=1〉0,即所以a=0不合

題意.

當(dāng)aW—1時(shí)，恒有a<sinx,

①當(dāng)龍目。,”)時(shí)，(p'［x)=x［a-sinx)<0,則0(x)在［0,+“)上單調(diào)遞減，

②當(dāng)xe(-oo,0)時(shí)，(f>(x)=x(a-sinx)>0,得姒尤)在(一”,0)上單調(diào)遞增.

所以0(%)<0(0)=0,所以o(x)W0對(duì)尤eR恒成立.

綜上，。的取值范圍是(—8,—1］.

(二)選考題

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

%=l+2cos。

22.在平面直角坐標(biāo)系九0y中，曲線C的參數(shù)方程為4..（。為參數(shù)），以坐

y=2sma

標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn)，1軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程是

2pcos^-/?sin^-l=0.

（1）求曲線。的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

⑵若PCM）,直線/與曲線。交于A,5兩點(diǎn)，求IP