數(shù)學(xué)

選擇題（共10小題，共30分）

1.下列有理數(shù)中最小的是（）

A.-2B.-3C.3D.0

答案：B

解析：

詳解：解：V-3<-2<0<3,

，最小的數(shù)是-3；

故選B.

2.下列幾何體中，俯視圖是三角形的是（）

答案：B

解析：

詳解：解:A、俯視圖圓，故本選項不合題意；

B、俯視圖是三角形，故本選項符合題意；

C、俯視圖是有圓心的圓，故本選項不合題意；

D、俯視圖是圓，故本選項不合題意.

故選：B.

3.下列圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（

@廓

答案：c

解析：

詳解：解：A選項是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；

B選項不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不合題意；

C選項是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意；

D選項不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不合題意；

故選C.

4.下列計算正確的是()

A.6a+2b=SabB.a4.a2-as

C.4a3b^-ab=4a2D.(tz/?2)4=a4b6

答案：C

解析：

詳解：解：A.6a與26不能合并，故A不符合題意；

426

B.a-a^a^故B不符合題意；

C.4a3b;ab=4a2,故C符合題意；

D.(a〃)4=a78,故D不符合題意；

故選：C.

5.關(guān)于x的一元二次方程(m-l)x2+2x—1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是(

A.m<—1B,m>0C.m<l且m/)D.m>0且mrl

答案：D

解析：

詳解：解：.關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+2x—1=0有兩個不相等的實數(shù)根，

(m-1)知，且△>(),

即22-4x(m-l)x(-l)>0,解得m>0,

?■m的取值范圍為m>0且m次1,

m>0且n#l吐關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+2x—l=0有兩個不相等的實數(shù)根.

故選D.

6.解分式方程二7+—=/■二分以下四步，其中錯誤的一步是（）

A.最簡公分母是（x+l）（x—1）B.去分母，得2（x—l）+3（x+l）=6

C.解整式方程，得x=lD.原方程的解為％=1

答案：D

解析：

方程兩邊同時乘以（x+l）（x—1）去分母得：2（%-1）+3（%+1）=6,

去括號得：2x-2+3x+3=6,

移項，合并同類項得：5x=5,

系數(shù)化為1得：x=l,

檢驗，當(dāng)x=l時，x-l=O-

，原方程無解，

/.四個選項中只有D選項符合題意，

故選：D.

7.下列四個選項中，不符合直線y=gx-3的性質(zhì)與特征的是（）

A.經(jīng)過第一、三、四象限B.y隨X的增大而增大

C.與X軸交于點（—2,0）D.與y軸交于點（0,—3）

答案：C

解析：

詳解：解：：3>0,-3<0,

該直線經(jīng)過第一、三、四象限，y隨x的增大而增大，

故A、B選項正確，

\?當(dāng)y=0時，由-3得：x=6,

?,?該直線與x軸交于點（6,0）,

故C選項錯誤；

:當(dāng)x=0時，y=-3,

...該直線與y軸交于點(0,-3),

故D選項正確，

故選：C.

8.我國古代數(shù)學(xué)著作之一《孫子算經(jīng)》中記載著這樣一個問題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人

步，問人與車各幾何？意思是：今有若干人乘車，若每3人共乘1輛車，最終剩余2輛車；若每2人共乘1

輛車，最終剩余9個人無車可乘，問共有多少人，多少輛車？設(shè)共有無輛車，根據(jù)題意所列方程正確的是

()

A.3(x+2)=2x+9B.3(x—2)=2x+9C.3x—2=2x+9D.3x+2=2x-9

答案:B

解析:

詳解:解：依題意得：3(x—2)=2x+9,

故選:B.

9.如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心。的光線相交于點P,點

則Z2的度數(shù)為()

C.35°D.40°

答案：B

解析:

詳解:解::光線平行于主光軸,

Z1+ZOFP=180°,又Nl=155°,

ZOFP=180°-Zl=180°-155°=25°,

N3=NFOP+NOFP=55°,

ZFOP=Z3-ZOFP=30°,

Z2=ZFOP=30°,

故選：B.

10.如圖，已知NAOfi=40。.按如下步驟作圖：①以點。為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交Q4和

于點CD；②分別以點C,。為圓心、OC長為半徑作弧，兩弧在NA05內(nèi)交于點E；③作射線OE；④

連接DE,CE.由作圖可知NQEC的度數(shù)為()

A.40°B.30°C.25°D,20°

答案：D

解析：

詳解：解：根據(jù)作圖可知OE是/AO3的角平分線，OD=OC=ED=EC,

又NAOB=40。，

/.ZCOE=-NAOB=20°,

2

???CE=CO,

：.ZOEC=ZCOE=20°

故選：D.

二.填空題(共5小題，共15分)

11.計算：(0—1『=.

答案：3-20

解析：

詳解：解：(V2-1)2=(^)2-2xV2xl+l2=3-272,

故答案為：3-2.72.

12.如圖，將某動物園中的猴山，獅虎山，熊貓館分別記為N,P,若建立平面直角坐標(biāo)系，將猴山

獅虎山N用坐標(biāo)分別表示為(2,1)和(8,2),則熊貓館尸用坐標(biāo)表示為.

答案：（6,6）

解析：

詳解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示,

...熊貓館P用坐標(biāo)表示為（6,6）,

故答案為：（6,6）

AX

13.有四張完全一樣正面分別寫有“決”“勝”“中”“考”的卡片，將其背面朝上并洗勻，從中隨機抽取一張，記

下卡片正面上的漢字后放回，洗勻后再從中隨機抽取一張，則抽取的兩張卡片上的漢字不相同的概率是

3

答案：—##0.75

4

解析：

詳解：解：根據(jù)題意列表如下:

決勝中考

決決決勝決中決考

月生勝決勝勝勝中勝考

中中決中勝中中中考

考考決考勝考中考考

共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次抽出的卡片上的漢字不相同的有12種情況,

123

所以尸（抽取的兩張卡片上的漢字不相同）—

164

3

故答案為：一.

4

14.如圖，直線y=3x+3與無軸、y軸分別交于4、2兩點，以A5為邊在第二象限作正方形ABCD,已

答案：-4

解析：

詳解：解：當(dāng)x=0時，y=3,即8（0,3）,

當(dāng)y=。時，3x+3=0,

解得，x=-1,

???A（-l,0）,

OA=1,OB--3,

:正方形ABC。，

：.AB=AD,ZBAD^90°,

如圖，作DELx軸于E，

ZDAE+ZADE=90°=ZDAE+ZBAO,

ZADE=ZBAO,

?：ZADE=ZBAO,ZAED=90°^ZBOA,AD=AB,

/.ADE^,BAO(AAS),

：.AE=OB=3,DE=AO=1,OE=l+3=4,

：.仇叫，

將仇一U）代入y=七得，1=占,

x-4

解得，k=4

故答案為：-4.

15.如圖，在矩形ABCD中，AB=10,6c=12,點E是邊A。上的一個動點，將ABE沿5E折疊,

當(dāng)點A的對應(yīng)點尸落在矩形一邊的垂直平分線上時，AE的長為

攵安10_10A/3

答案：二或——

33

解析：

詳解：解：分兩種情況：

①如圖1,過F作肱V〃CD交AD于M,交BC于N,

ffil

則直線MV是BC邊的垂直平分線，

：.AM=BN=-BC=6,

2

1/ABE沿BE折疊得到LEBE,

/.FE=AE,FB=AB=10,

FN=^FB2-BN2=A/102-62=8'

：.FM=2,

FE1=EM~+FM2，

：.FE2=（6-FE）2+22,

解得：FE=?

3

AE=—；

3

②如圖2,過尸作PQ〃AD交AB于P，交CD于。，連接Ab,

圖2

則直線尸。是CD邊的垂直平分線，

PQ±AB,AP=PB,ADPQ\\BC,FA=FB,

又,：BF=BA,

FA=FB=AB,

AAFB等邊三角形，

:.ZABF=60°,

：.ZABE=-ZABF=-x60°=30°,

22

設(shè)AE=x,則BE-2x,

在Rt.A的中，AE2+AB2=BE2,

即AE2+102=(2AE)2,

解得：人石=坦叵或AE=—3叵(舍去)

33

綜上所述：AE的長為當(dāng)或丑叵;

33

痂比受.10-10省

故答案為：二■或------

33

三.解答題(共8小題，共75分)

16.(1)計算：(?—1)。+|6—1]+(—-3tan300.

⑵先化簡，再求值：+其中〃=V^—l?

答案：(1)-3;(2)二，1—也

Q+12

解析：

詳解：解：(1)(乃一1)°+|G—1|+[—g]-3tan30°

=1+\/3—1+(-3)—3x-^-

=1+月-1+(-3)-6

=—3；

+2a+1

(2)2°+11

a

_(2G+1.(〃+l)2

VaaJa2

a+1a?

a(Q+1)2

a

4+1

當(dāng)。=拒—1時，原式='=1=1一2

a+1V2-1+12

17.某中學(xué)為了創(chuàng)建書香校園，去年購買了一批圖書.其中科普書的單價比文學(xué)書的單價多4元，用1200元

購買的科普書與用800元購買的文學(xué)書本數(shù)相等.

(1)求去年購買的文學(xué)書和科普書的單價各是多少元？

(2)若今年文學(xué)書的單價比去年提高了25%,科普書的單價與去年相同，為了普及科普知識，書店舉辦

了每買三本科普書就贈一本文學(xué)書的優(yōu)惠活動，這所中學(xué)今年計劃在優(yōu)惠活動期間，再購進文學(xué)書和科普

書共200本，且購買文學(xué)書和科普書的總費用不超過1880元，這所中學(xué)今年最多能購進多少本文學(xué)書？

答案：(1)去年購買的文學(xué)書單價為8元，科普書單價為12元;(2)110

解析：

詳解：解：(1)設(shè)去年購買文學(xué)書的單價為x元/本，則購買科普書的單價為(x+4)元/本，

解得：x=8,

經(jīng)檢驗：x=8是原分式方程的解,

x+4=12.

答：去年購買的文學(xué)書單價為8元/本，科普書單價為12元/本.

(2)今年文學(xué)書的單價為8x(1+25%)=10(元/本).

設(shè)今年購進y本文學(xué)書，則購進科普書(200-y)本,

根據(jù)題意得:

解得：y<110,

，y的最大值為110.

答：今年最多能購進110本文學(xué)書.

18.4月23日是世界讀書日，習(xí)近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋

養(yǎng)浩然正氣."某校響應(yīng)號召，鼓勵師生利用課余時間廣泛閱讀.該校為了解學(xué)生課外閱讀情況，抽樣調(diào)查

了部分學(xué)生每周用于課外閱讀的時間，過程如下：

a.設(shè)計方案

學(xué)校設(shè)計了以下三種抽樣調(diào)查方案：

方案一：從初一、初二、初三年級中指定部分學(xué)生作為樣本進行調(diào)查分析；

方案二：從初一、初二年級中隨機抽取部分男生及在初三年級中隨機抽取部分女生進行調(diào)查分析；

方案三：從三個年級全體學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生進行調(diào)查分析.

b.收集數(shù)據(jù)：

抽取的20名學(xué)生每周用于課外閱讀時間的數(shù)據(jù)如下：（單位："沏）

306081504011013014680100

6080120140758110308192

c.整理數(shù)據(jù)

按如下分段整理樣本數(shù)據(jù):

課外閱讀時間X

0<x<4040<x<8080<x<120120勺V160

（min）

等級DCBA

人數(shù)（人）3a8b

d.分析數(shù)據(jù)

繪制如下條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖:

請根據(jù)以上統(tǒng)計調(diào)查結(jié)果，回答下列問題:

（1）抽取的樣本具有代表性的方案是;（填“方案一”“方案二”或“方案三”）.

（2）a—,b—,c—；

（3）請補全條形統(tǒng)計圖，并求出8等級所在扇形的圓心角的度數(shù)；

（4）如果每周閱讀時間不低于80分鐘為優(yōu)秀，請估計該校800名學(xué)生優(yōu)秀人數(shù)為多少？

答案：（1）方案三；（2）5,4,25；（3）圖見解析，144。；（4）480人

解析：

詳解：解：（1）根據(jù)抽樣的代表性、普遍性和可操作性可得，抽取的樣本具有代表性的方案是方案三,

故答案為：方案三；

（2）由已知數(shù)據(jù)知。=5,6=4；

5

c%=——xl00%=25%,

20

c=25,

故答案為：5,4,25；

（4）估計該校800名學(xué)生優(yōu)秀人數(shù)為：800x（40%+20%）=480（人）.

19.鮮花是云南的名片，更是云南送給世界的禮物.在日新月異的技術(shù)加持下，云南鮮花為各地帶去了來自

高原的芬芳與絢爛.元旦前夕，某批發(fā)商購進A5兩種類型的玫瑰花共100束，其中A種類型的玫瑰花價

格為每束25元，購買3種類型的玫瑰花所需費用》（單位：元）與購買數(shù)量無（單位：束）的函數(shù)關(guān)系圖

（1）求v與x的函數(shù)關(guān)系式;

（2）若購買8種類型玫瑰花所需的數(shù)量不超過60束，但不少于A種類型玫瑰花的數(shù)量，試問如何購買能

使購買費用最少，并求出最少費用.

20%,0<%<10

答案：（1）y=<

16%+40,%>10

（2）購買A種類型的玫瑰花40束，購買3種類型的玫瑰花60束時，購買費用最少，最少費用為2000元

解析：

小問1詳解：

解：由圖知：當(dāng)0Wx<10時，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為丁=依，把點（10,200）代入得至I],

200=10左，

解得％=20,

y=20x.

當(dāng)眾10時，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為丁=米+/?仕/0）.

它的圖象經(jīng)過點（10,200）與點（20,360）.

10k+b=2Q0

"<2Qk+b=36Q'

k=16

解這個方程組，得7C，

5二40

y=16x+40,

20x,0<x<10

y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=<

16x+40,x>10

小問2詳解:

設(shè)購買3種類型玫瑰花的數(shù)量為加束，則A種類型的玫瑰花的數(shù)量為（100-帆）束，總費用為w元.

由題知：nzW60且優(yōu)2100—相，解得50<加060.

/.w=25（100—m）+16m+40=—9m+2540.

-9<0,

二.w隨加增大而減小.

50<m<60,

當(dāng)機=60時，w有最小值為2000元.

此時，A種類型的玫瑰花：100—60=40（束）.

答：購買A種類型的玫瑰花40束，購買B種類型的玫瑰花60束時，購買費用最少，最少費用為2000元.

20.太陽能路燈具有安全性能高、節(jié)能環(huán)保、經(jīng)濟實用等特點，已被廣泛應(yīng)用于主、次干道，工廠，旅游景

點等場所.如圖是太陽能板及支架部分的示意圖，斯是太陽能板，點A與點8是支架部分與太陽能板的

連接點，點C是支架部分與燈桿的連接點，點。是燈桿上一點，支架AC的長為48cm,AC與燈桿的夾

角NACD=25。，支架3c的長為23cm,與燈桿的夾角/BCD=50。，點A,B,C,D,E,尸在同

一豎直平面內(nèi)，求點A和點2距地面的高度差.（結(jié)果精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù)：sin25°?0.42,

cos25°?0.91,tan25°?0.47,sin50°?0.77,cos50°?0.64,tan50°?1.19）

答案：點A和點3距地面的高度差約為29.0cm；

解析:

詳解：解：如答圖，過點A作AGJ_C。交CD的延長線于點G,過點2作3〃LCD交CD的延長線于

點H,

在Rt_ACG中，/AGC=90°,ZACG=25°,AC=48,

cosNACG-----

AC

。如式

，CG=43.68,

在Rtz\BCH中，ZBHC=90°,ZBCH=50°,BC=23,

VcosZBCH=—

BC

0.64h-C--H-

23

ACH=14.72,

GH=43.68-14.72=28.96?29.0（cm）,

答：點A和點B距地面的高度差約為29.0cm.

21.如圖，AB為Q。的直徑，點C、點。為（O上異于A、8的兩點，連接。，過點C作CELQB,交

DB的延長線于點E,連接AC、AD.

⑴若NABD=2/BDC,求證：CE是〔。的切線.

（2）若一。的半徑為石，tanZBDC=1,求AC的長.

答案：（1）見解析（2）4

解析：

小問1詳解：

?：OC=OA,

：.ZOCA=ZOAC,

：.ZCOB=2.ZOAC,

'：ZBDC=ZOACfZABD=2ZBDC,

：.ZCOB=ZABD,

：.OCHDE,

VCEXDB,ZCED=90°,

：.ZOCE=90°,OCLCE,

???CE是。。的切線.

小問2詳解：

連接BC,

9

：ZBDC=ZBACf

tanABAC=tanZBDC=—,

2

TAB是。。的直徑，

???ZBCA=90°,

BC1

???—_,

AC2

設(shè)BC=x,AC=2x,

：.AB=>j5x，

:。。的半徑為J?,

???氐=2百，

.*.x=2,

,*.AC=2x=4.

22.一場籃球賽中，小明跳起投籃，已知球出手時離地面高也米，與籃圈中心的水平距離為8米，當(dāng)球出

9

手后水平距離為4米時到達(dá)最大高度4米，設(shè)籃球運行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3米.

(1)按如圖所示建立的平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式:

(2)小明的這次投籃未能命中籃圈中心，請說明理由：

(3)假設(shè)出手的角度和力度都不變，請直接回答：小明應(yīng)該向前走或向后退多少米才能命中籃圈中心?

1

答案：(1)y=(x-4)?+4

(2)小明的這次投籃未能命中籃圈中心，理由見解析

(3)小明應(yīng)該向前走1米才能命中籃圈中心

解析：

小問1詳解：

20

解：由題意可知，拋物線的頂點坐標(biāo)為(4,4),球出手時的坐標(biāo)為(0,勺)，

設(shè)拋物線的解析式為y=〃(％—+4,

將(0，W)代入得：16〃+4=w，

解得：a=——,

1

二丁=一§(%-4)+4；

小問2詳解：

解：y=一：(%—4)2+4,

120

.?.當(dāng)％=8時，y=--(8-4)2+4=—^3,

「?小明的這次投籃未能命中籃圈中心；

小問3詳解：

解：出手的角度和力度都不變，

1

設(shè)拋物線的解析式為y=--(x-4+m)92+4,

將(8,3)代入得：3=-，8-4+加了+4,

(4+m)2=9,

解得：網(wǎng)=-1,m2=-7,

向前走7米，因為原來是八米，向前七米，還剩一米呢！應(yīng)該是球處于上升趨勢，故舍去.

，小明應(yīng)該向前走1米才能命中籃圈中心.

23.探究性學(xué)習(xí)

(1)問題初探：

在數(shù)學(xué)活動課上，張老師給出如下問題：如圖，在中，AB=AC.點。在,ABC外，連接

AD,BD,CD,且NB￡)C=N54C.過A作AKlBO于點￡.求證：BE^CD+DE.

①如圖，小輝同學(xué)從結(jié)論的角度出發(fā)給出如下解題思路：在3。上截取M=CD,連接A/，將線段

BE,CD,OE之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段OE與反之間的數(shù)量關(guān)系.

②如圖，小龍同學(xué)從8。于點E這個條件出發(fā)給出另一種解題思路：過A作AGLCD交CD延長線

于點G,將線段BE,CD,OE之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段班與CG之間的數(shù)量關(guān)系.請你選擇一名同學(xué)

的解題思路，寫出證明過程.

張老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運用了轉(zhuǎn)化思想，將證明三條線段的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明兩條線段的數(shù)量關(guān)系;

為了幫助學(xué)生更好地感悟轉(zhuǎn)化思想，張老師提出下面的問題，請你解答.

如圖，為等邊三角形，ACD是等腰直角三角形，其中AC=AD,ZC4￡>=90°,AE是CD邊上

的中線，連接BD交AE與點孔求證：BF=AF+DF.

(3)學(xué)以致用：

如圖，在JWC中，AC=BC,ZACB=9Q°,點D在A5邊上，過B作BE，CD交CO延線于點E,

o22

延長EB至點R連接。尸，使ZBCF=ZABE，連接AF交CD于點G,若3E=§,CE=—,^AEGF

的面積.

答案：(1)選擇小輝同學(xué)的思路，證明見解析；選擇小龍同學(xué)的思路，證明見解析

77

(2)見解析(3)S.EGF=§

解析:

小問1詳解:

解：選擇小輝同學(xué)的思路，證明如下:

如圖：在5。上截取防=CD,連接A尸.

ABAC=ZBDC,ZAOB=ZCOD,

：.ZABF=ZACD,

又?AB=AC,BF=CD,

ABF^ACD(SAS),

:.AF=AD.

AE±DF,

：.FE=DE

BE=BF+EF,

BE=CD+DE.

選擇小龍同學(xué)的思路，證明如下：

證明:如圖，過A作AGJ_C。交CD延長線于G,

VZBAC=ZBDC,ZAOB=ZCOD,

ZABE=ZACD.

又：AEJ_皮)于瓦AG_LC。于G,

.,?行LEB=G=90?，

又：AB=AC,

：..ABE^