第十一章立體幾何初步

11.3空間中的平行關(guān)系

11.3.3平面與平面平行

知識梳理

1.兩個平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖示表示法公共點(diǎn)個數(shù)

兩平面平行Z7all50個

卜/

兩平面相交不aC0=l無數(shù)個點(diǎn)（共線）

2.平面與平面平行的判定定理與推論

語言敘述符號表示圖形表示

如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平muaI

行于另一個平面，那么這兩個平面平行

推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面平

行.

3.平面與平面平行的性質(zhì)定理

文字語言如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行

符號語言a///3,aC\y=l,/3C\y=m^l//m

圖形語言

推論：兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例.

常見考點(diǎn)

考點(diǎn)一判斷面面平行

典例1.平面a與平面力平行的條件可以是（）

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線都與夕平行

B.直線a||a,a\\/3,且直線a不在a內(nèi)，也不在尸內(nèi)

C.a內(nèi)的任何直線都與夕平行

D.直線a在a內(nèi)，直線〃在A內(nèi)，且all夕，b\\a

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)面面平行的性質(zhì)和判定定理進(jìn)行判斷即可

【詳解】

對A,若a內(nèi)的無數(shù)條直線都平行，平面a與平面夕不一定平行，也可能相交，垂直，A錯

對B,當(dāng)直線平行于兩平面交線時，符合命題敘述，但平面a與平面力相交，B錯

對C,“a內(nèi)的任何直線都與用平行”可等價轉(zhuǎn)化為“a內(nèi)的兩條相交直線與尸平行”，根據(jù)面面平行的

判定定理，C正確

對D,當(dāng)兩平面相交，直線a,直線匕都跟交線平行且符合命題敘述時，得不到平面a與平面4平

行，D錯

故選C

【點(diǎn)睛】

本題考查面面平行的判定：當(dāng)兩條相交直線與另一平面平行時，則過這兩條交線的平面與另一平

面平行

變式11.下列命題正確的是（）

A.一個平面內(nèi)兩條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

B.如果一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

C.平行于同一直線的兩個平面一定相互平行

D.如果一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)面面平行的知識對選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】

對于A選項(xiàng)，這兩個平面可能相交，故A選項(xiàng)錯誤.

對于B選項(xiàng)，如果一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行，正確，

故B選項(xiàng)正確.

對于C選項(xiàng)，這兩個平面可能相交，故C選項(xiàng)錯誤.

對于D選項(xiàng)，這兩個平面可能相交，故D選項(xiàng)錯誤.

故選：B

變式12.給出以下四個命題，能判斷平面a和平面用平行的條件是

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線都與夕平行B.a內(nèi)的任一條直線都與用平行

C.直線aua,直線6u/，且bllaD.直線aua,且a//￡

【答案】B

【解析】

根據(jù)空間中平面與平面平行的判定方法，我們逐一分析題目中的四個結(jié)論，即可得到答案.

【詳解】

A.平面a內(nèi)有無數(shù)條直線與平面廠平行時，兩個平面可能平行也可能相交，故A不滿足條件；

B.平面a內(nèi)的任何一條直線都與平面/平行，則能夠保證平面a內(nèi)有兩條相交的直線與平面夕平行,

故B滿足條件；

C.直線aua,直線且a//￡,b//a,則兩個平面可能平行也可能相交，故C不滿足條件；

D.直線aue,且a//，則兩平面可能相交或平行，故D不滿足條件

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的知識點(diǎn)是空間中平面與平面平行的判定，熟練掌握面面平行的定義和判定方法是

解答本題的關(guān)鍵.

變式13.六棱柱A3CD所一的底面是正六邊形，此六棱柱的面中互相平行的有（）

A.1對B.2對

C.3對D.4對

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)六棱柱的性質(zhì)確定正確選項(xiàng).

【詳解】

由于六棱柱ABCDEF-AIBICIDIEIFI的底面是正六邊形,

所以上下底面平行，側(cè)面有3對相互平行的面,

故有4對.

故選：D

考點(diǎn)二證明面面平行

典例2.如圖，在四棱錐P—A8CD中，E,F,G分別是PC,PD,8C的中點(diǎn)，DC//AB,求證:

平面平面EFG.

【解析】

【分析】

根據(jù)面面平行的判定定理進(jìn)行證明.

【詳解】

由于瓦尸分別是尸C,PZ）的中點(diǎn)，

所以E尸是三角形PCD的中位線，

所以所//DC,

由于DC//A3,所以EF//AB,

由于跖平面AB1平面上4B,

所以?！ㄆ矫鍼AB.

由于E,G分別是PC,8C的中點(diǎn)，

所以EG是三角形P3C的中位線，

所以EG//PB,

由于EG<z平面B4B,尸3u平面

所以EG//平面

由于跖EG=E,

所以平面平面EFG.

變式21.兩個全等的正方形ABCD和ABE尸所在平面相交于AB,MeAC,NeFB且AMFN,

過點(diǎn)”作MHLAB于點(diǎn)H.求證：平面MNH〃平面BCE.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

結(jié)合正方形性質(zhì)可知即〃平面同時普=雪，又由條件可知槳=某

MH//3C,BCE,,即可

ACADDrAC

判斷NH//AF//BE,進(jìn)而證明即可.

【詳解】

證明：因?yàn)檎叫蜛BCD中血耳，AB,BC1AB,

所以MH//BC,則g=空，

因?yàn)?Cu平面3CE,所以"7/〃平面5CE

FNAM

因?yàn)?尸=AC,AM=FN,所以——=——,

DrAC

所以F及N=籌AH，所故NHHAFHBE,

BFAB

因?yàn)锽Eu平面BCE,則NHH平面BCE

因?yàn)镸Hu平面肱VH,NHu平面MNH,MHcNH=H,

所以平面MNHH平面BCE

變式22.如圖，在正方體ABC。-ABCQ中，E,F,H,G分別是棱48,AD,CD,8c的中

點(diǎn),求證：平面AEF平面HGBD.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

利用中位線定理證明EF//HG,得到HGH平面AEF,連接AC交3。于。，連接AC交EF于M,交GH

于N,交8。于。，則可證四邊形AONM是平行四邊形，得到AM//ON,于是ON〃平面AEF,最

后得到平面AEF//平面BGHD

【詳解】

連接8D,

因?yàn)镋,P,G,H分別是棱48,AD,8C,的中點(diǎn)，所以所//377,"G〃？Z7,所以EF//HG,

又￡Fu平面AEF,”GN平面AEF,所以"G〃平面AEF,

連接ACBD=O,連接AC，交EP于M,交GH于N,交80于O,

111

則A'M=CN=]AO',所以MNngA'C,y,AO=-AC,AC=AC,AC//AC,

所以四邊形AONM是平行四邊形，所以AM//ON,又平面AEF,ONAEF,所以0N〃

平面AEF,

又ONu平面BGHD,"Gu平面3GHD,HGcON=N,所以平面A防〃平面BGHD.

變式23.如圖，在正方體ABCD-44GB中，S是3Q的中點(diǎn)，E,F,G分別是3C,DC,SC的

中點(diǎn)，求證：

(1)直線EGH平面BDRBi；

(2)平面EFGH平面BDD￡.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)通過證明EG//S3來證得EG//平面跳巴片.

(2)通過證明班〃平面89,左，結(jié)合(1)來證得平面瓦G〃平面

⑴

連接S3,在三角形SBC中，G是SC的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，所以EG//SB,

EG仁平面BDD[B1,SBu平面BDD^,所以EGH平面BDD{B{.

(2)

在三角形BCD中，耳尸分別是BC,OC的中點(diǎn)，所以EF//BD,

由于歷仁平面2。2與，BDu平面耳，所以EF〃平面BDD",

由(1)得EG//平面BDRBI,

因?yàn)镋G|)EF=E,所以平面EFG〃平面BDD4.

考點(diǎn)三根據(jù)面面平行證明線線平行

典例3.如圖，已知平面夕//平面△，點(diǎn)P是平面a,夕外一點(diǎn)，且直線PB,PD分別與a,￡相

交于點(diǎn)A,3和點(diǎn)C,D.如果叢=4?11,AB-5cm,PC=3cm,求PD的長.

【解析】

【分析】

根據(jù)面面平行的性質(zhì)，結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可

【詳解】

由題意可知：平面a=AC,平面尸或）B=BD,

因?yàn)槠矫?〃平面夕，所以3D〃AC,

PC43cc27

因止匕有—==----==PD=—

PBPD4+5PD4

變式31.如圖，在棱錐中，AE:AS=1:3,截面段6〃底面已知3DC的周長是18,求,.EFG

的周長.

【答案】6

【解析】

【分析】

由面面平行可得線線平行，然后由相似三角形可解.

【詳解】

因?yàn)榻孛鍱FG〃底面且面ABC面EFG=EG,面ABC^BCD=BC

所以EG〃BC,

所以BCDS.EGF

又AE:AB=1:3

所以11=I

nC3

GFEF1

同理可得,~CD~~BD~3

匚匚?EG+GF+FE1EG+GF+FE1

所以行五工而二二即

18-3

所以，EG+GF+FE=6,即EFG的周長等于6.

變式32.如圖，已知平面all平面P《a且P即，過點(diǎn)P的直線m與a、/?分別交于A、C,過點(diǎn)

P的直線n與a、夕分別交于8、D,且弘=6,AC=9,PD=8,求的長.

p

24

【答案】BD=—

5

【解析】

【分析】

連接AB.CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)列出比例關(guān)系式，解之即可得到B0的長度.

【詳解】

連接48、CD,

因?yàn)?CnBD=P,

所以經(jīng)過直線AC與BD可確定平面PCD,

因?yàn)樯?，PCD=AB,0c平面PCD=CD,

所以ZBIICD

匚廣iPAPB?68—BD

所以——=——，即n-=-----

ACBD9BD

所以小24

【點(diǎn)睛】

本題給出過P的兩條直線被平行平面a、夕所截，求截得線段的長度，著重考查了空間中平面與平

面平行的性質(zhì)的知識，同時考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

變式33.如圖，a///3//y,直線AC分別交平面夕，7于點(diǎn)A,B,C,直線。尸分別交平面a,

ABDE

P,/于點(diǎn)。，E,F.求證:

BCEF

【答案】證明過程見解析

【解析】

【分析】

分兩種情況，作出輔助線，由面面平行的性質(zhì)得到線線平行，進(jìn)而得到對應(yīng)邊成比例，證明出結(jié)

論.

【詳解】

當(dāng)直線AC與直線。尸共面時，如圖所示，連接AD,BE,CF,則由面面平行可知：AD\\BE\\CF,

則由平行線分線段成比例可得：蕓AR=經(jīng)；

當(dāng)直線AC與直線異面時，如下圖，過點(diǎn)。作/IIAC交尸于點(diǎn)交7于點(diǎn)N,連接AD,BM,

CN，ME,NF,由面面平行的性質(zhì)可得：ADWBMWCN,ME\\NF,所以黑=黑DMDE

MN~EF

*ABDE

而言=

nCEF

考點(diǎn)四根據(jù)面面平行證明線面平行

典例4.如圖，AD//BC^.AD=2BC,ADLCD,EG//AD^.EG=AD,CDIIFG豆CD=2FG,DG1.

平面ABC。，DA=DC=DG,若“為C尸的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：MN//平面CDE.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

取”是DG的中點(diǎn)，連接NH,MH,證明N”，都與平面CDE平行，得面面平行，從而再得線

面平行.

【詳解】

證明：設(shè)”是DG的中點(diǎn)，連接N",MH,

由于“是C尸的中點(diǎn)，所以

由于AW平面CDE,COu平面CDE,

所以平面CDE.

由于N是EG的中點(diǎn)，所以N”||DE,

由于由于W平面。E,DEu平面COE,

所以N”||平面CDE.

由于NH,MHu平面MNH,

所以平面MN"||平面CDE,

由于MNu平面MNH,所以MNII平面CDE.

變式41.在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓。的直徑，印是上底面圓。'的直徑，EB是圓臺

的一條母線.已知G,H分別為EC,冏的中點(diǎn).求證：GH||平面ABC.

【答案】證明見解析.

【解析】

【分析】

取尸C中點(diǎn)。，連結(jié)GQ、QH,推導(dǎo)出平面3必/平面ABC,由此能證明G"〃平面ABC.

【詳解】

證明：取尸。中點(diǎn)。，連結(jié)G。、QH,

G、H為EC、網(wǎng)的中點(diǎn)，

:.GQ//EF^GQ=^EF,QH//BC且QH=；8C,由線面平行的判定定理得HQ〃平面ABC,

又-EFUBO,:.GQ/IBO,由線面平行的判定定理得GQ〃平面ABC,

QHGQ=Q,BCBO=B,。5,02^=平面6?！?，3cBOu平面ABC

平面GQ4//平面ABC,

QGHu面GQ〃，.1G//〃平面ABC.

變式42.如圖，在四棱錐P-ABCD中，，AB±AD,BC//AD,AD=2BC^2PA^2AB=2,E、F、

G分別為線段AD、DC、尸3的中點(diǎn)，

證明：直線尸尸//平面ACG.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

連接EC、EB,￡?與47相交于點(diǎn)。，連接0G,則由已知結(jié)合三角形中位線定理可得OG//PE,

由線面平行的判定定理可得OG〃平面PEF,由三角形中位線定理可得跖〃AC,再由線面平行的

判定定理可得AC〃平面P￡F,由面面平行的判定定理可得平面尸E尸〃平面G4C,然后由面面平行

的性質(zhì)可得結(jié)論

【詳解】

如圖，連接EC、EB,與AC相交于點(diǎn)。，連接0G,

G

因?yàn)?C/MO,AB±AD,E為線段AD的中點(diǎn)，AD=23C=2AB,

所以四邊形9CE為矩形，。為理的中點(diǎn),

因?yàn)镚為PB的中點(diǎn)，所以0G為△P3E的中位線，OG//PE,

因?yàn)镺G(Z平面PEF,PEu平面PEF,所以O(shè)G〃平面PEF,

因?yàn)镋、F分別為線段AD、0c的中點(diǎn)，所以砂〃AC,

因?yàn)锳C<Z平面PEF,￡Fu平面PEF,所以AC〃平面PEF,

因?yàn)镺Gu平面G4C,ACu平面GAC,AC\OG=O,

所以平面PE尸//平面GAC,

因?yàn)槭現(xiàn)u平面尸EF,所以尸尸//平面GAC.

變式43.在如圖所示的幾何體中，D、H、G分別是AC、BF、CE的中點(diǎn)，EF//DB.求證：GH//

平面ASC.

【答案】證明見解析

【解析】

取CF的中點(diǎn)。，分別證明OG〃平面ABC和平面A3c可得平面OGH〃平面A3C,再利用面

面平行的性質(zhì)即可證明.

【詳解】

證明：已知G,H分別是EC和的中點(diǎn)，再取CP的中點(diǎn)0,

則OG〃￡F,X.EF//DB,:.OGHBD,

而BDu平面ABC,r.OG〃平面ABC.

同理，OHIIBC,而BCu平面ABC,.1OH〃平面ABC.

OGcOH=O,

平面OGH//平面ABC,

儀;(Z平面06"，；.G"〃平面ABC.

鞏固練習(xí)

練習(xí)一判斷面面平行

1.已知平面。，B,則a〃￡的一個充分條件是（）

A.平面。內(nèi)有無數(shù)條直線與夕平行B.平面a內(nèi)有兩條相交的直線與夕平行

C.平面a,夕平行于同一條直線D.平面。，夕垂直于同一平面

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)充分條件的定義以及面面平行的判定定理即可得出8正確.

【詳解】

對于A,平面a內(nèi)有無數(shù)條直線與尸平行，若這些直線都平行，不一定能推出。〃￡,A錯誤;

對于B,根據(jù)面面平行的判定定理可知B正確；

對于C,若平面a,4平行于同一條直線，則平面a/既可能平行，也可能相交，C錯誤；

對于D,若平面a,尸垂直于同一平面，則平面a，尸既可能平行，也可能相交，D錯誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查面面平行的判定定理的理解和應(yīng)用，以及充分條件的定義的理解，屬于容易題.

2.已知名〃是兩個不重合的平面，下列選項(xiàng)中，一定能得出平面&與平面月平行的是（）

A.。內(nèi)有無窮多條直線與夕平行

B.直線?！ㄊ稀！ㄏ?/p>

C.直線滿足

D.異面直線滿足aua,6u/，且?！?b〃a

【答案】D

【解析】

采用逐一驗(yàn)證法，根據(jù)面面平行的判定定理，可得結(jié)果.

【詳解】

A錯

a內(nèi)有無窮多條直線與萬平行，

平面a與平面￡可能平行，也可能相交，

B錯

若直線"〃口。//￡，

則平面a與平面?可能平行，也可能相交，

C錯

若以/。，?！?月,

則平面。與平面夕可能平行，也可能相交，

D正確

當(dāng)異面直線滿足aua,6u6，旦a"0,b"a時，

可在a上取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P在a內(nèi)作直線〃〃6，

由線面平行的判定定理，得〃〃A，

。涉異面，所以相交，

再由面面平行的判定定理，得?！ㄏ?，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查面面平行的判定，屬基礎(chǔ)題.

3.給出下列四個說法，其中正確說法的序號為（）

①平行于同一直線的兩平面平行；

②平行于同一平面的兩平面平行；

③垂直于同一直線的兩平面平行；

④垂直于同一平面的兩平面平行

A.①②B.②③C.①②③D.②③④

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)面面平行的有關(guān)定理對四個說法逐一分析，由此確定正確說法的序號.

【詳解】

對于①，平行于同一直線的兩平面可能相交，故①錯誤.

對于②，平行于同一平面的兩平面平行，說法正確，故②正確.

對于③，垂直于同一直線的兩平面平行，說法正確，故③正確.

對于④，垂直于同一平面的兩平面可能相交，故④錯誤.

綜上所述，正確說法的序號是②③.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查兩個平面平行的判定，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.下列條件中，能判斷兩個平面平行的是

A.一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面；

B.一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面

C.一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面

D.一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面

【答案】D

【解析】

【詳解】

設(shè)ac￡=/,aua,a/〃,則a//￡;所以A錯誤；6ua,a〃6///,則a〃/?,6〃/，所以B錯誤；a內(nèi)有無數(shù)條

與/平行的平行直線，則這無數(shù)條直線平行￡；所以c錯誤；

D正確.是線面平行的概念.故選D

練習(xí)二證明面面平行

5.如圖，在正方體A8CD-中，求證：平面ABD//平面CAM.

【答案】利用線面平行證明面面平行

【解析】

【詳解】

BXB

試題分析：、.=八八=g82。

n四邊形BBQQ是平行四邊形

DlBl//DB

n{DBu平面AB。

RB].平面48。

R4〃平面4臺。

二＞{同理耳C//平面AB。

D]B[cB[C=A

二＞平面片CD]//平面A3D.

考點(diǎn)：本題考查了面面平行的判定

點(diǎn)評：判定兩平行平面的方法：依據(jù)定義反證法；化歸為判定定理；垂直于同一直線的二平面平

行

6.如圖所示，A3C為正三角形，EC,平面ABC,DBL平面ABC,CE=CA=2BD,M是EA的中點(diǎn),

N是EC的中點(diǎn)，求證：平面DMNII平面ABC.

E

【答案】見解析

【解析】

【分析】

先利用平行四邊形的性質(zhì)以及線面平行的判定定理證明ZW//平面A3C,利用三角形中位線定理以

及線面平行的判定定理證明平面ABC,利用面面平行的判定定理，即可得證.

【詳解】

???M,N分別是EA,EC的中點(diǎn)，「.MNIIAC.

又ACu平面ABC,MNO平面ABC,.?.MN||平面ABC.

???DB,平面ABC,EC,平面ABC,.-.BD||CE.

???N為EC的中點(diǎn)，CE=2BD,：.CN=BD,

四邊形BCND為平行四邊形，??.DNIIBC.

又DNO平面ABC,BCu平面ABC,.-.DNIlTffiABC.

又MNCDN=N,???平面DMN||平面ABC.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線面平行的判定定理、面面平行的判定定理，屬于中檔題.證明線面平行的常用方法：

①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直

線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比

例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一

平面.

7.如圖所示，四棱錐P—4BCD的底面4BCD為矩形，E、F、”分別為4B、CD、PD的中點(diǎn).求

證：平面AFHII平面PCE

H

>D

【答案】詳見解析.

【解析】

【詳解】

試題分析:由a/IIPC,所以歹"II平面尸C￡由四邊形AEB為平行四邊形，所以AFIICE,可得4尸||

平面PCE,進(jìn)而可得平面平面PCE.

試題解析：

因?yàn)槭瑸镃。的中點(diǎn)，”為PD的中點(diǎn)，

所以/”IIPC,所以切||平面PCE.

又AEIICE且AE=CR

所以四邊形AECb為平行四邊形，

所以A*CE,所以4尸||平面PCE.

由尸Hu平面AFH,AFu平面AFH,FHcAF=F,

所以平面A〃/||平面PCE.

8.如圖，在多面體A8CDE/中，ABC。是正方形，AB=2,DE=BF=4,BF//DE,〃為棱AE的中

點(diǎn).求證：平面BATO//平面印C.

E

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

連接AC,交BD于點(diǎn)、N,則MN//EC,根據(jù)線面平行的判定有MN//平面EbC,由題設(shè)知8。所

為平行四邊形，即BD//ER根據(jù)線面平行的判定有8。//平面E/C,結(jié)合面面平行的判定證平面

BM。//平面EFC.

【詳解】

證明：如圖，連接AC,交BD于點(diǎn)、N,

??.N為AC的中點(diǎn)，連接MN,則MN//EC

??1MN(Z面EFC,ECu面EFC,

.?.MN//平面EFC.

■■BF//DE,BF=DE,

???四邊形BDEF為平行四邊形,

■■.BD//EF.

平面EFC,￡Fu平面EFC,

??.3。//平面EFC,又MNCBD=N,

平面BMD//平面EFC.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由中位線、平行四邊形的性質(zhì)確定線線平行，根據(jù)線面平行的判定證明線面平行,

再由面面平行的判定證明面面平行.

練習(xí)三根據(jù)面面平行證明線線平行

9.如圖，已知平面a//平面小若點(diǎn)尸在平面a,4之間（如圖所示），PCa且P助，過點(diǎn)P的直線

冽與a、萬分別交于A、C,過點(diǎn)P的直線”與a、夕分別交于及。，且B4=6,AC=9,PD=8,求BD

【解析】

【分析】

pAPR

由面面平行的性質(zhì)定理可得AB〃OC,則言=*，進(jìn)而可求得

【詳解】

設(shè)由相交直線私〃確定的平面為人依題意可知"7=鉆，BY=DC,因?yàn)閍//，所以AB//OC,

miPAPB口口6BD—8叼/口

貝1后=初，=,解得BD=24.

rCrL)jo

10.如圖所示，平面c//平面/，直線AS,CD夾在％尸之間，且兩直線相交于點(diǎn)0,求證：黑=段

D（JCC7

【答案】見解析

【解析】

首先判斷42,四點(diǎn)共面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，判斷血〃8C,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成

?iAODO

比例’證得防=而

【詳解】

因?yàn)锳3與。相交于點(diǎn)。，所以AB,C,。四點(diǎn)共面.

連接AC,BD國為a"/3,且與平面ACBD的交線分別為AD,BC,所以AD//8C,所以

AAODABOC,所以——=——

BOCO

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查面面平行的性質(zhì)定理，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.如圖所示，四棱柱ABCD-AgGR中，四邊形ABCD為梯形，AD//BC,且AD=2BC,過A，C,￡)

三點(diǎn)的平面記為a,B瓦與a的交點(diǎn)為Q.證明：。為B耳的中點(diǎn).

【答案】證明見解析

【解析】

根據(jù)面面平行的性質(zhì)得線線平行，即QC//AQ,結(jié)合平行關(guān)系建立相似三角形關(guān)系，即可求解.

【詳解】

證明：因?yàn)锽Q/MA，BC〃Ar>,BCc3Q=3,AOcA4|=A,所以平面Q3C〃平面

從而平面。與這兩個平面的交線互相平行，即QC//AQ

又BCUAD,BB\/M，所以AQBC~MAO.

BQBQBC1

所以房=房=弁=孑，即。為8月的中點(diǎn).

￡>￡)]AA]RDL

【點(diǎn)睛】

此題考查面面平行的性質(zhì)，根據(jù)面面平行得線線平行，通過平行關(guān)系得出相似三角形關(guān)系即可得

到比例.

12.如圖所示，已知a,P,7都是平面，且夕/力〃7,兩條直線/,m分別與平面a,夕，/相

交于點(diǎn)4,B,C和點(diǎn)。，E,F.求證：磐=竺^.

【答案】證明見解析

【解析】

連接DC,設(shè)0C與平面/相交于點(diǎn)G,連BG,GE,根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可得3G/MD,利

用三角形相似關(guān)系，即可證明結(jié)論.

【詳解】

證明：連接0C,設(shè)0C與平面夕相交于點(diǎn)G,

則平面ACO與平面a,4分別相交于直線4D,BG,

平面DCF與平面夕，/分別相交于直線GE,CF.

因?yàn)閍//，所以BG/A4D,因此工CBGCAD,

..ABDG_DGDEeHABDE

m因止匕二.同理m可r倚ZR—.SlkL—=

BCGCGCEFBCEF

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，以及線線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)四根據(jù)面面平行證明線面平行

13.如圖，在長方體ABCD-AECD中，E,M,N分別是BC,AE,C。的中點(diǎn)，求證：MN"平

面ADDA.

【答案】證明見解析

【解析】

取CD的中點(diǎn)K.連接MK,NK,可證MK/MD,得出MK〃平面4mA,可證NK//￡>'￡>，得出隧//

平面ADDA,進(jìn)而得出平面間火〃平面ADDA,即可證明結(jié)論,

【詳解】

證明：如圖，取CD的中點(diǎn)K.連接MK,NK.

■-M,K分別是ZE,CD的中點(diǎn)，

.?.機(jī)/MD.又ADu平面,

院二平面ADDH,.?.你//平面ADUH.

又,:N是CD'的中點(diǎn)，:NK//D'D.

又腔＜Z平面ADUH,z/Du平面ADDA',

.?.隧〃平面ADUH,

又MKu平面MNK,"u平面2NK,

MKcNK=K,二平面間吹〃平面ADZ7H.

又u平面MNK,：.MNI/平面ADDA'.

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行的證明，考查面面平行的性質(zhì)定理，屬于基礎(chǔ)題.

14.如圖，空間幾何體ABCDbE中，四邊形ABCO是菱形，直角梯形ADFE所在平面與