反比例函數(shù)綜合（5大題型）

【類型一：反比例函數(shù)與一次函數(shù)】

、一女

1.（2024春?梁溪區(qū)校級期末）如圖，若反比例函數(shù)yi=嚏與一次函數(shù)交于力、8兩點，當0＜為

W及時，工的取值范圍是.

k一_

2.（2024春?新吳區(qū)期末）如圖，一次函數(shù)y=ox+6與反比例函數(shù)y=［在第一象限內(nèi)父于點C（5,2）,

k

則當x〉0時，。％+人一一＞0的解集為

x

1

y

BD

k

3.（2024春?秦淮區(qū)校級期末）如圖，一次函數(shù)7=-x+3的圖象與反比例函數(shù)y=（（k力0）在第一象限的

2

圖象交于/（1,。）和3（2,b）兩點，與x軸交于點C,下列說法：①反比例函數(shù)的關系式y(tǒng)=J②

k10

根據(jù)圖象，當一乂+3＜嚏時，x的取值范圍為0cx＜1或x＞2；③若點P在x軸上，且S"Pc=}"

SMOB，點P的坐標（8,0）.其中所有正確結論的序號是（

A.①②B.①③C.②③D.①②③

k

4.（2024春?儀征市期末）將雙曲線y=[?（例＞0，，=1，2,3,…1012）向左平移2個單位，再向下平

移1個單位后與直線y=3（x+2）-1相交于2024個點，這2024個交點的橫坐標的和為（）

A.-1012B.-2024C.-4048D.2024

、__女

5.（2024春?秦淮區(qū)校級期末）平面直角坐標系中，橫坐標為a的點/在反比例函數(shù)%=1%＞0）的

圖象上，點與點/關于點。對稱，一次函數(shù)以=加葉〃的圖象經(jīng)過點函數(shù)為、處的圖象相交于

第一象限3點.（1）用無刻度的直尺與圓規(guī)作出點/'；

（2）若a=2,點8坐標為（4,2）.

①分別求函數(shù)為、為的表達式；

②直接寫出使乃＞改＞0成立的x的范圍；

（3）若點8的橫坐標為3a,AAA'B的面積為16,求左的值.

2

6.(2024春?梁溪區(qū)校級期末)如圖，一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象交于點/(-1,6),3(3,

3),與無軸交于點C,與y軸交于點。.

(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；

(2)點M在x軸上，若SAOAM=SAOAB，求點M的坐標.

3

【類型二：反比例函數(shù)圖像上點的特征】

k

7.（2024春?揚州期末）如圖，反比例函數(shù)y=^的圖象經(jīng)過平行四邊形/BCD的頂點C,D,若點/、點

8、點C的坐標分別為（3,0）,（0,4）,（a,6）,則左的值是.

8.（2024春?惠山區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系xQy中，矩形。4BC的頂點/在x軸上，頂點C在了

k

軸上，矩形CDEF的頂點。在8c上，頂點廠在y軸上.已知C是。尸的中點，反比例函數(shù)y=嚏（卜>0）

的圖象經(jīng)過點2,圖中陰影部分的面積為4,則人的值為（）

6

9.（2024春?新吳區(qū)期末）如圖，點4在反比例函數(shù)y=嚏（％>0）圖象上，且04=6,過4作4C_Lx軸,

垂足為G04的垂直平分線交OC于5,則△43。的周長為（）

C.4V3D.5V2

4

10.（2023春?惠山區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，矩形0/5C的頂點/、C在坐標軸上，3在

k

第一象限，反比例函數(shù)y=/k>0）的圖象經(jīng)過中點E,與AB交于點F,將矩形沿直線E尸翻折，點2

恰好與點。重合.若矩形面積為8立，則點8坐標是（）

k

11.（2023春?宜興市期末）如圖，在平面直角坐標系中，點P在反比例函數(shù)y=1（k>0,x>0）的圖象上,

其縱坐標為3,過點尸作尸?！溯S，交x軸于點0,將線段QP繞點。順時針旋轉60°得到線段

QM.若點M也在該反比例函數(shù)的圖象上，則左的值為（）

k

12.（2024春?南京期末）反比例函數(shù)y=嚏的圖象經(jīng)過點A（l,4）和2（%,,則m2+n2的最小值為

6

13.（2024春?玄武區(qū)期末）在平面直角坐標系中，A,2是反比例函數(shù)y=嚏圖象上不同的兩點，點/

的橫坐標為加，點8的橫坐標為"，且O,A,8三點不在同一條直線上.若OA=OB,則〃?〃=.

5

13

14.（2024春?工業(yè)園區(qū)期末）如圖，點4。分別在函數(shù)y=>=嚏的圖象上，點8、C在x軸上,

若四邊形/BCD為正方形，點/在第二象限，則/的坐標為.

3

15.（2023春?漂陽市期末）如圖，直線/：y=—：x+3與x軸交于點/,與y軸交于點8,菱形8CDE的

q

k

邊8C〃x軸，另一邊在直線/,且點5是的中點，點。在反比例函數(shù)y=j7cH0）的圖象上，則

k=.

k

16.（2023春?濱湖區(qū)期末）如圖，直線y=3x與雙曲線y=妥交于/、2兩點，將直線48繞點/順時針旋

轉45°,與雙曲線位于第三象限的一支交于點C,設直線NC的函數(shù)表達式為〉=如+6,則。=—；

6

17.(2024春?江都區(qū)期末)已知如圖，/(-4,0),C(-1,4),過點C作。軸，垂足為2(。

k

在C上方)，4F平分/B4C,CE平分/4CD,直線EC交射線/尸于點尸.若反比例函數(shù)y=(x>0)

的圖象經(jīng)過點R則后的值為.

18.(2023春?梁溪區(qū)校級期末)如圖，點/在了軸的正半軸上，過點/作x軸的平行線，交反比例函數(shù)

6一2

yi-~的圖象于點2,過點3作>軸的平行線，交反比例函數(shù)方=嚏(x>o)的圖象于點c,過

點C作x軸的平行線，交V軸于點。，記四邊形/5CD的面積為S.

(1)若點/的縱坐標為2,求S的值；

(2)求證：無論點/在y軸正半軸的何處，S的值不變.

7

19.（2024春?宜興市期末）如圖，在平面直角坐標系中，△45C中，ZABC=90°,ZA=30°,4C=4,

k

頂點/在x軸的正半軸上，軸，若雙曲線歹=嚏（左W0）交邊4C于中點。，交邊45于點￡

（1）若OA=7,求左值；

1一

（2）若AE=]4B,求左值以及點。的坐標.

yt

B

Ax

20.（2023春?蘇州期末）如圖，在平面直角坐標系中，點/的坐標為（4g，0）,已知點C、點M

k

（5,3V3）在反比例函數(shù)y=1%>0）圖象上.

（1）k=；

（2）若點/關于點。的對稱點。也在反比例函數(shù)圖象上，求此時點。的坐標；

（3）若點力繞點C順時針旋轉120°所得對應點5剛好落在y軸的正半軸上，求線段43的長.

8

【類型三：反比例函數(shù)中的存在性問題】

k

21.(2024春?玄武區(qū)期末)如圖，一次函數(shù)為="+6的圖象與反比例函數(shù)為=嚏的圖象交于點人(4,

m),5(-6,-2).

(1)求左的值和一次函數(shù)的表達式；

k

(2)關于x的不等式以+-的解集為；

x--------------

(3)若點P為直線N8上的動點，過點尸作P0〃y軸，與反比例函數(shù)的圖象交于點。，當△。尸。的面

積為6時，請直接寫出點0的坐標.

6

22.(2024春?工業(yè)園區(qū)期末)如圖，一次函數(shù)》=履+6(kW0)的圖象與反比例函數(shù)y=―嚏的圖象相交于

點/(-1,m),B(幾,-1).

6

(1)求〃2,〃的值，并直接寫出不等式版+6W-—的解集；

X

(2)點C是線段45上一點，過。作y軸的平行線交反比例函數(shù)在第四象限的圖象于點。，若MOD

9

k_

23.(2024春?沛縣校級期末)如圖，一次函數(shù)y=x+8的圖象與反比例函數(shù)y=嚏(%<0)的圖象交于/(a,

(1)求此反比例函數(shù)的表達式；

(2)在y軸上存在點尸，使得4P+AP的值最小，求/P+AP的最小值；

(3)M為反比例函數(shù)圖象上一點，N為x軸上一點，是否存在點M、N,使△MBN是以兒W為底的等腰

直角三角形？若存在，請求出M點坐標；若不存在，請說明理由.

10

24.(2023春?睢寧縣期末)如圖，在平面直角坐標系中，B、C兩點在x軸的正半軸上，以線段2c為邊

k

向上作正方形N2C。，頂點/在正比例函數(shù)y=2x的圖象上，反比例函數(shù)了=1(x>0,k〉0)的圖象經(jīng)

過點/,且與邊CD相交于點￡.

(1)若8c=4,求點￡的坐標；

(2)連接OE.

①若△49E的面積為24,求左的值；

②是否存在某一位置使得若存在，求出左的值；若不存在，請說明理由.

11

一k

25.(2024春?錫山區(qū)期末)在平面直角坐標系中，一次函數(shù)>=-x+3的圖象與反比例函數(shù)y=嚏(左W0)

的圖象在第一象限交于4(1,a)和5(2,b)兩點.則的面積為；若點尸在》軸上，

k

點。在反比例函數(shù)y=1(kH0)的圖象上，當以“、B、P、0為頂點的四邊形是平行四邊形時，寫出所

有符合條件的0點的坐標：.

26.(2024春?新吳區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標系中有RtZXABC,ZA=90°,AB^AC,A(-2,

0)>B(0,1)C(m,?).

(1)求C點坐標；

(2)將△/8C沿x軸的正方向平移,在第一象限內(nèi)2、C兩點的對應點夕、C,正好落在某反比例函數(shù)圖

象上.請求出這個反比例函數(shù)和此時的直線女C的解析式；

(3)在(2)的條件下，直線夕C交y軸于點G.問是否存在x軸上的點河和反比例函數(shù)圖象上的

點、P,使得四邊形尸GMC'是平行四邊形？如果存在，請求出點M和點尸的坐標；如果不存在，請說明

理由.

12

27.(2023春?新吳區(qū)期末)如圖1,已知點/(a,0),B(0,6),且a、6滿足+(a+6+3/=0

k

平行四邊形/BCD的邊4D與了軸交于點E,且E為40中點，雙曲線y=［經(jīng)過C、。兩點.

(1)a=,b=；

(2)求反比例函數(shù)表達式：

k

(3)點尸在雙曲線y=i上，點。在y軸上，若以點/、B、P、0為頂點的四邊形是平行四邊形，直接

寫出滿足要求的所有點。的坐標.

13

28.(2024春?姑蘇區(qū)期末)如圖，在△480中，AO=AB,點/的坐標為(5,0),點、B(2,a)在反比

kl

例函數(shù)y=爰(x>o)的圖象上.若將線段繞點/按順時針方向旋轉90。，得到線段/C,點C恰好在

k2

反比例函數(shù)y=丁(x>0)的圖象上.

(1)求所,一的值;

(2)若尸，。分別為反比例函數(shù)y="(％>0),y=或0：>0)圖象上一點，且以點。P,Q,/為頂點

的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標.

14

29.(2024春?工業(yè)園區(qū)期末)如圖1,四邊形/BCD為正方形，點/在y軸上，點8在x軸上，且。/=

k

6,OB=3,反比例函數(shù)y=7"W0)在第一象限的圖象經(jīng)過正方形的頂點C.

(1)求點C的坐標和反比例函數(shù)的表達式；

(2)如圖2,將正方形/BCD沿x軸向右平移"?個單位長度得到正方形48。。，點H恰好落在反比例

函數(shù)的圖象上，求此時點。的坐標；

(3)在(2)的條件下，點尸為x軸上一動點，平面內(nèi)是否存在點0,使以點。、A\P、。為頂點的四

邊形為菱形，若存在，請直接寫出點。的坐標，若不存在，請說明理由.

15

【類型四：與反比例函數(shù)有關的創(chuàng)新題】

30.(2023春?太倉市期末)定義：平面直角坐標系xQy中，若點M繞點N順時針旋轉90°,恰好落在函

數(shù)圖象水上，則稱點M是點N關于函數(shù)圖象少的“直旋點”.例如.點(-1,1)是原點。關于函數(shù)

y=x圖象的一個“直旋點”

(1)在①(-1,2)②(1,3)③(-3,2)三點中，是原點O關于一次函數(shù)y=2x-1圖象的“直

旋點”的有(填序號)；

k、

(2)點M(-2,4)是點N(1,0)關于反比例函數(shù)歹=嚏圖象的“直旋點”，求左的值；

Zck

(3)如圖1,點/(1,3)在反比例函數(shù)y=一圖象上，點8是在反比例函數(shù)y=一圖象上點/右側的一

XX

16

31.(2023春?漂陽市期末)在平面直角坐標系中，對于不在坐標軸上的任意點/(x,>),我們把點2

11

(---)稱為點/的“倒數(shù)點”.

(1)寫出平面直角坐標系中第一象限內(nèi)“倒數(shù)點”是本身的點的坐標—；

(2)點尸是反比例函數(shù)y=W(x>0)圖象上的一點，求出點尸的“倒數(shù)點”。滿足的函數(shù)表達式；

3

(3)如圖，矩形OCDE的頂點。為(4,0),頂點E在y軸上，函數(shù)y=((x>0)的圖象與。E交于

點4若點5是點4的“倒數(shù)點”，且點5在矩形OCDE的一邊上，求△05。的面積.

17

k

32.（2023春?常州期末）背景：點/是反比例函數(shù)y=1（4>0）的圖象上一個動點，連接/O,將線段

繞點/逆時針方向旋轉90°至U/2.如圖1,已知/（1,力，小李測得點2（5,3）.

x

（圖1）（圖2）

（1）填空：k=；

（2）探究：通過改變點/的位置，小李發(fā)現(xiàn)點3的縱坐標與點/的橫坐標之間存在函數(shù)關系.請幫助

小李解決下列問題：設點8的縱坐標與點力的橫坐標分別為z,x,將z關于x的函數(shù)稱為“Z函數(shù)”.如

圖2,小李畫出了x>0時的“Z函數(shù)”的圖象.

①求這個“Z函數(shù)”的表達式；

②補畫x<0時“Z函數(shù)”的圖象，并寫出這個函數(shù)的性質（兩條即可）；

③過點（3,2）作一條直線，與這個“Z函數(shù)”圖象僅有一個交點，求該交點的橫坐標.

18

33.（2024春?吁胎縣期末）定義：如圖1,在平面直角坐標系中，點P是平面內(nèi)任意一點（坐標軸上的點

除外），過點尸分別作x軸、y軸的垂線，若由點尸、原點。、兩個垂足/、2為頂點的矩形0/P2的周

長與面積的數(shù)值相等時,則稱點P是平面直角坐標系中的“美好點”.

y

P

—0號#

A

0BX"二'2-—r—?—?------1—?—~1—r—?

???????????

?■-」--

圖1

備用圖

【嘗試初探】：

(1)點C(2,3)“美好點”（填“是”或“不是”）；

【深入探究】：

k

（2）①若“美好點”￡（m,6）（m>0）在雙曲線y（左/0,且左為常數(shù)）上，則左=

k

②在①的條件下，F(xiàn)（2,〃）在雙曲線y=上，求的值;

【拓展延伸】：

（3）我們可以從函數(shù)的角度研究“美好點”，己知點尸（x,y）是第一象限內(nèi)的“美好點”.

①求〉關于x的函數(shù)表達式;

②對于圖象上任意一點（x,y），代數(shù)式（2-x）-3-2）是否為定值？如果是，請求出這個定值，如

果不是，請說明理由.

19

34.(2023春?灌云縣期末)【定義】平面直角坐標系內(nèi)的矩形若滿足以下兩個條件：①各邊平行于坐標

軸；②有兩個頂點在同一反比例函數(shù)的圖象上，我們把這個矩形稱為該反比例函數(shù)的“伴隨矩形”.

例如：圖(1)中，矩形/BCD的邊軸，AB//CD//y^\,且頂點/、C在反比例函數(shù)y=(x

>0)的圖象上，則矩形/BCD是反比例函數(shù)y=(x>0)的“伴隨矩形”.

【解決問題】：

(1)已知，在矩形EFG8中，點￡、G的坐標分別為：①E(-3,8),G(6,-4)@E(1,2),G

(2,3)③E(3,4),G(2,6),其中可能是某反比例函數(shù)的“伴隨矩形”的是；(填序號)

36

(2)如圖(1),己知點3(2,-)是反比例函數(shù)>=嚏的“伴隨矩形”/BCD的頂點，求直線AD的解

析式；

(3)若反比例函數(shù)的“伴隨矩形”初\?。如圖(2)所示，試說明有一條對角線所在的直線一定經(jīng)過原

20

35.(2024春?廣陵區(qū)校級期末)定義：有一組對邊平行，有一個內(nèi)角是它對角的一半的凸四邊形叫做半對

角四邊形，如圖1,直線/1〃小點/，。在直線/i上，點8，C在直線乙上，若/BAD=2NBCD,則四

(1)如圖2,點E是平行四邊形4BCZ)的邊4D上一點，//=60°,4B=2,AE=4.若四邊形/BCE

為半對角四邊形，則—.

(2)如圖3,以口/BCD的頂點C為坐標原點，邊CD所在直線為x軸，對角線/C所在直線為y軸，

建立平面直角坐標系.點E是邊AD上一點，滿足3C=/￡+C￡.求證：四邊形4BCE是半對角四邊形；

2

(3)如圖4,在(2)的條件下，若點E是反比例函數(shù)y=―嚏圖象上的動點，當點E運動時，點2恰好

k

在反比例函數(shù)y=1的圖象上運動，請直接寫出左的值—.

21

【類型五：反比例函數(shù)綜合題】

36.(2023春?錫山區(qū)期末)在平面直角坐標系中，已知點4(0,10)、B(6,Q+10)、C(6,a).

(1)BC=,四邊形的面積是；

(2)當四邊形。45。是軸對稱圖形時，求。的值；

(3)連接。5,過。5的中點E作直線/,分別交線段45、OC于點尸、G.連接OR的面積為

k

20,反比例函數(shù)歹=Jk>0,%>0)的圖象經(jīng)過直線/上兩點E、F,求左的值.

4

O0

(備用圖)

22

37.(2024春?惠山區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標系中，直線/與x軸正半軸與y軸正半軸分別交于點/、

B,設OB=b(a>0,b>0).將繞點/順時針方向旋轉90°得到△/DC,點2的對應

點為點C;再將△4DC沿射線N8方向平移，使點/與點8重合得到△3ER點。的對應點為點￡,點

E在y軸上，點G為線段￡尸的中點，點C與點G恰好落在同一個反比例函數(shù)的圖象上.

(1)當a=l時，求反比例函數(shù)的解析式.

a

(2)求石的值.

(3)若線段RD、GO交于點尸，且△PGC的面積為4,求a的值.

23

一女

38.(2024春?錫山區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=嚏的圖象與正方形0/8C的邊N5

1

交于點￡(-3,4),與邊3C交于點。，一次函數(shù)y=萬久+6的圖象經(jīng)過點。，與邊N8交于點足

(1)求點尸的坐標：

(2)連接。尸、OE,探究N/O尸與NEOC的數(shù)量關系，并證明；

(3)在x軸上找兩點M,NGW在N的右側)，使〃N=2,且使四邊形/ACVD的周長最小，則點M的

坐標為,四邊形NACVD的周長最小為.

24

8

39.(2023春?無錫期末)如圖，一次函數(shù)＞=依+6(左＞0)的圖象與反比例函數(shù)夕=嚏(x＞0)的圖象交于

點/,與無軸交于點3,與y軸交于點C,軸于點。，C2=C。，點C關于直線4D的對稱點為點

(1)點E是否在這個反比例函數(shù)的圖象上？請說明理由;

(2)連接/￡、DE,若四邊形為正方形.

①求鼠6的值；

②若點尸在〉軸上，當|PE-尸耳最大時，求點尸的坐標.

25

一女

40.(2023春?梁溪區(qū)校級期末)如圖1,反比例函數(shù)y=嚏的圖象與一次函數(shù)y=%x+〃的圖象相交于/

(q,-1)B(-1,3)兩點.

(1)直接填寫：k=；m=；n=；

(2)設直線交y軸于點C,點N(1,0)是x軸正半軸上的一個動點，過點N作軸交反比例

k

函數(shù)》=嚏的圖象于點〃，連接CN,OM.若S四邊形co〃w>4,求方的取值范圍.

k

(3)如圖2,將一次函數(shù)y=%x+"的圖象向下平移后，與反比例函數(shù)y=1的圖象在第二象限的交點為

點、D,與x軸負半軸交于點E,y軸上一點尸的縱坐標為4,且DP=EP,求點。的坐標.

26

41.(2024春?蘇州期末)如圖，在平面直角坐標系中，四邊形O4C3是矩形，頂點/在y軸上，頂點2

18

在x軸上，頂點C的坐標為(8,6),雙曲線y="(％>0)分別交ZC,BC于點D,E.

(1)點。的坐標為；

(2)若點尸是對角線OC上一點.

①連接4P,將線段/尸繞點/逆時針旋轉90°后得到線段N0.若點。恰好在雙曲線丫="?！?)上,

求此時點尸坐標；

②連接DP,若/DPC=/DEC,請畫出圖形探究并求0P的長.

27

一一左

42.(2024春?姑蘇區(qū)校級期末)平面直角坐標系xQy中，橫坐標為。的點/在反比例函數(shù)以=久＞0)的

圖象上，點H與點/關于點。對稱，一次函數(shù)"=加什"的圖象經(jīng)過點4.

(1)設。=2,點8(4,2)在函數(shù)為、為的圖象上.

①分別求函數(shù)為、及的表達式；

②直接寫出使為＞為＞0成立的x的范圍；

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(2)設加=5，如圖②，過點/作NDJ_x軸，與函數(shù)觀的圖象相交于點。，以為一邊向右側作正

方形4DEF,試說明函數(shù)及的圖象與線段瓦7的交點尸一定在函數(shù)為的圖象上.

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43.(2024春?秦淮區(qū)校級期末)思考探究:

【形成概念】城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達目的地，只能按直

角拐彎的方式行走.由此啟發(fā)，我們可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標系xQy,對兩點/

圖①圖②

【初步理解】

(1)①已知點/(-2,1),則d(。，A)=.

②函數(shù)y=-2x+4(0WxW2)的圖象如圖①所示,2是圖象上一點,小。,2)=3,則點2的坐標是.

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③函數(shù)y=1(X>())的圖象如圖②所示，c是該函數(shù)的圖象上的一點，若d(O,C)的值最小，點C的

坐標是.

【深入探究】

(2)如圖③，菱形/BCD頂點/的坐標是(1,3),B(3,2).小明發(fā)現(xiàn)：菱形/BCD的邊上會有

兩個點分別到原點。的距離d相等.若點￡在菱形的邊上且d(O,E)=d(O,B),指出點￡在菱形

的那條邊上，并求出它的坐標.

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(3)實數(shù)加(m>0),如圖④，直接寫出在矩形邊上，且到原點O的距離d等于機的點的個數(shù)

與m值的關系.

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44.（2023春?常州期末）在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=Jk>0）的圖象與一次函數(shù)y=%x+6（加<

0）的圖象在第一象限交于/、8兩點.

探究一:

產(chǎn)是平面內(nèi)的一點，過點/、B、尸分別作x軸、y軸的垂線，相應的兩條垂線與坐標軸所圍成的矩形面

積記為S”、SB、Sp,矩形周長記為CA、CB、Cp.

（1）如圖1,P是線段上不與點/、3重合的一點，k=8.

S尸8,SA<SP（填“>”、或"="）；

猜想：當點P從點/運動到點3時，礪的變化規(guī)律是;

（2）如圖2,P是雙曲線段上不與點/、8重合的一點，m=-1,6=4.

CA=8,CA>CP.（填“>”、或“=”）；

猜想：當點P從點4運動到點3時，CP的變化規(guī)律是.

探究二：

如圖3,過點工作無軸的垂線，過點8作y軸的垂線，兩條垂線交于直