第九章專項訓(xùn)練平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律問題

選擇題

1.如圖，所有正方形的中心均在坐標(biāo)原點(diǎn)，且各邊與x軸或y軸平行.從內(nèi)到外，它們的邊長依次為2,

4,6,8,?-?,頂點(diǎn)依次用Ai,A2,A3,44,…表示，則頂點(diǎn)A55的坐標(biāo)是()

A.(13,13)B.(-13,-13)C.(14,14)D.(-14,-14)

【分析】觀察圖象，每四個點(diǎn)一圈進(jìn)行循環(huán)，每一圈第一個點(diǎn)在第三象限，根據(jù)點(diǎn)的腳標(biāo)與坐標(biāo)尋找規(guī)

律.

【解答】解：???55=4X13+3,...A55與人3在同一象限，即都在第一象限，

根據(jù)題中圖形中的規(guī)律可得：

3=4義0+3,加的坐標(biāo)為(0+1,0+1),即A3(1,1),

7=4Xl+3,47的坐標(biāo)為(1+1,1+1),A7(2,2),

11=4X2+3,Au的坐標(biāo)為(2+1,2+1),AH(3,3)；

55=4X13+3,A55(14,14),A55的坐標(biāo)為(13+1,13+1)；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題是一個閱讀理解，猜想規(guī)律的題目，解答此題的關(guān)鍵是首先確定點(diǎn)所在的大致位置及所在

的正方形，然后就可以進(jìn)一步推得點(diǎn)的坐標(biāo).

2.規(guī)定：在平面直角坐標(biāo)系中，一個點(diǎn)作“0”變換表示將它向右平移一個單位，一個點(diǎn)作“1”變換表

示將它繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°,由數(shù)字0和1組成的序列表示一個點(diǎn)按照上面描述依次連續(xù)變換.例

如：如圖，點(diǎn)。(0,0)按序列“011…”作變換，表示點(diǎn)。先向右平移一個單位得到。1(1,0),再

將。1(1,0)繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°得到02(0,-1),再將。2(0,-1)繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°得

到。3(-1,0)…依次類推.點(diǎn)(0,1)經(jīng)過“0H0H0H”變換后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為()

【分析】根據(jù)變換的定義解決問題即可.

【解答】解：點(diǎn)（0,1）經(jīng)過011變換得到點(diǎn)（-1,-1）,點(diǎn)（-1,-1）經(jīng)過011變換得到點(diǎn)（0,

1）,點(diǎn)（0,1）經(jīng)過011變換得到點(diǎn)（-1,-1）,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，平移變換，旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用

所學(xué)知識解決問題.

3.我們把1,1,2,3,5,8,13,21,…這組數(shù)稱為斐波那契數(shù)列，為了進(jìn)一步研究，依次以這列數(shù)為

半徑作90°圓弧哂，研,歐，…得到斐波那契螺旋線，然后順次連接P1P2,P2P3,P3P4,…得

到螺旋折線（如圖），已知點(diǎn)Pl（0,1）,尸2（-1,0）,P3（0,-I）,則該折線上的點(diǎn)尸9的坐標(biāo)為（）

A.(-6,24)B.(-6,25)C.(-5,24)D.(-5,25)

【分析】觀察圖象，推出P9的位置，即可解決問題.

【解答】解：由題意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距離=21+5=26,

所以尸9的坐標(biāo)為(-6,25),

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，確定P9的位置.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個整數(shù)點(diǎn)，其順序按圖中“一”方向排列，如(1,0),(2,0),

(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),(4,0).根據(jù)這個規(guī)律探索可得，第100個點(diǎn)的坐標(biāo)為()

【分析】由圖形得出點(diǎn)的個數(shù)依次是1、2、3、4、5、…，且橫坐標(biāo)是偶數(shù)時，箭頭朝上，又由1+2+3+-

+13=91,1+2+3+…+14=105,可得第91個點(diǎn)的坐標(biāo)為(13,0),第100個點(diǎn)橫坐標(biāo)為14,繼而求得

答案.

【解答】解：由圖形可知：點(diǎn)的個數(shù)依次是1、2、3、4、5、…，且橫坐標(biāo)是偶數(shù)時，箭頭朝上，

?.T+2+3+…+13=91,1+2+3+…+14=105,

.,.第91個點(diǎn)的坐標(biāo)為(13,0),第100個點(diǎn)橫坐標(biāo)為14.

:在第14行點(diǎn)的走向為向上，

二縱坐標(biāo)為從第92個點(diǎn)向上數(shù)8個點(diǎn)，即為8；

...第100個點(diǎn)的坐標(biāo)為(14,8).

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了學(xué)生的觀察圖形的能力和理解能力，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出規(guī)律，題目比較

典型，但是一道比較容易出錯的題目.

5.如圖，動點(diǎn)尸在平面直角坐標(biāo)系中按圖中所示方向運(yùn)動，第一次從原點(diǎn)。運(yùn)動到點(diǎn)Pi(1,1),第二

次運(yùn)動到點(diǎn)P2(2,1),第三次運(yùn)動到點(diǎn)P3(3,0),第四次運(yùn)動到點(diǎn)P4(4,-2),第五次運(yùn)動到點(diǎn)

P5(5,0),第六次運(yùn)動到點(diǎn)P6(6,2),按這樣的運(yùn)動規(guī)律，點(diǎn)P2023的縱坐標(biāo)是()

yA

A.-2B.0C.1D.2

【分析】根據(jù)圖象可以得出規(guī)律，運(yùn)動后的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，橫坐標(biāo)與次數(shù)相等，縱坐標(biāo)每

36

6次運(yùn)動組成一個循環(huán)：Pi(1,1),P2(2,1),尸(3,0),P4(4,-2),P5(5,0),尸(6,2),

Pi(7,0),尸8(8,1)再根據(jù)規(guī)律直接求解即可.

【解答】解：觀察圖象，結(jié)合動點(diǎn)P第一次從原點(diǎn)。運(yùn)動到點(diǎn)P1(1,1),第二次運(yùn)動到點(diǎn)尸2(2,1),

第三次運(yùn)動到點(diǎn)P3(3,0),第四次運(yùn)動到點(diǎn)尸4(4,-2),第五次運(yùn)動到點(diǎn)尸5(5,0),第六次運(yùn)動

到點(diǎn)P6(6,2),運(yùn)動后的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，橫坐標(biāo)與次數(shù)相等，縱坐標(biāo)每6次運(yùn)動組成一

個循環(huán)：Pl(1,1),Pi(2,1),P3(3,0),P4(4,-2),P5(5,0),P6(6,2),Pi(7,0),Ps

(8,1)…，

V2023=7X289,

，動點(diǎn)尸2023的坐標(biāo)是(2023,0),

...動點(diǎn)尸2023的縱坐標(biāo)是0,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查規(guī)律性：點(diǎn)的坐標(biāo)，讀懂題意，準(zhǔn)確找出點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵.

填空題

6.如圖，動點(diǎn)尸在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動，第1次從原點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)（1,1）,第2次

接著運(yùn)動到點(diǎn)（2,0）,第3次接著運(yùn)動到點(diǎn)（3,2）,…，按這樣的運(yùn)動規(guī)律，經(jīng)過第2024次運(yùn)動后，

動點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2024,0）.

【分析】觀察點(diǎn)的坐標(biāo)變化發(fā)現(xiàn)每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)與運(yùn)動的次數(shù)相等，縱坐標(biāo)是1,0,2,0,每4個數(shù)

一個循環(huán)，按照此規(guī)律解答即可.

【解答】解：觀察點(diǎn)的坐標(biāo)變化可知：

第1次從原點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)（1,1）,

第2次接著運(yùn)動到點(diǎn)（2,0）,

第3次接著運(yùn)動到點(diǎn)（3,2）,

第4次接著運(yùn)動到點(diǎn)（4,0）,

第5次接著運(yùn)動到點(diǎn)（5,1）,

按這樣的運(yùn)動規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)與運(yùn)動的次數(shù)相等，縱坐標(biāo)是1,0,2,0,每4個數(shù)一個循

環(huán)，

由于2024+4=506,

所以經(jīng)過第2024次運(yùn)動后，動點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（2024,0）.

故答案為：（2024,0）.

【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探求，屬于?？碱}型，由已知點(diǎn)的坐標(biāo)變化找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,B,C,。的坐標(biāo)分別為（1,1）,（3,1）,（3,3）,（1,3）.動

點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿……的路線運(yùn)動.當(dāng)運(yùn)動2025

秒時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,1）.

【分析】由題意得出四邊形ABC。的邊長為2,周長為8,結(jié)合2025+8=253…1得出當(dāng)運(yùn)動2025秒

時，點(diǎn)尸運(yùn)動到點(diǎn)A與點(diǎn)2的中點(diǎn)，由此即可得解.

【解答】解：：點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo)分別為(1,1),(3,1),(3,3),(1,3),

**?AB=BC=CD—DA.=2,

J四邊形ABCD的周長為2+2+2+2=8,

.?.點(diǎn)P運(yùn)動一周需要8秒，

V20254-8=253-l,

，當(dāng)運(yùn)動2025秒時，點(diǎn)尸運(yùn)動到點(diǎn)A與點(diǎn)8的中點(diǎn)，

...點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1),

故答案為：(2,1).

【點(diǎn)評】本題考查了坐標(biāo)與圖形、點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探究，得到規(guī)律是關(guān)鍵.

8.(2022?畢節(jié))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，把一個點(diǎn)從原點(diǎn)開始向上平移1個單位，再向右平移1個

單位，得到點(diǎn)4(1,1);把點(diǎn)4向上平移2個單位，再向左平移2個單位，得到點(diǎn)42(-1,3)；把

點(diǎn)42向下平移3個單位，再向左平移3個單位，得到點(diǎn)A3(-4,0)；把點(diǎn)A3向下平移4個單位，再

向右平移4個單位，得到點(diǎn)4(0,-4),…；按此做法進(jìn)行下去，則點(diǎn)Aio的坐標(biāo)為(-1,11).

【解答】解：由圖象可知，A5(5,1),

將點(diǎn)A5向左平移6個單位、再向上平移6個單位，可得46(-1,7),

將點(diǎn)4向左平移7個單位，再向下平移7個單位，可得47(-8,0),

將點(diǎn)擊向右平移8個單位，再向下平移8個單位，可得A8(0,-8),

將點(diǎn)4向右平移9個單位，再向上平移9個單位，可得A9(9,1),

將點(diǎn)49向左平移10個單位，再向上平移10個單位，可得Aio(-1,11),

故答案為：(-1,11).

【點(diǎn)評】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化-平移，規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會探究規(guī)律，屬于中考

?？碱}型.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(-2,0),Ai(0,2),點(diǎn)&2,A3,.......在直線/上，點(diǎn)、Bi,Bi,B3,........

在x軸的正半軸上，若△4081,AA2B1B2,△心歷仍，……，依次均為等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)都

在x軸上，則第"個等腰直角三角形4山”一出〃頂點(diǎn)瓦的橫坐標(biāo)為2/1-2.

【分析】先求出21、歷、功…的坐標(biāo)，探究規(guī)律后，即可根據(jù)規(guī)律解決問題.

【解答】解：VA(-2,0),Ai(0,2),

C.OA—OA\=2,

???AAiOBi為等腰直角三角形，

，031=04=2,

同理可得：3I32=5IA2=4,52A3=比切=8,........,

：.Bi(2,0),Bi(6,0),B3(14,0),……,

V2=22-2,6=23-2,14=2"2,........,

的橫坐標(biāo)為2"+1-2,

故答案為：2"+1-2.

【點(diǎn)評】本題考查規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是從特殊到一般，探

究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，屬于中考?？碱}型.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，A,B,C,。是邊長為1個單位長度的小正方形的頂點(diǎn)，開始時,

頂點(diǎn)A,2依次放在點(diǎn)(1,0),(2,0)的位置，然后向右滾動，第1次滾動使點(diǎn)C落在點(diǎn)(3,0)的

位置，第2次滾動使點(diǎn)。落在點(diǎn)(4,0)的位置…，按此規(guī)律滾動下去，則第2024次滾動后，頂點(diǎn)A

的坐標(biāo)是(2025,0).

【分析】列舉幾次滾動后的A點(diǎn)坐標(biāo)，找到滾動次數(shù)與點(diǎn)A坐標(biāo)之間的規(guī)律，進(jìn)而求出第2024次滾動

后頂點(diǎn)A的坐標(biāo).

【解答】解：第1次滾動點(diǎn)4的坐標(biāo)為(2,1),

第2次滾動點(diǎn)42的坐標(biāo)為(4,1),

第3次滾動點(diǎn)A3的坐標(biāo)為(5,0),

第4次滾動點(diǎn)4的坐標(biāo)為(5,0),

滾動5次后，A1(4+2,1)；

滾動6次后,Ai(4+4,1)；

滾動7次后,Ai(4+5,0)；

滾動8次后,A4(4+5,0)；

???，

..?每滾動4次一個循環(huán)，

,,.A4n+l(4/7+2,1),A4n+2(4/1+4,1),&4"+3(4/1+5,0),A4n+4(4/1+5,0),

：2024+4=506,

.\A2024(4X505+5,0),

即A2024(2025,0),

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，解題關(guān)鍵是找到點(diǎn)A隨滾動次數(shù)的變化規(guī)律.

三.解答題

11.在平面直角坐標(biāo)系中，一螞蟻從原點(diǎn)。出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動，每次

移動1個單位.其行走路線如圖所示.

(1)填寫下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：

Ai(0,1),A3(1,0),An(6,0)；

(2)寫出點(diǎn)44"的坐標(biāo)(〃是正整數(shù))；

(3)指出螞蟻從點(diǎn)4oo到Aioi的移動方向.

【分析】(1)在平面直角坐標(biāo)系中可以直接找出答案；

(2)根據(jù)求出的各點(diǎn)坐標(biāo)，得出規(guī)律；

(3)點(diǎn)4oo中的見正好是4的倍數(shù)，根據(jù)第二問的答案可以分別得出點(diǎn)Aioo和Aioi的坐標(biāo)，所以可以

得到螞蟻從點(diǎn)Aioo到Aioi的移動方向.

【解答】解：(1)Ai(0,1),A3(1,0),An(6,0)；

(2)當(dāng)〃=1時，A4(2,0),

當(dāng)n=2時，As(4,0),

當(dāng)”=3時，An(6,0),

所以4”(2n,0)；

(3)點(diǎn)4oo中的“正好是4的倍數(shù)，所以點(diǎn)Aioo和Aioi的坐標(biāo)分別是Aioo(50,0),Aioi(50,1),

所以螞蟻從點(diǎn)Aioo到Aioi的移動方向是從下向上.

【點(diǎn)評】本題主要考查的是在平面直角坐標(biāo)系中確定點(diǎn)的坐標(biāo)和點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律性.

12.如圖：在直角坐標(biāo)系中，第一次將△AO8變換成△O4B1,第二次將三角形變換成△。42比，第三次

將△。42瓦，變換成△OA3B3,已知A(1,3),Ai(3,3),A2(5,3),A3(7,3)；B(2,0),Bi(4,

0),B2(8,0),B3(16,0).

(1)觀察每次變換前后的三角形有何變化，找出規(guī)律，按此變化規(guī)律再將△04323變換成△0UB4,

則A4的坐標(biāo)是(9,3),B4的坐標(biāo)是(32,0).

(2)若按(1)找到的規(guī)律將△。42進(jìn)行了”次變換，得到瓦，比較每次變換中三角形頂點(diǎn)有何

變化，找出規(guī)律，推測4的坐標(biāo)是(2〃+1,3),8〃的坐標(biāo)是(2"1,0).

【分析】對于Ai，42,4坐標(biāo)找規(guī)律可將其寫成豎列，比較從而發(fā)現(xiàn)4的橫坐標(biāo)為2底1,而縱坐標(biāo)都

是3,同理Bi,B2,當(dāng)也一樣找規(guī)律.

【解答】解：⑴已知A(b3),Ai(3,3),A2(5,3),A3(7,3)；

對于4,42,4坐標(biāo)找規(guī)律比較從而發(fā)現(xiàn)4的橫坐標(biāo)為2〃+l,而縱坐標(biāo)都是3；

同理Bi,Bi,8〃也一樣找規(guī)律，規(guī)律為4的橫坐標(biāo)為2/1,縱坐標(biāo)為0.

由上規(guī)律可知：(1)4的坐標(biāo)是(9,3),應(yīng)的坐標(biāo)是(32,0)；

(2)4的坐標(biāo)是(2〃+1,3),&的坐標(biāo)是⑵+1,0)

【點(diǎn)評】本題是觀察坐標(biāo)規(guī)律的問題，需要分別從橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)兩方面觀察規(guī)律，寫出答案.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)尸從原點(diǎn)出發(fā)，按圖中順序運(yùn)動，即尸(1,2)-P2(2,0)-P3

(3,-4)一尸4(4,0)-P5(5,2)-P6(6,0)按這樣的運(yùn)動規(guī)律，完成下列任務(wù)：

(1)點(diǎn)尸15的坐標(biāo)為(15,-4),點(diǎn)P16的坐標(biāo)為(16,0)；點(diǎn)P2023的坐標(biāo)為(2023,

-4)；

(2)在動點(diǎn)尸的上述運(yùn)動過程中，若有連續(xù)四點(diǎn)(燈，yi),(X2,*),(X3,”)，(X4,))，請直接寫

出XI,X2,X3,X4之間滿足的數(shù)量關(guān)系為XI-12=尤3-A4=X2-13=-1,>1,中,”,'4之間滿足

(2)根據(jù)(1)中的規(guī)律求解.

【解答】解：(1)點(diǎn)尸15的坐標(biāo)為(15,-4),點(diǎn)尸16的坐標(biāo)為(16,0)；

720234-4=505……3,

P2023的縱坐標(biāo)與尸3的縱坐標(biāo)一樣，

點(diǎn)尸2023的坐標(biāo)為(2023,-4),

故答案為：(15,-4),(16,0)；(2023,-4)；

(2)尤1-X2=X3-X4=X2-X3=-1；yi+yi+y?,+yA=2+0+0+(-4)=-2,

故答案為：xi-x2=x3-x4=xi-x3=-1；yi+y2+y3+y4=-2.

【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

14.綜合與實踐：

問題背景：

(1)已知A(1,2),8(3,0),C(1,-1),￡)(-3,-3).在平面直角坐標(biāo)系中描出這幾個點(diǎn)，

并分別找到線段和CD中點(diǎn)Pi、Pi,然后寫出它們的坐標(biāo)，則Pi(2,1),P2(-1,-2).

探究發(fā)現(xiàn)：

(2)結(jié)合上述計算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)若線段的兩個端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xi,yi),(尤2,y2),則線段的中

點(diǎn)坐標(biāo)為_(*,嗎及)

拓展應(yīng)用：

(3)利用上述規(guī)律解決下列問題：已知三點(diǎn)E(-1,2),F(3,1),G(1,4),第四個點(diǎn)”(尤，y)

與點(diǎn)從點(diǎn)只點(diǎn)G中的一個點(diǎn)構(gòu)成的線段的中點(diǎn)與另外兩個端點(diǎn)構(gòu)成的線段的中點(diǎn)重合，求點(diǎn)”的

坐標(biāo).

【分析】(1)在坐標(biāo)系中描出A、B、C、。然后找到線段和C。