第十三章三角形

“2023?福建］若某三角形的三邊長分別為3,4,m,則m的值可以是（）

A.lB.5C.7D.9

2.［2023.湖南株洲］一名技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸.如圖所示，已知NACB=9（F,D為

邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A,B對應(yīng)的刻度分別為1,7,則CD=（）

A.3.5cmB.3cmC.4.5cmD.6cm

3.［2023.貴州］5月26S.2023中國國際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會在貴陽開幕.在“自動化立體庫”中有許多幾何元素，其

中有一個等腰三角形模型的示意圖如圖所示，它的頂角為120°,腰長為12m,則底邊上的高為（）

A.4mB.6mC.lOmD.12m

4.［2023?吉林長春］如圖，工人師傅設(shè)計了一種測量零件內(nèi)徑AB的卡鉗，卡鉗交叉點(diǎn)。為AA；BB，的中點(diǎn)，只要

量出AB的長度，就可以知道該零件內(nèi)徑AB的長度.其依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是（）

A.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等

B.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等

C.兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例

D.兩點(diǎn)之間，線段最短

5.［2023廣東深圳］商場某品牌椅子的側(cè)面示意圖如圖所示,/DEF=：120。,DE與地面AB平行,NABD=50。,則/

AB

A.70°B.65°C.60°D.50°

6J2023?四川涼山州］如圖，點(diǎn)E,F在BC上,BE=CF,NB=/C,添加一個條件不能證明4ABF04DCE的是()

A.ZA=ZD

B.ZAFB=ZDEC

C.AB=DC

D.AF=DE

7.［2023?北京］如圖.點(diǎn)A,B,C在同一條直線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A,C之間，點(diǎn)D,E在直線AC的同側(cè),AB<BC,NA=

ZC=90°,AEAB^ABCD,連接DE.設(shè)AB=a,BC=b,DE=c，給出下列三個結(jié)論：

①a+b<c;

（2）a+b>Va2+b2;

③企（a+b）>c.

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①③

C.②③D.①②③

第7題圖第8題圖

8.［2024.四川宜賓］如圖.在△ABC中,AB=3V2,AC=2,以BC為邊作RtABCD,BC=BD,點(diǎn)D與點(diǎn)A在BC的兩

側(cè)，則AD的最大值為()

A.2+3V2B.6+2V2

C.5D.8

9.［2023.廣西］如圖，在邊長為2的正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD上的動點(diǎn),M,N分別是EF,AF的中點(diǎn)，則M

N的最大值為

第9題圖第10題圖

10.［2023?重慶A卷］如圖，在RtAABC中,NBAC=9(F,AB=AC,D為BC上一點(diǎn)，連接AD,過點(diǎn)B作BEXAD于

點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CF±AD交AD的延長線于點(diǎn)F.若BE=4,CF=1,則EF的長為.

11.[2024?新疆]如圖，在RtAABC中,NC=9（T,NA=30o,AB=8.若點(diǎn)D在直線AB上（不與點(diǎn)A.B重合），且/BCD=

30。,則AD的長為.

第11題圖第12題圖

12.[2023四11廣安]如圖,圓柱形玻璃杯的杯高為9cm,底面周長為16cm,在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)A處有一

滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm且與蜂蜜相對的點(diǎn)B處，則螞蟻從外壁點(diǎn)B處爬行

到內(nèi)壁點(diǎn)A處的最短路程為—cm.（杯壁厚度不計）

13.[2023弓工蘇蘇州]如圖.在△ABC中,AB=AC,AD為4ABC的角平分線.以點(diǎn)A圓心，AD的長為半徑畫弧，與

AB,AC分別交于點(diǎn)E,F,連接DE.DF.

⑴求證:△ADE^AADF;

（2）若/BAC=80。,求/BDE的度數(shù).

14.[2024.山東威海]【感悟】如圖1,在△ABE中，點(diǎn)C,D在邊BE上,AB=AE,BC=DE.求證:/BAC=NEAD.【應(yīng)

用】⑴如圖2,用直尺和圓規(guī)在直線BC上取點(diǎn)D,E（點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)），使得/EAD=/BAC,且DE=BC（不寫作

法，保留作圖痕跡）；

⑵如圖3,用直尺和圓規(guī)在直線AC上取一點(diǎn)D,在直線BC上取一點(diǎn)E,使得/CDE=NBAC,且DE=AB（不

寫作法，保留作圖痕跡）.

AAA

BCDEBCBC

圖1圖2圖3

15.[2023.北京]如圖,在△ABC中,NB=NC=a(0。<a<45°),AM1BC于點(diǎn)M,D是線段MC上的動點(diǎn)(不

與點(diǎn)M,C重合),將線段DM繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段DE.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時,求證：D是MC的中點(diǎn)；

(2)如圖2,若在線段BM上存在點(diǎn)F(不與點(diǎn)B,M重合)滿足DF=DC,連接AE,EF,直接寫出ZAEF的度數(shù)，并證明.

第十三章

1.B根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理，得4-3<m<4+3,

解得l<m<7.

2.B由題圖可得,NACB=90°,AB=7-l=6(cm).

為邊AB的中點(diǎn).CD==3cm.

3.B如圖，過點(diǎn)A作AD±BC于點(diǎn)D.

A

30c

在^ABC中,NBAC=120o,AB=AC,

1

.?.zB=zf=jx(180°-120°)=30°.

VAD±BC,

ylD=|XS=jxl2=6(m).

4.A：O為AA'BB，的中點(diǎn)，

.?.OA=OA',OB=OB',

由對頂角相等彳導(dǎo)/AOB=NAgB：

OA=OA',

在小AOB和4A，OB，中,{^AOB=乙A'OB',

OB=OB',

：.AAOB^AA'OB'(SAS),

AB=A'B',

即只要量出AE的長度，就可以知道該零件內(nèi)徑AB的長度.

10.120的補(bǔ)角為60°,4。=180°-60。=120°.

11.105?/AB//DE,?.ZBDE=ZB=30°,ZCDF=180°-ZEDF-ZBDE=180°-45°-30°=105°.

12.55：AB=AC,，Z\ABC是等腰三角形.

由作圖可知，AE垂直平分BC,

；.AE是NBAC的平分線，

1

???Z.BAE=-^BAC=55°.

2

13.解：(1)補(bǔ)全圖形如圖所示.

(2)ZBONNONM等邊對等角內(nèi)錯角相等,兩直線平行

三角形

5.AVDE/7AB,ZABD=50°,

???ND=NABD=50。.

???NDEF=120。,且NDEF是△DCE的外角,

???NDCE=NDEF-ND=70。，

ZACB=ZDCE=70°.

6.D〈BE二CF,.??BE+EF=CF+EF,即BF=CE.

當(dāng)NA=ND時，利用“AAS”可證明△ABF^ADCE,故A選項(xiàng)不符合題意；

當(dāng)NAFB=NDEC時,利用“ASA”可證明^ABF四△DCE,故B選項(xiàng)不符合題意;

當(dāng)AB二DC時利用“SAS”可證明△ABF^ADCE,故C選項(xiàng)不符合題意；

當(dāng)AF=DE時，無法證明△ABF之△DCE,故D選項(xiàng)符合題意.

7.D如圖，過點(diǎn)D作DF〃AC,交AE于點(diǎn)F,過點(diǎn)B作BGXDF于點(diǎn)G.

DF〃AC,NA=90°,DF±AE.

?.?BG_LDF,???BG〃AE,

???四邊形ABGF為矩形

同理，可得四邊形BCDG也為矩形，

.\DF=FG+GD=a+b.

在RtAEFD中,c>a+b,故①正確.

AEAB之ABCD,AE=BC=b,

???在RSEAB中,BE=y/AB2+AE2=>Ja2+b2.

VAB+AE>BE,

a+h>Va2+b2,,故②正確.

AEAB^ABCD,

???NAEB=NCBD,BE=BD.

ZAEB+ZABE=90°,

JZCBD+ZABE=90°,/.ZEBD=90°.

VBE=BD,ANBED=NBDE=45。，

BE=Va2+b2=c-sin45°=—c,

2

???c=y[2yla2+b2.

[V2(a+/?)]=2(a2+lab+b2)=2(a2+h2)+4ab>2(a2+b2),

V2(a+h)>V2Va2+b2,

???V2(a+b)>c,故③正確.

8.D如圖，將BA繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90。狷到BE,連接AE,DE,/.BE=AB,ZABE=90°,

AE=近AB=6.

ZDBC=90°=ZEBA,.\ZDBE=ZCBA.

又：BD=BC,AB=BE,

ADBE^ACBA(SAS),DE=AC=2.^￡AADE中,AD<AE+DE,

???當(dāng)A,D,E三點(diǎn)共線時，AD取最大值，

；?AD的最大值為6+2=8.

9.應(yīng)如圖，連接AE.

：M,N分別是EF,AF的中點(diǎn)，

AMN是小AEF的中位線,；.MN=^AE,

四邊形ABCD是正方形,；.ZB=90°,

AE=7AB2+BE?=V4+B￡2,

當(dāng)BE最大時,AE最大，此時MN最大.

：E是BC上的動點(diǎn)，

/.當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時,BE最大，即BE=2,止匕時AE=不不=2Vx.?.MN=\AE=VX

；.MN的最大值為V2.

10.3VBE±AD,CF±AD,

ZBEA=ZAFC=90°,

/.ZBAE+ZABE=90°.

ZBAC=90°,.,.ZBAE+ZFAC=90°,

ZABE=ZFAC.

在4ABEfflACAF中，

/.BEA=AAFC,

{/.ABE=Z.FAC,

AB=CA,

：.AABE^ACAF(AAS),

；.BE=AF,AE=CF.

BE=4,CF=1AF=4,AE=1,

.?.EF=AF-AE=4-1=3.

11.6或12在RSABC中,/A=30。,BC=|x8=4.

當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的左上方時，如圖所示.

、D

'：ZACB=90o,ZA=30°,.\ZABC=60°.

又：NBCD=30。,

.-.乙BDC=60°-30°=30°,.-.BD=BC=4,

；.AD=8+4=12.

當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的右下方時，如圖所示.

易得/ABC=6(r,/BCD=30。,ZCDA=90°.

在RtABCD中,NBCD=30。,BD=|x4=2,AAD=8-2=6.

綜上所述，AD的長為6或12.

12.10圓柱形玻璃杯的部分側(cè)面展開圖如圖所示，作點(diǎn)B關(guān)于EF的對稱點(diǎn)B；連接BA,則B'A的長度即為螞蟻

從外壁點(diǎn)B處爬行到內(nèi)壁點(diǎn)A處的最短路程.