新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第2講等式與不等式性質(zhì)、基本不等式

b-a>O=b>a

比較大小基本方鼻）b?a=Gob=a

if做商法A

若a<O,〃<0,貝ji2>lo辦va;2vlo/>>a;2=]o〃=a

等式與不等式的性質(zhì)

對(duì)稱性:〃>8o〃va

傳遞性：〃>瓦）

（可力口性:〃>8o〃+c>〃+c

不等式的性質(zhì)可乘性:心瓦c>Q=^ac>bc\a>b,c<O=^ac<bc

4同向可力口性++/

-；同向同正可乘性：">6,c>0n〃c>bc;a>6,c<0=〃c<〃c

（可乘方性〃￡“=，>/

1

題型一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用

【典例1“】設(shè)a.bwRMbW。，且則

ba

—+—

ab

C.sin(<7-Z?)<6z-Z?

【答案】C

【解析】對(duì)于A,取。=2］則2=一!>￡=一2,故A錯(cuò)誤,

a2b

對(duì)于B,a=l,b=-l,=2,故B錯(cuò)誤,

對(duì)于C,由于y=sinx—%（尤>0）,y'=cos尤一1<0,故丁=sin%—%在（0,+“）單調(diào)遞減，故sin犬一工<0,因止匕

sinx<x,xe（0,+oo）,

由于a",所以a—b>0,i^sin（a-b）<a-b,C正確，

對(duì)于D,。=-3涉=-4,則3"=g<2〃=:,故D錯(cuò)誤，

故選：C

【變式1-1】已知。S,ceR,則下列命題為假命題的是（）

A.若a>b,貝|a+c>b+cB.若a>5>0,則田〉嚴(yán)

C.若貝/工］<f—1D.若a>h>0,c>0,則、>"十。

<2））aa+c

【答案】D

【解析】對(duì)于A,因?yàn)樗詀+c>/?+c,故A結(jié)論正確；

對(duì)于B,當(dāng)》>5>0時(shí)，因?yàn)槔酆瘮?shù),二元必在（0,+8）上單調(diào)遞增，所以〃。4>戶4,故B結(jié)論正確；

對(duì)于C,因?yàn)樗詀+c>b+c,

而函數(shù)y=（g）為減函數(shù)，所以、［<［；］，故C結(jié)論正確；

bb+cb（a+c］—a（b+c］cib—a\

對(duì)于D，-------=------7----\----=-7----V，

aa+ca^a+c）a^a+c）

因?yàn)閍>b>0,c>0,所以c僅一〃乂0,〃（4+0》0,

b+c_c{b-a)<o,所以2<小,故D結(jié)論錯(cuò)誤.

aa+c

故選：D.

【變式1-2】設(shè)〃=1-7/=1+；,。=《2+，），其中—1</<0,則（

2

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】C

【角星析】由一故;￡(一8,—1),故〃=/一；〉0,

由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得6=.+；<-(1+1)=-2,

c=/(2+/)v0,=t-(2+t^=t2+2t=(Z+1)2-12-1,

綜上所述，有b<c<a.

故選：C.

題型二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式

3

【典例2?1】已知〃>0且*1,P=loga(?+1),Q=loga(/+1),則尸與Q的大小關(guān)系為

【答案】尸>Q

32

【解析1P-Q=log”(a+l)-loga(a+l)=loga.

當(dāng)。>1時(shí)，a3+l>a2+l,所以《^>1,貝ljlog.^^>0；

a2+lacr+\

3.13.-i

當(dāng)0<。<1時(shí)，Ov/+ivaZ+i,所以。<^——<1,則bg——>0.

4+l

綜上可知，當(dāng)〃>0且awl時(shí)，尸一。>。，即P>Q.

【變式2-1］已知：a>b>c>0,A=ab+be,B=ac+b2,C=a2+b2,貝！JA、B、。大小關(guān)系是

【答案】C>A>B

【解析】由〃〉b>c>0,^a2>ab,b2>bc,因止匕。=/+片人+匕。=A,

顯然A—5=(4b+Z?c)-(ac+/?2)=(Q-A)S-c)〉0,則力>B,

所以A、B、。大小關(guān)系是C>A>艮

故答案為：C>A>B

題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍

【典例3?1】（多選題）已知2<&<4,則（）

a

A.—G

b

C.?-3Z?G(-11,0)D.a—3bw1—6,—5)

【答案】BC

3

【解析】依題意2<Z?<4,

所以所以<3,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤,B選項(xiàng)正確.

4b24b

所以-12<—36<-6,所以-ll<a-2/?<0,所以C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC

【典例3-2】已知-IVx+yVl,l<x-y<3,則3x-2y的取值范圍是（）

A.2<3x-2y<8B.3<3x-2y<8C.2<3x-2y<7D.543x-2yW10

【答案】A

【尚軍析】設(shè)3%—2y=根（％+?。┮弧ǎ▁-y）=（加一〃）%+（根+〃）y,

1

（。m=—

\m-n=3915/

所以解得「即可得力-2y=g（z%+yx）+?（尤-y）,

I+〃=—，D22

in=—

I2

因?yàn)橐籙+yWl,l<x-^<3,

所以2?3九一2y=3（%+>）+萬（%—丁）W8,

故選：A.

【典例3?3】已知l?a-Z?W2,3<?+Z?<4,則次?的最大值為（）

15Q

A.—B.-C.3D.4

42

【答案】A

【解析】4ab=（a+b）2-（a-b）2,

由不等式的性質(zhì)9?（a+Z?）2?16,iw（，叫2?4,所以-40—（a—bp4—1

所以5W(。+力>—{a—b)2<15,所以TKab<—,

44

5

(〃+b)2=16a=—

當(dāng)且僅當(dāng)'I時(shí)，且已知，+人>0M—>>0,解得<2

[(a，y=l

b=-

即成的最大值為

4

故選：A.

【變式3-1](多選題)已知實(shí)數(shù)x,y滿足-3<x+2y<2,-l<2x-y<4,貝。()

A.x的取值范圍為(-1,2)B.>的取值范圍為(-2,1)

C.%+>的取值范圍為(-3,3)D.彳一丁的取值范圍為(-L3)

【答案】ABD

【解析】利用不等式的性質(zhì)直接求解.因?yàn)門<2無一y<4,所以一2<4x—2y<8.因?yàn)?3<x+2y<2,所以

4

-5<5x<10,貝U-l<x<2,故A正確；

因?yàn)?3<x+2y<2,所以-6<2x+4y<4.因?yàn)?l<2x-y<4,所以-4<-2x+y<1,所以一10<5y<5,

所以-2<y<l,故8正確；

936114

因?yàn)?3v%+2yv2,—lv2%—yv4,所以—]<](%+2y)vvg(2x—y)V《，則一2v%+yv2,故C錯(cuò)

誤;

2133312

因?yàn)?3<%+2yv2,—lv2%—yv4,所以一^<—^(%+2>)<],—]v](2x—丁)<二，貝!J-l<x—y<3,故0

正確.

故選：ABD.

題型四：糖水不等式

【典例4-1］（多選題）生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們：〃克糖水中有匕克糖（a>0,b>0,且a>6）,若再添加

h77+m

m克糖（相>0）后，糖水會(huì)更甜.于是得出一個(gè)不等式：竺，趣稱之為“糖水不等式”.根據(jù)“糖水不

aa+m

等式”判斷下列命題一定正確的是（）

八「ibb+m

A.若a>>0,m<0,貝U—<------

aa+m

B.log32<log1510

bc

C.若a,b,c為例三條邊長,則+言----"->-1---+--C

三條邊長，則1<二+上+三<2

D.若a,b,c為

b+ca+ca+b

【答案】BCD

【解析】A.由糖水不等式得：a>b>0,加<0時(shí)，,故A錯(cuò)誤.

aa+m

1_=l黃g2<l念g2+意1g5=IglO[ic。，

82111rls故B正確.

cababa+bC

C.------+------>-----------+------->-----,故C正確.

1+a1+Z?1+Q+Z71+a+Z?1+Q+Z?1+C

—abcabc

D.------+-------+------->-----------+-----------+-----------=1,

b+ca+ca+ba+b+ca+b+ca+b+c

abc2a2b2c。,心仁十花

-------1---------1-------<-----;------1------;------1------:-----=2,故D正確.

b+ca+ca+ba+b+ca+b+ca+b+c

故選：BCD

【變式4-1］（1）已知加糖水中含有華糖（6>。>0）,若再添加〃zg（〃z>0）糖完全溶解在其中，則糖

5

水變得更甜了（即糖水中含糖濃度變大）.根據(jù)這個(gè)事實(shí)，則?產(chǎn).(填“>,<,=,>,w"之一).

0b+m

/C、“20192019220192016._一八由“，，、、

(2)M=-------------,N=---------,則nMN(填“>,<,二，>,v"N一).

2023202320232020------——

【答案】<>

.【解A析n.】⑴.?a丁ka+ma(b+帥m)-b+(a:+m))=麗(a-b苗)m

X,?*0<<2<Z?,m>0,

aa+m(a-b)m八aa+m

-----------=<u,BQprl—v--------

bb+mb(b+m)-----------bb+m

?、Ed”20192016+3z20192016

(2)因?yàn)镸=-----------------,N=--------------,

20232020+320232020

故M>N.

故答案為：<；>.

題型五：基本不等式及其應(yīng)用

【典例5-1】下列不等式證明過程正確的是（）

A.若a,beR,則配2咨叵=2

ab\ab

B.若x>0,y>0,則1gx+1gy>2JigxOgy

C.若x<0,則x+3=-4

xYx

D.若x<0,則2,+Z*>2J2*?2一，=2

【答案】D

【解析】可能為負(fù)數(shù)，如2=:=_1時(shí)，2+;=一2,；.A錯(cuò)誤；

ababab

lg%,lgy可能為負(fù)數(shù)，如lg%=lgy=-l時(shí)，lg%+lgy=_2,2jlgx」gy=2,，B錯(cuò)誤;

444

x<0,—<0,如x=—1,—=-4時(shí)，xH—=—5<—4,；.C錯(cuò)誤；

xxx

?：x<0,2"e(0,l),，2，+2T>2戶k=2，當(dāng)且僅當(dāng)2工=2-工，即x=0等號(hào)成立，，D正確.

故選：D.

【變式5-1］下列結(jié)論正確的是（）

2

A.當(dāng)％<2時(shí)，XH--—>4B.當(dāng)x?2時(shí)，x+一的最小值是2枝

x-2X

C.當(dāng)了>0時(shí)，Vx+^>4D.當(dāng)x>0時(shí)，尤+」7的最小值為1

X+1

6

【答案】C

【解析】對(duì)于A,當(dāng)x=0時(shí)，》+-^=二，故A錯(cuò)誤,

x—22

對(duì)于B,當(dāng)x>0時(shí)，X+->2A/2,當(dāng)且僅當(dāng)工=及時(shí)等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤，

X

對(duì)于C,當(dāng)x>0時(shí)，4X+^>4,當(dāng)且僅當(dāng)石=下即x=4時(shí)等號(hào)成立，故c正確,

7x

對(duì)于D,當(dāng)x>-1時(shí)，x+l-\-----122-1=1,當(dāng)且僅當(dāng)x+l=即x=0時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤,

x+lX+1

故選：c

題型六：直接法求最值

【典例6-1］若實(shí)數(shù)X、y滿足x+2y=l,則2*+4y的最小值為.

【答案】2也

【解析12x+4y>2V2'x4v=2/2,x22y=212"2y=20，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,

即x==：時(shí)取到等號(hào).

24

故答案：2庭.

【變式6-1］下列函數(shù)中最小值為4的是（）

A.y=x2+2x+4B.J=lsinxl+

,4

C.y=2'+22-XD.y=lnx+—

Inx

【答案】c

【解析】對(duì)于A,y=x2+2x+4=（x+l）2+3>3,當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為3,A不符合

題意；

對(duì)于B,因?yàn)?<binx|<l,>=忖11司+「-22〃=4,當(dāng)且僅當(dāng)卜inx|=2時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以

|sinJC\

其最小值不為4,B不符合題意；

4f—

對(duì)于C,因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)镽,而2*>0,3；=21+22-^2'+—>2^4=4,當(dāng)且僅當(dāng)2，=2，即x=l時(shí)取

2

等號(hào)，所以其最小值為4,C符合題意；

4

對(duì)于D,y=\nx+--,函數(shù)定義域?yàn)椋?/）（L+oo）,而InxcR且InxwO,如當(dāng)lnx=—l,丁=一5,D不

Inx

符合題意.

故選：C.

7

題型七：常規(guī)湊配法求最值

OA1Q

【典例7-1】已知。>0,6>0,且必=1,則4+；+-^的最小值為一，止匕時(shí)。=—.

ab2a+b

【答案】125或1

ozv/i4〃/?

【解析】因?yàn)楸?1,所以+竿=4。+26=2（2。+6）,

ab

所以2+t+F7=2（2a+6）+F722A=12，當(dāng)且僅當(dāng)2a+b=3時(shí)取到等號(hào)，

ab2a+b'72a+b

QA1Q

故4+:+廣7的最小值為12，

ab2a+b

[2a+b=3,[a=\a=—1,、

此時(shí)滿足仁,,解方程得7?或2,故。二或1.

\ab=l\b=l7c2

L[b=2

故答案為：12；《或1

4

【典例7?2】函數(shù)/（力=3%+2+1有（x>0）的最小值為.

【答案】40-1/-1+4百

【解析】因?yàn)椋?gt;0,所以無+1>1,

44I4-l

所以7（x）=3x+2+——=3x+3+-----1>2/3（x+l）x------1=473-1,

JC+1X+1VX+1

當(dāng)且僅當(dāng)3（x+l）=9時(shí)，即工=半一1時(shí)，等號(hào)成立，

故〃x）的最小值為4百-1.

故答案為：473-1

【典例7-3】當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)y=3+x+x?的最小值為（）

1+X

A.2A/3B.2小-1

C.2^3+1D.4

【答案】B

【分析】使用變量分離，將y=3+x+-化為y=3+x+x?=±+彳=±+,使用基本不等式解

1+x1+x1+X1+X

決.

【詳解】因?yàn)闊o>0,所以y=^^=±+x=3+（x+i）-i22、p—（x+l）-l=2石一1,當(dāng)且僅當(dāng)

1+X1+X1+XV1+X

8

3

4=尤+1,即x=g-l時(shí)，等號(hào)成立.故選：B.

【變式7-1］已知t>0,則3+f的最小值為

【答案】6+111+6

【解析】因?yàn)?>0,

所以著

-1+5

>1+2

當(dāng)且僅當(dāng)2（2：+1）=嗎"，即,=與1時(shí)，等號(hào)成立.

所以若+'的最小值為退+L

故答案為：A/3+I.

【變式7-2］（1）已知0<x<l,則M4-3x）取得最大值時(shí)x的值為

1

（2）已知xvg,貝1］/食）=4工-2+;;-^的最大值為________

44.r-5

（3）函數(shù)y=土-4上-2。>1）的最小值為.

X-1

【答案】:12\/3+2/2+2^3—

【解析】解：（1）x（4-3x）=|x3x（4-3x）<|x+4

3

2

當(dāng)且僅當(dāng)3x=4—3x,即x=§時(shí)，取等號(hào).

7

故答案為：~.

（2）因?yàn)?所以5-41>。,

4

1

貝iJ〃x）=4x-2+（5-4x）++3<-2J（5-4x）x^-+3=l,

5-4%

當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=即x=l時(shí)，取等號(hào).

5-4無

^/（x）=4x-2+—的最大值為1.

4x-5

故答案為：1.

9

%?+2(%2—2x+1)+(2x—2)+3(x—I)2+2(x—1)+3

(3)y=-----=----------------------=-----------------

x-1x-1x-1

=x-l+^—+2>2>/3+2.

x—1

當(dāng)且僅當(dāng)x-l=5,即x=6+l時(shí)，等號(hào)成立.

x-1

故答案為：24+2.

【變式7-3]下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有()

A.如果X<。，那么y=x+'的最小值是2

X

B.如果x>0,y>0,x+3y+孫=9,那么孫的最大值為3

C.函數(shù)〃尤)=上心的最小值為2

D.如果。>0,b>0,且」7+Jy=l，那么a+b的最小值為2

a+\1+b

【答案】BD

【分析】對(duì)A.如果x<0,那么y=x+,<0,命題不成立；

X

對(duì)B.使用基本不等式得9=x+3y+個(gè)226JH+型即可得孫的最大值；

對(duì)C.函數(shù)八到二47贏+[±7,當(dāng)且僅當(dāng)正工=1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)X無解；

對(duì)D.根據(jù)題意構(gòu)造。+6=(。+1)+伯+1)—2,將，，1”替換為￡+￡,代入用基本不等式求解.

【詳解】對(duì)于A：如果尤<0,那么丫=無+,<0,最小值是2不成立；

X

對(duì)于B：如果x>0,y>0,x+3y+盯=9,

貝!]9=x+3y+孫之2^/^/^+孫，整理得+2y/3^[xy-9<0,

所以0v而46，當(dāng)且僅當(dāng)y=LX=3時(shí)取得最大值，所以孫的最大值為3,故B正確；

對(duì)于C：函數(shù)〃力=壬巨=A/Z/+^^=22,當(dāng)且僅當(dāng)工￡=1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)X無解，不能取

Vx+4A/X2+4

得最小值2,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：如果Q>0,b>0,且-+--7=1，

a+11+Z?

那么Q+Z?=(Q+1)+S+1)—2

1+1+RQ+1)

?+iJ-2

〃+1

10

22+2、絲）四-2=2,當(dāng)且僅當(dāng)。=1/=1時(shí)取得最小值，故D正確.

b+1

故選：BD

題型八：化為單變量法

【典例8-1］若正實(shí)數(shù)滿足必=2。+人，則。+2》的最小值是.

【答案】9

【解析】解析——:〃人一萬=（4一1）8=2〃=人=^^（〃>1）,

4a44

貝lJa+2〃=Qd-------=Q+4H--------=a-l-\---------1-5>4+5=9,等號(hào)成立時(shí)a=3,b=3.

a-1a-1a-1

所以〃+2萬的最小值是9.

角窣析二:cib—2a—b=0=>（々-1）（/?—2）=2,

則〃+2匕=〃一1+26—4+522也（〃一03—2）+5=9,

a-]=2b—4[ci—3

等號(hào)成立時(shí)=>,，所以a+2b的最小值是9.

a+2b=9[6=3

故答案為：9.

【變式8-1]已知x>0,>>0,xy+2x-y=10,則x+y的最小值為.

【答案】4應(yīng)-1/-1+4應(yīng)

【解析】因?yàn)閤>0，y>。且孫+2x-y=l。，

2+10

所以x=

y+2

所以無+y=2±12+y=^_+>+2-1221一^——（y+2）-1=4拒一1,

y+2y+2”+2

8—

當(dāng)且僅當(dāng)不^=，+2,即y=2也-2,尤=1+2行時(shí)，等號(hào)成立,

故x+y的最小值為40-L

故答案為：472-1.

題型九：T”的代換求最值

121

【典例9-1】已知x>。,?0,且川丫W(wǎng),叫+7的最小值為

【答案】16

11

【解析】-+-=2|-+-|（x+2j）=8+^+—>8+2j^--=16,

xy\xy

當(dāng)且僅當(dāng)包=在時(shí)等號(hào)成立.即當(dāng)尤=J,y=：時(shí)，,+工取得最小值為16.

兀y48X）

故答案為：16.

171

【典例9-21已知實(shí)數(shù)。>0/>2,且一-+則久+b的最小值是

。+1b-23

【答案】24

171

【解析】因?yàn)椤?gt;08>2,且—=+三==,

fl+1b-23

36

所以市+二

~b^21,

所以2a+b=[2(a+l)+"2巾高+白卜6+6+*h%?

()(

3b-2L12a+l)L

>12+2AP——?———=24，

Va+1b-2

當(dāng)且僅當(dāng)3伍一2)J2(a+l),即匕_2=2(。+1),。=5,6=14時(shí)等號(hào)成立，

Q+1b—2

故答案為：24

【變式9-1]已知x>l,、>0,且x+?=2,則_1+y的最小值是

yx-1

【答案】3+2A/2/2A/2+3.

22

【解析】由無+―=2,得九-1+—=1,

yy

因?yàn)閤〉l,?>o,

所以無一1>0,丁>。，

所以」+y=(x-l+—^―-+y>l=3+(x-l)y+--^-―>3+2(x-l)y---^――=3+2近,

%-1Iy八1)(i)yv(XT)y

2L

當(dāng)且僅當(dāng)(x-l)y=7——,即尤=0,y=2+0時(shí)，等號(hào)成立，

(x-l)y

所以工+>的最小值是3+2應(yīng).

x-1

故答案為：3+272.

題型十：與。+瓦平方和、"有關(guān)問題的最值

【典例104】（多選題）已知。>。,“0,。+）二"，則（）

12

A.a+b<4B.ab>4

122

C.〃+4bW9D.-yH—5之一

a2b23

【答案】BD

【解析】解析：對(duì)于A和B,因?yàn)閍+b=a"w］等所以a+b24,當(dāng)且僅當(dāng)。=b=2時(shí)，等號(hào)成立,

a+b=ab＞2\［ab,則。6",當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?=2時(shí)，等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤，B正確；

對(duì)于C,若a+b=ab,則一■I--=1,

ab

「a4bLe巴竺=9,

所以a+4Z?=(a+=5+—+——>5+2,

baba

當(dāng)且僅當(dāng)會(huì)?,即。=＞=3時(shí)，等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,若a+b=ab,則1+'=1,

ab

所以

由々＞0,匕＞0及工+?=1,可知?jiǎng)t當(dāng)!=」，

abbb3

319?

即〃=乃=3時(shí)，”十言取得最小值彳，故D正確.

2ab3

故選：BD.

3

【典例10-2］（多選題）已知"＞。,匕＞。,且i一加"貝。（）

1、9

A.a+b>3B.Q<ab<—^ab>—

44

22c1114Tl1,

C.(^-1)+(Z?-1)<|D.1<一+—W—或一十—24

ab3ab

【答案】BD

【解析】對(duì)于A,->0,b>0,W("；"),

因?yàn)镼+—=m,.?.0=a+/7—4/7〉Q+/?—,

44I2J

令t=a+b,得產(chǎn)一41+320,解得或即0<。+匕《1或Q+Z?N3,

13

當(dāng)且僅當(dāng)Q=h=5或］時(shí)，等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤;

__3__19

對(duì)于B,a+b>2yfab,—>2\[ab-ab,解得0<QZ?W—或。ON—,

444

13

13

當(dāng)且僅當(dāng)或a=b=5時(shí)，等號(hào)成立，故B正確;

31

對(duì)*于1C,4+Z?—ub——，.二(b—1)(〃—1)=—，

44

所以m_ly+s_z2s-i）m-i）=2x-=-,

42

13

當(dāng)且僅當(dāng)或。=6=］時(shí)，等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤;

11ra+b-ab3

對(duì)于D,—+——1=------------=------

abab4ab

19331

由選項(xiàng)B知，0<Q〃4一或〃。,所以>3或0<<—,

444ab4ab3

則，+?之4或故D正確.

abab3

故選：BD.

【變式10-1](多選題)若〃>0,b>Q,a+b=S,則下列不等式恒成立的是()

A.yfab<4B.y[a+4b>4

149

C.?2+Z?2>32D.-+

abS

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,。>0,Z?>0,a+b=S,則4^?a；0=4,

[a=b

當(dāng)且僅當(dāng)7Q,即。=b=4時(shí)取等號(hào)，A正確；

[a+b=S

對(duì)于B,a>0,b>0,(6+G)=〃+b+2?K=8+2血F48+2x4=16,

又6+揚(yáng)〉0,則&+揚(yáng)W4,當(dāng)且僅當(dāng)〃4=4時(shí)取等號(hào)，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,〃>0,b>0,貝1」4+/=(〃+與2—2〃人=64—2〃〃264—=32,

當(dāng)且僅當(dāng)〃=b=4時(shí)取等號(hào)，C正確；

141141b4a

對(duì)于D,a>0,b>0,a+b=S,貝!]—+—=—(—+—)(a+b)=—(54----1)

ab8ab8ab

I-------b_4a

>-(5+2.當(dāng)且僅當(dāng)廠石，即°=為=學(xué)時(shí)取等號(hào)，D正確,

833

3°8[a+b=S

故選：ACD

【變式10-2］（多選題）已知正數(shù)x,y滿足無2+肛+/=9,貝U（）

A.xy<2B.x2+y2>6

14

C.x+y<1\[3D.x+y>6

【答案】BC

【解析】對(duì)于A：因?yàn)?-盯=/+產(chǎn)22孫，所以qW3,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=否時(shí)取等號(hào)，所以孫V2不恒

成立，故錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)閷O=9-(/+丁2)旦/+》222孫，所以9-(x2+y2)wg(Y+y2),

所以/+;/26,當(dāng)且僅當(dāng)了=>=6時(shí)取等號(hào)，故正確；

對(duì)于C：因?yàn)?+2孫+丁=9+孫，所以(％+>)2一9=芍4(土產(chǎn))，

所以尤+y)2?9,所以尤+yV2jL當(dāng)且僅當(dāng)x=y=后時(shí)取等號(hào)，故正確；

對(duì)于D：由C可知錯(cuò)誤；

故選：BC.

題型十一：多次運(yùn)用基本不等式

【典例11-1］已知。>0,b>0,且必=32,貝IJ4a2+b+缶'力的最小值為一

【答案】64

【解析】法一：因?yàn)閍>0,b>0,所以4a2+6W2,4a%=4a加，

當(dāng)且僅當(dāng)2a=揚(yáng)，即。=2,6=16時(shí)，等號(hào)成立，

所以4aa>+缶-b>2,4缶』?廬=2,4應(yīng)x32)=2^32^x32^=2阮7=64'

當(dāng)且僅當(dāng)4a&=1五力,即。=2,6=16時(shí)，等號(hào)成立.

所以4/+b+缶'力的最小值為64.

法二：因?yàn)椤?gt;0,b>0,ab=32,

所以4a2+b+缶+4^

=Ayjab-a+J2ab-b=4j32a+J64b=16A/2-4a+8\［b

=8(2萬&+揚(yáng)慳8x2向二質(zhì)=16,2A歷x任=64,

4/=b

當(dāng)且僅當(dāng)2a?&=柩，即［：=1時(shí)，等號(hào)成立.

,8=16

ab=32I

所以4/+b+的最小值為64.

故答案為：64.

15

【變式11-1］若“>0,6>0,貝讓+9+6的最小值為____________

ab

【答案】2&

【分析】?jī)纱卫没静坏仁郊纯汕蟪?

【詳解】a>0,b>0f

底+3+匕2新=2④,

當(dāng)且僅當(dāng)工=二且￡=b,即a=萬=亞時(shí)等號(hào)成立，

abb

所以5+右+》的最小值為26

故答案為：20.

題型十二：多元均值不等式

【典例12-1］已知孫=1（彳>0）,則16%+爐的最小值為

【答案】12

【解析】依題意，盯=l（x>0）,則y>0,且y=L

X

16尤+=8x+8xH——N3}8JC?8x——=12,

當(dāng)且僅當(dāng)8x=-Ux=g,y=2時(shí)等號(hào)成立.

故答案為：12

【方法技巧】

〃聞%心,...為正數(shù).

a1+a2+a3+......+a24%.......4,0pa,,

【變式12-1］已知xyz+y+z=\2,則log4x+log2y+log2z的最大值為

【答案】3

【解析】由已知條件有12=Ayz+y+z..3,孫?z2,xy2z2?64,

22

貝log4X+log2y+log2z=log4(xyz)?log464=3,

當(dāng)且僅當(dāng)X=；,產(chǎn)z=4時(shí)取得最大值3.

故答案為：3.

題型十三：萬能K法

【典例13-1］已知實(shí)數(shù)員［滿足尤2+盯+3/=3,則x+y的最大值為（

16

A3\/llR6A/T70A/3+1口A/3+3

111133

【答案】B

［解析］令仁x+y,貝!

方程尤2+盯+3)?=3可化為《_?+(/_》+3y2_3=0,

整理得3J_。+/-3=0,貝。滿足A=(-02-12(r2-3)>0,

解得『4羽，所以一冬叵(區(qū)/，即x+y<2叵，

11111111

所以尤+y的最大值為小叵.

11

故選：B.

【方法技巧】

利用一元二次方程有實(shí)數(shù)根時(shí)420.

【變式13-1】已知實(shí)數(shù)滿足“2+4。2+.6=1,貝的最大值為一.

【答案】勺叵岳

1515

【解析】原方程可化為462+必+/_1=0,

故△=1-16(片-1)20,故16-15/20,故-^

當(dāng)4小葉,岳

3Q=--------呵,b=----------,

1530

故。的最大值為勺叵