絕密★考試結(jié)束前

2025屆遼寧省鞍山市高三二輪復習聯(lián)考(三)

數(shù)學試題

考試時間為120分鐘，滿分150分

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫

在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1

z----

1.復數(shù)1+i的虛部是()

11

A.1B.-C.--D.—1

22

2.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為5“，且%-卬=12,S5-S2=3,則4=()

A.5B.6C.7D.8

3.已知向量￡=(2,-1),5=(4,3),則向量［在向量書方向上的投影向量是()

4.已知函數(shù)/(x)=cos2x-cosx,則函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,2可上的零點個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

5.在高為Y的正四棱臺45C?！?呂G2中，AB=2,AXB{=1,則此四棱臺的外接球的表面積是

()

A.4兀B.671C.871D.IOTI

6.記曲線C：x2+y2-2|x|-2|y|=0(x2+y20),若直線QX+@+1=0與曲線。相切，則。=

)

A.±4B.±2C.±-D.±-

—42

r'，管,ono,A,￡ono\V3cos20O-sin20°

7.計算：tan20+1+V3tan20--------尸------=()

'7cos20°+V3sin20°

A.—B,V3C.D.1

33

8.已知函數(shù)/(%)=,一同一/一。，當％>0時，/(%)<0,則。的取值范圍是()

A.(-oo,0]B,(-。,8]C.[0,8]D.[0,4]

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知拋物線C：/=8x的焦點為尸，過點尸的直線/與C交于A,B兩點,則下列說法正確的是

()

A.焦點F到拋物線C的準線的距離為8

11_1

B-可+而一]

C.若4B的中點的橫坐標為3,則|力尸|忸可二；20

D.若2忸同=\AF\,則SAAOF=472

10.已知函數(shù)-3辦2+9X+M,則()

A.3?eR,使得/⑴為單調(diào)函數(shù)

B.VaeR,/(x)的圖象恒有對稱中心

C.當。=2時，/(X2)>/(5X+4)

D.若占，x2,凡是方程/(%)=0的三個不同的根，則xYx2+西七+x2x3=9

11.已知V48C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,A=60°,/A4c的平分線幺。交3C于

D,AD=2,則下列說法正確的是()

A.Ab+c的最小值為6G

BDsinB

B.——=----

CDsinC

C.-------1-------的最大值是K

BDCD

D.V4SC的周長的取值范圍是［4G,+S)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知數(shù)列｛%｝滿足4+2=3a“,%=1,則成=.

13.已知=——是奇函數(shù)，則a+6=

14.從1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3個不同的數(shù)，且這三個數(shù)之積為偶數(shù)，記滿足條件的這三個

數(shù)之和為X；從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，且這兩個數(shù)之積為偶數(shù)，記滿足條件的兩個數(shù)之和

為y.則尸(X=y)=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.某校有高一學生1800人，高二學生1200人，學校采取按比例分配的分層抽樣的方式從中抽取100人

進行體育測試.測試后，統(tǒng)計得到高一樣本的一分鐘跳繩次數(shù)的均值為165,方差為61,高二樣本的一分鐘

跳繩次數(shù)的均值為145,方差為31.

(1)計算總樣本的一分鐘跳繩次數(shù)的均值和方差；

(2)將一分鐘跳繩次數(shù)2125視為及格，整理出以下列聯(lián)表:

及格不及格合計

高一52860

高二38240

合計9010100

試根據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，分析一分鐘跳繩次數(shù)及格情況是否與年級有關(guān)；(結(jié)果保留小數(shù)

點后三位)

(3)如果將(2)表格中的所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，在相同的檢驗標準下，再用獨立性檢驗推斷

一分鐘跳繩次數(shù)及格情況與年級之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)果還一樣嗎？請你試著解釋其中的原因.

2n\ad-bcy

附:’(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)n=a+b+c+d.

z2獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應的臨界值.

a0.10.050.010.0050001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

16.已知函數(shù)/(x)=a(x-4)~+61nx.

(1)若曲線y=/(x)在點(1J⑴)處的切線過點(0,9),求。的值;

(2)求/(x)的極值點.

=l(a〉b〉0),點2(26,0)在橢圓C上.橢圓上關(guān)于原點對稱的任意兩個不

17.已知橢圓C：22

/b2

與點A重合的點？、。和點A連線的斜率之積為

(1)求橢圓C的方程；

(2)若一條斜率存在且不為0的直線/交橢圓C于/,N兩點，且線段的中點尺的縱坐標為-1,

過R作直線.定點￡(2,1)到直線r的距離記為did的最大值并求出對應的直線r的方程.

18.如圖，底面為正方形的四棱錐P—4BC。中，AD=2PA=2,PD=M，記/尸48=9,

6*e（0,71）.

(1)證明：△P8C為直角三角形；

(2)當四棱錐P-483的體積最大時，求平面P與平面尸5c所成角的余弦值;

(3)記直線NC與平面尸所成角為a,求sin媛的最大值.

19.對于非空數(shù)集S,7={,一川x,yeS},若T=S,則稱數(shù)集S具有性質(zhì)

⑴若數(shù)集S具有性質(zhì)證明：OeS；判斷S]={0,1,2,3},星={0,1,2,5}是否具有性質(zhì)M,并說

明理由.

(2)若S={al，a2，a3，…，a“}(〃23)滿足①%=0；②Vi,JeN*,當j</時，都有生<。八

(i)判斷“數(shù)集s具有性質(zhì)是否是“數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列”的充要條件，并說明理由；

(ii)已知數(shù)集s具有性質(zhì)河且4=104，ZqS,求數(shù)集A具有性質(zhì)〃的概率.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1

z=-----

1.復數(shù)1+i的虛部是()

11

A.1B.-C.——D.-1

22

【答案】C

【解析】

【分析】先化簡給定復數(shù)，再利用虛部的定義求解即可.

11-i1-i1i

【詳解】因為2=下=而產(chǎn)=可=3一或

所以其虛部為-工，故C正確.

2

故選：C.

2.已知等差數(shù)列｛4｝的前"項和為S“，且%-％=12,S5-S2=3,則牝=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出公差及的，進而求出火.

【詳解】在等差數(shù)列｛%｝中，由%—%=12,得公差4=與年=4,

又+&+。3=S5—S2=3,即3a4—3,解得=1，

所以%=。4+2=5.

故選：A

3.已知向量￡=(2,-1),5=(4,3),則向量￡在向量行方向上的投影向量是()

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)投影向量的公式可求投影向量.

a-b-8-3-1-f43

【詳解】向量z在向量區(qū)方向上的投影向量為旃

故選：A.

4.已知函數(shù)/(x)=cos2x-cosx,則函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,2可上的零點個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】由二倍角余弦公式結(jié)合求解一元二次方程得到［0,2可上的零點即可.

【詳解】/(x)=cos2x-cosx=2cos2x-cosx-l=(2cosx+l)(cosx-l),

由/(x)=0,得cosx=1或cosx=—■-,即x=2E或x=，+2E或x=如+2E,kwZ.

233

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,2可的零點是0,苛,學,2兀4個.

故選:D

5.在高為孝的正四棱臺48CQ—4與。12中，AB=2,4及=1,則此四棱臺的外接球的表面積是

()

A.4TIB.6兀C.8兀D.10K

【答案】D

【解析】

【分析】確定上底面和下底面的中心，連接兩個中心跖V,分球心在線段上和延長線上兩種情況，利

用勾股定理列出方程即可求解.

【詳解】如圖，正四棱臺ABC。-481GA中，M、N分別是上、下底面對角線交點，即上、下底面中

心，是正四棱臺的高，MN=—

2

MB.=^lxl=—,A?=—x2=V2.

1222

由對稱性外接球球心。在直線跖V上，設球半徑為「，連接。c,oq,C.M=—，CN=C，

2

若。在線段跖V上（如圖），由（W+ON=W得

,所以方程無實數(shù)解;

因此。在"N的延長線上（如圖），即在平面N5CD下方,

去解得,甘

所以球表面積為S=4Tlz2-10兀.

故選：D.

6.記曲線C：x2+y2-2|X|-2|7|=0（X2+y2^0）,若直線ax+ay+l=0與曲線C相切，則。=

（）

11

A.+4B.+2C.i—D.i一

—42

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)方程確定曲線C,并畫出曲線與直線的示意圖，根據(jù)相切關(guān)系，數(shù)形結(jié)合及點線距離列方程

求參數(shù)值.

【詳解】當x?0,y20,C:x2+y2-2x-2y=0,則C:(x—1了+(y—1了=2,

當x20,y<0,C:x2+y2-2x+2y=0,則C:(x-+(y+=2,

當x<O,y?O,C:x2+y2+2x-2y=0,則C:(x+l)?+(y—1了=2,

當x<0,y<0,C:x2+y2+2x+2y=Q,則C:(x+1)?+(y+1)?=2,

顯然。工0,直線?+町+1=0的斜率為-1,如下圖示，

則原點到直線的距離d=/J,=2貶,所以。=±L

故選：C

7.計算：tan20°+(1+6tan20。)瓜。$20。7sm20。=()

'7cos20°+V3sin200

A.-B.73C.D.1

33

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系切化弦，再化簡計算求值.

…岳八+on。/一瓜+\V3cos20°-sin20°

【詳角軍】tan20°+1+V3tan20o------------尸-------

,7cos20°+V3sin20°

_sin20°+，]+Gsin20°]Gcos20°-sin20°

cos20°〔cos20°Jcos20°+V3sin20°

_sin20°cos20°+百sin20°]V3cos200-sin20°

cos200+[cos20°Jcos200+V3sin20°

=-si-n-20-°-1-V--3c-o-s2-0-°--s-in-2-0-°

cos20°cos20°

_V3cos200_G

cos20°

故選：B.

8.已知函數(shù)/(x)=,2一同—一—。，當了＞0時，/(x)＜0,則a的取值范圍是()

A.B.(-叫8]C.[0,8]D.[0,4]

【答案】C

【解析】

【分析】分。＞0,。=0,。＜0三種情況/(“40恒成立化簡，再結(jié)合參數(shù)分離應用基本不等式計算求參.

【詳解】函數(shù)/(x)=,2-a--一口，當x＞0時，/(%)＜0,

當a=0時，/(x)=|x2|-x2=0,符合題意；

當q＜0時，函數(shù)/(x)=,？一口耳_工2—a=J-ax—x?-a=-ax-a＞0,不符合題意；

當。＞0時，函數(shù)/(%)=k2-辦卜一一。＜0恒成立，所以一必一口＜必一如＜必+a恒成立，

因為一ax＜0＜a,所以必一0%＜必+。恒成立，

所以一爐一4＜必一?恒成立，即得a(x-l)=ax-a42x2,

當xe(0,1)時，a(x-l)=ax-aW2必恒成立，

當xe(l,+co)時，口三2二恒成立，

X—1

令x-l=f＞o,q《2(，+l)=2'+2/+1=2。+2+1]恒成立，

tL/」I工

因為7+2+122、/xl+2=4,當且僅當f=1時取最小值4,

tVt

所以aW2/+2+1=8,符合題意；

v/min

則。的取值范圍是[0,8].

故選：C.

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知拋物線C：>2=8%的焦點為77,過點尸的直線/與C交于A,B兩點，則下列說法正確的是

()

A.焦點F到拋物線C的準線的距離為8

11_1

B，西+西

C.若4B的中點的橫坐標為3,則|幺尸］忸耳=20

D.若2忸同=|4司,則S△皿=4及

【答案】BCD

【解析】

【分析】由拋物線方程確定焦點坐標，及準線方程可判斷A,通過斜率存在，或不存在兩種情況討論，結(jié)

合焦半徑公式可判斷B,結(jié)合B,及焦半徑公式可判斷C,通過2忸司=|4F|確定直線4B的斜率為

2也，得到直線48的方程為》=手；；+2,聯(lián)立拋物線方程求得A坐標，即可求解.

【詳解】拋物線C:—=8x的焦點為尸(2,0),準線/：X=—2,尸(—2,0),

所以焦點廠到拋物線C的準線的距離為4,A錯誤；

設」(國,7),3(%2,%)

當直線N8垂直于》軸，可得西=%=2,

所以|幺同=忸-=4,得由+的=5

/=8x

當直線48不垂直于y軸，設方程為X=7町+2,由＜^y2-Smy-16=0，

x=my+2

=8m/2

則J,

[%%=-1688

11_11_(玉+%2)+4_(西+%2)+4_1

|AF||BF|再+2x2+2+2(%i+%)+42(/+%2)+82

對于C,由48的中點的橫坐標為3,可得：國+工2=6,

|^F|+|J5F|=X1+X2+4=10,

11_\AF\+\BF\_1

^\AF\\BF\M司忸司2,

所以|外|忸刊=20,C正確；

對于D,

過點45作44]Ll,BB\LI,直線AB與X軸分別交/與點瓦

設1/可==2機，則忸叫=叫44]|=2加，

BE\\BB,1..

因BBJ/AA、,則——?=,=-,得\BE\=3m,

1

AE\\AAX2

/函1l

則cos/EBB、—,=—,則tanAEBB=2J2，

BE\3X

故直線48的斜率為2后，直線AB的方程為》=字了+2,

與/=8x聯(lián)立得:2?-16=0,

解得必=4后,%=-2亞，

所以玉=4,

可得：Z(4,4行)，

所以=gx2x4A歷=40,D正確

故選：BCD

10.已知函數(shù)/("=》3一3"2+9%+加，則()

A.maeR,使得/(x)為單調(diào)函數(shù)

B.VaeR,/(x)的圖象恒有對稱中心

C.當。=2時，/(x2)>/(5x+4)

D.若為，x2,X3是方程/(x)=0的三個不同的根，則工也+西七+工2退=9

【答案】ABD

【解析】

【分析】A對函數(shù)求導，假設函數(shù)單調(diào)，并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)列不等式求參數(shù)范圍，即可判斷；B由

/(%)=(x-a)3+(9-3a2)(x-a)+m+9o-2a3,再結(jié)合/(%)+/(2a—x)=2(機+9。—2a)即可判斷；C

應用特殊值x=0判斷；D由/(x)=(x-xJ(x—X2)(x—七)并展開，結(jié)合已知表達式，即可判斷.

【詳解】A：由題設/'(力=3/_6"+9=3(>2_2辦+3),所以/'(x)是開口向上的拋物線，

要使/(x)為單調(diào)函數(shù)，只需必—2辦+320恒成立，即4=4/—12W0，得一百WawJL

所以maeR,使得/⑴為單調(diào)函數(shù)，對；

B：對于f(x)=x3-3ax2+9x+m=(x-a)3+(9-3a2)(x-a)+m+9a-2a3,

所以/(x)+/(2a-x)=2(機+9a-2/),即/(x)恒關(guān)于點(a,機+9a-2a③)對稱，對；

C：由題設/(x)=d—6/+9%+加，若x=0,顯然/(/)=/(0)=機</(5》+4)=/(4)=4+機，

錯;

32

D:由題設/(x)=(X-xj(x-x2)(x-x3)=X_(X]+x2+x3)x+(x；x2+x2x3+x1x3)x-x1x2x3,

Xf(x)=x3-3ox2+9x+m,則西馬+西七+/曰=9，對.

故選：ABD

11.已知V48C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,A=60°,/A4c的平分線幺。交3c于

D,AD=2,則下列說法正確的是()

A.4b+。的最小值為6百

BDsinB

B.=-------

CDsinC

c.----1----的最大值是G

BDCD

D.V48C的周長的取值范圍是［46,+q

【答案】ACD

【解析】

【分析】A應用等面積法及三角形面積公式可得』+!=在，再應用基本不等式“1”的代換求最值；B應用

bc2

正弦定理及ZBAD=ACAD即可判斷;C由正弦定理及已知得工+工=sin5+sinC=Gsin(5+30°),

BDCDv7

即可求最值；D應用余弦定理及基本不等式得b+c2+、q=Js+c)2—2次(b+c)，即可求周長范圍.

【詳解】A:由等面積法有S“BC-S&ABD+S“CD，即

—besinABAC--AD?csinABAD+—AD-bsinACAD,

222

由40=2,A=ZBAC=60°,/A4C的平分線4D交5C于。，

所以也bc=b+c，即

2bc2

匚口、1/72、/11、2_Ab、2

所以4b+c=,(46+c)(—H—)—,(z5H----F—)2?(5+2—--1)=673,

\cb

當且僅當6=6,。=26時取等號，故4b+c的最小值為66，故A對;

BDADCDAD

B：在△48。中,在△/CD中

sinZBADsin5smACADsinC

由/R4c的平分線幺。交8c于。，即N84D=NC4D,故些=二￡,故B錯;

CDsin8

C：由2=々幺。=60°,則80="OsinqAP1CD_4DsinZCAD_1

smBsin5'-sinC-sinC

所以+^—=sin8+sinC=sin5+sin(120°-5)=—sin5+^-cos5=V3sin(5+30°),

BDCD22

又0。<8<120。，即8=60。時，'的最大值是百，故C對;

BDCD

D：由A分析有=b+c22A/^，則AcW"，故b+cw"("c)，

248

84

所以bz+cN耳，當且僅當bz=c=用時取等號,

由/=/+/-2bccosZBAC=(/?+c)2—3bc=(b+c)2-2^3(6+c)，

所以"Js+c)2—2百S+c)，故三角形周長為b+c+J@+c)2—2由(b+c)，

令/=6+。2耳，則周長Z=/+J/2—2G/=/+J?—G)2—3在［耳,+°°)上單調(diào)遞增,

故選：ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知數(shù)列｛%｝滿足4+2=3a“，%=1,則%=.

【答案】81

【解析】

【分析】利用遞推賦值，即可求得結(jié)果.

34

【詳解】由%+2=3%,所以為=3a7=32%—3=3ax=81,

故答案為：81

x

13.已知/(%)=「e_是奇函數(shù)，則。+6=

')cax+b

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)已知函數(shù)是奇函數(shù)，可得1"=/尸,+加-X為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義列式，結(jié)合指數(shù)運

算計算求解.

x1

【詳解】因為/(%)=—e—=——-——為奇函數(shù)，

J')e^+b產(chǎn)一+加一

所以/(力=6—工+6尸為奇函數(shù)，

Z(0)=1+ZJ=0,即b=—1,

則K一切=^5_y=_y-，+尸=_《力恒成立,

則-次+2*_02*=_0"+1，所以a=2,

x

e

當。=2/=—1時，=,經(jīng)檢驗符合題意，

e-1

所以a+b=1.

故答案為：1.

14.從1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3個不同的數(shù)，且這三個數(shù)之積為偶數(shù)，記滿足條件的這三個

數(shù)之和為X；從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，且這兩個數(shù)之積為偶數(shù)，記滿足條件的兩個數(shù)之和

為y.則尸(x=y)=.

%8

【解析】

【分析】先分別求出滿足這兩個條件的情況總數(shù)，再找到滿足x=y的情況，結(jié)合古典概型的概率公式求

解即可.

【詳解】從1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3個不同的數(shù)，要滿足三個數(shù)之積為偶數(shù)，

則這三個數(shù)中至少有1個偶數(shù)，總共有C；-C；=74種取法，

從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，且這兩個數(shù)之積為偶數(shù)，

則這兩個數(shù)中至少有1個偶數(shù)，總共有C；-砥=7種取法.

又Xmin=6,'max=24,^in=3Xax=9-

接下來，找出X和丫相等的情況：

當X=y=6時，滿足條件的取法情況有{1,2,3}?{2,4},共1種情況；

當X=y=7時，滿足條件的取法情況有{1,2,4}~{2,5},{3,4},共2種情況;

當X=y=8時，無滿足條件的情況;

當X=y=9時，滿足條件的取法情況有{1,2,6},{2,3,4}?{4,5},共2種情況,

所以p(x=y)」+2+25

518

故答案為：---.

518

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.某校有高一學生1800人，高二學生1200人，學校采取按比例分配的分層抽樣的方式從中抽取100人

進行體育測試.測試后，統(tǒng)計得到高一樣本的一分鐘跳繩次數(shù)的均值為165,方差為61,高二樣本的一分鐘

跳繩次數(shù)的均值為145,方差為31.

(1)計算總樣本的一分鐘跳繩次數(shù)的均值和方差；

(2)將一分鐘跳繩次數(shù)2125視為及格，整理出以下列聯(lián)表:

及格不及格合計

高一52860

高二38240

合計9010100

試根據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，分析一分鐘跳繩次數(shù)及格情況是否與年級有關(guān)；(結(jié)果保留小數(shù)

點后三位)

(3)如果將(2)表格中的所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，在相同的檢驗標準下，再用獨立性檢驗推斷

一分鐘跳繩次數(shù)及格情況與年級之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)果還一樣嗎？請你試著解釋其中的原因.

2n^ad-bc^

附:’(a+b)(c+d)(a+0乂6+1)n=a+b+c+d.

獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應的臨界值.

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】（1）均值157,方差145

（2）無關(guān)（3）不一樣，結(jié)論變?yōu)橛嘘P(guān)，理由見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)分層抽樣計算均值和方差即可；

（2）根據(jù)卡方檢驗，即可判斷；

（3）計算出新的卡方即可進行判斷.

【小問1詳解】

高一人數(shù)占比竺”=0.6,故樣本量為0.6x100=60,同理高二樣本量為40,

3000

60-165+4011459900+5800…

所以總樣本均值為----------------=-----------=157,

100100

總樣本方差為竺'$1+(165-157)2肚40,i1+(145-157)2114500一…

-------------------------------------------------145?

100100

【小問2詳解】

零假設為》o：一分鐘跳繩次數(shù)及格情況與年級無關(guān),

根據(jù)列聯(lián)表‘.嗎與常F?L852<3.841,

所以根據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，推斷成立，即一分鐘跳繩次數(shù)及格情況與年級無關(guān).

【小問3詳解】

將（2）表格中的所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，

2

nil21000'(520'20-80'380)

貝I]c----------1------------------------------?18.518>3.841,

600'400'900'100

所以根據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，推斷不成立，即一分鐘跳繩次數(shù)及格情況與年級有關(guān),

所以將（2）表格中的所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，結(jié)果不一樣，

因為樣本量增大使得相對差異的絕對值增大，導致卡方統(tǒng)計量顯著上升.

16.已知函數(shù)/（X）=a（x-4）’+61iu.

（i）若曲線y=/（x）在點處的切線過點（0,9）,求。的值；

（2）求/（x）的極值點.

【答案】（1）1；

(2)答案見解析.

【解析】

【分析】(1)利用導數(shù)的幾何意義來求切線斜率，并寫出切線方程，代入點即可求值;

(2)利用導數(shù)研究正負，即可判斷原函數(shù)單調(diào)性和極值點.

【小問1詳解】

求導得/'(X)=2a(x_4)+9,則/'(1)=—6a+6,又有/(l)=9a,

所以曲線V=/(x)在點(1J。))處的切線方程為：j-9o=(-6a+6)(x-l),

又由切線過點(0,9),貝!]9-9。=一(—6a+6)=>a=1；

【小問2詳解】

2ax8ax+6

由(1)可知，f\x)=2a(x-4)+-='-(x>o),

XX

令0(x)=lax1-8QX+6,則0(0)=6.

①當a=0時，對xe(0,+g),有/'(x)=9>0,/(x)單調(diào)遞增，無極值.

X

②當。<0時，/(X)的圖象開口向下，且對稱軸為直線x=2,

又9(0)=6,則9(x)=0在x>0時有一根%]=2—四三五，

a

xe(O,xJ時，e(x)>0,/,(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

xe(xp+co)時，e(x)<0J'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減.

所以/(x)在占處取得極大值，極大值點為西=2-包三巴.

a

③當a>0時，9(x)的圖象開口向上，A=64a2-48a.

3

i.當AWO,即0<a〈一時，有0(x)2O,所以當x>0時，

4

有/'(x)20J(x)單調(diào)遞增，無極值點.

3

ii.當A〉0,即?！狄粫r，在x>0時，"(x)=0,

4

后訴人cJ4a2—3。J4a2-3。

有兩個根x=2-------------,x=2+--------------

2一a3a

xe(0,/)時，G(x)>0J'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增;

xe(x2,x3)時，9(x)<0,/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減;

xe(七,+00)時，9(x)>0,/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增.

/(X)有極大值點x2=2-14aJ3a,極小值點晶=2+3a

~aa

綜上所述，

3

當04。V—時，/(x)單調(diào)遞增，無極值點；

4

當。＜0時，/(x)的極大值點為2-‘4、—3a,無極小值點;

a

當時，/(x)的極大值點為2—J4a2—3a,極小值點為2+包三五

4aa

鵬+片=

17.已知橢圓C：在橢圓。上.橢圓上關(guān)于原點對稱的任意兩個不

與點A重合的點？、。和點A連線的斜率之積為

(1)求橢圓C的方程；

(2)若一條斜率存在且不為0的直線/交橢圓C于/,N兩點，且線段血W的中點尺的縱坐標為-1,

過R作直線/'II.定點￡(2,1)到直線V的距離記為d,求d的最大值并求出對應的直線I'的方程.

22

【答案】(1)—+^=1;

124

(2)75，I''.2x-y+2=0.

【解析】

【分析〉1)設尸(%,%),。(-/,-為)且/#±26,根據(jù)七?幻0=-；，及點在橢圓上求橢圓參數(shù)值，即

可得方程;

”1+81

（2）設/:y=Ax+加，M（X1/）N（X2，%）,點差法得左r-------=~~,進而得到尺（3左,一1）,則

一一再十々3

l';x+ky-2k=0,最后由（_工）?七尸=—1求參數(shù)，直線廠與直線.垂直時，點E（2,l）到直線1的距離

k

最大，應用點線距離公式求d的最大值.

【小問1詳解】

_ynyn

設尸Go,%）,。（一/,-%）且/片±2V3,則kAP=-12a，乜=.包料，

所以kApkA（｝=/°=-1）

XQ—12J

222

又尸在橢圓上，即§+4=1,可得只=〃。—再），

aba

所以〃（1—

3

由A在橢圓上，即故=1，即4=12,故〃（1—得）=—9J,可得〃=4,

22

綜上，橢圓方程為土+2=1;

124

【小問2詳解】

由題意，直線/的斜率存在，設/:y=Ax+m，必）,N（無2，%）,

22222222

由土+江=1,互+區(qū)=1,作差得五二2+%一72=0,

124124124

7M+%1

整理有仁」=一二,

%+%23

因為線段跖V的中點尺，則火（土產(chǎn)，旦產(chǎn)）且外+必=-2,

所以左?上—=—：,可得3左=土土三，故R（3左,一1）,

西+々32

所以直線/'：＞+1=—!（工一3左），即/':x+@—2左=0,過定點/（0,2）,

當直線r與直線EF垂直時，點E(2,l)到直線/'的距離最大4皿=1EF|=7(2-0)2+(1-2)2=舊，

由左EF=*=一1,而(一1)?kEF=-1，可得左=—經(jīng)檢驗滿足題設，

0—22k2

所以d的最大值為V?,直線/':2x—y+2=0.

18.如圖，底面為正方形的四棱錐P—48C。中，AD=2PA=2,0￡>=6，iHZPAB=0,

6,e（0,7r）.

(1)證明：△尸8c為直角三角形；

(2)當四棱錐P-48c。的體積最大時，求平面與平面尸所成角的余弦值;

(3)記直線NC與平面尸3C所成角為求sina的最大值.

【答案】(1)證明見解析

⑶顯

4

【解析】

【分析】(1)由勾股定理逆定理得尸再結(jié)合正方形的性質(zhì)得48_L8C,PAA.BC,根據(jù)線面垂

直的判定及性質(zhì)即可證明；

(2)建立空間直角坐標系，由面面角的向量公式求解即可；

(3)建立空間直角坐標系，由線面角的向量公式及導數(shù)即可求解.

【小問1詳解】

證明：在△P4D中，因為尸幺2+『+22=5=0。2,

所以△?/￡＞為直角三角形，即

又因為四邊形45CD為正方形，所以4D〃5C,48,8C,則尸4L8C,

因為尸Zc45=4尸4幺5u平面PAB,

所以8CL平面尸48,又尸8u平面尸48,

所以BCLPB,所以△尸8c為直角三角形.

【小問2詳解】

當四棱錐P—48。的體積最大時，尸4，平面25。）,

因為48u平面48C。，所以

又4Pc4D=44P,4Du平面040,所以48,平面040,

以A為原點，以/氏尸所在直線為x，N，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示,

則4（0,0,0）,尸（0,0,1）3（2,0,0）,C（2,2,0）,。（0,2,0）,

則麗=（一2,0,1）,麗=（一2,-2,1）,平面PAD的一個法向量為AS=（2,0,0）,

設平面P8C的一個法向量為方=（x,y,z）,

BP?n=—2x+z=0

則〈一取x=l,則為=（1,0,2）,

CP-n=—2x—2y+z=0

2_V5

則cos（亢,AB

=2^/5=T'

所以平面PAD與平面PBC所成角的余弦值為昱.

5

【小問3詳解】

以A為原點，以48,2。所在直線為X/軸，以過點A垂直于平面45CD的直線為z軸，建立空間直角坐

標系，如圖所小,

因為NP45=9,所以尸（cos。,。,sin。），

則BP=(cos8-2,0,sin8).CP-(cos0-2,-2,sin8),

設平面尸BC的一個法向量為應=(%,%,z0),

BP-m=x。(cos。一2)+z0sin8=0

貝隊一取2O=_1,則成二

cos9一2)

CPm=xQ(COS0-2)-2%+z0sin6^=0

因為就二(2,2,0),

sin。sinO

2V2

cos6^-2cos0-2V21

則smcr=cos

22

sin?sin。2cos0-2

2V2XI+1

cos0-2cos0-2sin。

、幾〃、cosx-2/、m-,/、-sin2x-(cosx-2)cosx2cosx-l

設/(X)=—:------,xe(0,7T),則f'(x)=------------J-------------=------j——，

smxsin-xsin2x

令/(x)=0得xJ,

當xe|o,1卜寸，f\x)>0,則/(x)在單調(diào)遞增,

當時，f'(x)<0,則