2024北京重點校高二（下）期末數(shù)學(xué)匯編

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章節(jié)綜合（人教B版）（非解答題）

一、單選題

已知函數(shù)〃1）=皿，則/'（0）的值為（

1.（2024北京海淀高二下期末）)

COSX

A.0B.1C.-1D.兀

2.（2024北京海淀高二下期末）下列函數(shù)中，在區(qū)間卜1,0］上的平均變化率最大的時（）

A.y=x2B.y=x3C.y=D.y=2*

3.（2024北京房山高二下期末）函數(shù)y=/（x）的圖象如圖所示，貝U（）

C.

D.r（i）+r（3）＞o

4.（2024北京豐臺高二下期末）已知函數(shù)/（x）=3x2-cos尤，貝I］（）

A./(-3)</(e)</(7t)B./(Ji)<f(e)</(-3)

C./㈤</(-3)</(e)D./(e)</(-3)</(7t)

5.（2024北京石景山高二下期末）己知函數(shù)/（x）=x+cosx,則下列選項正確的是（）

A./(2)</(7t)</(e)B./(7t)</(e)</(2)

C./(e)</(2)</(7t)D./⑵</(e)</5)

蛆尤＞0

6.（2024北京通州高二下期末）已知函數(shù)〃尤）=，x';若方程=a恰有三個根，則實數(shù)。

x2+2x,x＜0

的取值范圍是（）

A.(0,—)B.[0,-]C.(-1,—)D.(O,-)U{-1}

eeee

7.（2024北京通州高二下期末）設(shè)函數(shù)〃*）為定義在R上的奇函數(shù)，若曲線y=在點（2,4）處的切

線的斜率為10,則［（-2）+/（-2）=（

A.-16B.-6C.6D.16

8.（2024北京豐臺高二下期末）下列求導(dǎo)運算錯誤的是（）

A.（2/—3/+5）=6x?-6xB.（cos2x）'=-sin2x

D.(xe*)=(尤+l)e”

9.（2024北京懷柔高二下期末）已知函數(shù)y=/（元）的圖象如圖所示，則下列各式中正確的是（）

B./,(3)>/,(1)>/(3)-/(2)

C./,(3)>/(3)-/(2)>/,(1)D.r(l)>r(3)>/(3)-/(2)

10.（2024北京懷柔高二下期末）若函數(shù)/（x）=xex-ax,則根據(jù)下列說法選出正確答案是（）

①當。4-。，-曉］時，/（x）在xeR上單調(diào)遞增；

②當ae（-/,0）時，f（x）有兩個極值點；

③當a￡08,一片2］時，/（X）沒有最小值.

A.①②B.②③C.①③D.①②③

11.（2024北京順義高二下期末）若奇函數(shù)〃x）的定義域為（-力,0）。（0,+8）,/（“在（-雙。）上的圖象如

圖所示，則不等式/（"/'（"<0的解集是（）

B.（-l,0）U（l,+ao）

C.（-oo,-l）u（l,+oo）

D.（-l,O）u（O,l）

12.（2024北京順義高二下期末）下列函數(shù)中，圖象不存在與x軸平行的切線的是（）

A.y=—尤3一1B.y=4xC.y=sinxD.y=cosx

13.（2024北京懷柔高二下期末）設(shè)函數(shù)/（尤）='+娛1,曲線y=/（x）在點⑴）處的切線方程為

X

y=2e,貝l|a力值分別為（

A.a=e,b=lB.a=2,b=eC.a=l,b=lD.a=l,b=e

JT

14.（2024北京懷柔高二下期末）已知函數(shù)f（x）=sinx+l,則廣（三）的值為（）

C.-D.B

A.--B.—

2222

15.（2024北京延慶高二下期末）函數(shù)y=2,在x=l處的導(dǎo)數(shù)值為（）

A.2In2B.—

In2

C.1D.2

16.（2024北京延慶高二下期末）曲線y=cosx在尤=o處的切線方程為（）

A.y=0B.y=-l

C.>=%D.y=i

17.（2024北京延慶高二下期末）函數(shù)y=/+2在區(qū)間工2］上的平均變化率為（）

A.3B.5

C.7D.9

18.（2024北京西城高二下期末）設(shè)函數(shù)〃x）=sin%的導(dǎo)函數(shù)為g（%）,則g（x）為（）

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)

19.（2024北京西城高二下期末）設(shè)函數(shù)〃x）=lnx的導(dǎo)函數(shù)為/'⑺，則（）

A.r（3）＜/（2）＜/（3）-/（2）B.A⑶＜_/'⑶一〃2）＜〃2）

c.r（2）＜r（3）＜/（3）-/（2）D.r（2）＜/（3）-/（2）＜/,（3）

20.（2024北京大興高二下期末）己知函數(shù)/（%）=若過點尸（-1,〃?）存在3條直線與曲線y=/（x）相

切，則實數(shù)機的取值范圍是（）

A-HIBE

D/E)

21.（2024北京東城高二下期末）已知函數(shù)〃%)=—(a,bGR),貝！>a>0”是“Z?為/(x)

的極小值點''的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

22.（2024北京西城高二下期末）如果/（力=依-e'在區(qū)間（-1,0）上是單調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)。的取值范圍

為（）

B.打

A.(-00,-][1,+co)C.(-?,-]D.口,舟)

ee

23.（2024北京朝陽高二下期末）已知函數(shù)/（x）=4xT-41n（2x）.設(shè)Pw,〃占）），。（和『優(yōu)））是函數(shù)圖象

上不同的兩點，且〃%）=-/（々），則玉+馬的取值范圍是（）

A.（2,+oo）B.（1,+℃>）C.D.（0,1）

24.（2024北京豐臺高二下期末）在同一平面直角坐標系內(nèi)，函數(shù)y=/（久）及其導(dǎo)函數(shù)y=尸（行的圖象如

圖所示，已知兩圖象有且僅有一個公共點，其坐標為（0,1）,則（）

A.函數(shù)y=/（x）-e工的最大值為1

B.函數(shù)y=/（x>e"的最小值為1

C.函數(shù)、=萼的最大值為1

e

D.函數(shù)y=二的最小值為1

e

25.（2024北京第十二中學(xué)高二下期末）已知函數(shù)〃力=尸+苫-2存在零點”，函數(shù)g（x）=d-〃a-機-2

存在零點b,且則實數(shù)機的取值范圍是（）

A.［卜jB,C,，雙口.［④彳］

26.（2024北京大興高二下期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)/'（x）的圖象如圖所示，則〃尤）的極大值點為

27.（2024北京延慶高二下期末）已知函數(shù)+有兩個極值點為％（不<%）,則

（）

A.a<-6或a>6B.4是/'(x)的極小值點C.xt+x2=—D.xxx2=—j

二、填空題

28.（2024北京海淀高二下期末）平面曲線的曲率就是針對曲線上某個點的切線方向角弧長的轉(zhuǎn)動率，表

明曲線偏離直線的程度.曲率半徑主要是用來描述曲線上某處曲線彎曲變化的程度.如：圓越小，曲率越

|y|

大，圓越大，曲率越小.定義函數(shù)y=的曲率函數(shù)八幻二口（，力|（其中y是“X）的導(dǎo)數(shù)，y〃是y'

的導(dǎo)數(shù)），函數(shù)y=在處的曲率半徑為此處曲率左⑴的倒數(shù)，給出下列四個結(jié)論：

①函數(shù)y=cosx在無數(shù)個點處的曲率為1；

②函數(shù)y="-_?（-2<彳<2）的曲率恒為《；

③函數(shù)y=e，的曲率半徑隨著無變大而變大；

④若函數(shù)y=lnx在x=%與x=G。產(chǎn)與）處的曲率半徑相同，則小

其中，所有正確結(jié)論的序號是.

29.（2024北京豐臺高二下期末）已知函數(shù)/=（aeR）,給出下列四個結(jié)論：

①當。=1時，若f（x）的圖象與直線y=〃z恰有三個公共點，則機的取值范圍是（-e,，）；

②若在x=-2處取得極小值，則。的取值范圍是（-8,-手；

③VaeR,曲線y=/（x）總存在兩條互相垂直的切線；

④若/（%）存在最小值，則。的取值范圍是（0,+s）.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

_x_ax-1x<0

30.（2024北京房山高二下期末）已知函數(shù)'",八，給出下列四個結(jié)論：

lnx-[a-2）x+l,x>0

①當。=0時，/（X）在定義域上單調(diào)遞增；

②對任意a>0,/（x）存在極值；

③對任意a>2,7（x）存在最值；

④設(shè)/（x）有n個零點，則n的取值構(gòu)成的集合是{1,2,3,4}.

其中所有正確結(jié)論的序號是—.

31.（2024北京房山高二下期末）若f（x）=4,則尸（4）=—.

32.（2024北京石景山高二下期末）已知函數(shù)/（無）="的導(dǎo)函數(shù)為/'（x）=3尤2,則a+b=,過點

（1』）且與曲線>=于（x）相切的直線方程為.

33.（2024北京石景山高二下期末）已知aeR,函數(shù)/（x）=V-依+1有兩個極值點再，尤?，給出下列四個

結(jié)論：

①?？赡苁秦摂?shù)；

②石+9=0；

③/（西）+/（々）為定值；

④若存在不eR,使得|/（々+2）-/（/）區(qū)1,則就1

其中所有正確結(jié)論的序號是.

34.（2024北京西城高二下期末）己知函數(shù)小）=尸"：>°。,C，其中awR.給出下列四個結(jié)論：

[—X+2（7x-2,x<0

①當a>0時，函數(shù)〃x）有極大值，無極小值；

②若方程/（x）=a存在三個根，則ae[-2,-1）；

③當。<0時，函數(shù)/'（X）的圖象上存在關(guān)于原點對稱的兩個點；

④當a=尺T時，存在占,馬（無產(chǎn)超）使得函數(shù)“尤）的圖象在點（芯./（%））和點（％）（三））處的切線是同一條

直線.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

35.（2024北京大興高二下期末）己知某商品的日銷售量，（單位：套）與銷售價格x（單位：元/套）滿足的

函數(shù)關(guān)系式為>=3+3。-8）2,其中xc（3,8）,機為常數(shù).當銷售價格為5元/套時，每日可售出30套.

（1）實數(shù)冽=；

（2）若商店銷售該商品的銷售成本為每套3元（只考慮銷售出的套數(shù)）,當銷售價格x=元/套時

（精確到0.1）,日銷售該商品所獲得的利潤最大.

36.（2024北京延慶高二下期末）已知函數(shù)/（幻=§/一4尤+4,則在區(qū)間[-3,3]上的最大值

為.

37.（2024北京石景山高二下期末）已知函數(shù)y=/（x）的定義域為R,尸⑺為其導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y=/'（x）

的圖象如圖所示，且"-2）=1,/（3）=1,則不等式〃x）>l的解集為.

38.（2024北京延慶高二下期末）己知函數(shù)J（x）=logar（a>0且存1）,了（無）為/（x）的導(dǎo)函數(shù)，且滿足

尸⑴=1,貝丘=.

參考答案

1.B

【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后將％=0代入導(dǎo)函數(shù)中計算即可.

【詳解】由/（X）=2,得.（尤）=cos?X\sin2x=,

COSXcosXcosX

所以r（o）=」T=i.

cos0

故選：B

2.B

【分析】根據(jù)平均變化率的計算即可比較大小求解.

0-1

【詳解】對于A,＞=尤2在［-1,0］上的平均變化率為7^^=-1,

u一（一1）

對于B,y=V在上的平均變化率為肥U=l，

U一（T）

對于C,y=f在［-1,0］上的平均變化率為1-（2）'=T,

⑵0-（-1）

1_2T1

對于D,＞=2*在［-1,（）］上的平均變化率為^=7，

7（J?-（―1T）2

故y=二在卜1,o］上的平均變化率最大，

故選：B

3.C

【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷即可

【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)的切線斜率，

在1處的切線斜率小于在3處的切線斜率，

所以/'（1）＜/'（3）,A,B選項錯誤；

又因為/'。）＜/'（3）＜0,所以_f（l）+r（3）＜0,D選項錯誤.

故選：C.

4.D

【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可比較大小.

【詳解】函數(shù)/（x）=3x2-cosx的定義域為R,且/'（一無）=3（-尤）2-cos（-尤）=3尤，cosx=/(x),

所以〃x）=3x2-cosx為偶函數(shù)，

又/''（%）=6x+sinx,令g（x）=/'（x）=6x+sinx,貝?。輌'（x）=6+cosx＞0,

所以g（x）（r（x））在定義域R上單調(diào)遞增，

又廣（0）=0,所以當%＞0時/'（x）＞0,

所以“X)在(o,+8)上單調(diào)遞增,因為e<3(兀，所以〃e)<〃3)<〃7r),

又〃一3)=〃3),所以〃e)</(—3)<〃n).

故選：D

5.D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出/(x)的單調(diào)性可得答案.

【詳解】r(x)=l-sinx,

當XCR時，/'(x)=l-sinx20,所以/(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，

因為2<e<?i,所以/⑵<〃e)<〃7r).

故選：D.

6.C

【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)〃尤)的性質(zhì)，在同一坐標系內(nèi)作出直線與函數(shù)y=/(x)的圖象，數(shù)形結(jié)

合求出范圍.

【詳解】當x40時，/(%)=(%+1)2-1,函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

當x>0時，/(*)=@工,求導(dǎo)得/'(x)=^^少，

XX

由1f(x)>。得0〈無<e,由廣(無)<0,得x>e,即函數(shù)/(X)在(o,e)上遞增,在(e,+8)上遞減，

當X=e時，f(x)取得極大值/'(e)=1,且當X>1時，/。)>0恒成立，

e

在同一坐標系內(nèi)作出直線y=a與函數(shù)y=/(x)的圖象，如圖，

觀察圖象知，當時，直線y=。與函數(shù)>=/(尤)的圖象有3個公共點，即方程〃尤)=。恰有三個

e

根，

所以實數(shù)。的取值范圍是(-1」).

e

故選：C

【點睛】思路點睛：研究方程根的情況，可以通過轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，借助數(shù)形

結(jié)合思想分析問題，使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn).

7.C

【分析】利用奇函數(shù)性質(zhì)求出玖-2),再利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)求出((-2)即可.

【詳解】由函數(shù)/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，得了(一元)=一/(彳)，貝|f(-2)=-/(2)=-4,

兩邊求導(dǎo)得—/'(f)=—/'(X),即/'(一x)=/'(x),而/'⑵=10,則八-2)="2)=10,

所以廣(—2)+〃—2)=6.

故選：C

8.B

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則判斷.

【詳解】A,(2一爐-3尤2+5)=6尤2-6x,正確；

B,(cos2%)=-2sin2x,錯誤;

D,(xe*)=e*+xe*=(x+l)e”,正確.

故選：B.

9.C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)圖象判斷即可.

【詳解】設(shè)A。"。))，B(3,f(3)),C(2,f(2)),

則f(l)表示函數(shù)在點A(L〃1))處的切線4的斜率，

則廣(3)表示函數(shù)在點幽3"(3))處的切線《的斜率，

/3)-〃2)=7⑶一”2)表示網(wǎng)3,〃3)),C(2,”2))兩點連線4的斜率，

又/(X)在［1,3］上單調(diào)遞增，且增長趨勢越來越快，

則函數(shù)在點A(1J(1))、3(3"(3))的切線與過8、C的直線的草圖如下所示:

由圖可知勺>k,2>kh,所以廣⑶〉/(3)-/(2)>/⑴.

10.D

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)((x),結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系驗證各命題.

【詳解】f(x)=(l+x)ex-a,

設(shè)g(%)=(l+x)e"-Q,g'(x)=(2+x)e",

當x<—2時，g'(x)v。，g(x)單調(diào)遞減，

x>-2時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

所以g(x)mm=g(_2)=_eT一q=一±_q,

e

當十時，g(x)>0,gpAx)>0,

所以函數(shù)/(%)在上單調(diào)遞增，則沒有最小值，①③正確；

當一之<a<0時，g(x)=(1+x)ex-a=0,即(1+x)ex=a,

設(shè)/z(x)=(1+x)e",由上面的研究可知，

當了<-2時，hXx)<0,%(%)單調(diào)遞減，

%>一2時，h\x)>0,人(%)單調(diào)遞增，

所以"(x)min="(-2)=-e-2=一二，

e

且當x<—2時，h(x)<0,且〃(x)e，g,oj,x>—2時，〃(一1)=0,

所以此時方程(l+x)e*=。有兩個解，即g(x)=(l+x)e*-a有兩個零點，

所以/'(*)有兩個極值點，②正確，

所以正確答案是①②③.

故選：D

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查由函數(shù)的極值點個數(shù)求參數(shù)范圍，用導(dǎo)數(shù)證明不等式.解題關(guān)鍵是問題的

轉(zhuǎn)化，極值點的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程的實根的個數(shù)，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的性質(zhì)(函數(shù)圖象).

11.A

【分析】首先得出對任意的xwO，/(x)<0,從而原不等式等價于/(尤)>。，結(jié)合圖象以及奇函數(shù)性質(zhì)即

可得解.

【詳解】由圖可知/(尤)在(3,0)上單調(diào)遞減，且/(x)也是奇函數(shù)，

所以“彳)在(0,+")上也單調(diào)遞減，

所以對任意的尤力0,尸(x)<0,

所以當xwO時，f(x)r(x)<0o/(x)>0,

當x<-L時，/(%)>0,當一1vx<0時，/(x)<0,

由奇函數(shù)性質(zhì)可知，當0<x<l時，/(^)>0,當尤>1時，/(%)<0,

注意到x=0時，沒有定義，/(1)=/(-1)=0,

綜上所述，不等式”x)「(x)<0的解集是

故選：A.

12.B

【分析】圖象不存在與x軸平行的切線，即/'(彳)=。無解，據(jù)此對選項逐一分析即可.

【詳解】圖象不存在與X軸平行的切線，即/'。)=。無解，

對A：y=—x3—1,則3/=-3工2=0,得％=0,

故＞=一工3_1圖象在兀=0處的切線與％軸平行，故A錯誤；

11-11

對B：y=?=/,則y'=5尤2=而=0無解，

故y=?不存在與X軸平行的切線，故B正確；

兀

對C：y=sinx,則y'=cosx=0,得力=萬+%兀（左￡Z）,

7T

故丫=5皿%圖象在工=5+航（左€2）處的切線與X軸平行，故C錯誤；

對D：y=cosx,貝I]y'=_sinx=0,得x=far（左eZ）,

故丁=8$》圖象在x=E（ZeZ）處的切線與x軸平行，故D錯誤；

故選：B.

13.B

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)后，由題意可得（⑴=0,得到關(guān)于。泊的方程，再由/（D=2e得到關(guān)于名方的方程,

解方程組可得結(jié)果.

2fl%

【詳解】由,得r（x）=-4+2xe”r-xe-,

xx

因為曲線y=/（尤）在點（11（D）處的切線方程為y=2e,

所以廣⑴=-b+2e"T—e0-'=-b+ea-'=0,/（I）=b+ea-'=2e,

解得a=2,b=e.

故選：B

14.B

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)后，將X=1代入導(dǎo)函數(shù)中計算即可.

【詳解】由/（尤）=sin尤+1,得洋（x）=cosx,

所以r13=c°sl=g

故選：B

15.A

【分析】對函數(shù)〃x）求導(dǎo)，再將x=l代入導(dǎo)函數(shù)即可.

【詳解】因為〃x）=2'，

所以/'（x）=21n2,

所以廣⑴=21n2.

故選：A.

16.D

【分析】求導(dǎo)，進而可得切點坐標和切線斜率，即可得方程.

【詳解】因為，=COSX,則y'=_sinx,

若％=o,則y=i,y=0,

即切點坐標為(0,1),切線斜率左=0,所以切線方程為y=L

故選：D.

17.C

【分析】利用平均變化率的公式即可求解.

【詳解】包=*2-(I一)”

Ax2-1

故選：C.

18.B

【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)判斷奇偶性.

【詳解】由題意可知，g(x)=r(x)=cosx,是偶函數(shù).

故選：B

19.B

【分析】根據(jù)函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)判斷大小關(guān)系即可.

【詳解】因為〃x)=liw"'(x)=J所以/'⑶=；<g=/'(2),

因為ln2V^>ln3oln2+lnV^=ln2+；>ln3,貝!]g>ln3-ln2,

則/⑵>〃3)-/⑵

又因為27>8e,3>2/，所以In3>ln2痣，

即得ln3>ln2+ln%=ln2+g,

所以ln3-ln2>L

3

可得了'(3)<〃3)-”2),

所以廣(3)</⑶一八2)</'(2).

故選：B.

20.C

【分析】設(shè)切點坐標為(無。，(D，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，轉(zhuǎn)化為m“有三個不等實

Ie*)e與

根，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性最值，畫出圖象求參數(shù)的取值范圍即可.

【詳解】設(shè)切點坐標為1%，鋁|

由題意得f'(x)=一(心"'=三,

ee

所以函數(shù)/（X）的圖像在點［），￥］處的切線的斜率為尸（X。）=言,

所以切線方程為y-乎?=U（X70）,

因為切線過點P（-l,m）,所以"L甘=言（-1-尤。），

則m=（%+1）一,由題意可知,這個方程有三個不等實根.

e*。

設(shè)g（x）=（x：l）2,則g，（x）=（2尤+2）一（1+2無+1）=一\+1,

eee

由g'（x）〉。得—1V尤V1,由g'COvO得了＜—1或X＞1.

所以函數(shù)g（x）在（-8,-1）和（1,+8）上單調(diào)遞減，

在（-1,1）上單調(diào)遞增，又當尤趨近于正無窮時，g（x）趨近于0；

4

當X趨近于負無窮，g（x）趨近于正無窮，且g（-l）=0,g6=—,

e

所以要使直線丁=根與函數(shù)g（%）的圖象有三個交點,

4

則0＜根＜一.

e

故選：C

21.A

【分析】在6＞。＞0的條件下利用導(dǎo)數(shù)證明。為/'（X）的極小值點，然后說明當。=-1,8=-2時，6為

/（元）的極小值點，但匕＞0并不成立，從而得到答案.

【詳解】由題設(shè)，

/'(x)=a(x—6)~+2a(x—o)(x-6)="[3彳2—2(a+2Z>)x+6(2a+Z?)]=a[3x—(2o+6)](x-Z?),

若6>a>0,則a<,故尤e[-co,^^]u(6,+oo)上/'(同>0,xe，”上/[x)<0,

所以/(x)在‘雙弓3,(4+⑹上遞增，[&F，"上遞減，故6為的極小值點，從而條件是充分

的;

當Q=—1,〃=一2時，有/(x)=(―x—1)(%+2)2,則/(x)=—(3%+4乂x+2),

顯然xe(-co,-2)u1-g,+coj±r(x)<0,彳［-2,-1^上八%)>0,

所以/(x)在(f-2),j上遞減，［-2,-力上遞增,

此時》=-2為/(x)的極小值點，但此時6>。>0并不成立，從而條件不是必要的.

故選：A.

22.A

【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)單調(diào)性得出導(dǎo)函數(shù)恒為正或者恒為負求參即可.

【詳解】由已知/(x)=or-ey(x)=a—e",

因為/("=依一巴尤?-1,0)是單調(diào)函數(shù)，

所以xw(-l,O),/'(尤)=。一/NO恒成立或天€(—1,0),尸")=。一/40恒成立，

所以a2e*恒成立或a<e*恒成立，

所以aNe』或。

e

所以〃21或〃

e

故選：A.

23.B

【分析】令函數(shù)網(wǎng)力=/(力+〃1-尤)，求得尸'(x)>0,得到尸⑴在(o,g)上單調(diào)遞增，且尸(x)<0,即

〃“<一〃1—X)結(jié)合—“馬)=〃不)<一/(1一百)，即/㈤即可求解.

【詳解】令函數(shù)尸(x)=〃x)+/(l-x)=4x-工一4ln(2x)+4(1-x)---41n(2-2x)

x1-x

=4---------4In[4x(1-x)],xe

Ml—%)

4(1-2%)_(l-2x)(l-4x+4.r)_(l-2x)3

可得如尸二F"

y>0,

4尤(1一尤廠x2(l-x)2X2(1—X)

所以函數(shù)F(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以尸(無)<F(1)=0,

即當xe(0q)時，f(x)+f(l-x)<0,即〃x)<_/(l_x)

又由/(%)=-/(%)，即-/(%)=/(%)<-/(1-％)，

所以，可得尤2>1-石，所以百+々>1.

故選：B.

【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題:

1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)，從而得出不等關(guān)系；

2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系;

3、適當放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；

4、構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

24.C

【分析】AB選項，先判斷出虛線部分為y=/'(x),實線部分為y=f(x),求導(dǎo)得到y(tǒng)=/(x)-e"在R上單

調(diào)遞增，AB錯誤；再求導(dǎo)得到xe(-8,0)時，了=/半單調(diào)遞增，當xe(O,叱)時，了=/學(xué)單調(diào)遞減，

ee*

故C正確，D錯誤.

【詳解】AB選項，由題意可知，兩個函數(shù)圖像都在x軸上方，任何一個為導(dǎo)函數(shù)，

則另外一個函數(shù)應(yīng)該單調(diào)遞增，判斷可知，虛線部分為y=7'"),

實線部分為y=F(x),

故y=r(x)W+/(x).e，=(r(x)+〃x)).e，>(Ha^Zl,

故y=f(x>e*在R上單調(diào)遞增，則A,B顯然錯誤，

，f'(x)e-f(x)exf'(x)-f(x)

對于c,D,>=廚=—/一，

由圖像可知xe(-8,0),y，=，'(x)1(x)>o恒成立,故〉=/學(xué)單調(diào)遞增，

ee

當尤e(0,+?)),y'=f'(X)~f(X)<0,y=駕單調(diào)遞減，

ee

所以函數(shù)丁=等在X=O處取得極大值，也為最大值，42=1，c正確，D錯誤.

e'e°

故選：C

25.D

2r\

【分析】先求出函數(shù)/(X)的零點。=1，再把問題轉(zhuǎn)化為方程=三二在(-L3)上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用

X+1

導(dǎo)數(shù)法研究單調(diào)性，求出值域即可求出實數(shù)m的取值范圍.

【詳解】因為〃“=—+》-2,所以/'(x)=ei+l>0,則函數(shù)〃h=尸+.計2單調(diào)遞增，

又〃l)=e°+l-2=0,所以函數(shù)/(司=4+”2的零點。=1,

由,一,<2,得目<2,解得一l<b<3,

函數(shù)g(x)=x?-如-根-2存在零點b,即方程在(T3)上有解，

X+1

人X2—2rtT,/、x2+2x+2(x+l)2+l

令〃⑺=KF'"T'則〃⑴=EF=>0,

(尤+1)2

所以函數(shù)飄龍)在(T，3)上單調(diào)遞增,

7

因為/z（3）=:，當%＞-1且無限趨向于-1時，力（%）無限趨向于負無窮,

4

則函數(shù)力⑴在（T3）上的值域為卜鞏j,

所以實數(shù)m的取值范圍是1-鞏（）

故選：D

26.C

【分析】根據(jù)圖像，在（,，毛）和（毛，田）上單調(diào)遞增，在（無3,三）上單調(diào)遞減，得到極大值點.

【詳解】根據(jù)圖像，在（f，w）和H”）上/''（x）＞。，單調(diào)遞增;

在（小三）上ra）＜°，單調(diào)遞減，故的極大值點為馬.

故選：C

27.A

【分析】根據(jù)函數(shù)/（x）=丁+a?+x+1（。6R）有兩個極值點，

則導(dǎo)數(shù)為。有兩個根，由單調(diào)性及根與系數(shù)的關(guān)系等逐個判斷即可.

【詳解】因為函數(shù)/（尤）=丁+以2+》+1（°€1＜）有兩個極值點%,%2（%＜々），

所以/'（尤）=3/+2依+1=0有兩個根毛了2（%＜々），

所以玉+%=彳,X/2=；，故CD選項錯誤；

因為廣。）=31+2"+1=0有兩個根/工2（西＜&），

所以A=（2a）2-4*3乂1＞0,即得。2-3＞0,解得。＜-6或。＞6，故A選項正確;

因為尸。）=3/+2以+1=。有兩個根石,彳2（%＜々），

/（無）在（口，不）上單調(diào)遞增，在（%,%）上單調(diào)遞減，所以天是/（%）的極大值點，故B選項錯誤；

故選:A.

28.①②④

【分析】根據(jù)給定的定義，求出各個命題中的y',y",由左。）=1有無數(shù)個解判斷①；計算左（x）判斷②；利

用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)六單調(diào)性判斷③；由卷"有兩個不等正根，構(gòu)造函數(shù)結(jié)合極值點偏移推理判斷④.

|cosX|

【詳解】對于①，/=-sinx,/=-cosx,則"(x)=T當x=mr,〃wZ時，左(％)=1,

(1+sin2x)2

因此函數(shù)丁=85尤在無數(shù)個點處的曲率為1,①正確;

33

,x〃48依尤）=1,②正

對于②‘'"一石『'則［1+(行］5=［1+(-二三)平

'V4-X2(A/4-X2)3

確;

對于③，y=e\y〃=ex,則函數(shù)y=e"的曲率半徑，=d+e?)=+3+3聲+e右，

k(x)ex

7

令g(x)=e-2x+3+3e2x+e4x,求導(dǎo)得gr(x)=-2e-2x+6e2x+4e4x=—(2e6x+3e4x-l),

'e

由g'(%)=。，得％=—In2,當xv—In2時，g'(x)v。，

22

則函數(shù)g(x)在(-8,-(ln2)上單調(diào)遞減，函數(shù)工=71而在(-*-gn2)上單調(diào)遞減，③錯誤;

2女(%)2

2

111(]+rV

對于④，/=則函數(shù)>=lnx的曲率半徑=——-,x>0,

xx7k7(xT)x

11"+凸3

依題意，77-=77—,令/z（x）="J,x＞O,則方程飄%）=，有兩個不等正根。4,

6X2(1+X2)2-(1+%2)3(1+%2)2(5%2-1)

即直線y=t與函數(shù)y=Kx）的圖象有兩個交點，“（X）=

當0<x<—j=時，hr(x)<0,當x>—j=時,h<x)>0,

函數(shù)3）在（0,表］上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為■（1）,+⑹,

在心,+劃上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為［/）,+⑹,

1

因此當"時，方程人（%）=?有兩個不等正根％，?2，不妨令。＜4＜

忑j'

令函數(shù)(p(x)=〃(x)-/?(二),0<X<3,求導(dǎo)得“(X)=//(X)+」//'(―)

5xJ55x-5x

(1+%2)2(5/_])1(1+^5^>(彳-1)3125尤二+5625元8—125036—250_?+45_?+1

P+彳□Z-625f

25-

(5尤2-1)2(5X2+1)(25X2+50X2+1)

>0,

625?

函數(shù)夕（x）在（0,十）上單調(diào)遞增，0（%）＜

=0,即〃(x)<h(——)，

5x

令X=4，則股2）="（?）＜"（5）,'2＞京，￡＞尢，又函數(shù)人（幻在（5，+°°）上單調(diào)遞增,

因此‘2<5,

即宿＜M＜5，④正確,

所以所有正確結(jié)論的序號是①②④.

故答案為：①②④

【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的

零點問題，求解此類問題的一般步驟：

①轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；

②列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；

③得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍.

29.②④

【分析】當。=1時，求出的零點判斷①；分類討論函數(shù)的極值情況判斷②；取。=-；,求出任意兩

點處的導(dǎo)數(shù)值乘積與-1比較判斷③；按。<0,。>0分類討論函數(shù)在(0,+8)上的取值情況判斷④圣母姨得答

案.

【詳解】對于①，當。=1時，/(x)=ex(x2-x-l),由/(x)=。，解得x=t好，

2

則當根=0時，/(X)的圖象與直線y=機只有兩個公共點，而Oe(-ej),①錯誤；

對于②，函數(shù)/(%)=e*(a/一%一1)的定義域為R,求導(dǎo)得fr(x)=ex(ax-l)(x+2),

當。>0時，x<-2,r(x)>0,-2<X<-,f'(x)<0,/⑺在x=—2處取得極大值，不符合題意；

a

當。=0時，x<-2,rw>o,x>-2,/(無)<0,/(X)在x=—2處取得極大值，不符合題意；

當-1<。<0時，-<x<-2,r(x)>0,x>—2,r(%)<0,/(x)在x=—2處取得極大值，不符合題

2a

思；

當時，/?<0,函數(shù)/(尤)在R上單調(diào)遞減，無極值點；

當?！?1時，x<-2,八龍)<0,-2<x<L八/>0,/(尤)在x=—2處取得極小值，符合題意，

2a

因此/(X)在x=-2處取得極小值時，。的取值范圍是(-甩-；)，②正確；

對于③，當4=-；時，-(x)=-；eX(尤+2)2,假定曲線y=/(x)存在兩條互相垂直的切線，

設(shè)兩條切線對應(yīng)的切點分別為(4了(占)),(3,〃%))，切線斜率分別為尸(%),尸(馬)，

于是尸(%)-區(qū))=[-(±+2)2]E：e也(々+2力>0與((尤)/區(qū))=-1矛盾，③錯誤；

對于④，當時，xe(0,+oo),依_1〈0,》+2〉0,/'。)<0,即，。)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，

止匕時"X)<-e*,而函數(shù)y=-e，在(0,+co)的取值集合為(-℃,0),則/'3在R上無最小值，

當a>0時，由/'(x)>0,得x<—2或無〉!，由/(x)<0,得-2<X<L,

aa

即函數(shù)fM在(-8,-2),(L”)上單調(diào)遞增，在(-2」)上單調(diào)遞減，

aa

則函數(shù)在X=-2處取得極大值，在X=工處取得極小值，

a

而當x<-L時，ax2-x-l>0,則/(尤)>0恒成立，因此f(x)在％=,處取得最小值，

a

于是存在最小值時，a的取值范圍是(0,+8),

所以所有正確結(jié)論的序號是②④.

故答案為：②④

【點睛】方法點睛：函數(shù)零點個數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出式無)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)八尤)

的圖象，觀察與x軸公共點個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它

們的公共點個數(shù).

30.②③④

【分析】取值計算判斷①；函數(shù)/。)=-爐-冰-l,x40的極值點情況判斷②，分別求出兩段的最大值判斷

③；分段探討零點個數(shù)判斷④即得答案.

f—%?—]%<0O

【詳解】對于①，當a=0時，〃尤)=,；~八，/(e-3)=^-2<-l=/(0),①錯誤；

[lnx+2x+l,x>0e

對于②，當。>0時，函數(shù)=-以在(_8,一9上單調(diào)